Как найти боковую поверхность круглого конуса

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления площади конуса

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности конуса равняется произведению числа π на радиус основания и на длину образующей.

S_бок. = πRl

Образующая (l) соединяет вершину конуса и границу основания, другими словами, точку на окружности.

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется так:

S_осн. = πR²

Учитывая то, что диаметр круга равняется двум его радиусам (d = 2R), данную формулу можно представить в виде:

S_осн. = π(d/2)²

3. Полная площадь

Для вычисления суммарной площади конуса следует сложить площади боковой поверхности и основания:

S_полн. = πRl + πR² = πR(l + R)

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.

Решение:
Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см².

Задание 2
Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):
l² = (4 см)² + (3 см)² = 25 см².
l = 5 см.

Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см)  = 75,36 см².

Каждая объемная фигура, которая имеет конечные линейные размеры, обладает в пространстве некоторой площадью поверхности. В статье рассмотрим, чему равна площадь боковой поверхности конуса, приведем соответствующие формулы и покажем, откуда они выводятся.

Что такое конус?

В общем случае конусом в геометрии называют любую пространственную фигуру, которая образована в результате соединения фиксированной точки пространства со всеми точками некоторой плоской кривой. Фиксированная точка называется вершиной фигуры. Отрезки, соединяющие ее с кривой, получили название генератрис, или образующих, поскольку их совокупность образует коническую поверхность. Кривая, на которую опирается эта поверхность, называется директрисой, то есть направляющей. Директрисой может быть произвольная кривая, например, гипербола, окружность, парабола, эллипс и так далее. Образованный на них конус будет гиперболическим, круглым, параболическим и эллиптическим, соответственно.

Вам будет интересно:Пятерка популярных самарских университетов

Выше рисунок демонстрирует пример двух одинаковых эллиптических конусов, обращенных друг к другу своими вершинами.

Круглый конус

Вам будет интересно:Что значит «курва» для поляка, а что – для древних римлян?

Площадь боковой поверхности конуса будем рассматривать на примере круглой прямой фигуры. Такой конус представляет собой круглое основание, на которое опирается коническая поверхность. Эта фигура показана ниже.

Все генератрисы этой фигуры равны между собой. Их длина всегда больше радиуса основания. Расстояние от вершины конуса до его круглого основания называется высотой. Высота пересекает круг в его центре, поэтому конус называется прямым.

Получить этот конус не представляет никакой сложности. Для этого следует взять любой треугольник, имеющий прямой угол, и вращать его вокруг одного из катетов так, как показано ниже на схеме.

Если обозначить гипотенузу этого треугольника буквой g, а его катеты h и r, тогда будет справедливо равенство:

g2 = h2 + r2.

Для полученного конуса g — это генератриса, h — высота, r — радиус круга.

Чему равна боковая поверхность конуса с круглым основанием?

Ответить на этот вопрос проще всего, если разрезать коническую поверхность вдоль одной из генератрис и развернуть ее на плоскости. Получившаяся фигура называется разверткой боковой поверхности. Она показана на главном фото к статье, где также приводится круг — основание фигуры.

Эта развертка показывает, что площадь боковой поверхности конуса равна площади соответствующего кругового сектора. Он ограничен двумя генератрисами g, которые представляют радиус полного круга, и дугой. Длина последней точно равна длине окружности основания. Получим формулу для площади этого сектора.

Сначала определим угол в радианах, соответствующий дуге сектора. Его можно найти с использованием следующей пропорции:

2*pi ==> 2*pi*g;

x ==> 2*pi*r.

Здесь 2*pi*g — это длина всей окружности, ограничивающей рассматриваемый сектор, 2*pi*r — это длина дуги сектора. Угол в радианах x сектора будет равен:

x = 2*pi*r*2*pi/(2*pi*g) = 2*pi*r/g.

Для определения площади рассматриваемого сектора, следует воспользоваться пропорцией через соответствующие площади. Имеем:

2*pi ==> pi*g2;

2*pi*r/g ==> Sb.

Здесь pi*g2 является площадью круга, построенного с помощью образующей g, Sb — площадь боковой поверхности конуса, равная площади рассматриваемого кругового сектора. Результатом решения пропорции будет конечная формула для Sb:

Sb = pi*g2*2*pi*r/g/(2*pi) = pi*r*g.

Таким образом, чтобы найти площадь конической поверхности, достаточно умножить радиус фигуры на ее директрису и на число пи.

При получении конечной формулы для Sb через пропорции использовалось свойство равенства угла полной окружности числу 2*pi радиан.

Понятие о конусе усеченном

Пусть имеется круглый прямой конус. Возьмем плоскость и отсечем от этой фигуры верхнюю часть таким образом, чтобы секущая плоскость прошла параллельно основанию конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура называется прямым усеченным конусом с параллельными основаниями. Он показан на рисунке ниже.

В отличие от исходной фигуры, усеченный конус образован тремя поверхностями:

• малое круглое основание;
• большое круглое основание;
• часть конической поверхности.

Последняя в списке является боковой поверхностью для рассматриваемой фигуры.

Для усеченной фигуры справедливы те же понятия, что для полного конуса. Так, расстояние между его основаниями — это высота h, каждое основание имеет свой радиус (r1 и r2). Часть генератрисы исходного конуса теперь является генератрисой конуса усеченного. Обозначим ее буквой l.

Между отмеченными линейными параметрами существует следующая связь:

l2 = h2 + (r1-r2)2.

Боковая поверхность усеченной фигуры

Выше было сказано, что представляет собой боковая поверхность для конуса усеченного. Разрезая ее вдоль одной из генератрис, получим следующий результат.

Два круга представляют собой основания. Четырехугольная фигура, ограниченная двумя прямыми отрезками и двумя дугами — это искомая боковая поверхность усеченного конуса, площадь которой необходимо найти. Решим эту задачу.

Заметим, что эта поверхность представляет собой сектор круга, у которого вырезана центральная часть. Обозначим радиус внешней дуги как g. Тогда радиус внутренней дуги будет равен g — l. Используя результаты решения предыдущей пропорции при определении угла сектора x, можно записать следующее равенство:

x = 2*pi*r1/g = 2*pi*r2/(g-l) =>

g = l*r1/(r1-r2).

Искомая площадь Sb равна разнице площадей секторов, построенных с помощью радиусов g и g-l. Используя формулу для площади сектора, полученную выше, можно записать:

Sb = pi*g*r1 — pi*(g-l)*r2.

Подставляя в это выражение формулу для g, получаем конечное равенство для площади боковой поверхности конуса усеченного:

Sb = pi*l*(r1+r2).

Задача на определение площади конической поверхности

Решим простую задачу. Необходимо найти площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его высота h равна диаметру основания, а генератриса составляет 15 см.

Запишем соответствующую формулу для Sb, из которой будет видно, какие величины следует рассчитать. Имеем:

Sb = pi*r*g.

Значение генератрисы g известно из условия задачи. Остается определить радиус фигуры.

Генератриса, высота и радиус связаны друг с другом следующим равенством:

g2 = h2 + r2.

Из условия следует, что 2*r = h. Подставляя значение h в выражение, получим:

g2 = (2*r)2 + r2 = 5*r2 =>

r = g/√5.

Теперь формулу для радиуса основания подставляем в выражение для Sb, получаем:

Sb = pi/√5*g2.

Мы получили конечную формулу, из которой видно, что площадь искомой поверхности зависит только от длины генератрисы. Подставляя g = 15 см, получаем ответ на задачу: Sb ≈ 315,96 см2.

При рассмотрении фигур в пространстве часто возникают проблемы определения их площади поверхности. Одной из таких фигур является конус. Рассмотрим в статье, что представляет собой боковая поверхность конуса с круглым основанием, а также усеченного конуса.

Конус с круглым основанием

Прежде чем переходить к рассмотрению боковой поверхности конуса, покажем, что это за фигура и как ее получить геометрическими методами.

Возьмем прямоугольный треугольник ABC, у которого AB и AC являются катетами. Поставим этот треугольник на катет AC и будем его вращать вокруг катета AB. В результате стороны AC и BC опишут две поверхности фигуры, которая показана ниже.

Полученная вращением фигура называется круглым прямым конусом. Круглый он потому, что его основание является кругом, а прямой потому, что проведенный из вершины фигуры (точка B) перпендикуляр пересекает круг в его центре. Длина этого перпендикуляра называется высотой. Очевидно, что она равна катету AB. Высоту принято обозначать буквой h.

Помимо высоты, рассматриваемый конус описывается еще двумя линейными характеристиками:

• образующая, или генератриса (гипотенуза BC);
• радиус основания (катет AC).

Радиус обозначим буквой r, а генератрису — g. Тогда, принимая во внимание теорему Пифагора, можно записать важное для рассматриваемой фигуры равенство:

g² = h² + r²

Коническая поверхность

Совокупность всех генератрис образует коническую или боковую поверхность конуса. По внешнему виду ее трудно сказать, какой плоской фигуре она соответствует. Последнее важно знать при определении площади конической поверхности. Для решения этой проблемы используют метод развертки. Он заключается в следующем: вдоль произвольной генератрисы мысленно разрезают поверхность, а затем разворачивают ее на плоскости. При таком способе получения развертки образуется приведенная ниже плоская фигура.

Как можно догадаться, круг соответствует основанию, а вот круговой сектор — это коническая поверхность, площадь которой нас интересует. Сектор ограничен двумя генератрисами и дугой. Длина последней точно равна периметру (длине) окружности основания. Эти характеристики однозначно определяют все свойства кругового сектора. Мы не будем приводить промежуточные математические выкладки, а запишем сразу конечную формулу, пользуясь которой можно вычислить площадь боковой поверхности конуса. Формула имеет вид:

S_b = pi*g*r

Площадь конической поверхности S_b равна произведению двух параметров и числа Пи.

Усеченный конус и его поверхность

Если взять обычный конус и параллельной плоскостью отсечь у него верхушку, то оставшаяся фигура будет представлять усеченный конус. Его боковая поверхность ограничена двумя круглыми основаниями. Обозначим их радиусы как R и r. Высоту фигуры обозначим h, а генератрису — g. Ниже показана развертка из бумаги для этой фигуры.

Видно, что боковая поверхность уже не является круговым сектором, она меньше по площади, поскольку от нее отрезали центральную часть. Развертка ограничена четырьмя линиями, две из них — это прямые отрезки-генератрисы, две другие — это дуги с длинами соответствующих окружностей оснований конуса усеченного.

Боковая поверхность S_b рассчитывается так:

S_b = pi*g*(r + R)

Генератриса, радиусы и высота связаны между собой следующим равенством:

g² = h² + (R — r)²

Задача с равенством площадей фигур

Дан конус, у которого высота равна 20 см, а радиус основания составляет 8 см. Необходимо найти высоту усеченного конуса, боковая поверхность которого будет иметь ту же площадь, что у данного конуса. Усеченная фигура построена на том же основании, а радиус верхнего основания равен 3 см.

В первую очередь запишем условие равенства площадей конуса и усеченной фигуры. Имеем:

S_b1 = S_b2 =>

pi*g₁*R = pi*g₂*(r + R)

Теперь запишем выражения для генератрис каждой фигуры:

g₁ = √(R² + h₁²);

g₂ = √((R-r)² + h₂²)

Подставим g₁ и g₂ в формулу для равенства площадей и возведем в квадрат левую и правую части, получим:

R²*(R² + h₁²) = ((R-r)² + h₂²)*(r + R)²

Откуда получаем выражение для h₂:

h₂ = √(R²*(R² + h₁²)/(r + R)² — (R — r)²)

Не будем упрощать это равенство, а просто подставим известные из условия данные:

h₂ = √(8²*(8² + 20 ²)/(3 + ² — (8 — 3)²) ≈ 14,85 см

Таким образом, чтобы были равны площади боковых поверхностей фигур, усеченный конус должен иметь параметры: R = 8 см, r = 3 см, h₂ ≈ 14,85 см.

Просмотры: 10

Конусом (прямым круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус является телом вращения.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.

Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.

Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.

Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.

Круговой конус — конус, у которого в основании круг.

Прямой круговой конус (просто конус) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.

Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.

Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.

Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
См.Рис.2.

Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Площадь боковой поверхности (круглого) конуса равна произведению половины длины окружности основания (C) на образующую (l):
$$S_{бок}=frac{1}{2}cdot Cl=picdot rl$$
, где r – радиус основания, l – длина образующей.

Площадь полной поверхности конуса — сумма площадей основания конуса и его боковой поверхности, которая записывается формулой:
$$S_{полн}=picdot r(l+r)$$
, где r — радиус основания, l — длина образующей.

Объем всякого конуса равен трети произведения площади основания (S) на высоту (h):
$$V=frac{1}{3}cdot Sh$$
Объем круглого конуса:
$$V=frac{1}{3}cdot Sh=frac{1}{3}cdotpi r^2 cdot h$$

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.
См.Рис.3.

Формулы для усечённого конуса (См.Рис.4):
$$ S_{бок}=picdot lcdot (R+r)
\ S_{полн}=S_{бок}+pi(R^2+r^2)
\ V=frac{1}{3}picdot h(R^2+Rcdot r+r^2)
$$

---

---

Пример 1. Высота конуса равна 4 , а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

Видео-решение.

Высота конуса равна 4 , а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

---

---

Площадь поверхности конуса