Как найти боковую сторону правильной четырехугольной призмы

Правильная четырехугольная призма

Определение.

Правильная четырехугольная призма — это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро — это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость — плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение — границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) — это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

Элементы правильной четырехугольной призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

Свойства правильной четырехугольной призмы

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма» подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия —  призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .   

15306.1214
 

 Прямая призма |

Описание курса

| Куб 

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

1. Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

V = a³

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

• длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h),
• длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²,
• площадь основания: Sосн = V / h,
• площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Решение.

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

10 = 4h

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Решение.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Решение.

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба

Проститутки Ростов на Дону rostovchanotki.ru

Задача 1. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна а площадь поверхности равна

Решение: + показать

---

Задача 2. В правильной четырёхугольной призме  известно, что   Найдите угол между диагоналями   и Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и боковое ребро равно Найдите объем призмы.

Решение: + показать

---

Задача 4.  Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и высота призмы равна Найдите площадь ее поверхности.

Решение: + показать

---

Задача 5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и Площадь ее поверхности равна . Найдите высоту призмы.

Решение: + показать

---

Задача 6.  Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?

Решение: + показать

---

Задача 7.  В правильной треугольной призме , все ребра которой равны найдите угол между прямыми  и . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 8. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными и и боковым ребром, равным

Решение: + показать

---

Задача 9. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной и острым углом Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в  и равно Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

---

Задача 10. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна а высота —

 Решение: + показать

---

Задача 11.  Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны а боковые ребра равны

Решение: + показать

---

Задача 12. В правильной шестиугольной призме   все ребра равны . Найдите расстояние между точками   и .

Решение: + показать

---

Задача 13. В правильной шестиугольной призме   все ребра равны Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 14. В правильной шестиугольной призме  , все ребра которой равны найдите угол между прямыми    и . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

---

Задача 15. В правильной шестиугольной призме   все ребра равны Найдите тангенс угла

Решение: + показать

---

Задача 16. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили см воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки см до отметки см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см

Решение: + показать

---

Задача 17. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает  см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение: + показать

---

Задача 18. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Решение: + показать

---

Задача 19. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен Найдите объем исходной призмы.

Решение: + показать

---

Задача 20.  Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

---

Задача 21. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами а боковые ребра равны   и наклонены к плоскости основания под углом

Решение: + показать

---

Задача 22. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно и отстоит от других боковых ребер на и Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение: + показать

---

Задача 23.  В правильной треугольной призме  стороны оснований равны  боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер , и и точку

Решение: + показать

---

Задача 24. В правильной треугольной призме стороны оснований равны боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер и

Решение: + показать

---

Задача 25.  Объём куба равен Построено сечение проходящее через середины рёбер  и и параллельное ребру Найдите объём треугольной призмы

Решение: + показать

---

Задача 26.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки   правильной треугольной призмы  площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

Задача 27.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки   правильной треугольной призмы  площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

---

Задача 28. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки  правильной шестиугольной призмы  площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

---

Задача 29. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы   площадь основания которой равна а боковое ребро равно

Решение: + показать

---

Вы можете пройти тест «Призма»

Призма и ее элементы. Свойства правильной четырехугольной призмы

Призма является достаточно простой геометрической объемной фигурой. Тем не менее у некоторых школьников при определении ее основных свойств возникают проблемы, причина которых, как правило, связана с неправильно используемой терминологией. В данной статье рассмотрим, какие призмы бывают, как они называются, а также подробно охарактеризуем правильную четырехугольную призму.

Призма в геометрии

Изучение объемных фигур является задачей стереометрии — важной части пространственной геометрии. В стереометрии под призмой понимают такую фигуру, которая образована параллельным переносом произвольного плоского многоугольника на определенное расстояние в пространстве. Параллельный перенос предполагает такое перемещение, при котором поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости многоугольника, полностью исключен.

Вам будет интересно: Холю и лелею. Что значит лелеять и холить?

В результате описанного способа получения призмы образуется фигура, ограниченная двумя многоугольниками, имеющими одинаковые размеры, лежащими в параллельных плоскостях, и некоторым числом параллелограммов. Их количество совпадает с числом сторон (вершин) многоугольника. Одинаковые многоугольники называются основаниями призмы, а площадь их поверхности — это площадь оснований. Параллелограммы, соединяющие два основания, образуют боковую поверхность.

Элементы призмы и теорема Эйлера

Поскольку рассматриваемая объемная фигура представляет собой полиэдр, то есть образована набором пересекающихся плоскостей, то она характеризуется некоторым количеством вершин, ребер и граней. Все они являются элементами призмы.

В середине XVIII века швейцарский математик Леонард Эйлер установил связь между количеством основных элементов полиэдра. Эта связь записывается следующей простой формулой:

Число ребер = число вершин + число граней — 2

Для любой призмы справедливо это равенство. Приведем пример его использования. Предположим, имеется правильная четырехугольная призма. Она изображена на рисунке ниже.

Видно, что число вершин для нее равно 8 (по 4 для каждого четырехугольного основания). Число сторон, или граней составляет 6 (2 основания и 4 боковых прямоугольника). Тогда количество ребер для нее будет равно:

Число ребер = 8 + 6 — 2 = 12

Все их можно посчитать, если обратится к тому же рисунку. Восемь ребер лежат в основаниях, а четыре ребра перпендикулярны этим основаниям.

Полная классификация призм

С этой классификацией важно разобраться, чтобы впоследствии не путаться в терминологии и использовать правильные формулы для вычисления, например, площади поверхности или объема фигур.

Для любой призмы произвольной формы можно выделить 4 признака, которые ее будут характеризовать. Перечислим их:

• По количеству углов многоугольника в основании: треугольная, пятиугольная, восьмиугольная и так далее.
• По типу многоугольника. Он может быть правильным или неправильным. Например, прямоугольный треугольник является неправильным, а равносторонний — правильным.
• По типу выпуклости многоугольника. Он может быть вогнутым или выпуклым. Чаще всего встречаются выпуклые призмы.
• По углам между основаниями и боковыми параллелограммами. Если все эти углы равны 90o, то говорят о прямой призме, если не все из них являются прямыми, то такую фигуру называют косоугольной.

Из всех этих пунктов хотелось бы остановиться подробнее на последнем. Прямая призма также называется прямоугольной. Связано это с тем, что для нее параллелограммы являются прямоугольниками в общем случае (в некоторых случаях они могут быть квадратами).

Для примера на рисунке выше изображена пятиугольная вогнутая прямоугольная, или прямая фигура.

Правильная четырехугольная призма

Основание этой призмы представляет собой правильный четырехугольник, то есть квадрат. Выше на рисунке уже было показано, как выглядит эта призма. Помимо двух квадратов, которые ее ограничивают сверху и снизу, она также включает 4 прямоугольника.

Обозначим сторону основания правильной четырехугольной призмы буквой a, длину ее бокового ребра обозначим буквой c. Эта длина также является высотой фигуры. Тогда площадь всей поверхности этой призмы выразится формулой:

S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)

Здесь первое слагаемое отражает вклад оснований в общую площадь, второе слагаемое — это площадь боковой поверхности.

Учитывая введенные обозначения для длин сторон, запишем формулу для объема рассматриваемой фигуры:

То есть объем вычисляется как произведение площади квадратного основания на длину бокового ребра.

Фигура куб

Все знают эту идеальную объемную фигуру, но мало кто задумывался, что она представляет собой правильную четырехугольную призму, сторона которой равна длине стороны квадратного основания, то есть c = a.

Для куба формулы полной площади поверхности и объема примут вид:

Поскольку куб — это призма, состоящая из 6 одинаковых квадратов, то любую параллельную пару из них можно считать основанием.

Куб — это высокосимметричная фигура, которая в природе реализуется в виде кристаллических решеток многих металлических материалов и ионных кристаллов. Например, решетки золота, серебра, меди и поваренной соли являются кубическими.

Правильная четырехугольная призма

Четырехугольная призма — это многогранник, две грани которого являются равными квадратами, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими квадратами.

Правильная четырехугольная призма — это четырехугольная призма у которой основания квадраты, а боковые грани прямоугольники.

Данное геометрическое тело по своим свойствам и характеристикам соответствует — параллелепипеду.

Основания призмы являются равными квадратами.

Боковые грани призмы являются прямоугольниками.

Боковые рёбра призмы параллельны и равны.

Размеры призмы можно выразить через длину стороны a и высоту h.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Формула площади поверхности четырехугольной призмы:

Правильная четырехугольная призма

Элементы правильной четырехугольной призмы

• Основания ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны и параллельны друг другу
• Боковые грани AA₁D₁D, AA₁B₁B, BB₁C₁C и CC₁D₁D, каждая из которых является прямоугольником
• Боковая поверхность — сумма площадей всех боковых граней призмы
• Полная поверхность — сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
• Боковые ребра AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁.
• Диагональ B₁D
• Диагональ основания BD
• Диагональное сечение BB₁D₁D
• Перпендикулярное сечение A₂B₂C₂D₂ .

Свойства правильной четырехугольной призмы

• Основаниями являются два равных квадрата
• Основания параллельны друг другу
• Боковыми гранями являются прямоугольники
• Боковые грани равны между собой
• Боковые грани перпендикулярны основаниям
• Боковые ребра параллельны между собой и равны
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
• Углы перпендикулярного сечения — прямые
• Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
• Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма» подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна √ 144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√( 12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 ) 2 + 14 2 ) = 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .