Как найти большую дугу окружности зная меньшую

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая и угол

Задача 10 (ОГЭ — 2015)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 18°. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги окружности.

∠ AOB = 18°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 18/360 = 1/20 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/20 всей окружности, поэтому большая дуга — это остальная часть, т.е. 19/20 окружности.

1/20 окружности соответствует длине дуги, равной 5. Тогда длина большей дуги равна 5*19 = 95.

Задача 10 (ОГЭ — 2015)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги окружности.

∠ AOB = 40°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 40/360 = 1/9 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/9 всей окружности, поэтому большая дуга — это остальная часть, т.е. 8/9 окружности.

1/9 окружности соответствует длине дуги, равной 50. Тогда длина большей дуги равна 50*8 = 400.

Задача 10 (ГИА — 2014)

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOB получим:

AO 2 = OB 2 +AB 2 ,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Тогда диаметр равен 2R = 2*45 = 90.

Задача 10 (ГИА — 2014)

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 134° и ∠OAB = 75°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

∠ABC — вписанный, а значит равен половине дуги, на которую опирается. Поэтому большая дуга AC = 2*134 = 268°.

Тогда дуга ABC = 360° — 268° =92°.

∠AOC = 92°,так как он является центральным углом и опирается на дугу ABC.

Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°, откуда получаем:

Как найти длину дуги окружности

Формула для нахождения длины дуги окружности довольно проста, и очень часто на важных экзаменах типа ЕГЭ встречаются такие задачи, которые невозможно решить без ее применения. Также необходимо ее знать для сдачи международных стандартизированных тестов, например SAT и других.

Чему равна длина дуги окружности?

Формула выглядит следующим образом:

Что собой представляет каждый из элементов формулы:

• l — длина дуги окружности;
• π — число Пи (постоянная величина, равная ≈ 3,14);
• r — радиус данной окружности;
• α — величина угла, на который опирается дуга (центральный, а не вписанный).

Как видно, чтобы решить задачу, в условии должны присутствовать r и α. Без этих двух величин длину дуги найти невозможно.

Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?

Все предельно легко. Станет намного понятнее, если в знаменателе поставить 360°, а в числителе спереди добавить двойку. Также можно α не оставить в дроби, вывести ее и написать со знаком умножения. Это вполне можно себе позволить, так как данный элемент стоит в числителе. Тогда общий вид станет таким:

Просто для удобства сократили 2 и 360°. А теперь, если приглядеться, то можно заметить очень знакомую формулу длины всей окружности, а именно — 2πr. Весь круг состоит из 360°, потому мы делим полученную меру на 360 частей. Затем мы умножаем на число α, то есть на то количество «кусков пирога», которое нам требуется. Но всем доподлинно известно, что число (то есть длина всей окружности) не может делиться на градус. Что же делать в таком случае? Обычно, как правило, градус сокращается с градусом центрального угла, то есть с α. После же остаются только числа, а в итоге получается конечный ответ.

Этим можно объяснить то, почему длина дуги окружности находится таким образом и имеет такой вид.

Пример задачи средней сложности с применением данной формулы

Условие: Имеется окружность с радиусом 10 сантиметров. Градусная мера центрального угла составляет 90°. Найти длину дуги окружности, образованную этим углом.

Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Также возможно, чтоб вместо градусной меры давалась бы радианная мера угла. Ни в коем случае не стоит пугаться, ведь на сей раз задача стала намного легче. Чтобы перевести радианную меру в градусную, нужно данное число умножить на 180° / π. Значит, теперь можно подставить вместо α следующую комбинацию: m × 180° / π. Где m — это радианное значение. А дальше 180 и число π сокращаются и получается совершенно упрощенная формула, которая выглядит следующим образом:

• l — длина дуги окружности;
• m — радианная мера угла;
• r — радиус данной окружности.

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,282
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,061
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Перед вами страница с вопросом Как найти большую дугу, если известна меньшая и градусная мера?, который относится к
категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для
учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и
сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и
выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется
варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском»,
который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав
кнопку в верхней части страницы.

 Еще один вид задач, где вам предложат узнать номинальный размер дуги окружности в зависимости от ее градусной меры. В итоге это еще  вид заданий из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, которые могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.
 Чтобы вам быть в курсе подобных заданий, мы предлагаем порешать эти задания вместе с нами, можно сказать под нашим контролем. В итоге вы узнаете верные ответы или сможете свериться с тем, что сами решили, то есть сверится с нашими верными и готовыми ответами.

Вспоминаем, что центральный угол окружности — это угол, образованный двумя радиусами окружности, вершина которого совпадает с центром окружности. Дуга, лежащая во внутренней области угла, называется дугой, соответствующей этому центральному углу.  Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги — это градусная мера соответствующего ей центрального угла. Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°.

Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 66°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 66° = 294°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
66°      —      99
294°    —        х

66  = 99
294    х

x = 294*99
          66
x = 294*3
          2
х = 441

Ответ: 441

7F142F

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=140°. Длина меньшей дуги AB равна 98. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 98°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 140° = 220°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
140°      —      98
220°    —        х

140  = 98
220      х

x =  220*98
          140
x = 21560
        140
х = 154

Ответ: 154

BDEBC5

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=122°. Длина меньшей дуги AB равна 61. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 122°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 122° = 238°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
122°    —      61
238°    —        х

122  = 61
238      х

x =  238*61
          122
x = 14518
        122
х = 119

Ответ: 119

A18BFC

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=18°. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 18°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 18° = 342°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
18°    —      5
342°    —        х

18  =

5

342    х

x =  342*5
          18
x = 1710
        18
х = 95

Ответ: 95

7057F4

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=45°. Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 45°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 45° = 315°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
45°    —      5
315°  —      х

45  = 

5

315    х

x =  315*5
          45
x = 1575
        45
х = 35

Ответ: 35

F9F4CA

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 40°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 40° = 320°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
40°      —      50
320°    —        х

40  = 50
320    х
x = ⁸320*50
           40
х = 8*50
х = 400

Ответ: 400

5A934C

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=80°. Длина меньшей дуги AB равна 58. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 80°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 80° = 280°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
80°    —      58
280°  —      х

80  = 

58

280    х

x =  280*58
          80
x = 16240
        80
х = 203

Ответ: 203

41B474

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=20°. Длина меньшей дуги AB равна 88. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 20°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 20° = 340°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
20°    —      88
340°  —      х

20  = 8

8

340     х

x =  340*88
          20
x =

29920

        20
х = 1496

Ответ: 1496

0F64A4

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=15°. Длина меньшей дуги AB равна 48. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 15°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 15° = 345°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
15°    —      48
345°  —      х

15  = 4

8

345     х

x =  345*48
          15
x = 16560
        15
х = 1104

Ответ: 1104

86C060

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=120°. Длина меньшей дуги AB равна 67. Найдите длину большей дуги AB.

Решение:

Мы знаем, что номинал отрезка по периметру окружности зависит от градусной меры. Какой-либо сектор этой окружности по градусам и размер дуги для этого сектора, будет пропорционален градусам ко всей окружности и размер дуги и также будет пропорционален ко всему периметру этой окружности.

∠AOB является центральным и равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB тоже составляет 120°.
Значит градусная мера большей дуги равна
360° — 120° = 240°

Пусть х — длина большей дуги, тогда получаем пропорцию:

градусы   длина
120°    —      67
240°  —      х

120  = 67
240     х

x =  240*67
          120
x = 16080
        120
х = 134

Ответ: 134

9C53BA