Как найти боковое ребро зная апофему

Периметр основания правильной пирамиды равен произведению длины стороны основания на их удвоенное количество, а площадь – отношению количества сторон, умноженных на квадрат стороны, к четырем тангенсам угла из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании.
P=n(a+b)
S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, являющимся основанием правильной пирамиды, равен отношению стороны к двум тангенсам того же угла, а радиус окружности, описанной вокруг такого многоугольника, — отношению стороны к двум синусам. (рис.34.1,34.2)
r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )
R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти внутренний угол многоугольника в основании правильной пирамиды, нужно умножить 180 градусов на отношение разности количества сторон и двух единиц к самому количеству сторон такого многоугольника. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n

Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, можно найти боковое ребро и высоту пирамиды из прямоугольных треугольников, образованных ими, через теорему Пифагора. (рис.34.4, 35.1)
h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )
b=√(l^2+a^2/4)

Угол между апофемой и основанием легко вычислить, найдя его косинус, который равен отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме, и воспользовавшись таблицами Брадиса. Угол между боковым ребром и основанием находится аналогично через косинус, как отношение радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру. (рис.34.4, 34.5)
cos⁡α=R/b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 √(l^2+a^2/4))
cos⁡β=r/l=a/(2l tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды через апофему и сторону основания, необходимо сначала найти площадь одной ее грани-треугольника, и затем умножить ее на количество граней – сторон в основании. Площадь полной поверхности пирамиды будет равна сумме площади боковой поверхности и площади основания.
S_(б.п.)=lan/2
S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем правильной пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленному на три. Подставив необходимое выражение вместо площади основания и высоты, получим форму объема пирамиды через апофему и сторону основания.
V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы вписать в правильную пирамиду сферу, ее радиус должен быть равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а чтобы описать такую же сферу вокруг пирамиды, нужно чтобы ее радиус совпадал с отношением квадрата бокового ребра к двум высотам такой пирамиды. (рис.34.6, 34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 (2l+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) )
R_1=b^2/2h=(4l^2+a^2)/(8√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

Пирамида и ее боковые ребра. Формулы. Боковое ребро пирамиды Хеопса

Одной из геометрических фигур, свойства которых изучают в школах в курсе стереометрии, является пирамида. Рассмотрим, что собой представляет эта фигура, а также подробно охарактеризуем важный линейный параметр — боковое ребро пирамиды.

Пирамида как фигура геометрии

Прежде чем рассматривать понятие о боковом ребре пирамиды, следует дать определение этой пространственной фигуры. Если говорить коротко, то пирамида представляет собой поверхность, ограниченную одним n-угольником и n треугольниками. Рисунок ниже показывает один из возможных вариантов этой фигуры.

С геометрической точки зрения получить пирамиду можно таким способом: взять n-угольник и соединить все его углы с некоторой точкой в пространстве, которая не должна лежать в плоскости n-угольника.

Заметим, что, независимо от количества сторон n в исходном многоугольнике, всегда при соединении его углов с единственной точкой получаются треугольники. Их совокупность образует боковую поверхность пирамиды, а исходный многоугольник является ее основанием. Точка, в которой соединяются все треугольники, получила название вершины пирамиды.

Элементы пирамиды

Каждая пирамида образована тремя главными элементами:

• гранями;
• ребрами;
• вершинами.

Граней или сторон у фигуры всегда n + 1. Это легко видеть на приведенном в предыдущем пункте рисунке. Шестиугольное основание является одной гранью. Оставшиеся 6 сторон представляют собой треугольники, опирающиеся на стороны основания и пересекающиеся в вершине пирамиды.

Ребра представляют собой совокупность точек пересечения соседних граней. Фигура имеет два типа этих элементов:

• ребра основания;
• боковые ребра пирамиды.

Их количества, независимо от числа сторон n основания, всегда равны друг другу, то есть фигура имеет 2 × n ребер. Если с ребрами основания все понятно (они являются сторонами n-угольника), то для боковых ребер следует уточнить, что они представляют собой отрезки, соединяющие углы основания с высотой рассматриваемой фигуры.

Наконец, третьим типом элементов пирамиды будут вершины. У фигуры имеется n + 1 вершина. Однако n из них образованы основанием и двумя боковыми гранями. Лишь одна единственная вершина не связана с основанием. Она играет важную роль при изучении количественных характеристик пирамиды, например, ее высоты или апофемы.

Правильные пирамиды

Пирамиды могут быть наклонными и прямыми, правильными и неправильными, выпуклыми и вогнутыми. Все названные типы фигур отличаются друг от друга многоугольным основанием и особенностями поведения высоты.

Предположим, что имеется пирамида, у которой высота (опущенный из вершины к основанию перпендикуляр) падает на многоугольник точно в его геометрическом центре. В этом случая фигура называется прямой. Если же многоугольник является равносторонним, то помимо прямой, пирамида также будет правильной. Напомним, что центр геометрический плоской фигуры аналогичен центру масс в физике. Для квадрата он совпадает с точкой пересечения диагоналей, а для треугольника — с точкой, где медианы пересекаются.

Пирамиды правильные удобно изучать ввиду их симметрии. Так, боковые ребра правильной пирамиды и ее боковые грани равны друг другу. Частным случаем является ситуация, когда боковые грани будут образованы равносторонними треугольниками.

Далее рассмотрим, какими формулами следует пользоваться, чтобы определить размеры боковых ребер пирамид — правильной четырехугольной и треугольной.

Треугольная пирамида

Существуют четыре линейных параметра, которые описывают размеры правильной пирамиды. К ним относятся сторона основания a, боковое ребро b, высота h и апофема h_b. Ниже приведем формулы, которые позволяют рассчитать длину бокового ребра для треугольной пирамиды правильной. Основание этой фигуры представляет треугольник с равными сторонами, что позволяет записать следующие равенства:

Обе формулы являются следствием теоремы Пифагора для треугольников, в которых боковое ребро b является гипотенузой.

Четырехугольная пирамида

Эта фигура, пожалуй, является самой известной среди остальных пирамид благодаря величественным древним египетским сооружениям. Боковое ребро пирамиды четырехугольной правильной можно определить по таким формулам:

Как и в предыдущем случае, эти выражения являются следствием свойства катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.

Отметим, что формула расчета бокового ребра правильной пирамиды четырехугольной через ее апофему и сторону основания аналогична таковой для треугольной фигуры. Это совпадение не является случайным, поскольку боковые грани обеих пирамид — это равнобедренные треугольники.

Задача на определение бокового ребра пирамиды Хеопса

Каждый человек знает, что первое чудо света — пирамида Хеопса, обладает головокружительными размерами. Она является самой большой из всех пирамид, находящихся в египетской Гизе. Стороны ее основания образуют квадрат с точностью до нескольких десятков сантиметров. Средняя длина стороны пирамиды оценивается в 230,363 метра. Высота пирамиды в настоящее время составляет около 137 метров, однако исходная высота каменного гиганта была 146,50 метров.

Воспользуемся приведенными выше цифрами, чтобы определить, чему равно боковое ребро правильной пирамиды четырехугольной, посвященной фараону Хеопсу.

Поскольку нам известна высота h и длина стороны a монумента, то следует применить такую формулу для b:

Подставляя в нее известные данные, получаем, что боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 273 метра, что немногим меньше периметра футбольного поля (300 метров).

Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды. Усеченная треугольная пирамида

Объемной фигурой, которая часто появляется в геометрических задачах, является пирамида. Самая простая из всех фигур этого класса — треугольная. В данной статье разберем подробно основные формулы и свойства правильной пирамиды треугольной.

Геометрические представления о фигуре

Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.

Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.

Вам будет интересно: Лихой — это: значение и синонимы

Она состоит из 4-х сторон, причем все они являются треугольниками. Точки, в которых соединяются три грани, называются вершинами. Их у фигуры также четыре. Линии пересечения двух граней — это ребра. Ребер у рассматриваемой пирамиды 6. Рисунок ниже демонстрирует пример этой фигуры.

Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.

Правильная пирамида

Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.

Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.

Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема

Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.

Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.

Для высоты h получаем выражение:

Эта формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, сторонами которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.

Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы ab равна:

Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.

Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.

Объем фигуры

Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:

Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:

Где высота правильной треугольной пирамиды равна h, а ее сторона основания — a.

Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:

То есть он определяется длиной стороны a однозначно.

Площадь поверхности

Продолжим рассматривать свойства пирамиды треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.

Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:

Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.

Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:

Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.

Полная площадь поверхности фигуры равна:

S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a

Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:

Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной

Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.

В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.

Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.

Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a1 и a2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна ab. Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:

S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)

Здесь первое слагаемое — это площадь боковой поверхности, второе слагаемое — площадь треугольных оснований.

Объем фигуры рассчитывается следующим образом:

V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)

Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.

Геометрические фигуры. Правильная пирамида.

Правильная пирамида — когда основанием пирамиды является правильный многоугольник, а высота проецируется в центр основания (или проходит через него).

В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.

Правильная пирамида обладает следующими свойствами:

Формулы для правильной пирамиды.

V — объем пирамиды,

S — площадь основания пирамиды,

h — высота пирамиды,

Sb — площадь боковой поверхности пирамиды,

a — апофема (не путать с α) пирамиды,

P — периметр основания пирамиды,

n — число сторон основания пирамиды,

b — длина бокового ребра пирамиды,

α — плоский угол при вершине пирамиды.

Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:

V — объем правильной пирамиды,

h — высота правильной пирамиды,

n — количество сторон правильного многоугольника, основания правильной пирамиды,

a — длина стороны правильного многоугольника.

Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:

где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),

n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),

a — сторона правильного многоугольника (AB, BC, CD, DE либо EA) — основания правильной пирамиды,

h — высота правильной пирамиды (OS).

Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.

Нужно разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы — треугольники, квадраты, отрезки. Дальше, к отдельным элементам применяем знания из курса планиметрии, что очень упрощает определение ответа.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Формулы для правильной треугольной пирамиды.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

V — объем правильной пирамиды, которая имеет в основании правильный (равносторонний) треугольник,

h — высота правильной пирамиды,

a — длина стороны основания правильной пирамиды.

Так как правильная треугольная пирамида — это частный случай правильной пирамиды, значит, формулы, верные для правильной пирамиды, оказываются верными и для правильной треугольной.

Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.

Пирамидой в стереометрии называется объёмная фигура, образуемая многоугольником и расположенной вне
его плоскости точкой. Эта точка соединена с точками в вершинах многоугольника отрезками, которые
называются рёбрами пирамиды. Сам многоугольник — это основание пирамиды. При треугольном
основании пирамида будет носить название треугольной, при четырёхугольном – четырёхугольной, и так
далее.

Приведём варианты вычисления апофемы правильной четырёхугольной пирамиды в зависимости от исходных
данных пространственной фигуры. Заданная пирамида обозначена SABCD, где S – вершина, а ABCD –
вершины квадрата в основании.

Вычисление апофемы при известных значениях высоты пирамиды и ребра основания

Апофема пирамиды при известных значениях её высоты SO и стороны квадрата в основании AD=DC=BC=AB
вычисляется по формуле гипотенузы для прямоугольного треугольника SOK. В этом треугольнике одним из
катетов будет высота SO, вторым – половинное значение заданной стороны основания OK=1/2 AD.
Значит: SK²= OK²+ SO² или SK= (1/2 AD) ²+ SO²)
или

L = √ (H² + (a / 2 tan45º)²)

где H — высота, a — ребро основания.

Пример. Пусть высота SO = 4, а сторона основания AD = 6. Тогда апофема L находится
следующим образом: L = √ (( 6 / 2)² + 4²) = 5

Вычисление апофемы при известном значении бокового ребра и ребра основания

При известном значении бокового ребра SD и стороны основания CD для нахождения апофемы SK также
используется теорема Пифагора. В этом случае рассматривается прямоугольный треугольник SKD,
гипотенузой которого выступает боковое ребро SD, одним из катетов – отрезок стороны основания DK, а
вторым – апофема SK. Первый катет равен половине стороны квадрата в основании, поскольку апофема
равнобедренного треугольника, коим является боковая грань пирамиды, является для него и медианой,
делящей основание пополам: DK = 1/2 DC. Отсюда следует, что SD²= DK²+ SK², а SK²= SD²- DK² или, подставляя, получаем выражение:
SK² = SD² — (1/2 DC)², откуда SK = √(SD² — (1/2 DC )²)
или

L = √ (b² — (a / 2)²)

где a — ребро основания, b — боковое ребро.

Пример. Пусть боковое ребро SD равно 5, а сторона основания – 6. Тогда, подставляя
указанные числовые значения, вычисляем значение апофемы: SK =5² – (6 / 2)² ) = 4.

Нахождение апофемы при заданной площади боковых поверхностей и известном ребре основания

Апофема при известной суммарной площади боковых поверхностей Sбок и значении ребра основания CD
вычисляется по следующей схеме. Вначале следует определить площадь каждой из четырёх граней, что
легко сделать, зная, что все они для правильной пирамиды равны между собой. Поэтому общая площадь
делится на четыре равные части: Ssdc = Sбок /4. Затем, при известном
значении площади боковой грани и ребра основания, по формуле площади равнобедренного треугольника
находится его высота, то есть искомая апофема: Ssdc = ½ SK * CD откуда
SK = 2Ssdc / CD. Или, подставляя выведенную площадь грани, SK = 2(Sбок /4) / CD. Преобразив, получаем: SK = Sбок /2CD
или

L = Sбок / 2a

где Sбок — площадь боковых поверхностей, a — ребро основания.

Пример. Допустим, в задаче задана общая площадь боковой поверхности правильной
четырёхугольной пирамиды Sбок = 48 и ребро основания CD = 6. Найдём, используя выведенную формулу,
значение апофемы: SK = 48 / 2 * 6 = 4.

Вычисление апофемы при заданной площади боковых поверхностей и площади основания

Апофема при известных значениях суммарной площади боковых поверхностей Sбок и площади основания Sосн
вычисляется следующим образом. В первую очередь следует найти ребро основания. Площадь основания
пирамиды – квадрата – является произведением двух его сторон либо квадратом стороны. Значит,
значение стороны основания вычисляем по формуле Sосн = CD² или CD = √Sосн. Теперь, зная суммарную площадь боковой поверхности
четырёхугольной пирамиды, делением на 4 находим площадь боковой грани – равнобедренного треугольника
SCD: Ssdc = Sбок / 4. Его площадь также вычисляется, как произведение
основания на высоту, делённое на два: Ssdc =½CD * SK или Sбок/4 =½CD * SK отсюда SK = 2 (Sбок / 4) / CD
или, сократив и подставив выражение для CD: SK = Sбок / 2 Sосн, где SK –
высота грани и искомая апофема.

L = Sбок / (2 * √Sосн)

где Sбок — площадь боковых поверхностей, Sосн — площадь основания.

Пример. Возьмём для примера численные значения, Sбок = 48 и Sосн = 36. Подставляя,
получаем результат: SK = 48 / (2 * √36) = 4.

Вычисление апофемы при заданной площади боковых поверхностей и радиусе описанной вокруг основания
окружности

Найдём апофему при известной площади боковых поверхностей Sбок и радиусе R описанной вокруг основания
ABCD окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник COD, образованный половинами диагоналей этого
квадрата CO и OD, равными заданному радиусу, и гранью в основании CD. Эта сторона в данном
треугольнике выступает гипотенузой. Её можно вывести из теоремы Пифагора: CD² = OD² + OC²,
откуда CD = √(OD²+OC²) или CD = √2R²= R√2.
Теперь определим площадь каждой боковой грани. Она находится путём деления площади полной боковой
поверхности пирамиды на 4: Ssdc = Sбок / 4. По формуле, связывающей
площадь равнобедренного треугольника SDC с его высотой и основанием, выделяем высоту-апофему: Ssdc =½CD * SK Или, подставляя выведенное выше выражение: Sбок/4 = ½CD * SK. Далее преобразовываем для выделения SK: SK=(2 Sбок/4) / CD или, подставляя выведенное для CD выражение и
сокращая, получаем: SK= Sбок / 2R * √2.

L = Sбок / 2R * √2

где Sбок — площадь боковых поверхностей, R — радиус описанной окружности.

Пример. Подставляя для примера числовые значения R = 3√2 и Sбок = 48, получаем в
результате значение апофемы: SK=48 / 2 * (3√2 * √2)=4.

Способ вычисления апофемы при известной площади боковых поверхностей и диагональ основания

Поскольку стороны квадрата ABCD в основании равны и угол между смежными сторонами прямой, значения
этих сторон можно найти, рассматривая прямоугольный треугольник ADC, где заданная диагональ AC
является гипотенузой, а неизвестные стороны AD и CD – равными катетами. Вычисляем их значения по
теореме Пифагора: AC² = AD² + CD² = 2CD² откуда CD = √(AC² / 2)  = AC / √2. Найденное
значение стороны основания позволяет найти апофему — высоту боковой грани SK — при
известной площади этой грани. Суммарная площадь боковой поверхности заданной фигуры Sбок даёт
возможность найти площадь каждой её боковой плоскости. То есть Sscd = Sбок / 4. А теперь Sscd иначе выразим через высоту и основание
грани: Sscd = 1/2 * (SK * CD) или, подставляя ранее выведенную формулу для
CD: Sscd = 1/2 * (SK * ( AC / √2). Теперь все данные кроме искомой апофемы
SK у нас присутствуют, поэтому преобразуем выражение, заменяя SSCD и сокращая: SK= 2 * √2 * Sscd / AC = 2 * √2 (Sбок / 4) / AC = Sбок * √2 / 2АС.

L = Sбок / (2 * √(D² / 2))

где Sбок — площадь боковых поверхностей, D — диагональ основания.

Пример. Допустим, диагональ в основании равна 6√2, а суммарная площадь боковых
граней – 48. Тогда, подставляя числовые значения в полученное выше выражение, вычисляем: SK = 48√2 / 2 * (6√2) = 4

Нахождение апофемы при заданной площади боковых поверхностей и известном периметре основания

Исходными данными, на которые можно опереться при вычислении апофемы для этой задачи, являются Sбок и
Росн. Известное значение периметра квадрата ABCD в основании пирамиды Росн даёт возможность найти
значение его сторон, которые равны между собой как стороны квадрата и находятся путём деления
периметра на 4 равные части: AB = BC = CD = AD = Рabcd / 4. Теперь ребро
CD, одновременно являясь основанием боковой грани SCD, позволяет вычислить её высоту SK – искомую
апофему, при известном значении боковой площади пирамиды. Площадь каждой из 4-х граней найдём путём
деления общей площади на равные части: Sscd= Sбок/4. Далее из формулы
площади равнобедренного треугольника SCD через высоту и основание найдём апофему SK.  Sscd = 1/2 * (SK * CD) или SK = 2* Sscd / CD. Подставляя
выведенные выше через общую площадь и периметр основания значения площади грани и ребро её основания
соответственно, получаем: SK = 2 * (Sбок / 4) / (Рabcd / 4). Или SK = 2Sбок / Рabcd

L = Sбок / (P / 2)

где Sбок — площадь боковых поверхностей, P — периметр основания.

Пример. Предположим, что площадь боковой поверхности Sбок равно 48, периметр
основания – 24. Подставляя данные числовые значения, получаем следующий результат: SK= 2 * (48 / 4) / (24 / 4) = 4.

Вычисление апофемы при заданных значениях площади полной поверхности пирамиды и ребра её
основания

Полная площадь поверхности Sполн в этом случае представляет собой сумму полной площади боковой
поверхности Sбок фигуры и площади квадрата в её основании – Sabcd, сторона которого CD задана
условием задачи. Апофему удобнее всего найти через площадь боковой грани, имея значение её
основания: Sscd = 1/2 * (SK * CD). Преобразуя формулу, получаем: SK = 2* Sscd / CD. Вычтя из площади полной поверхности пирамиды площадь
основания, которую можно найти при его заданном ребре, получаем полную площадь боковой поверхности:
Sполн= Sбок + Sabcd, откуда Sбок= Sполн — Sabcd. Здесь площадь квадрата в основании легко
найти, зная его ребро: Sabcd = CD² и тогда, подставляя: Sбок = Sполн — CD². Разделив Sбок на 4 равные части, получим
площадь боковой грани: Sбок / 4 = (Sполн- CD²) / 4= Sscd. Теперь,
подставив в формулу для вычисления высоты боковой грани найденное выражение, получим: SK = 2* ((Sполн — CD²) /4) / CD или, выполнив сокращение: SK = (Sполн — CD²) /2CD.

L = (Sпол / a — a) / 2

где Sполн — площадь полной поверхности, a — ребро основания.

Пример. Допустим, нам задана общая площадь фигуры S = 84, а ребро её основания – CD
= 6. Тогда, подставляя значения в полученное выражение, находим:
SK = (84 — 62) / (2 * 6) = 4.

Правильной пирамидой называется такая фигура, в основании которой лежит многоугольник с равными
сторонами, то есть правильный. При этом проекция вершины на его плоскость является центром вписанной
в это многоугольное основание и описанной вокруг него окружностей. Отличительными признаками
правильной четырёхугольной пирамиды являются квадрат в основании и лежащая в точке пересечения его
диагоналей проекция вершины на этот квадрат.

Боковые плоскости (грани) правильной пирамиды – равнобедренные треугольники. Основание каждого из них
одновременно является и стороной основания пирамиды.
Проведенная к основанию высота боковых
граней, имеющая для каждой из них одинаковое значение, называется апофемой. Это понятие применяется
при решении множества геометрических задач, в которых фигурирует правильная пирамида с квадратом в
основании. В зависимости от других исходных данных, апофема даёт возможность вычислить площадь
боковой поверхности фигуры, её высоту, длину ребер и сторону основания.

Боковое ребро правильной пирамиды, формула

Боковое ребро правильной пирамиды находится по формуле [ b = sqrt{ h^2 + Big( frac{a}{2sin(frac{180°}{n})} Big) ^2 } ]

b — Боковое ребро правильной пирамиды (SA или SB или SC или SD или SE)
n — число сторон правильного многоугольника — основания правильной пирамиды
a — сторона правильного многоугольника (AB или BC или CD или DE или EA) — основания правильной пирамиды

h — высота правильной пирамиды (OS)

Боковое ребро правильной пирамиды выводится из следующих формул

Синим цветом на рисунке изображена описанная вокруг основания правильной пирамиды окружность. Треугольник SOE прямоугольный.
Его стороны: OS — высота правильной пирамиды (h), OE —
радиус описанной окружности вокруг правильного многоугольника (основание правильной пирамиды (R)),
SE — Боковое ребро правильной пирамиды (b).
По теореме Пифагора

[ SE = b = sqrt{ h^2 + R^2 } ]

подставив сюда только радиус описанной окружности получается формула (1).

Вычислить, найти боковое ребро правильной пирамиды по формуле(1)

Боковое ребро правильной пирамиды	стр. 277