Задача 1.
Как найти больший угол параллелограмма ABCD, если его диагональ AC образует с его сторонами углы 35 и 48 градусов.
Решение.
Построим параллелограмм ABCD и проведем в нем диагональ АС. Согласно условию угол ВАС равен 35 градусов, а угол CAD равен 48 градусов. Тогда угол BAD равен сумме углов ВАС и CAD и равен 35 + 48 = 83 градуса.
Сумма односторонних углов в параллелограмме составляет 180 градусов, тогда можем найти больший угол АВС параллелограмма:
АВС = 180 – BAD;
АВС = 180 – 83;
АВС = 97 градусов.
Ответ. Больший угол параллелограмма равен 97 градусов.
Задача 2.
Найти больший угол параллелограмма ABCD, если угол DAC, который образует диагональ АС со стороной параллелограмма, равен 47 градусов, а угол CAB равен 11 градусов.
Решение.
Построим параллелограмм и проведем в нем диагональ. Обозначим известные углы. Очевидно, что угол DAB параллелограмма равен сумме известных углов DAC и САВ и равен 47 + 11 = 58 градусов.
В параллелограмме сумма углов, которые прилегают к одной его стороне, составляет 180 градусов. Найдем угол ADC:
ADC = 180 – BAD;
ADC = 180 – 58;
ADC = 122 градуса.
Ответ. Больший угол параллелограмма равен 122 градуса.
При решении задач используется свойство соседних углов параллелограмма.
Здравствуйте, друзья! Для вас очередная статья с разбором типовых задач входящих в состав экзамена по математике. Здесь представлены задачи с параллелограммами. Ставятся вопросы о вычислении углов. В этой статье мы уже вычисляли углы, там процесс сводился к решению прямоугольного треугольника.
Для решения данных заданий достаточно знать свойства и признаки параллельности прямых плюс применить немного логики. Вычислять можно устно, решения простые. Если кратко обозначить теоретические моменты, то озвучить можно следующие «истины»:
— Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам.
— Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
— Биссектриса делит угол пополам.
*Да, ещё величины углов могут быть заданы относительно. Например, углы параллелограмма относятся как 2:3. Тут вам поможет введение коэффициента пропорциональности.
Рассмотрим задачи:
27805. Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 600. Ответ дайте в градусах.
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам. Это следует из свойств и признака параллельности прямых:
Сумма внутренних односторонних углов равна 180º
Таким образом, тупой угол параллелограмма равен 1200.
Ответ: 120
27806. Сумма двух углов параллелограмма равна 1000. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Рассуждая логически получим следующее:
1. Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит речь идёт не об этих углах.
2. Сумма двух тупых (противолежащих) углов будет всегда больше 180 градусов, значит остаются только два острых угла. Только их сумма может быть равна 100 градусам.
Так как они равны, значит угол будет равен 50-ти градусам. Таким образом, один из оставшихся (тупой угол) будет равен 1300.
Ответ: 130
27807. Один угол параллелограмма больше другого на 700. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Понятно, что речь идёт о тупом угле. Он будет больше острого на 700. Введём переменную. Пусть острый равен х градусов, тогда тупой равен х+700. Получается, что
Значит тупой угол (больший) равен 550+700=1250.
Ответ: 125
27808. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 260 и 340. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Получается, что острый угол параллелограмма равен 260+340=600.
Таким образом больший угол будет равен 1800–600=1200.
Ответ: 120
27822. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3:7. Ответ дайте в градусах.
Имеем: острый угол относится к тупому как 3:7. Введём коэффициент пропорциональности х. Так сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, значит
Значит больший угол будет равен 7∙18=126 градусов.
Ответ: 126
27823. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
Построим указанные в условии биссектрисы:
Известно, что
Так как из указанных углов проведены биссектрисы, то получим:
То есть в треугольнике ODC сумма острых углов равна 90 градусам. Таким образом этот треугольник является прямоугольным, то есть угол между OD и CO равен 900.
Ответ: 90
282852. В ромбе ABCD угол ACD равен 430. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
В ромбе диагонали являются биссектрисами, значит угол BCD будет равен 86 градусам. Таким образом:
Ответ: 94
282851. В ромбе ABCD угол ABC равен 1220. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
Делитесь информацией в социальных сетях!
Содержание:
- Определение параллелограмма
- Свойства параллелограмма
- Признаки параллелограмма
- Примеры решения задач
Определение параллелограмма
Определение
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
На рисунке 1 изображен параллелограмм $A B C D, A B|C D, B C| A D$.
Свойства параллелограмма
- В параллелограмме противоположные стороны равны: $A B=C D, B C=A D$ (рис 1).
- В параллелограмме противоположные углы равны $angle A=angle C, angle B=angle D$ (рис 1).
- Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам $A O=O C, B O=O D$ (рис 1).
- Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
-
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна $180^{circ}$:
$$angle A+angle B=180^{circ}, angle B+angle C=180^{circ}$$
$$angle C+angle D=180^{circ}, angle D+angle A=180^{circ}$$
-
Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением:
$$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2 a^{2}+2 b^{2}$$
- В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: $angle K B H=angle A$.
- Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.
- Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник $ABCD$ будет параллелограммом, если
- $A B=C D$ и $A B | C D$
- $A B=C D$ и $B C=A D$
- $A O=O C$ и $B O=O D$
- $angle A=angle C$ и $angle B=angle D$
Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из следующих формул:
$S=a cdot h_{a}, quad S=b cdot h_{b}$
$S=a cdot b cdot sin alpha, quad S=frac{1}{2} d_{1} cdot d_{2} cdot sin phi$
Примеры решения задач
Пример
Задание. Сумма двух углов параллелограмма равна $140^{circ}$. Найти больший угол параллелограмма.
Решение. В параллелограмме противоположные углы равны. Обозначим больший угол параллелограмма
$alpha$, а меньший угол $beta$. Сумма углов $alpha$ и $beta$ равна
$180^{circ}$, поэтому заданная сумма, равная $140^{circ}$, это сумма двух противоположных углов, тогда
$140^{circ} : 2=70^{circ}$. Таким образом меньший угол $beta=70^{circ}$. Больший угол
$alpha$ найдем из соотношения:
$alpha+beta=180^{circ} Rightarrow alpha=180^{circ}-beta Rightarrow$
$Rightarrow alpha=180^{circ}-70^{circ} Rightarrow alpha=110^{circ}$
Ответ. $alpha=110^{circ}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Стороны параллелограмма равны 18 см и 15 см, а высота, проведенная к меньшей стороне,
равна 6 см. Найти другую высоту параллелограмма.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 2)
По условию, $a=15$ см, $b=18$ см, $h_{a}=6$ см.
Для параллелограмма справедливы следующие формулы для нахождения площади:
$$S=a cdot h_{a}, quad S=b cdot h_{b}$$
Приравняем правые части этих равенств, и выразим, из полученного равенства, $h_{b} $:
$$a cdot h_{a}=b cdot h_{b} Rightarrow h_{b}=frac{a cdot h_{a}}{b}$$
Подставляя исходные данные задачи, окончательно получим:
$h_{b}=frac{15 cdot 6}{18} Rightarrow h_{b}=5$ (см)
Ответ. $h_{b}=5$
Читать дальше: что такое трапеция.
Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
У параллелограмма 4 угла, это частный случай четырехугольника, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Из этого свойства вытекает равенство противоположных сторон, равенство
противоположных углов и равенство суммы смежных углов двум прямым. Свойства параллелограмма широко
используются в быту и технике.
- Острый угол параллелограмма через боковую сторону и
высоту - Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и
периметр - Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
- Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую
диагональ - Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную
диагональ
Острый угол параллелограмма через боковую сторону и высоту
Если известна боковая сторона и высота, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α = h / b
где α – острый угол, h – высота, b – боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть h = 4 см, b = 8 см. sin α = h / b = 8 / 4 = 2. α = 90°.
Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
Если известна площадь и две стороны, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α= S / ab
где α – острый угол, S — площадь параллелограмма, a и b – его стороны.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть S=50 м², a=10 м, b=5 м. sin α= S / ab = 50 / (10 * 5) = 1. α = 90°.
Угол прямой, смежные стороны не равны, имеем дело с прямоугольником.
Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и периметр
Если известна высота, сторона и периметр, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:
sin α = (2h + a) / P
где α – острый угол, h — высота, a — сторона, P — периметр.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Высота опускается на известную и подставляемую в формулу сторону a. Параллелограмм с заданным
периметром приходится строить, если, например, периметр определен длиной веревки, которую требуется
растянуть на местности в форме параллелограмма.
Пример. Пусть h=10 м, a=15 м, P=70 м. sin α=(2h + a) / P= (2 * 10 + 15) / 70 = 0,5. α = 30°.
Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую диагональ
Если известны две стороны и короткая диагональ, то можно найти острый угол параллелограмма по
формуле:
cos α = (a² + b² — d²) / 2ab
где α – острый угол, a и b – стороны параллелограмма, d – его короткая диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример расчета: в данном частном случае 2 прилежащие стороны и короткая диагональ
равны, а именно: a = b = d = 26 мм. cos α=(a² + b² — d²) / 2ab = (26² + 26² — 26²) / (2 * 26 * 26) = 0,5. α=60°.
Из равенства прилежащих сторон следует, что это ромб, а результат расчета показывает, что острый угол
в ромбе равен 60°. Знаете, что это за ромб с подобными размерами? Это нагрудный академический знак
для лиц, окончивших советские высшие учебные заведения, установленный с 1961 года.
Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную диагональ
Если известны две стороны и длинная диагональ, то можно найти тупой угол параллелограмма по
формуле:
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab
где α – тупой угол, a и b – стороны параллелограмма, D – его длинная диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример расчета: вновь ромб со сторонами a = b = 26 мм и длинной диагональю D=43 мм.
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab = (26² + 26² — 43²) / (2 * 26 * 26) = -0,368. α = 112°.
Это опять-таки нагрудный академический знак из предыдущего примера, небольшое отличие полученного
результата от 120° (при остром угле 60° по предыдущему примеру) объясняется округлением исходных
данных до целого числа миллиметров.
Свойства параллелограмма
У любого выпуклого четырехугольника сумма всех внутренних углов равна 360°, исходя из общей формулы
суммы внутренних углов выпуклого многоугольника в градусах s = 180 (n — 2), где n – количество
сторон. Следовательно, если хотя-бы 1 угол параллелограмма равен прямому (90°), остальные 3 угла
также являются прямыми, и параллелограмм вырождается в свой частный вид – прямоугольник.
Если 2 смежные стороны параллелограмма равны, то равны все его 4 стороны, и параллелограмм
вырождается в ромб. И, наконец, если у параллелограмма равны 2 смежные стороны, а угол между ними
прямой, параллелограмм является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и вырождается в квадрат.
Зачастую возникает необходимость определения неизвестных характеристик параллелограмма через
известные. Выше ряд примеров подобного рода.
Самый наглядный пример параллелограмма – пантограф электропоезда. При подключении опущенного
пантографа к контактной сети железной дороги изменяется конфигурация пантографа при сохранении длин
сторон, в результате изменяется вертикальная диагональ и происходит касание с подачей электрического
тока.
Форму параллелограмма имеет автомобильный реечный домкрат, велосипедная рама (с
диагональю для увеличения жесткости). Ведь параллелограмм — фигура нежесткая, в отличие от
треугольника. Из нежесткости параллелограмма следует, что знания одних длин сторон недостаточно для
вычисления площади фигуры. Так, пантограф электропоезда можно «сложить» до нулевой площади.
Стеклоочиститель лобового стекла автобуса также представляет собой параллелограмм, и именно
нежесткость фигуры позволяет стеклоочистителю «ометать» при движении стекло.