Как найти боковое ребро тетраэдра

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Зная длину ребер тетраэдра, необходимо вычислить в первую очередь длину одного ребра, разделив периметр тетраэдра на количество ребер – 6.
a=P/6

Через периметр тетраэдра, выраженный в ребро, можно найти площадь одной грани тетраэдра, а затем площадь полной поверхности тетраэдра, умножив площадь одной грани на четыре.
S_1=P^2/(48√3)
S_(п.п.)=4S_1=P^2/(12√3)

Радиус вписанной окружности в грань тетраэдра, представленную как равносторонний треугольник, равно как и радиус, окружности описанной около нее, выражаются через ребро тетраэдра, которое можно заменить на уменьшенную в шесть раз длину ребер тетраэдра.
r=P/(12√3)
R=P/(6√3)

Высота и апофема тетраэдра связаны через основание с боковым ребром радиусами вписанной и описанной окружностей около основания. Поэтому их формулы выведены через теорему Пифагора для прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра.
h=(√(2/3) P)/6
l=(√3 P)/12

Чтобы найти объем тетраэдра через длину всех его ребер, нужно возвести периметр тетраэдра в третью степень и разделить на 1296 корней из двух.
V=P^3/(1296√2)

В тетраэдр можно вписать сферу так, чтобы она касалась всех его граней, так как тетраэдр является правильной пирамидой, а также можно описать сферу около него. Радиус вписанной и описанной сферы можно найти по формулам, приведенным ниже. (рис.60.2, 60.3)
r_1=P/(12√6)
R_1=(√3 P)/(12√2)

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Округление:

* — обязательно заполнить

Материал урока.

В начале изучения
курса «Стереометрии» мы говорили, что все геометрические тела делятся на тела
вращения и многогранники. В процессе изучения геометрии в десятом классе, мы
будем подробно рассматривать с вами свойства тех или иных фигур.

Сегодня мы
познакомимся с такой фигурой как тетраэдр. Прежде чем приступить к изучению
пространственной фигуры, давайте вернемся в планиметрию и вспомним такую фигуру
как многоугольник.

Напомню, что многоугольником
называется либо замкнутая линия без самопересечений либо часть плоскости, ограниченная
этой линией, включая ее саму.

Для стереометрии
нам естественно подходит второе определение. Это определение показывает, что
каждый многоугольник представляет собой плоскую поверхность.

Напомним, что простейшим
многоугольником является треугольник. Возьмем треугольник ABC
и точку D, которая не лежит в плоскости треугольника ABC. Соединим точку D с каждой
вершиной треугольника ABC. Таким образом, мы получим
три новых треугольника DAB, DBC,
DCA. Тогда фигуру, которая состоит из четырех
треугольников ABC, DAB, DBC, DCA, называют тетраэдром и
обозначают так: DABC.

Треугольники, из
которых состоит тетраэдр, называются гранями, стороны этих треугольников
называют ребрами, вершины этих треугольников называются вершинами
тетраэдра.

 Нетрудно посчитать,
что тетраэдр имеет четыре грани, 6 ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра,
которые не имеют общих вершин, называются противоположными. Давайте
запишем пары противоположных ребер тетраэдра, который изображен на рисунке.

Это будут ребра AD и BC, BDи AC, CD и AB.
Иногда одну из граней тетраэдра называют основанием, а три другие – боковыми
гранями.

Слово тетраэдр
произошло от древнегреческих слов теторес – четыре и эдра –
основание или грань.

Если все грани
тетраэдра – равносторонние треугольники, то такой тетраэдр называется правильным.
Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников. Они еще
называются телами Платона. Это — тетраэдр, гранями которого
являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр,
имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются
двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью
треугольными гранями.

Последователи
Пифагорейской философской школы форму тетраэдра придавали стихии огня.

Тетраэдр, все грани
которого равные между собой треугольники, называется равногранным тетраэдром.

Если ребра
тетраэдра, которые прилегают к одной вершине, перпендикулярны между собой, то
такой тетраэдр называется прямоугольным.

Тетраэдры обычно
изображаются в виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При
этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.

На этом рисунке
невидимым является только ребро AC.

А на этом рисунке
невидимыми являются ребра ЕК, KF, KL.

Тетраэдр образует
жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней,
часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций
пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов.

Ярким примером
тетраэдра является разработанное для Нового Орлеана «здание-город», которое
возвышается на 360 метров, включает в себя 20000 квартир, суммарная жилая
площадь которых 2040000 квадратных метров. Здание использует экологичное
энергоснабжение — энергию ветра, воды и солнца. Кроме квартир в тетраэдре
помещаются коммерческие организации, три отеля, культурные объекты, школа,
больницы и казино. И, учитывая место, под которое создавался проект, его
немаловажная особенность — способность держаться на плаву.

Решим насколько
задач.

Задача. Назовите
все пары скрещивающихся рёбер тетраэдра . Сколько таких пар рёбер имеет тетраэдр?

Решение.

Напомним, что две
прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Нетрудно увидеть,
что скрещивающимися будут ребра AB и СD,
АC и BD, АD
и BC. То есть в тетраэдре есть три пары скрещивающихся
ребер.

Задача. В
тетраэдре  , , , , , . Найти рёбра основания  данного
тетраэдра.

Решение.

Задача. Пусть
точки  и  – середины рёбер  и  тетраэдра . Доказать, что прямая  параллельна плоскости .

Доказательство.

Что и
требовалось доказать.

Подведем итоги
урока. Сегодня на уроке мы познакомились с пространственным многогранником
– тетраэдром. Познакомились с элементами тетраэдра, решили несколько задач по
данной теме.