Как найти боковую грань правильной шестиугольной пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник.

Обозначения

• $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида
• $O$ — центр основания пирамиды
• $a$ — длина стороны основания пирамиды
• $h$ — длина бокового ребра пирамиды
• $S_{text{осн.}}$ — площадь основания пирамиды
• $V_{text{пирамиды}}$ — объем пирамиды

Площадь основания пирамиды

В основаниях пирамиды находится правильный шестиугольник со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь основания пирамиды равна $$ S_{text{осн.}}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2 $$

Правильный шестиугольник в основании пирамиды

По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a, angle EOA=120^{circ}$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=acdotsqrt{2(1-cos EOA)}=sqrt{3}cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=sqrt{3}cdot a $, $FM=MO=frac{1}{2}cdot a$.

Находим $SO$

Прямая $SO$ является высотой пирамиды, поэтому $angle SOF=90^{circ}$. Треугольник $SOF$ прямоугольный, в нем $FO=a, FS=h$. По свойствам прямоугольного треугольника $$ SO=sqrt{FS^2-FO^2}=sqrt{h^2-a^2} $$

Объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется как треть произведения площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной пирамиды является отрезок $SO$. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{text{пирамиды}}=frac{1}{3}cdot S_{text{осн.}}cdot SO=frac{sqrt{3}}{2}cdot a^2 cdot sqrt{h^2-a^2} $$

Находим $ST$ и $TO$

Пусть точка $T$ является серединой ребра $AF$. Треугольник $AOF$ правильный, поэтому, по свойствам правильного треугольника $$ TO=frac{sqrt{3}}{2}cdot a $$ Треугольник $STO$ прямоугольный, высота $SO$ равна $sqrt{h^2-a^2}$. По теореме Пифагора $$ ST=sqrt{SO^2+TO^2}=sqrt{h^2-frac{1}{4}cdot a^2} $$

Стереометрия, как раздел геометрии в пространстве, изучает свойства призм, цилиндров, конусов, шаров, пирамид и других объемных фигур. Данная статья посвящена подробному рассмотрению характеристик и свойств шестиугольной правильной пирамиды.

Какая пирамида будет изучаться

Правильная шестиугольная пирамида представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним и равноугольным шестиугольником, и шестью одинаковыми треугольниками равнобедренными. Эти треугольники могут быть также равносторонними при определенных условиях. Эта пирамида ниже показана.

Здесь изображена одна и та же фигура, только в одном случае она повернута боковой гранью к читателю, а в другом — боковым ребром.

Правильная шестиугольная пирамида имеет 7 граней, которые были названы выше. Также ей принадлежат 7 вершин и 12 ребер. В отличие от призм, у всех пирамид имеется одна особая вершина, которая образована пересечением боковых треугольников. Для правильной пирамиды она играет важную роль, поскольку опущенный с нее на основание фигуры перпендикуляр является высотой. Далее высоту будем обозначать буквой h.

Показанная пирамида называется правильной по двум причинам:

• в ее основании находится шестиугольник с равными длинами сторон a и с одинаковыми углами по 120^o;
• высота пирамиды h пересекает шестиугольник точно в его центре (точка пересечения лежит на одинаковом расстоянии от всех сторон и от всех вершин шестиугольника).

Площадь поверхности

Свойства правильной пирамиды шестиугольной начнем рассматривать с определения ее площади. Для этого сначала полезно привести развертку фигуры на плоскости. Схематическое ее изображение показано ниже.

Видно, что площадь развертки, а значит, и всей поверхности рассматриваемой фигуры, равна сумме площадей шести одинаковых треугольников и одного шестиугольника.

Для определения площади шестиугольника S₆ воспользуемся универсальной формулой для правильного n-угольника:

S_n = n/4*a²*ctg(pi/n) =>

S₆ = 3*√3/2*a².

Где буквой a обозначена длина стороны шестиугольника.

Площадь треугольника S₃ боковой стороны найти можно, если знать величину его высоты h_b:

S₃ = 1/2*h_b*a.

Поскольку все шесть треугольников равны между собой, то получаем рабочее выражение для определения площади шестиугольной пирамиды с правильным основанием:

S = S₆ + 6*S₃ = 3*√3/2*a² + 6*1/2*h_b*a = 3*a*(√3/2*a + h_b).

Объем пирамиды

Так же, как и площадь, объем шестиугольной правильной пирамиды является важным ее свойством. Этот объем рассчитывается по общей формуле для всех пирамид и конусов. Запишем ее:

V = 1/3*S_o*h.

Здесь символом S_o названа площадь шестиугольного основания, то есть S_o = S₆.

Подставляя в формулу для V записанное выше выражение для S₆, приходим к конечному равенству для определения объема пирамиды шестиугольной правильной:

V = √3/2*a² *h.

Пример геометрической задачи

В шестиугольной пирамиде правильной боковое ребро в два раза больше длины стороны основания. Зная, что последнее равно 7 см, необходимо вычислить площадь поверхности и объем данной фигуры.

Как можно догадаться, решение этой задачи предполагает использование полученных выше выражений для S и V. Тем не менее сразу ими воспользоваться не получится, поскольку мы не знаем апофему и высоту правильной пирамиды шестиугольной. Займемся их вычислением.

Апофему h_b можно определить, рассмотрев треугольник прямоугольный, построенный на сторонах b, a/2 и h_b. Здесь b — длина бокового ребра. Используя условие задачи, получаем:

h_b = √(b²-a²/4) = √(14²-7²/4) = 13,555 см.

Высоту h пирамиды определить можно точно так же, как апофему, только рассматривать теперь следует треугольник со сторонами h, b и a, находящийся внутри пирамиды. Высота будет равна:

h = √(b² — a²) = √(14² — 7²) = 12,124 см.

Видно, что рассчитанное значение высоты меньше такового для апофемы, что справедливо для любой пирамиды.

Теперь можно воспользоваться выражениями для объема и площади:

S = 3*a*(√3/2*a + h_b) = 3*7*(√3/2*7 + 13,555) = 411,96 см²;

V = √3/2*a²*h = √3/2*7²*12,124 = 514,48 см³.

Таким образом, для однозначного определения любой характеристики правильной шестиугольной пирамиды необходимо знать два любых ее линейных параметра.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Формула для вычисления площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды

Через сторону и боковую грань $S=3 a sqrt{b^{2}-frac{a^{2}}{4}}$, где:

a — сторона основания

b — боковая грань

Через стороны и высоту $S=frac{6 cdot a}{2} sqrt{h^{2}+left(frac{a}{2 cdot operatorname{tg}left(30^{circ}right)}right)^{2}}$, где:

a — сторона основания

h — высота пирамиды