Как найти часть основания треугольника

Основание треугольника

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 99.

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 99.

Основание треугольника – это такая же сторона, как и две других. Основание редко имеет особое значение, но из-за визуальной обособленности от других сторон, ученики часто путаются и допускают ошибки. Разберем подробнее, как сторона треугольника может считаться основанием, и в каких случаях это действительно имеет значение

Стороны треугольника

У треугольника всегда три стороны. Одна из них считается основанием. Как правило, основание выделяется только построением, т.е. нижняя сторона треугольника, и приниматься за основание.

Иногда в решении указывают углы при основании произвольного треугольника. Это не совсем верно, поскольку в произвольном треугольнике все углы равнозначны, а значит не имеет смысла выделять углы при основании. Выделяются только углы при основании равнобедренного треугольника.

Нужно учитывать, что любой произвольный треугольник можно условно перевернуть, т.е. перечертить фигуру таким образом, чтобы основанием стала другая сторона. По этому разделять понятие боковых сторон и основания у произвольного треугольника не имеет смысла – это только добавит путаницы в решение задачи.

Уравнение основания треугольника, так же, как и уравнение любой из сторон треугольника, является уравнением прямой линии.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – это единственный подвид треугольника, где основание имеет реальное практическое значение. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны между собой. Равные стороны зовутся боковыми, а третья сторона считается основанием.

Существует две теоремы об основании равнобедренного треугольника. Это:

• Теорема о равенстве углов: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Теорема о равенстве медианы, биссектрисы и высоты, проведенной к основанию. Теорема особенно подчеркивает, что из трех возможных медиан, высот и биссектрис, только проведенные к основанию окажутся равными между собой.

В равнобедренном треугольнике основание определяется значением сторон: равные стороны – боковые, неравная – основание.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

По ходу решения задачи может получится так, что основание окажется сбоку, не нужно этого пугаться. Стоит или привыкнуть к такому построению равнобедренного треугольника или каждый раз перечерчивать чертеж, разворачивая треугольник в нужную сторону.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – это частный случай равнобедренного. У равнобедренного треугольника равны две стороны, а у равностороннего все три. Но именно из-за этого свойства значение основания равнобедренного треугольника теряется.

В равностороннем треугольнике какую сторону не выбери: две другие всегда будут равны между собой, а значит любая сторона может считаться основанием.

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Существует формула, где часто упоминается слово основание. Это формула площади, которая равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. Но в качестве основания может быть принята любая сторона, главное, чтобы именно на нее падала высота. Поэтому и в этом случае выбор стороны треугольника, которую можно считать основанием, некритичен.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое основание треугольника. Поговорили о ситуациях, когда стоит выделять основание среди других сторон треугольника, а когда это окажется напрасной тратой времени. Обсудили значимость основания равнобедренного треугольника.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Основание треугольника – уравнение

Основание треугольника – это такая же сторона, как и две других. Основание редко имеет особое значение, но из-за визуальной обособленности от других сторон, ученики часто путаются и допускают ошибки. Разберем подробнее, как сторона треугольника может считаться основанием, и в каких случаях это действительно имеет значение

Стороны треугольника

У треугольника всегда три стороны. Одна из них считается основанием. Как правило, основание выделяется только построением, т.е. нижняя сторона треугольника, и приниматься за основание.

Иногда в решении указывают углы при основании произвольного треугольника. Это не совсем верно, поскольку в произвольном треугольнике все углы равнозначны, а значит не имеет смысла выделять углы при основании. Выделяются только углы при основании равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Углы произвольного треугольника.

Нужно учитывать, что любой произвольный треугольник можно условно перевернуть, т.е. перечертить фигуру таким образом, чтобы основанием стала другая сторона. По этому разделять понятие боковых сторон и основания у произвольного треугольника не имеет смысла – это только добавит путаницы в решение задачи.

Уравнение основания треугольника, так же, как и уравнение любой из сторон треугольника, является уравнением прямой линии.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – это единственный подвид треугольника, где основание имеет реальное практическое значение. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны между собой. Равные стороны зовутся боковыми, а третья сторона считается основанием.

Существует две теоремы об основании равнобедренного треугольника. Это:

• Теорема о равенстве углов: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Теорема о равенстве медианы, биссектрисы и высоты, проведенной к основанию. Теорема особенно подчеркивает, что из трех возможных медиан, высот и биссектрис, только проведенные к основанию окажутся равными между собой.

В равнобедренном треугольнике основание определяется значением сторон: равные стороны – боковые, неравная – основание.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

По ходу решения задачи может получится так, что основание окажется сбоку, не нужно этого пугаться. Стоит или привыкнуть к такому построению равнобедренного треугольника или каждый раз перечерчивать чертеж, разворачивая треугольник в нужную сторону.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – это частный случай равнобедренного. У равнобедренного треугольника равны две стороны, а у равностороннего все три. Но именно из-за этого свойства значение основания равнобедренного треугольника теряется.

В равностороннем треугольнике какую сторону не выбери: две другие всегда будут равны между собой, а значит любая сторона может считаться основанием.

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Существует формула, где часто упоминается слово основание. Это формула площади, которая равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. Но в качестве основания может быть принята любая сторона, главное, чтобы именно на нее падала высота. Поэтому и в этом случае выбор стороны треугольника, которую можно считать основанием, некритичен.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое основание треугольника. Поговорили о ситуациях, когда стоит выделять основание среди других сторон треугольника, а когда это окажется напрасной тратой времени. Обсудили значимость основания равнобедренного треугольника.

Как найти основание треугольника

Часто в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется найти основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько методов.

Вам понадобится

• Калькулятор

Инструкция

Строгого определения понятия «основание треугольника» в геометрии не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного в математике под понятием «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
Если известны высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
S=1/2*c*h, где:
S — площадь треугольника,

с — длина его основания,

h — длина высоты треугольника.
Из этой формулы находим:
с=2*S/h.
Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты — 10 см, то основание треугольника будет:
с=2*20/10=4 (см).

Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=Р-2*а, где:
Р — периметр треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника,

с — длина его основания.

Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=а*√(2*(1-cosC)), где:
C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника.

с — длина его основания.
(Формула является прямым следствием теоремы косинусов)
Имеется и более компактная запись этой формулы:
с=2*а*sin(B/2)

Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
с=2*а*cosA
A — величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника.

с — длина его основания.
Эта формула является следствием теоремы о проекциях.

Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=2*R*sinC, где:
C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

R — радиус описанной вокруг треугольника окружности,

с — длина его основания.
Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Обратите внимание

Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

Полезный совет

Как найти основание равнобедренного треугольника? Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, который находится напротив основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В результате, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.

Источники:

• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Как найти основание треугольника

Для того, чтобы найти основание треугольника, можно воспользоваться одной из формул, обязательно должны быть заданы для этой формулы площадь и высота. Вообще, в геометрии и тригонометрии нет четкого обозначения того, какая именно сторона является основанием, так как его можно перевернуть на любую из них. Чтобы найти основание треугольника, его для начала нужно обозначить, а именно выделить ту сторону, на противоположном от которой углу расположена высота. Это перпендикуляр по отношению к основанию, и в зависимости от типа треугольника, он может делить основание пополам.

Есть ряд основных формул, по которым можно найти основание треугольника, в том числе и равнобедренного. Основная формула выглядит так:

• S – площадь треугольника;
• С – длина основания треугольника, которую надо найти;
• h – высота треугольника.

Исходя из тех данных, которые у нас есть, можно найти основание треугольника, если дана площадь и высота.

Как найти основание равнобедренного треугольника

По этой же формуле можно найти основание равнобедренного треугольника. Если известна одна сторона и значение угла напротив основания, то можно вывести по формуле высоту треугольника и потом найти основание по общей формуле.

Как найти основание равностороннего треугольника через косинус

Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла, можно найти основание треугольника через формулу, где используется значение косинуса.

• С – величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника;
• А – длина боковой стороны треугольника;
• с – длина основания.

Эта формула для того, чтобы найти основание треугольника, основана на теореме косинусов и имеет более известную и более простую для применения формулу с=2*а*sin(B/2).

А еще интересно знать, стоит ли покупать евро, так как валюта постоянно дорожает.

Как найти основание треугольника

Строгого определения понятия «основание треугольника» в геометрии не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного в математике под понятием «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
Если известны высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
S=1/2*c*h, где:
S — площадь треугольника,

с — длина его основания,

h — длина высоты треугольника.
Из этой формулы находим:
с=2*S/h.
Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты — 10 см, то основание треугольника будет:
с=2*20/10=4 (см).

Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=Р-2*а, где:
Р — периметр треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника,

с — длина его основания.

Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=а*√(2*(1-cosC)), где:
C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника.

с — длина его основания.
(Формула является прямым следствием теоремы косинусов)
Имеется и более компактная запись этой формулы:
с=2*а*sin(B/2)

Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
с=2*а*cosA
A — величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника.

с — длина его основания.
Эта формула является следствием теоремы о проекциях.

Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=2*R*sinC, где:
C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

R — радиус описанной вокруг треугольника окружности,

с — длина его основания.
Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

• Как вычислить основание равнобедренного треугольника
• Как найти основание у равнобедренного треугольника
• Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если дано основание

Основание треугольника

Основание треугольника – это такая же сторона, как и две других. Основание редко имеет особое значение, но из-за визуальной обособленности от других сторон, ученики часто путаются и допускают ошибки. Разберем подробнее, как сторона треугольника может считаться основанием, и в каких случаях это действительно имеет значение

Стороны треугольника

У треугольника всегда три стороны. Одна из них считается основанием. Как правило, основание выделяется только построением, т.е. нижняя сторона треугольника, и приниматься за основание.

Иногда в решении указывают углы при основании произвольного треугольника. Это не совсем верно, поскольку в произвольном треугольнике все углы равнозначны, а значит не имеет смысла выделять углы при основании. Выделяются только углы при основании равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Углы произвольного треугольника.

Нужно учитывать, что любой произвольный треугольник можно условно перевернуть, т.е. перечертить фигуру таким образом, чтобы основанием стала другая сторона. По этому разделять понятие боковых сторон и основания у произвольного треугольника не имеет смысла – это только добавит путаницы в решение задачи.

Уравнение основания треугольника, так же, как и уравнение любой из сторон треугольника, является уравнением прямой линии.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – это единственный подвид треугольника, где основание имеет реальное практическое значение. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны между собой. Равные стороны зовутся боковыми, а третья сторона считается основанием.

Существует две теоремы об основании равнобедренного треугольника. Это:

• Теорема о равенстве углов: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Теорема о равенстве медианы, биссектрисы и высоты, проведенной к основанию. Теорема особенно подчеркивает, что из трех возможных медиан, высот и биссектрис, только проведенные к основанию окажутся равными между собой.

В равнобедренном треугольнике основание определяется значением сторон: равные стороны – боковые, неравная – основание.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник.

По ходу решения задачи может получится так, что основание окажется сбоку, не нужно этого пугаться. Стоит или привыкнуть к такому построению равнобедренного треугольника или каждый раз перечерчивать чертеж, разворачивая треугольник в нужную сторону.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – это частный случай равнобедренного. У равнобедренного треугольника равны две стороны, а у равностороннего все три. Но именно из-за этого свойства значение основания равнобедренного треугольника теряется.

В равностороннем треугольнике какую сторону не выбери: две другие всегда будут равны между собой, а значит любая сторона может считаться основанием.

Рис. 3. Равносторонний треугольник.

Существует формула, где часто упоминается слово основание. Это формула площади, которая равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. Но в качестве основания может быть принята любая сторона, главное, чтобы именно на нее падала высота. Поэтому и в этом случае выбор стороны треугольника, которую можно считать основанием, некритичен.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое основание треугольника. Поговорили о ситуациях, когда стоит выделять основание среди других сторон треугольника, а когда это окажется напрасной тратой времени. Обсудили значимость основания равнобедренного треугольника.

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Часто в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется найти основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько методов.

Вам понадобится

• Калькулятор

Инструкция

• Строгого определения понятия «основание треугольника» в геометрии не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного в математике под понятием «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
  Если известны высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
  S=1/2*c*h, где:
  S — площадь треугольника,с — длина его основания,h — длина высоты треугольника.
  Из этой формулы находим:
  с=2*S/h.
  Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты — 10 см, то основание треугольника будет:
  с=2*20/10=4 (см).
• Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=Р-2*а, где:
  Р — периметр треугольника,а — длина боковой стороны треугольника,с — длина его основания.
• Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=а*√(2*(1-cosC)), где:
  C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,а — длина боковой стороны треугольника.с — длина его основания.
  (Формула является прямым следствием теоремы косинусов)
  Имеется и более компактная запись этой формулы:
  с=2*а*sin(B/2)
• Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
  с=2*а*cosA
  A — величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,а — длина боковой стороны треугольника.с — длина его основания.
  Эта формула является следствием теоремы о проекциях.
• Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=2*R*sinC, где:
  C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,R — радиус описанной вокруг треугольника окружности,с — длина его основания.
  Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Геометрия — один из школьных предметов, который пригодится в будущем всем. По одной простой причине — геометрия, а впоследствии стереометрия развивает пространственное мышление. И если понять те законы, на которых строится само Пространство, будет легче понять другие, куда более интересные вещи, которые в этом пространстве работают.

Общий случай

Но вернёмся к нашим треугольникам. Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

В этом нам поможет знаменитая теорема косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора. Теорема косинусов гласит, что квадрат одной из сторон треугольника равен сумме двух других сторон треугольника, предварительно возведенных в квадрат, минус произведение этих сторон, умноженное на два, и умноженное на косинус угла между ними. Если известна длина двух сторон и угол между ними, то подставляем их в формулу и задача решена. Если же данные отличаются от этого, то необходимо опустить на основание высоту, получив два прямоугольных треугольника. Ну, а как найти основание прямоугольного треугольника — тривиальная задача. Соотношения сторон и углов позволяют вычислить длину основания при минимальных данных. Так как задачи в учебнике по определению должны быть решаемы, то всё получится.

Равнобедренный треугольник

Упростим задачу. В некоторых заданиях треугольник задан как равнобедренный. Напомним, равнобедренным называется треугольник, имеющий две равные стороны. Основанием же будет считаться третья сторона. Как найти основание равнобедренного треугольника в этом случае? Потребуется знать одну из сторон и угол, противолежащий основанию. Так как бёдра равны — вторая сторона известна и равна первой. А далее по теореме косинусов всё так же находим основание.

Прямоугольный треугольник

Сказка для ученика. Прямоугольный, он же треугольник с углом в девяносто градусов, — самый удобный треугольник. Как найти длину основания треугольника с прямым углом — вопрос, помогающий найти соотношения сторон в других, непрямоугольных треугольниках. Другие задачи часто сводят к этой путём проведения в треугольнике высоты, что разбивает фигуру на два прямоугольных треугольника. Здесь в силу вступает частный случай теоремы косинусов — теорема Пифагора. Так как косинус прямого угла равен нулю, произведение сторон обращается в ноль, оставляя в правой части только сумму квадратов катетов, в левой же части равенства находится квадрат гипотенузы — стороны, противолежащей прямому углу. И соответственно, основанием прямоугольного треугольника может считаться любой из его катетов.

Равносторонний треугольник

Как найти основание равностороннего треугольника — вопрос, вообще говоря, необычный. Для решения этой «сложной» задачи надо знать длину хотя бы одной стороны треугольника. И так как все стороны треугольника равны (он равносторонний) — основание будет равно длине стороны. Эта задачка скорее на сообразительность, чем на знание геометрии.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

ДРУГОЕ

Треугольник — строгая геометрическая фигура, вписывающаяся в общие законы, которым подчиняется пространство. Именно эти…

Треугольник, у которого две стороны равны между собой, называется равнобедренным. Эти его стороны называют боковыми, а…

Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками,…

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, в которой один угол обязательно прямой. Треугольник с прямым…

Задачами по решению треугольников (именно так называются подобные задачи) занимается особый раздел геометрии -…

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника…

Наверное, каждый знает такую простую фигуру, состоящую из трёх соединённых между собой линий, как треугольник. Из…

Вам интересно, как можно вычислить и найти среднюю линию треугольника. Тогда за дело.Найти длину средней линии…

Косинус – это всем известная тригонометрическая функция, которая к тому же является еще и одной из основных функций…

Синусы углов необходимо бывает вычислять не только в прямоугольном треугольнике, но и в любом другом. Для этого нужно…

Треугольник – особая фигура в геометрии. Он дал название целой отрасли математики – тригонометрии. Поэтому, очень важно…

Равнобедренный треугольник представляет собой простейший многоугольник, имеющий три угла и три стороны. Прежде чем…

Часто математические задачи требуют глубокого анализа, умения осуществлять поиск решения и выбор нужных утверждений,…

Инструкция

Строгого определения понятия «основание треугольника» не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного под понятием « треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
Если высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
S=1/2*c*h, где:
S — площадь треугольника,

с — длина его основания,

h — длина высоты треугольника.
Из этой формулы находим:
с=2*S/h.
Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты — 10 см, то основание треугольника будет:
с=2*20/10=4 (см).

Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей :
с=Р-2*а, где:
Р — периметр треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника,

с — длина его основания.

Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=а*√(2*(1-cosC)), где:

с — длина его основания.
(Формула является прямым следствием косинусов)
Имеется и более компактная запись этой формулы:
с=2*а*sin(B/2)

Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
с=2*а*cosA
A — величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,

а — длина боковой стороны треугольника.

с — длина его основания.
Эта является следствием теоремы о проекциях.

Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
с=2*R*sinC, где:
C — величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,

с — длина его основания.
Эта формула является прямым следствием теоремы .

Обратите внимание

Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

Полезный совет

Как найти основание равнобедренного треугольника? Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, который находится напротив основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В результате, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.

Источники:

• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Равносторонним называют треугольник, имеющий три равные стороны и три одинаковых угла. Такой треугольник еще называют правильным. Высота, проведенная из вершины к основанию, одновременно является биссектрисой и медианой, из чего следует, что эта линия делит угол вершины на два равных угла, а основание, на которую опускается, на два равных отрезка. Эти свойства треугольника
помогут вычислить его площадь
, равную половине произведения высоты на любую из его сторон.

Вам понадобится

• — знать, что такое высота и ее свойства
• — знать, что такое прямоугольный треугольник
• — знать, что такое гипотенуза и катеты
• — уметь решать уравнения с одной переменной со скобками

Инструкция

Сторона, противолежащая прямому углу, будет являться гипотенузой, а две остальные — катетами. Значит, высота треугольника
будет одним меньшего прямоугольного треугольника
. Второй катет будет равняться половине стороны большого треугольника
, так как высота в правильном прямоугольнике делит ее пополам, являясь медианой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы сумме квадратов катетов. Поэтому для того, чтобы узнать высоту, из

Первые — это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90 о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c 2 (квадрат гипотенузы) = a 2 +b 2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется «египетским». Интересно то, что которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

• Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, — бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
• При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30 о, 45 о и 60 о.

• При угле, который равен 30 о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
• Если угол 45 о, значит, второй острый угол также 45 о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
• Свойство угла в 60 о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30 о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

1. через высоту и сторону, на которую она опускается;
2. по формуле Герона;
3. по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как: