Как найти боковую поверхность параллелепипеда
Параллелепипед – фигуры объемная, характеризующаяся наличием граней и ребер. Каждая боковая грань образуется двумя параллельными боковыми ребрами и соответствующими друг другу сторонами обоих оснований. Чтобы найти боковую поверхность параллелепипеда, нужно сложить площади всех его вертикальных или наклонных параллелограммов.
Инструкция
Параллелепипед – пространственная геометрическая фигура, имеющая три измерения: длину, высоту и ширину. В связи с этим он имеет две горизонтальные грани, называемые основаниями, а также четыре боковые. Все они имеют форму параллелограмма, но бывают и частные случаи, которые упрощают не только графическое изображение задачи, но и сами расчеты.
Основными числовыми характеристиками параллелепипеда являются площадь поверхности и объем. Различают полную и боковую поверхность фигуры, которые получаются суммированием площадей соответствующих граней, в первом случае – всех шести, во втором – только боковых.
Чтобы найти боковую поверхность параллелепипеда, сложите площади четырех граней. Исходя из свойства фигуры, согласно которому противолежащие грани параллельны и равны, запишите:S = 2•Sб1 + 2•Sб2.
Рассмотрите для начала общий случай, когда фигура наклонная: основания лежат в параллельных плоскостях, но смещены относительно друг друга:Sб1 = a•h; Sб2 = b•h, где а и b – основания каждого бокового параллелограмма, h – высота параллелепипеда.S = (2•a + 2•b)•h.
Посмотрите внимательно на выражение, стоящее в скобках. Величины a и b можно представить не только, как основания боковых ребер, но и как стороны основания параллелепипеда, тогда это выражение есть не что иное, как его периметр:S = P•h.
Наклонный параллелепипед превращается в прямой, если угол между основанием и боковым ребром становится прямым. Тогда высота параллелепипеда равна длине боковой грани:S = P•с.
Прямоугольный параллелепипед – популярная форма исполнения многих конструкции: домов, предметов мебели, коробок, моделей бытовой техники и пр. Это связано с простотой их возведения/создания, поскольку все углы составляют 90°. Боковая поверхность такой фигуры аналогична такой же числовой характеристике прямого, различие между ними проявляется только при расчете полной поверхности.
Куб – параллелепипед, у которого все измерения равны:S = 4•Sб = 4•a².
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Площадь поверхности параллелепипеда
Содержание:
- Что такое площадь поверхности параллелепипеда
- Формула нахождения полной площади
- Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Примеры решения задач
Что такое площадь поверхности параллелепипеда
Определение
Параллелепипед — четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Частный случай этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
В общем случае площадь — это численное значение, характеризующее размер двумерной геометрической фигуры.
Параллелепипед может существовать только в трех измерениях, поэтому для него вводится понятие площади поверхности. В геометрическом смысле площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Формула нахождения полной площади
В задачах чаще всего имеется дело с прямоугольным параллелепипедом. Для него полная площадь поверхности вычисляется следующим образом:
(S=2cdot(acdot b+acdot c+bcdot c))
где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
Рассмотрим то, как данная формула выводится. Как уже упоминалось выше, площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней. Для наглядности возьмем параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Полная площадь его поверхности равняется сумме площадей всех граней: (S_{пар}=S_{AA_1D_1D}+S_{DD_1C_1C}+S_{CC_1B_1B}+S_{BB_1A_1A}+S_{ABCD}+S_{A_1B_1C_1D_1})
Согласно свойствам параллелепипеда, его противоположные грани равны между собой. Следовательно, нет необходимости вычислять площадь всех шести граней, можно ограничиться тремя, а затем их сумму умножить на 2:
(S_{пар}=2cdotleft(S_{AA_1D_1D}+S_{BB_1A_1A}+S_{ABCD}right))
Грани прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Площадь данной фигуры равняется произведению ее сторон:
(S_▭=acdot b)
У выбранных нами для расчета площади граней есть три общие стороны: AB, AD и AA1. Для удобства обозначим их как a, b и c соответственно.
Таким образом:
(S_{ABCD}=acdot b)
(S_{AA_1D_1D}=acdot c)
(S_{BB_1A_1A}=bcdot c)
Подставим данные значения в обозначенную выше формулу площади параллелепипеда:
(S_{пар}=2cdotleft(acdot b+acdot c+bcdot cright))
Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Кроме полной площади поверхности, в расчетах иногда необходимо вычислить площадь боковой поверхности, то есть совокупность площадей боковых граней, без учета оснований.
Для этого есть три взаимосвязанные формулы:
- (S_{бок}=P_{осн}cdot h,) где (P_{осн}) — периметр основания параллелепипеда; h — высота. На рисунке выше она равняется стороне, обозначенной как c.
- (S_{бок}=2cdot acdot c+2cdot bcdot c), где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
- (S_{бок}=2cdot ccdot(a+b).)
Примеры решения задач
Задача
Вычислить полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Дано: AB = 3, A1B = 6, AD = 5.
Решение
Для расчета полной площади необходимо знать длины трех сторон. В данном случае нам понадобится вычислить длину стороны AA1. Так как длина диагонали A1B известна, сделать это нетрудно.
Воспользуемся теоремой Пифагора:
(A_1B=sqrt{{AA_1}^2+{AB}^2})
Соответственно, ({AA_1}=sqrt{{A_1B}^2-{AB}^2}=sqrt{6^2-3^2}=sqrt{36-9}=sqrt{25}=5)
Подставим известные значения в формулу расчета площади поверхности:
(S=2cdot(acdot b+acdot c+bcdot c))
(S=2cdot(ABcdot AD+ABcdot AA_1+ADcdot AA_1)=2cdot(3cdot5+3cdot5+5cdot5)=2cdot(15+15+25)=2cdot55=110)
Ответ: S=110.
Задача 2
Вычислить длину стороны прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Дано: Sпов=96, Sбок=60, b=6.
Решение
Так как нам известна одна из сторон основания — b а в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, найти вторую сторону проще всего будет через площадь этого основания:
(S=acdot b)
Отличие площади боковой поверхности от полной в том, что в ней не учитываются нижняя и верхняя грани фигуры. Следовательно, их разность будет равняться двум площадям основания. Вычислим это значение:
(S_{пов}-S_{бок}=2cdot acdot b+2cdot acdot c+2cdot bcdot c-2cdot acdot c-2cdot bcdot c=2cdot acdot b)
Преобразуем выражение так, чтобы вычислить длину неизвестной стороны:
(2cdot acdot b=S_{пов}-S_{бок})
(a=frac{S_{пов}-S_{бок}}{2cdot b}=frac{96-60}{2cdot6}=frac{36}{12}=3)
Ответ: a=3.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 4.00 (Голосов: 7)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Прямоугольный параллелепипед является прямой призмой, в основании которой лежит квадрат или прямоугольник, таким образом, совокупность ребер прямоугольного параллелепипеда может представлять собой два или три разных параметра. Если же они все равны между собой, то можно с уверенностью сказать, что такой параллелепипед является кубом, и его ребро можно найти по формулам, приведенным в разделе «Ребро куба».
Ребро прямоугольного параллелепипеда можно найти, зная объем тела и другие ребра:
Также можно рассчитать ребро прямоугольного параллелепипеда через площадь боковой или полной поверхности, тоже зная остальные два ребра:
Как и в случае с кубом, внутри прямоугольного параллелепипеда можно провести диагональ, которая соединит противоположные вершины оснований. В прямоугольном треугольнике диагональ параллелепипеда D будет гипотенузой, а диагональ основания d и ребро a – катетами. Тогда боковое ребро параллелепипеда можно будет найти через теорему Пифагора.
Если дана диагональ параллелепипеда, но нужно найти ребро, не входящее во внутренний прямоугольный треугольник, а являющееся стороной основания, то формула придет к точно такому же виду.
Четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм, является параллелепипедом. В параллелепипеде 6 граней: 4 — боковые и 2 — его основание. Грани, как правило, представляют собой параллелограмм. Противолежащие грани параллельны и равны. Параллелепипеды бывают прямыми и наклонными. У прямого параллелепипеда боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным. У него все шесть граней — прямоугольники, противоположные стороны которых параллельны и равны, а все углы — прямые. Прямоугольный параллелепипед строится на трех ребрах, расположенных друг к другу под прямым углом. Длины этих ребер, обладающих общим концом, называются его измерениями.
Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда можно рассчитать несколькими способами, в зависимости от исходных данных.
Если известны объем (V) и два ребра (b, c) правильного параллелепипеда, третье ребро (а) будет равно частному от деления объема на произведение двух ребер (b×c):
a = V / bc
Если известна площадь боковой поверхности и два ребра (b, c), находим неизвестное ребро (а) путем деления площади боковой поверхности (S) на удвоенную сумму двух известных ребер 2 (b+c).
a = Sб.п. / 2 (a+c)
Если известны два ребра (b, c) и полная площадь поверхности (S п.п.), неизвестное ребро (а) находим по формуле:
a = (Sп.п. — 2bc) / 2 (b+c)
Проведенный внутри параллелепипеда отрезок, соединяющий противоположные вершины двух его оснований, является диагональю параллелепипеда (D). Отрезок, соединяющий противоположные вершины одного из оснований, является диагональю основания (d). Внутри прямоугольного параллелепипеда можно построить прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой будет диагональ параллелепипеда D, одним из катетов — диагональ основания d, другим — боковое ребро параллелепипеда (а). Используя теорему Пифагора, выразим квадрат диагонали основания d (гипотенузу) как сумму квадратов его сторон (катетов) b, с. Отсюда, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда (D) равен сумме квадратов трёх его измерений (а,b,с). Зная ребра и диагональ параллелепипеда, находим боковое ребро по формуле:
a = √D2 + d2 = √D2 + b2 + c2
где b, c — ребра параллелепипеда, a — боковое ребро параллелепипеда, D — диагональ параллелепипеда, d — диагональ основания.