Как найти часть медианы в равностороннем треугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Определение медианы
Свойства медианы равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
Примеры задач

Определение медианы

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

BD – медиана, проведенная к стороне AC;
AD = DC.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.

BD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;
∠ABD = ∠CBD.

Свойство 2

Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.

Свойство 3

Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

G – центр тяжести (центроид) треугольника;
AG = 2GF;
BG = 2GD;
CG = 2GE.

Свойство 4

Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S₁ = S₂.

Свойство 5

Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆.

Свойство 6

Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.

r – радиус вписанной окружности;
R – радиус описанной окружности;
R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 7

Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.

Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:

Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.

BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).

Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF² = BG² – FG² = 8² – 4² = 48 см².
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.

BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.

Источник

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Медиана в равностороннем треугольнике

Определение и формулы медианы равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Для медиан равностороннего треугольника справедливы следующие утверждения:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).
Весь треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Медиана, проведенная к стороне , вычисляется по формуле:

$[m_{a} =frac{sqrt{3} a}{2} ,]$

где – сторона равностороннего треугольника.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник

Элементы треугольника. Медиана

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

, где где — медиана к стороне ; — стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

, где – медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Определение и свойства медианы равностороннего треугольника

Определение медианы

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

ABC

Свойство 2

Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.

Свойство 3

Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

Свойство 4

Свойство 5

Свойство 6

r – радиус вписанной окружности;
R – радиус описанной окружности;
R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 7

Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.

Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.

BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).

Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.

BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

источники:

Определение и свойства медианы равностороннего треугольника

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/mediana.htm

Источник

Медиана равностороннего треугольника

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 140.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 140.

Равносторонний треугольник стоит особняком среди всех фигур: в нем легко можно найти значение всех сторон и углов, так как все углы известны заранее, а найдя одну сторону, можно найти сразу все три. Но именно из-за этих свойств, составители задач любят писать каверзные условия, в которых не всегда можно разобраться с первого раза, например, не всегда можно понять, что такое медиана, потому что человеку проще воспринимать понятие высоты, нежели медианы. Рассмотрим же понятие медианы в равностороннем треугольнике подробно.

Определения

Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны, а углы по 60 градусов.

Равносторонний треугольник это частный случай равнобедренного, но в равностороннем любую сторону можно считать основанием.

Рис. 1. Равносторонний треугольник.

Из этого следует, что любая высота равностороннего треугольника является медианой и биссектрисой, так как любая высота проводится к стороне, которую можно считать основанием.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположно стороны. Медиана также имеет ряд свойств, которые можно использовать в решении задач.

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делят эту точку в отношении 2:3, считая от вершины. При этом медианы разбивают треугольник на 6 разновеликих треугольников. Если посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что в равностороннем треугольнике каждый из 6 этих треугольников будет прямоугольным.

Формула медианы равностороннего треугольника

Выведем формулу медианы равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике АВС проведем высоту АН. Она же будет являться медианой и высотой. Медиана разобьет треугольник на два прямоугольных: АНС и АНВ. Рассмотрим треугольник АНС.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

В нем применим теорему Пифагора:

$$АС^2=AH^2+HC^2$$

$$AH=sqrt{AB^2-BH^2}$$

Каждую из сторон обозначим буквой а. Тогда АВ=а; $$ВН={аover2}$$

$$АН=sqrt{a^2-{aover2}^2}=sqrt{a^2-{a^2over4}}$$

Это и есть формула медианы равностороннего треугольника. С другой стороны, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и вывести еще одну формулу:

$$sin(ACH)={AHover AC}$$

При этом угол АСН равен 60 градусам. Значит, можно определить синус угла: $$sin(ACH)={sqrt{3}over 2}$$

Выразим значение медианы АН

$$АН=sin(ACH)*AC={sqrt{3}over2}*AC={sqrt{3}over2}*a$$

Вот еще одна формула, характерная для равностороннего треугольника.

Задача

Для закрепления темы решим простую задачу на обратное использование формулы медианы.

В равностороннем треугольнике медиана равна $$20over{sqrt{3}}$$. Найти площадь треугольника.

Для нахождения площади воспользуемся классической формулой.

Классическую формулу можно использовать для нахождения площади любого треугольника.

Для нее нам нужно значение стороны и высоты. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой, поэтому нужно найти только сторону. Выразим ее через формулу медианы равностороннего треугольника.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

$$m={sqrt{3}over2}*a$$

$$a={mover{sqrt{3}over2}}=m*{2oversqrt{3}}$$

Подставим в формулу значение медианы:

$$a={20oversqrt{3}}*{2oversqrt{3}}={40over3}$$

Посчитаем площадь:

$$S={1over2}*a*m={1over2}*{40over3}*{20 oversqrt{3}}={400over{3sqrt{3}}}$$

Что мы узнали?

Мы вывели две формулы медианы равностороннего треугольника, дали определения, необходимые для решения задач и решили небольшую задачу для закрепления знаний.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Александр Рудаков

5/5

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 140.

А какая ваша оценка?

Источник

Какими свойствами обладает медиана равностороннего треугольника? Как выразить длину медианы через сторону треугольника? Через радиус вписанной и описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство медианы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также его биссектрисой и высотой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Проведём медиану BF.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

По свойству медианы равнобедренного треугольника, BF является также его биссектрисой и высотой.

Аналогично, так как AB=AC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, AK — его медиана, биссектриса и высота;

так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, CD — его медиана, биссектриса и высота.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство медиан равностороннего треугольника)

Все три медианы равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC,

AK, BF, CD — его медианы.

Тогда AF=FC=BK=CK=AD=BD.

∠BAF=∠BFC=∠ABC (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, треугольники ABK, BCF и CAK равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

Из 1 и 2 теоремы следует, что все медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника равны между собой.

1) Выразим длину медианы равностороннего треугольника через его сторону.

Так как медиана равностороннего треугольника является также его высотой, треугольник ABF- прямоугольный.

Обозначим AB=a, BF=m, тогда AF=a/2.

По теореме Пифагора

$[m = sqrt {{a^2} - {{(frac{a}{2})}^2}} = sqrt {frac{{4{a^2} - {a^2}}}{4}} = sqrt {frac{{3{a^2}}}{4}} = frac{{asqrt 3 }}{2}.]$

Таким образом, формула медианы равностороннего треугольника по его стороне:

$[m = frac{{asqrt 3 }}{2}.]$

2) Выразим медиану равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр правильного треугольника является центром его вписанной и описанной окружностей.

Так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а медианы равностороннего треугольника являются также его биссектрисами, в равностороннем треугольнике ABC OF — радиус вписанной, BO — радиус описанной окружностей:

OF=r, BO=R.

Так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то BO:OF=2:1. Таким образом,

$[OF = frac{1}{3}BF,BO = frac{2}{3}BF,]$

$[ Rightarrow BF = 3 cdot OF;BF = frac{3}{2} cdot BO.]$

Отсюда медиана равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности равна

через радиус описанной окружности —

$[m = frac{{3R}}{2}.]$

Источник