Как найти боковую сторону трапеции
Геометрия – наука, которую начинают изучать еще в школе. Ошибочно думать, что она никак не пригодится в жизни. Иногда необходимы точные размеры фигур, чтобы сделать, к примеру, WEB-дизайн помещения. А фигуры встречаются разные, в том числе и трапеции. Часто надо найти значения их боковых сторон или основания. Давайте в подробностях рассмотрим, как найти боковую сторону данного четырехугольника различной формы, если известны его углы, основания, диагонали, площадь и т.п.
1
Как найти боковую сторону трапеции, если известны основания?
Трапеция – это четырёхугольник, у которого параллельны лишь две стороны. И эти не пересекающиеся отрезки называются основаниями данной фигуры. Трапеции бывают различных вариантов:
- Равнобокие – это те, у которых боковые стороны равны.
- Прямоугольные – имеют у основания один прямой угол.
- Остроугольные, разносторонние – с двумя острыми углами у основания.
- Тупоугольные, разносторонние – с одним тупым углом у основания.
Рассмотрим вариант нахождения боковой стороны (высоты) прямоугольной трапеции, если вам даны значения оснований.
Чтобы решить данную задачу, вам понадобится сделать следующее:
- Проведите вторую высоту – ВН в четырехугольнике.
- Получившийся отрезок ВН = СД, так как основание ВС параллельно АД.
- Образовавшийся треугольник АВС – равнобедренный, ведь АС – биссектриса, соответственно углы у основания равны и АВ = СВ = 10 см.
- Рассмотрим треугольник АВН, фактически у нас известны две стороны его: ВА и АН. АН = АД – CD = 16 – 10 = 6 см.
- Отсюда по теореме Пифагора: ВН² = АВ² – НА² = 64; ВН = 8 см, соответственно и СД тоже равно 8 сантиметров.
Кроме того, если вам известен угол ВАД, то СД = (АД – ВС) • tg α либо СД = АВ • sin α.
Большая боковая сторона рассчитывается по следующим формулам:
- АВ² = СД² + (АД – ВС)²
- АВ = (АД – ВС)/cos ∠ВАН
- АВ = CД/sin ∠ВАН
2
Как найти боковую сторону прямоугольной трапеции, если известны диагонали, площадь, средняя линия?
Если обозначить высоту трапеции – b, большую боковую сторону – c, основания – a и к, диагонали – d1 и d2. Больший угол между ними β, меньший – α, то высоту (боковую сторону трапеции) можно найти по следующим формулам:
b = d2 • d1/ (a + к) • sin α;
или же b = d2 • d1/ (a + к) • sin β
Для того чтоб определить b – меньшую сторону прямоугольной трапеции, с – большую сторону фигуры, с известными данными S – площадью, n – средней линией, применяйте следующие расчеты:
b = S/n = 2S/ (a + к)
с = S/n • sin α = 2S/ (a + к) • sin α
3
Как найти боковые стороны равнобедренной трапеции?
Итак, у равнобокой трапеции АВ = DC. Если вам даны различные величины, то боковые стороны можно найти по нижеприведенным формулам:
- если известны высота – h и угол – α, то АВ = DC = h/ sin α;
- если даны значения оснований и угол – α , то АВ = DC = (a – b)/ cos α;
- если даны диагонали d и основания, то АВ² = DC² = d² – b • a;
- если известны значения средней линии – l, площадь – S, углы – α либо – β (вверху возле основания b, то АВ = DC = S/ l • sin α = S/ l • sin α.
или же:
АВ = DC = S/ (b + a) • sin α = S/ (b + a) • sin β
В дальнейшем, если вы выучите формулы и научитесь верно рисовать чертежи данных фигур, то решить задачку по геометрии вам не составит труда. Ведь по правильной картинке ответ задачи практически виден сразу.
1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
d — боковая сторона
α — угол при нижнем основании
h — высота трапеции
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с) :
2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали и угол между ними
a — нижнее основание
b — верхнее основание
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с):
3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия трапеции
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формула длины боковой стороны (с) :
4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
α — угол при нижнем основании
h — высота трапеции
d — боковая сторона
Формулы длины боковой стороны (d) :
5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия трапеции
α — угол при нижнем основании
d — боковая сторона
Формула длины боковой стороны (d) :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 17 октября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.
Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.
Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.
- Длина основания через среднию линию и другое известное
основание - Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при
нижнем основании - Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при
нижнем основании - Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и
углы при нижнем основании - Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и
углы при нижнем основании - Боковую сторону через высоту и угол при нижнем
основании
Длина основания через среднюю линию и известное основание
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:
a = 2m – b
Цифр после
запятой:
Результат в:
Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.
Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании
Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:
a = b + h*(ctga + ctgb)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1
Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24
Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании
Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:
b = a – h*(ctg α + ctg β)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31
Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.
- Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
- Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35
Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании
Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них
a = b + c * cos α + d * cos β
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82
Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa.
- трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
= (144 – 64)/4 = 20 - В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
4*2*3/2 = 7 + 43
Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем
Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них
b = a – c * cos α – d * cos β
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.
- В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4 - Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
CD = 25 – 10*2*1/2 = 15
Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании
Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней
d = h / sin α
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243
Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)
- В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
22*2/2 = 112 - Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133 - В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269
Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.
Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2). Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.
- В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
13)/3/2 = 103 - В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
90 - В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
(36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430
Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina.
- В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
100 – 96 = 4 - Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2 - В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2 - Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28
Виды трапеций
Существуют следующие виды трапеций:
- Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб. - Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
треугольник. - Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
градусов.
Свойства трапеции
- Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
- Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
отрезок с длиной боковой стороны. - Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
Коэффициент
подобия – k = AD/BC.
Отношение площадей треугольников — k^2. - Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
площадь. - В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
- Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
боковых сторон лежат на одной прямой. - Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
линии.
Виды трапеции
- Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
- Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне
Свойства трапеции
-
Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
$$
FE = {AB + DC over 2}
$$ -
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD - Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
- Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
-
Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
$$
KL = {DC — AB over 2}
$$ - Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
- Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
- Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований
Формулы площади произвольной трапеции
Площадь трапеции через основания и высоту
$$
S = {AB + DC over 2} * AG
$$
Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
$$
S = FE * AG
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC * BD over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD over 2} * sin(∠AOB)
$$
Площадь трапеции через четыре стороны
$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$
Формулы площади равнобедренной трапеции
Площадь трапеции через стороны
$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$
Площадь трапеции через стороны и угол
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC^2 over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2} * sin(∠BOC)
$$
Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$
Площадь трапеции если в нее вписана окружность
$$
S = {4 * R_В^2 over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC over sin(∠ADC)} = {AB * DC over sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон произвольной трапеции
Основание через другое основание и среднюю линию
$$
AB = 2 * FE — DC
$$
$$
DC = 2 * FE — AB
$$
Основание через другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длины сторон
$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG over sin(∠BCD)}
$$
Формулы сторон равнобедренной трапеции
Длины сторон
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC — AB over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание
$$
DC = {AC^2 — DA^2 over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 — DA^2 over DC}
$$
Длина боковой стороны через диагональ и основания
$$
AD = sqrt{AC^2 — AB * DC}
$$
Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции
$$
DC = {2 * S over AG} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AG} — DC
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании
$$
AD = {S over FE * sin(∠ADC)} = {S over FE * sin(∠DAB)}
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон прямоугольной трапеции
Длины оснований
$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
$$
AB = DC — sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту
Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S over AD} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AD} — DC
$$
Формулы диагоналей произвольной трапеции
Длина диагоналей через четыре стороны
$$
BD = sqrt{BC^2 + DC * AB — {DC * (BC^2 — AD^2) over DC — AB}}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + DC * AB — {DC * (AD^2 — BC^2) over DC — AB}}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей через высоту
$$
BD = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * sqrt{BC^2 — AG^2}}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$
Длина диагоналей через стороны и другую диагональ
$$
BD = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — BD^2}
$$
Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {AG * (DC + AB) over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * S over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * FE * AG over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Формулы диагоналей равнобедренной трапеции
Длина диагоналей через стороны
$$
AC = sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 — 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей
$$
AC = sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 over 4 }}
$$
$$
AC = sqrt{{AG * (AB + DC) over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * S over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * FE * AG over sin(∠AOD)}}
$$
Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
Длина диагоналей через сторону и высоту
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$
Формулы диагоналей прямоугольной трапеции
$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = sqrt{AC^2 + DC^2}
$$
Формулы средней линии произвольной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и высоту
$$
FE = {S over AG}
$$
Формулы средней линии равнобедренной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту
$$
FE = DC — sqrt{AD^2 — AG^2} = AB + sqrt{AD^2 — AG^2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и боковую сторону
$$
FE = {S over AD * sin(∠ADC)}
$$
Формулы средней линии прямоугольной трапеции
Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании
$$
FE = DC — BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через основания и боковые стороны
$$
FE = DC — {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$
$$
FE = AB + {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Формулы высоты произвольной трапеции
Длина высоты через четыре стороны
$$
AG = sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S over FE}
$$
Формулы высоты равнобедренной трапеции
Длина высоты через по сторонам
$$
AG = sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$
Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию
$$
AG = {DC — AB over 2} * tg(∠ADC)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S over FE}
$$
Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции
Сторона AD
Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.
Сторона BC по трём сторонам
$$
BC = sqrt{AD^2 + (DC — AB)^2}
$$
Сторона BC через основания и угол ∠BCD
$$
BC = {DC — AB over cos(∠BCD)}
$$
Сторона BC через Сторону AD
$$
BC = {AD over sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD
$$
BC = {S over FE * sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD
$$
BC = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$
Трапеция является фигурой с двумя параллельными противоположными сторонами, при этом все четыре стороны могут быть разной длины. Параллельные стороны b и d называются меньшим и большим основанием трапеции, a и c – боковыми сторонами. Зная стороны трапеции, можно найти все характеризующие ее параметры. Периметр трапеции, зная стороны, представляет собой их сумму.
P=a+b+c+d
Высота трапеции является перпендикуляром, соединяющим два основания, и может быть проведена в любой их точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшем основании, так как тогда образуется прямоугольный треугольник, из которого выводится формула. (рис.103.1)
h=√(a^2-(((d-b)^2+a^2-c^2)/2(d-b) )^2 )
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон, и равный полусумме оснований. (рис.103.2)
m=(b+d)/2
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на среднюю линию. Чтобы найти площадь трапеции через стороны, необходимо развернуть эту формулу до ее истоков, заменив неизвестные переменные.
S=hm=√(a^2-(((d-b)^2+a^2-c^2)/2(d-b) )^2 )*(b+d)/2
Если в трапецию можно вписать окружность (а это возможно, если противоположные стороны в сумме дают одно и то же число), то радиус вписанной окружности будет равен половине высоты, или половине квадратного корня из произведения меньшего основания на большее, с учетом условия для окружности. (рис.103.3)
r=h/2=√bd/2
Описать окружность можно только вокруг равнобокой трапеции, и если она является таковой, то радиус описанной окружности будет равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника, образованного диагональю. (рис.103.4)
R=(abd_1)/√((a+b+d_1)(a+b)(a+d_1)(b+d_1))
Диагонали трапеции рассчитываются по формулам, приведенным через теорему Пифагора в треугольниках, образованных высотой и диагоналями.
d_1=√(c^2+db d(c^2-a^2 )/(d-b))
d_2=√(a^2+db (b(c^2-a^2))/(d-b))