Найти большее основание трапеции. Здравствуйте! В той статье разберём группу задач связанных с площадью трапеции. Часть задачек решается устно, другая часть нет, но всё же быстро. Перед решением стоит посмотреть статью «Углы равнобедренной трапеции», и информацию о выводе формулы площади. Сама формула:
Рассмотрим задачи:
27627. Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168. Найдите ее высоту.
Площадь трапеции (формула):
Нам известны основания и площадь, можем записать:
Ответ: 8
27628. Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.
Формула площади при данных обозначениях вершин:
Нам известны основание, площадь и высота, можем записать:
Ответ: 7
*Заметьте, что в условии не сказано какое именно дано основание меньшее и большее, да это и не важно для процесса вычисления.
27630. Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96. Найдите высоту трапеции.
Формула площади при данных обозначениях вершин:
Нам известны средняя линя и площадь, можем записать:
Ответ: 8
27632. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
Для того, что бы найти периметр нам необходимо найти чему равна боковая сторона. Как известно, у равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
Используя данные в условии мы можем вычислить высоту:
Опустим высоту из точки D к основанию АВ и точку пересечения обозначим как Е:
Теперь мы можем вычислить отрезок AH и по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADH найти гипотенузу AD (боковую сторону трапеции):
По теореме Пифагора:
Таким образом периметр будет равен 7+13+5+5 = 30
Ответ: 30
27635. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
Для вычисления площади нам необходимо найти высоту. Выполним дополнительные построения:
Нижнее основание будет разбито на отрезки 6, 14 и 6. По теореме Пифагора мы можем вычислить высоту:
Таким образом площадь будет равна:
Ответ: 160
27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
Задача обратная предыдущей. Из данных в условии мы можем вычислить высоту:
Теперь выполним дополнительные построения (опустим высоты):
Большее основание разбивается ими на отрезки 3, 7 и 3. По теореме Пифагора можем вычислить боковую сторону:
Ответ: 5
27637. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 1500. Найдите площадь трапеции.
Для вычисления площади необходимо найти высоту. Это мы можем сделать рассмотрев прямоугольный треугольник АВН:
Высоту нашли, вычисляем площадь:
Ответ: 42
27593. Основания трапеции равны 1 и 3, высота — 1. Найдите площадь трапеции.
Посмотреть решение
27594. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.
Посмотреть решение
27629. Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.
Посмотреть решение
27631. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.
Посмотреть решение
27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 450.
Посмотреть решение
27634. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.
Посмотреть решение
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Расскажите о статье и сайте в социальных сетях.
Содержание материала
- Трапеция (понятие, определение):
- Видео
- Средняя линия трапеции
- Формулы определения длины средней линии трапеции:
- Диагонали трапеции
- Формулы определения длины диагоналей трапеции:
- Формулы трапеции:
Трапеция (понятие, определение):
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.
Рис. 1. Трапеция
Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
@ https://youtu.be/Q4EpXexoMrM
Видео
Средняя линия трапеции
Определение. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Формулы определения длины средней линии трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
m = S h
Диагонали трапеции
Формулы определения длины диагоналей трапеции:
1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:
d1 = √a2 + d2 — 2ad·cos β
d2 = √a2 + c2 — 2ac·cos α
2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
| d1 = | √ | d 2 + ab — | a(d 2 — c2) |
| a — b |
| d2 = | √ | c2 + ab — | a(c2 — d 2) |
| a — b |
3. Формула длины диагоналей через высоту:
d1 = √h2 + (a — h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2
d2 = √h2 + (a — h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2
4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:
d 1 = √c 2 + d 2 + 2ab — d 22
d 2 = √c 2 + d 2 + 2ab — d 12
Формулы трапеции:
Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β – углы при нижнем основании трапеции, d1 и d2 – диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S – площадь трапеции, P – периметр трапеции.
Формулы для определения сторон трапеции:
Через среднюю линию и одно из оснований трапеции:
a = 2m – b
b = 2m – a
Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:
a = b + h · (ctg α + ctg β)
b = a – h · (ctg α + ctg β)
Через боковые стороны и углы при нижнем основании:
a = b + c·cos α + d·cos β
b = a – c·cos α – d·cos β
Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:
Формулы для определения средней линии трапеции:
Через длины оснований трапеции:
Через площадь и высоту трапеции:
Формулы для определения высоты трапеции:
Через сторону и прилегающий угол при нижнем основании трапеции:
h = c·sin α = d·sin β
Через диагонали трапеции и углы между ними:
Через диагонали трапеции, углы между ними и среднюю линию трапеции:
Через площадь и длины оснований трапеции:
Через площадь и длину средней линии трапеции:
Формула для определения периметра трапеции:
P = a + b + c + d
Формулы для определения площади трапеции:
Через основания и высоту трапеции:
Через среднюю линию и высоту трапеции:
S = m · h
Через диагонали трапеции и угол между ними:
Через все стороны трапеции:
С помощью формулы Герона для трапеции:
Теги
Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами
Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
- Основы трапеции — параллельные стороны
- Боковые стороны — две другие стороны
- Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
- Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Основные свойства трапеции
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD
3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
BC : AD = OC : AO = OB : DO
d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2
Сторона трапеции
Формулы определения длин сторон трапеции:
a = b + h · ( ctg α + ctg β )
b = a — h · ( ctg α + ctg β )
a = b + c· cos α + d· cos β
b = a — c· cos α — d· cos β
4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:
Средняя линия трапеции
Формулы определения длины средней линии трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
Высота трапеции
Формулы определения длины высоты трапеции:
h = c· sin α = d· sin β
2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| a + b | a + b |
3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| 2 m | 2 m |
4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
Диагонали трапеции
Формулы определения длины диагоналей трапеции:
d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β
d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β
2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
| d 1 = | √ | d 2 + ab — | a ( d 2 — c 2 ) |
| a — b |
| d 2 = | √ | c 2 + ab — | a ( c 2 — d 2 ) |
| a — b |
d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2
d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2
d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2
d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2
Площадь трапеции
Формулы определения площади трапеции:
1. Формула площади через основания и высоту:
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d 1 d 2 | · sin γ | = | d 1 d 2 | · sin δ |
| 2 | 2 |
4. Формула площади через четыре стороны:
| S = | a + b | √ | c 2 — | ( | ( a — b ) 2 + c 2 — d 2 | ) | 2 |
| 2 | 2( a — b ) |
5. Формула Герона для трапеции
| S = | a + b | √ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d ) |
| | a — b | |
где
| p = | a + b + c + d | — полупериметр трапеции. |
| 2 |
Периметр трапеции
Формула определения периметра трапеции:
1. Формула периметра через основания:
Окружность описанная вокруг трапеции
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d 1 |
| 4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1) |
где
a — большее основание
Окружность вписанная в трапецию
Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
Другие отрезки разносторонней трапеции
Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
| KM = NL = | b | KN = ML = | a | TO = OQ = | a · b |
| 2 | 2 | a + b |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то
Площадь
или где – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Трапеция вписана в окружность
Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.
Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.
Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.
Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:
Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.
Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.
Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD
Из треугольника ABC
Другой вариант найти радиус описанной окружности —
Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:
При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,
Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали
В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:
В равнобедренной трапеции известна высота меньшее основание и угол при основании Найдите большее основание.
На этой странице находится вопрос В равнобедренной трапеции известна высота меньшее основание и угол при основании Найдите большее основание?. Здесь же – ответы на него,
и похожие вопросы в категории Математика, которые можно найти с помощью
простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса
соответствует уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов. В комментариях,
оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С
ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из
предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой
строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.
Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
Тип 15 № 89 
i
Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 30° и 45° соответственно.
Источники:
Банк заданий ФИПИ.
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
Источники:
Банк заданий ФИПИ.
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах.
Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар.)
Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 3. (1 вар)
Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен 
Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15.
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.
Источник: Банк заданий ФИПИ
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 6.
Источник: Банк заданий ФИПИ
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60° , сторона AB равна 4. Найдите площадь трапеции.
Источник: Банк заданий ФИПИ
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 10, а меньшее основание BC равно 4.
Источник: Банк заданий ФИПИ
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.
Источник: Банк заданий ФИПИ
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 6. Найдите площадь трапеции.
Источник: Банк заданий ФИПИ
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 12, а меньшее основание BC равно 4.
Источник: Банк заданий ФИПИ
Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно.
Источник: Банк заданий ФИПИ
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен 2. Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 78.
Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры.
Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71