Задача. В пятом классе (25) учеников.
всех учащихся класса составляют мальчики.
Сколько мальчиков в классе?
| Вопросы к задаче | Ответы |
| 1. Какая величина принята за целое? |
1. За целое принято количество всех учеников класса |
| 2. Известна ли целая величина? | 2. Целое известно: (25) учеников |
| 3. Какую величину нужно найти? | 3. Количество мальчиков в классе, или часть от целого |
| 4. Как найти величину, которая приходится на 15? |
4. (25 : 5 = 5) учеников |
|
5. Как найти величину, которая приходится на 25 ? |
5. (5 · 2 = 10) мальчиков |
Ответ: в пятом классе (10) мальчиков.
Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель
и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.
Пример:
от (39) будет (39 : 3 · 2 = 13 · 2 = 26);
от (60) будет (60 : 4 · 3 = 15 · 3 = 45.)
Математика
5 класс
Урок № 67
Нахождение части целого и целого по его части
Перечень рассматриваемых вопросов
– нахождение целого по его части;
– нахождение части целого;
– моделирование условий задачи с помощью рисунка.
Тезаурус
Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.
Частное дробей – это дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое.
Обязательная литература
- Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже рассмотрели, как выполняют умножение и деление дробей. Сегодня с помощью этих действий мы будем решать задачи.
Рассмотрим две задачи.
Теперь определим, какие условия в задачах одинаковы, а какие различаются.
Общее:
- в задачах одинаковые числовые данные;
- за целое принята длина всей ленты.
Разное:
- в первой задаче целое известно (длина ленты – 18 м);
- во второй задаче целое нужно найти.
Значит, в первой задаче нужно найти часть отрезанной ленты, то есть часть от целого; а во второй задаче нужно найти всю длину ленты, то есть целое по его части.
Подобные задачи решаются в соответствие с известными правилами.
- Чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь, соответствующую этой части.
- Чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую дробь.
Если вы затрудняетесь определить тип задачи, обратите внимание на союз «что» и указательное местоимение «это». Они встречаются в задачах на нахождение целого по его части.
Решение.
Смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
После этого мы увидим, что длина целой ленты известна, а длину части следует вычислить. Значит, мы будем находить часть от целого. Используем для этого соответствующее правило. Чтобы найти часть числа, нужно число умножить на дробь. Получим:
Решение.
Опять смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
Таким образом, мы увидим, что длина целой ленты неизвестна, а длина части указана в условии. Значит, нам надо вычислить целое по его части. Для этого мы используем подходящее правило. Чтобы найти целое, нужно число, соответствующее части, разделить на дробь.
Получится:
Итак, сегодня на уроке мы научились:
-
- моделировать условие задачи с помощью рисунка;
- устанавливать соответствие между математическим выражением и его текстовым описанием;
- решать задачи на нахождение части целого и целого по его части.
Рассмотрим старинную индийскую задачу XII века.
Из множества лотосов были подарены: богу Шиве – треть всех цветов, богу Вишну – пятая часть, а Солнцу – шестая, четвёртую долю получила богиня Бхавани, а остальные шесть частей – уважаемый учитель. Сколько было всего лотосов?
Сегодня мы с вами научимся решать такие задачи с применением действий умножения и деления, изученных ранее.
Решение.
Смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
Общее количество лотосов обозначим за единицу. Также укажем части (лотосы), которые распределялись между всеми, кто указан в задании.
Известно, что часть, доставшаяся учителю, равна шести лотосам. Значит, если мы будем знать, какая это доля от общего количества лотосов, то придём ко второму типу задачи – вычислению целого по его части.
Итак, найдём, какая часть от общего количества цветков досталась учителю.
Для этого вычислим сначала, сколько составляют все остальные части. Сложим все дроби, соответствующие частям, приведя их к общему знаменателю 60.
Ответ: 120 цветков.
Тренировочные задания
№ 1. Какие части изображены на рисунках?
Правильные ответы:
№ 2. Подставьте в текст нужные слова:
При решении задач на ___ сначала нужно определить ___ задачи, а потом применить соответствующее правило.
Типы задач:
- нахождение ___ от целого;
- нахождение целого по его ___.
Варианты слов для подстановки в текст: части; тип; целого.
Правильный ответ: при решении задач на части сначала нужно определить тип задачи, а потом применить соответствующее правило.
Типы задач:
- нахождение части от целого;
- нахождение целого по его части.
Чтобы найти часть от целого, надо число,
соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на
числитель дроби, которая выражает эту часть.
1/9 от 36 = 36 : 9 * 1=
4
1/9
?__.___.___.___.___.___.___.___.___.
36
5/7 от 35 = 35 : 7 * 5 =
25
5/7
.___.___?___.___.___.___.___.
35
1) В группе 24 ребёнка. Из
них 3/8 — 5-ти летние. Сколько в группе 5-ти летних детей?
2) Площадь ромба 10 см2 .
Закрашено 2/5 части площади
ромба. Какова площадь закрашенной части ромба?
3.) В секции
карате 80 детей, ¼ из них – подготовительная группа. Сколько детей в подготовительной
группе?
4.) В среднем вывозят 70 тонн
бытового мусора от 1 дома за квартал, ½ этого
количества перерабатывается безопасными для экологии методами. Сколько мусора
перерабатывается без вреда для экологии?
5.) В месяц смена работниц
пошила 600 костюмов. За 2 недели они пошили 2/3 всех костюмов. Сколько костюмов
пошили за 2 недели?
6.) С одного ряда смородины
собрали 16 кг ягод. Из 2/3 всех ягод сварили варенье. Какое количества ягод
использовали для варенья?
7.) В кладовке было 40 яиц.
За неделю семья съела 3/8 всех яиц. Сколько яиц съели за неделю?
Чтобы найти целое по его
части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и
результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.
1/9 = 3 целое =
3:1*9 = 27
1/9
.___.___.___.___.___.___.___.___.___.
3
?
5/7 = 20 целое = 20:5
*7 = 28
5/7
.___.___.___.___.___.___.___.
20
?
Сколько посетителей было в
музее, если 1/9 всех посетителей составляет 10 человек?
9) Найдите число, 8/10 которого равны 80.
10) У старого забора закрасили 14
м2 , что
составило 2/5
части всего забора. Чему равна площадь всего
забора?
11.) В бассейне занималось 20
мальчиков, что составляет ¼ всех постоянных посетителей бассейна. Сколько всего
постоянных посетителей бассейна?
12.) Из бака набрали 7/12
находившегося там керосина. Сколько литров керосина было в баке, если из него взяли
84 литра?
13.) Бегун прошёл 300
м на своей максимальной скорости, что составляло 3/8 всей дистанции. Какова
длина дистанции?
14.) Расчистили от от
верхнего слоя почвы 2/5 участка раскопок археологов, что составляет 200
м2. Найдите площадь всего участка раскопок?
15.) Ученик прочитал ¾ книги,
что составляет 120 страниц. Сколько страниц в книге?
Нахождение части от целого
Найди 2/8 от 80.
80 делим на 8 и умножаем на 2.
80:8=10 – это 1/8
10*2=20 – это 2/8
80:8*2=20
Нахождение целого по его части
Найди целое, если ¾ составляют 15.
15 делим на 3 и умножаем на 4.
15:3=4 – это ¼
5*4=20 – это целое.
15:3*4=20
Нахождение части от целого
Найди 2/8 от 80.
80 делим на 8 и умножаем на 2.
80:8=10 – это 1/8
10*2=20 – это 2/8
80:8*2=20
Нахождение целого по его части
Найди целое, если ¾ составляют 15.
15 делим на 3 и умножаем на 4.
15:3=5 – это ¼
5*4=20 – это целое.
15:3*4=20
§ 1 Правила нахождения части от целого и целого по его части
В этом занятии сформулируем правила отыскания части от целого и целого по его части, а также рассмотрим решение задач с использованием этих правил.
Рассмотрим две задачи:
Сколько километров прошли туристы в первый день, если весь туристический маршрут 20 км.?
Найдите длину всего пути туристов.
Сравним эти задачи — в обеих за целое принят весь путь. В первой задаче целое известно – 20 км, а во второй – неизвестно. В первой задаче необходимо найти часть от целого, а во второй — целое по его части. Величина, известная в первой задаче 20 км, неизвестна во второй задаче, и наоборот, известное во второй задаче – 8 км, в первой необходимо найти. Такие задачи называются взаимно обратными, так как в них известные и искомые величины меняются местами.
Рассмотрим первую задачу:
Знаменатель 5 показывает, на сколько частей разделили целое, т.е. если целое 20 разделить на 5, узнаем, сколько километров составляет одна часть, 20: 5 = 4 км. Числитель 2 показывает, что туристы прошли 2 части пути, значит 4 надо умножить на 2, получится 8 км. В первый день туристы прошли 8 км.
Получилось выражение 20 : 5 ∙ 2 = 8.
Перейдем ко второй задаче.
Следовательно, одна часть будет равна частному 8 и 2, получится 4, знаменатель 5, значит, всего частей 5.
4 умножить на 5, получится 20. Ответ 20 км длина всего пути.
Запишем выражение: 8 : 2 ∙ 5 = 20
Используя смысл умножения и деления числа на дробь, правила отыскания части от целого и целого по его части можно сформулировать так:
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, умножить на дробь, соответствующую этой части;
чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на соответствующую части дробь.
Соответственно решение задач можно записать теперь по другому:
для первой задачи 20 ∙ 2/5 = 8 (км),
для второй задачи 8 : 2/5 = 20 (км).
Чтобы не было затруднений, решение подобных задач записываем так:
Целое: весь путь, известно – 20 км.
Ответ: 8 км.
Целое: весь путь – неизвестно.
Ответ: 20 км.
§ 2 Алгоритм решения задач на нахождение целого по его части и части целого
Составим алгоритм решения подобных задач.
Сначала проанализируем условие и вопрос задачи: выясним, что является целым, известно оно или нет, далее выясним, как представлена часть целого и что нужно найти.
Если необходимо найти часть от целого, то целое умножим на дробь, соответствующую этой части, если надо найти целое по его части, то число, соответствующее части разделим на дробь, соответствующую этой части. В результате получим выражение. Далее найдем значение выражения и запишем ответ, прочитав перед этим еще раз вопрос задачи.
Итак, прежде чем решать подобные задачи, необходимо ответить на следующие вопросы:
Какая величина прията за целое?
Известна ли эта величина?
Что требуется найти: часть от целого или целое по его части?
Подведем итоги: в этом уроке Вы познакомились с правилами отыскания части от целого и целого по его части, а также научились решать задачи по этим правилам.