Как найти часть вектора по координатам

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10,
можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного
произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве
аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений
которых необходимо найти. В MathCAD
скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего
оператора панели инструментов Matrix 

Содержание:

• Формула
• Примеры нахождения орта вектора

Формула

Чтобы найти орт $bar{e}$ вектора
$bar{a}$, нужно вектор
$bar{a}$ поделить на его
длину:

Если вектор задан на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его орт вычисляется по формуле:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}right)$$

Если вектор задан в пространстве и имеет координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то его орт вычисляется по формуле:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}=$$
$$=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}right)$$

Примеры нахождения орта вектора

Читать дальше: как найти вектор по точкам.

Содержание:

Определение: Вектором называется направленный отрезок прямой

где А — начало, а В — конец вектора.

Замечание: Векторы в основном обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелочкой (или черточкой) наверху .

Определение: Если начало и конец вектора не закреплены, то он называется свободным.

Замечание: Свободный вектор можно перемещать как вдоль его прямой, так и параллельно самому себе.

Определение: Если зафиксирована точка, которая определяет начало вектора, то она называется точкой приложения вектора.

Определение: Длиной (модулем) вектора а называется расстояние от его начала до его конца:

Определение: Векторы называются коллинеарными (Рис. 1), если они лежат на одной прямой или в параллельных прямых.

Рис.1. Коллинеарные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными (Рис. 2), если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Рис.2. Компланарные векторы.

Определение: Два коллинеарных вектора и называются равными, если они со-направлены и имеют одинаковую длину.

Определение вектора и основные свойства

Многие величины, например, масса, длина, время, температура и др. характеризуются только числовыми значениями. Такие величины называются скалярными величинами. Некоторые же величины, например, скорость, ускорение, сила и др. определяются как числовыми значениями, так и направлением. Такие величины называются векторными величинами. Перемещение — самый простой пример векторных величин. Перемещение тела из точки в точку изображается с помощью направленного от до отрезка — вектора. Вектор изображается с помощью направленного отрезка.

Длина этого отрезка, называется длиной или модулем вектора. Вектор обозначается указанием начальной и конечной точки. Например, вектор , здесь — начало, вектора. Вектор обозначается также и маленькими буквами, например, вектор . Длину вектора обозначают, как:

Два вектора называется равными, если они равны по модулю и одинаково направлены. На рисунке векторы и равны: .

• Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены.

Векторы и противоположны:

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается Длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Если направленные отрезки, изображающие векторы, параллельны или лежат на одной и той же прямой, то они называются коллинеарными векторами. Коллинеарные вектора могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Одинаково направленные вектора обозначаются как , а противоположно направленные .

На рисунке векторы -коллинеарные векторы. Здесь

Выражения вектора компонентами в координатной плоскости

Рассмотрим вектор на координатной плоскости. Конечная точка относительно начальной точки изменила свое положение вдоль оси на (при направо, при налево), вдоль оси на (при вверх, при вниз). Векторы и , определенные (и по модулю, и по направлению) парами чисел и (как указано выше), являются компонентами вектора . На координатной плоскости вектор записывается как . Эта запись называется записью вектора с компонентами.

Равные векторы имеют равные компоненты. Наоборот, если, соответствующие компоненты векторов равны, то эти векторы равны. На рисунке . Если дан какой либо вектор , то выбрав любую точку плоскости как начало, можно построить вектор равный данному, причем только один. Значит, выбирая разные начальные точки можно построить бесконечно много векторов равных данному.

На координатной плоскости вектор с начальной точкой и конечной точкой согласно координатам этих точек можно выразить с компонентами. Так как , то . Здесь называются также координатами вектора.

Длина вектора

Длину вектора можно найти по координатам начальной у и конечной точек, используя формулу расстояния между точками.

Длину вектора данными с компонентами можно найти по формуле:

Пример 1.

Напишите вектор начальная точка которого , конечная в виде

Решение: Напишем вектор с компонентами:

Пример 2.

Точка начальная точка вектора Найдите координаты конечной точки этого вектора.

Решение: Примем за координаты конечной точки вектора — точку : Тогда . Конечная точка этого вектора

Пример 3.

В координатной плоскости нарисуйте несколько векторов равных вектору начальными точками которых являются точки .

Решение: Данные точки отмечаются на координатной плоскости. Начиная с этих точек изображаются векторы равные

Пример 4.

и соответственно начальная и конечная точка вектора . Напишите этот вектор в виде и найдите длину

Направление вектора

В соответствии с областями применения существуют различные способы определения направления вектора. В повседневной жизни мы выражаем направление словами налево, направо, вниз, вверх или же восток, запад, север, юг. На координатной плоскости направление вектора определяется углом с положительным направлением оси против часовой стрелки. Этот угол назовем углом наклона.

На рисунке длина вектора обозначена а угол, определяющий направление, через .

длина вектора:

направление вектора: или

Иногда для простоты вектор изображается на плоскости только указанием положительного направления .

Пример 1.

Вектор перемещения, модуль которого 200 м, направлен под углом наклона Выбрав масштаб 1 см : 100 м, нарисуйте этот вектор.

Решение: От начала луча, образующий с положительным направлением оси угол в , соответственно масштабу 1 см : 100 м линейкой отложим отрезок длиной 2 см.

Пример 2.

Определите длину и угол наклона вектора

Решение: Произвольную точку на координатной плоскости примем за начало вектора. От этой точки по горизонтальной оси отложим компоненту , равную 3 единицам, по вертикальной оси отложим компоненту , равную 4 единицам, и построим вектор как показано на рисунке. Если измерить транспортиром угол , то можно увидеть, что его приближенное значение равно Это можно проверить вычислениями.

Длина вектора: Угол наклона:

Сложение и вычитание коллинеарных векторов

Вектор, показывающий сумму одинаково направленных коллинеарных векторов называется результирующим. Его абсолютная величина равна сумме абсолютных величин данных векторов, а сам вектор имеет одинаковое направление с данными векторами.

Абсолютная величина результирующего вектора 2-х противоположно-направленных коллинеарных векторов равна разности абсолютных величин этих векторов, а направление совпадает с направлением вектора большего по абсолютной величине.

Выполним графически сложение векторов, соответствующее реальным жизненным ситуациям.

Задача 1.

Для того, чтобы достичь финиша, Джамиля должна пройти 3 знака. Если она пройдет 10 м на восток, то доберется до 1-го знака, потом пройдя 50 м вперед до 2-го знака и, пройдя в том же направлении еще 20 м, сможет добраться до финиша. Изобразите движение Джамили графически — векторами. Выберем масштаб:

1 см : 10 м и на числовой оси нарисуем векторы так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого, а начало третьего с концом второго.

Результирующий вектор обозначим через Его длину можно выразить как:

Общее перемещение: 10 м + 50 м + 20 м = 80 м (на восток) Изображается вектор длиной 8 см согласно выбранному масштабу.

Задача 2.

Представьте, что вы прошли 100 м на восток, еще 200 метров на запад.

Нарисуем данные вектора в масштабе

По определению, модуль результирующего вектора равен разности модулей векторов. А направление будет на запад.

В этом случае длина результирующего вектора равна:

200 м 100 м = 100 м (на запад)

Пусть векторы и противоположно направленные, а их результирующий вектор. При и вектор одинаково направлен с вектором .

При и вектор одинаково направлен с вектором .

При то есть сумма противоположных векторов равна вектору.

Для того, чтобы найти разность нужно к вектору прибавить вектор , противоположный вектору .

То есть выражения эквивалентные.

Жившие в XVII веке ученые-математики Рене Декарт и Пьер Ферма, взаимосвязывая алгебру и геометрию, создали новую область науки-аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой стороны, в силу наглядности геометрических представлений упрощает решение задач над векторами.

Сложение векторов

Существуют различные способы сложения неколлинеарных векторов. Рассмотрим два графических способа. При сложении векторов графическим способом данные вектора и результирующий вектор, показывающий их сумму строятся с помощью линейки (модуль) и транспортира(направление).

Вектора можно складывать в любой последовательности. Переместительное свойство сложения верно и для векторов. По этому правилу можно складывать три и более вектора. Определим графическим способом вектор Для этого: 1) нарисуем вектор противоположный вектору 2) переместим так, чтобы конечная точка вектора совпадала с начальной точкой вектора

3. Соединим начальную точку вектора и конечную точку вектора Это будет вектор

Пример 1.

Джамал прошел от палатки, разбитой в лагере 60 метров на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Какое наименьшее расстояние от палатки до озера?

Решение:

Выберем масштаб: 1 см : 40 м

Движение Джамала изобразим последовательно соответствующими векторами по выбранному масштабу.

Начальную точку 1-го вектора, показывающего движение Джамала, соединим с конечной точкой 3-го вектора. Полученный результирующий вектор выражает сумму векторов Длина этого вектора приблизительно 126,4 метров, а направление под углом

Ответ: Озеро находится на расстоянии 126,4 м от палатки.

Правило параллелограмма

1. Даны вектора: и

2. Переместим вектор так, чтобы начальные точки векторов и совпадали.

3. Построим параллелограмм со сторонами и параллельным переносом соответствующих векторов и Диагональ этого параллелограмма, которая соединяет начальную и конечную точку векторов показывает их сумму:

Переместительные и сочетательные свойства сложения векторов

Для любых векторов верно следующее:

Переместительное свойство:

Сочетательное свойство:

Свойство идентичности:

Сумма противоположенных векторов:

Пример:

Сложение векторов, заданных компонентами

Выполним сложение двух векторов на координатной плоскости, используя их компоненты.

Суммой векторов и будет вектор:

Пример 1.

Если и то вектор выразите через компоненты.

Решение: Для того, чтобы найти компоненты вектора нужно по горизонтали (оси абсцисс) и по вертикали (оси ординат) сложить соответствующие компоненты векторов

Пример 2.

Самолет летит в направлении северо-востока со скоростью 707 миль/час. Скорость самолета выражается вектором В восточном направлении дует ветер со скоростью 40 миль/час. Скорость ветра выражается вектором Как изменится скорость самолета под воздействием ветра?

Конечная скорость самолета:

Аналогично можно показать, что

Пример 3.

Если , то

Тригонометрические отношения и компоненты вектора

Найдем компоненты вектора в координатной плоскости, используя тригонометрические отношения. Обозначим

имеем:

Запись также является записью вектора с компонентами. Угол наклона можно найти по формуле

Пример 1.

Автомобиль движется в северо-восточном направлении под углом со скоростью 80 км/ч. Напишите вектор скорости с компонентами.

Решение: По данным

скорость в вост. напр.

скорость в север, напр.

Пример 2.

Движения мяча изображены двумя векторами: с углом наклона и модулем равным 18 м и с углом наклона и модулем равным 10 м. Определите вектор, показывающий перемещение мяча (модуль и направление).

Решение: Перемещение мяча: Запишем векторы c компонентами:

Здесь

Пусть

По правилу сложения векторов с заданными компонентами имеем:

Найдем длину и угол наклона вектора перемежения мяча, изобразив этот вектор в новой системе координат.

Умножение вектора на число

Произведение вектора на число записывается как а его длина равна при вектора имеют одинаковое направление, при вектора имеют противоположное направление. Любой вектор коллинеарен вектору, выражающему произведение этого вектора на число (отличное от нуля). Если и коллинеарные векторы, то существует единственное число что

Свойство умножения вектора на число

1. Сочетательное свойство.

Для любых чисел и вектора

2. Распределительное свойство.

Для любых чисел и вектора

Для любого числа и векторов

Действия над векторами, заданным над координатами

Для вектора заданного компонентами и для любого числа верно:

Пример: Если

Пример: Если

• Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

• Наоборот, если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарные.

Условие коллинеарности векторов (при )

Пример: При каком значении векторы коллинеарны?

Подробное объяснение вектора:

Определение: Вектор — Упорядоченную совокупность n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа — компонентами, или координатами, вектора.

Пример:

Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения:

Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) (2, 3, 5, 0, 1).

Операции над векторами. Произведением вектора на действительное число называется вектор Суммой векторов и называется вектор

Пространство векторов. N-мерное векторное пространство определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

где через обозначается количество блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров

Линейная независимость. Система n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все Геометрический смысл линейной зависимости векторов в интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае — левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка некомпланарных векторов в называется базисом, а сами векторы — базисными. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде (1.1) числа в разложении (1.1) называются координатами вектора в базисе и обозначаются

Ортонормированный базис. Если векторы попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать Будем предполагать, что в пространстве выбрана правая система декартовых прямоугольных координат

Векторное произведение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов
3. Векторы взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения вводится обозначение

Если векторы коллинеарны, тo в частности, Векторные произведения ортов: Если векторы заданы в базисе координатами то Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов скалярно умножается на третий вектор , то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом Если векторы в базисе заданы своими координатами

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование — это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка — левая, то и следовательно

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору обозначается символом Символом обозначается радиус-вектор точки М, символами обозначаются модули векторов

Пример №1

Найдите угол между векторамиединичные векторы и угол между равен 120°.

Решение:

Имеем:

Окончательно имеем:

Пример №2

Зная векторы АВ(-3,-2,6) и ВС(-2,4,4), вычислите длину высоты AD треугольника АВС.

Решение:

Обозначая площадь треугольника АВС через S, получим:

значит, вектор имеет координаты (—5,2,10).

Пример №3

Даны два вектора Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов была правой.

Решение:

Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через Поскольку По условию задачи требуется, чтобы и Имеем систему уравнений для нахождения

Из первого и второго уравнений системы получим Подставляя в третье уравнение, будем иметь:

Используя условие получим неравенство

С учетом выражений для перепишем полученное неравенство в виде: откуда следует, что

Линейные операции над векторами

1. Сумма векторов. Для нахождения суммы векторов существует два правила: а) правило треугольника. Пусть векторы и неколлинеарные и пусть начало вектора совмещено с концом вектора , тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с началом вектора , а его конец — с концом вектора (Рис. 3):

Рис. 3. Сложение векторов по правилу треугольника.

б) правило параллелограмма. Пусть векторы неколлинеарные и пусть начала векторов совпадают. Построим на векторах параллелограмм (Рис. 4), тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с общим началом векторов , а его конец лежит в противоположной вершине параллелограмма:

Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Сумма векторов обладает следующими свойствами:

-переместительным ; — сочетательным

2. Разность векторов. Разностью векторов называется вектор сумма которого с вектором дает вектор (Рис. 5): Рис. 5. Разность векторов.

3. Умножение вектора на вещественное число. При умножении веществе иного числа k на вектор получают ему коллинеарный вектор длина которого равна сонаправленный с вектором если и антинаправленный вектору если

Замечание: Числа в векторной алгебре называют скалярами. Отметим здесь, что векторы и скаляры нельзя складывать и вычитать, так как это объекты разной природы.

Замечание: Из определения операции 3 следует первое условие коллинеарности векторов: — отношения соответствующих проекции векторов должны быть равны между собой (о проекциях векторов см. ниже пункты 3 и 4).

Пример №4

Найти произведение вектора на 2 и (-3).

Решение:

Используя вышеприведенное правило, получим

Произведение числа на вектор обладает следующими свойствами:

Замечание: Если k = 0, то в результате умножения , получают нулевой вектор.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. расположены в одной точке.

Проекция вектора на произвольную ось

Пусть дана ось l и вектор Проведем через начало вектора прямую,

которая параллельна оси l, угол между прямой и вектором обозначим через (Рис. 6):

Рис. 6. Проекция вектора на заданную ось.

Из начала и конца вектора опустим на ось l перпендикуляры, получим отрезок

Определение: Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка взятая со знаком «+», если угол и со знаком «-», если Из рисунка видно, что отрезок следовательно, Из этой формулы видно, что при величина а при величина При проекция равна нулю, Т. е.

Проекции обладают свойствами:

— если то

Декартова система координат и вектора

Определение: Направленная прямая с выбранным началом отсчета и масштабом измерения называется числовой осью.

Определение: Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси называются декартовой системой координат на плоскости (в пространстве).

Рассмотрим декартову систему координат и спроектируем вектор на координатные оси (Рис. 7).

Рис. 7. Проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Из рисунка видно, что проекции вектора на:

(в пространстве — ось аппликат (Oz) ).

Определение: Проекции называются координатами вектора Используя теорему Пифагора, найдем длину вектора

Направляющие косинусы вектора

Обозначим углы, которые образует вектор с положительными направлениями координатных осей пространственной декартовой системы отсчета через Тогда

Определение: Величины называются направляющими косинусами вектора

Вычислив квадрат модуля вектора найдем соотношение, которое связывает направляющие косинусы вектора

Способы задания вектора

1. Задаются координаты начальной и конечной точек вектора и. Тогда
2. Задаются аффинные координаты вектора
3. Задаются длина вектора и два любых угла, которые образует вектор с какими-либо координатными осями и знак одной из проекций:, но так как по условию , то . Следовательно,

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространственной декартовой системе отсчета даны две точки и Требуется найти на заданном отрезке такую точку чтобы где — заданное число (Рис. 8).

Рис. 8. Деление отрезка в заданном отношении.

Из рисунка видно, что В силу того, что Подставляя это равенство в систему и исключая вектор найдем, что .

Отсюда найдем вектор В проекциях на координатные оси это равенство равносильно системе равенств которая определяет деление отрезка в заданном отношении. Если точка делит отрезок пополам то система полученных равенств принимает вид известный из курса математики средней школы

Понятие базиса векторов

Определение: Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.

Теорема: Пусть даны два неколлинеарных вектора и . Любой другой компланарный им вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов и : , где и — вещественные числа.

Доказательство: Пусть векторы , и приведены к общему началу (Рис. 9), т.е.

Рис. 9. Разложение вектора по заданному базису.

Из рисунка видно, что (правило параллелограмма, Лекция .№ 4). Вектор коллинеарен вектору а вектор вектору Следовательно, найдутся 2 вещественных числа такие, что будут выполняться равенства: Отсюда следует, что

Докажем единственность разложения вектора по базису Пусть существуют другие вещественные числа такие что и пусть хотя бы одна из пар содержит разные числа, например, Вычитая из первого разложения второе, получим

Это означает, что векторы коллинеарные, что противоречит условию теоремы о том, что они образуют базис. Таким образом, разложение вектора по базису единственно и имеет ВИД В силу произвольности вектора данная теорема справедлива для любого вектора компланарного с векторами

Замечание: С геометрической точки зрения числа определяют те числа, на которые надо умножить базисные вектора чтобы по правилу параллелограмма получить вектор В трехмерном пространстве произвольный вектор может быть разложен по некомпланарной тройке векторов причем единственным образом.

Определение: Ортом направления оси называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс — Ох, ординат — Оу и аппликат — Oz) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей: — через — через — через (Рис. 10):

Рис. 10. Орты (единичные векторы) декартовой системы координат.

Из Рис. 10 видно, что орты осей имеют следующие проекции:

Так как векторы некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор может быть единственным образом разложен по этому базису, причем в качестве чисел выступают проекции вектора:

Векторы в геометрии

Изучая материал этого параграфа, вы узнаете, что векторы используются не только в физике, но и в геометрии. Вы научитесь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, находить угол между двумя векторами, применять свойства векторов для решения задач.

Понятие вектора в геометрии

Вы знаете много величин, которые определяются своими числовыми значениями: масса, площадь, длина, объем, время, температура и т. д. Такие величины называют скалярными величинами или скалярами.

Из курса физики вам знакомы величины, для задания которых недостаточно знать только их числовое значение. Например, если на пружину действует сила 5 то непонятно, будет ли пружина сжиматься или растягиваться (рис. 12.1). Надо еще знать, в каком направлении действует сила.

Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами или векторами.

Сила, перемещение, скорость, ускорение, вес — примеры векторных величин.

Есть векторы и в геометрии.

Рассмотрим отрезок Если мы договоримся точку считать началом отрезка, а точку — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки к точке

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Вектор с началом в точке и концом в точке обозначают так: (читают: «вектор

На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке 12.2 изображены векторы Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 12.3 изображены векторы

Вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называют нулевым вектором или нуль-вектором и обозначают Если начало и конец нулевого вектора — это точка то его можно обозначить и так: На рисунке нулевой вектор изображают точкой.

Модулем вектора называют длину отрезка Модуль вектора обозначают так: а модуль вектора — так:

Модуль нулевого вектора считают равным нулю:

Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

На рисунке 12.4 изображены коллинеарные векторы и

Тот факт, что векторы коллинеарны, обозначают так:

На рисунке 12.5 ненулевые коллинеарные векторы одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и пишут:

Если

Аналогичным свойством обладают и сонаправленные векторы, то есть если (рис. 12.6).

На рисунке 12.7 ненулевые коллинеарные векторы противоположно направлены. Этот факт обозначают так:

Определение. Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

На рисунке 12.8 изображены равные векторы Это обозначают так:

Равенство ненулевых векторов означает, что и

Нетрудно доказать, что если Убедитесь в этом самостоятельно.

Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 12.9 изображены вектор а и векторы, равные вектору Каждый из них также принято называть вектором

На рисунке 12.10, а изображены вектор и точка Если построен вектор равный вектору то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 12.10, б).

Покажем, как от произвольной точки отложить вектор, равный данному вектору

Если вектор нулевой, то искомым вектором будет вектор

Теперь рассмотрим случай, когда Пусть точка лежит на прямой, содержащей вектор (рис. 12.11). На этой прямой существуют две точки такие, что На указанном рисунке вектор будет равным вектору Его и следует выбрать.

Если точка не принадлежит прямой, содержащей вектор то через точку проведем прямую, ей параллельную (рис. 12.12). Дальнейшее построение аналогично уже рассмотренному.

От заданной точки можно отложить только один вектор, равный данному.

Пример №5

Дан четырехугольник Известно, что и Определите вид четырехугольника

Решение:

Из условия следует, что Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.

Равенство означает, что диагонали четырехугольника равны. А параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Координаты вектора

Рассмотрим на координатной плоскости вектор Отложим от начала координат равный ему вектор (рис. 13.1). Координатами вектора называют координаты точки Запись означает, что вектор имеет координаты

Числа называют соответственно первой и второй координатами вектора

Из определения следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов (рис. 13.2) имеет координаты

Справедливо и обратное утверждение: если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Действительно, если отложить такие векторы от начала координат, то их концы совпадут.

Очевидно, что нулевой вектор имеет координаты

Теорема 13.1. Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа и равны соответственно первой и второй координатам вектора

Доказательство: Пусть вектор равный вектору имеет координаты Докажем, что

Если то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Отложим от начала координат вектор равный вектору Тогда координаты точки равны

Поскольку то, воспользовавшись результатом задачи 12.32, можем сделать вывод, что середины отрезков совпадают. Координаты середин отрезков соответственно равны Тогда

Эти равенства выполняются и тогда, когда точка совпадает с точкой или точка совпадает с точкой

Отсюда

Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор имеет координаты то

Пример №6

Даны координаты трех вершин параллелограмма Найдите координаты вершины

Решение:

Поскольку четырехугольник — параллелограмм, то Следовательно, координаты этих векторов равны.

Пусть координаты точки равны Для нахождения координат векторов воспользуемся теоремой 13.1.

Имеем:

Отсюда:

Ответ:

Сложение и вычитание векторов

Если тело переместилось из точки в точку а затем из точки в точку то суммарное перемещение из точки в точку естественно представить в виде вектора считая этот вектор суммой векторов то есть (рис. 14.1).

Этот пример подсказывает, как ввести понятие суммы векторов, то есть как сложить два данных вектора и

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору Далее от точки отложим вектор равный вектору Вектор называют суммой векторов (рис. 14.2) и записывают:

Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Это название связано с тем, что если векторы не коллинеарны, то точки являются вершинами треугольника (рис. 14.2).

По правилу треугольника можно складывать и коллинеарные векторы. На рисунке 14.3 вектор равен сумме коллинеарных векторов

Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило треугольника для сложения векторов.

Теорема 14.1. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны

Доказательство: Пусть точки таковы, что Имеем: Докажем, что координаты вектора равны

Найдем координаты векторов

Имеем:

С учетом того, что получаем:

Замечание. Описывая правило треугольника для нахождения суммы векторов мы отложили вектор от произвольной точки. Если точку заменить точкой то вместо вектора равного сумме векторов получим некоторый вектор Из теоремы 14.1 следует, что координаты векторов равны следовательно, Это означает, что сумма векторов не зависит от того, от какой точки отложен вектор Свойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел.

Для любых векторов выполняются равенства:

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Сумму трех и более векторов находят так: сначала складывают первый и второй векторы, затем складывают полученный вектор с третьим и т. д. Например,

Из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов следует, что при сложении нескольких векторов можно менять местами слагаемые и расставлять скобки любым способом.

В физике часто приходится складывать векторы, отложенные от одной точки. Так, если к телу приложены силы (рис. 14.4), то равнодействующая этих сил равна сумме

Для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, удобно пользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов.

Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов (рис. 14.5). Отложим вектор равный вектору Тогда Поскольку векторы равны, то четырехугольник — параллелограмм с диагональю

Приведенные соображения позволяют сформулировать правило параллелограмма для сложения неколлинеарных векторов

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм (рис. 14.6). Тогда искомая сумма равна вектору

Определение. Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору

Пишут:

Покажем, как построить вектор, равный разности данных векторов

От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам (рис. 14.7). Тогда вектор равен разности Действительно, Следовательно, по определению разности двух векторов то есть

На рисунке 14.7 векторы неколлинеарны. Однако описанный алгоритм применим и для нахождения разности кол-линеарных векторов. На рисунке 14.8 вектор равен разности коллинеарных векторов

Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.

Теорема 14.2. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны

Докажите эту теорему самостоятельно.

Из теоремы 14.2 следует, что для любых векторов существует единственный вектор такой, что

Определение. Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены.

Если векторы противоположны, то говорят, что вектор противоположный вектору а вектор противоположный вектору

Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору обозначают так:

Из определения следует, что противоположным вектору является вектор Тогда для любых точек выполняется равенство

Из правила треугольника следует, что

А из этого равенства следует, что если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Теорема 14.3. Для любых векторов выполняется равенство

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенства. Сделайте это самостоятельно.

Теорема 14.3 позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора вычесть вектор можно к вектору прибавить вектор (рис. 14.9).

Пример №7

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке (рис. 14.10). Выразите векторы и через векторы

Решение:

Поскольку точка — середина отрезков и

Имеем:

Умножение вектора на число

Пусть дан ненулевой вектор На рисунке 15.1 изображены вектор равный вектору и вектор равный вектору Очевидно, что

Вектор обозначают и считают, что он получен в результате умножения вектора на число 2. Аналогично считают, что вектор получен в результате умножения вектора на число -3, и записывают:

Этот пример подсказывает, как ввести понятие «умножение вектора на число».

Определение. Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:

2) если если

Пишут:

Если то считают, что

На рисунке 15.2 изображены векторы

Из определения следует, что

Также из определения следует, что если то векторы коллинеарны.

А если векторы коллинеарны, то можно ли представить вектор в виде произведения Ответ дает следующая теорема.

Теорема 15.1. Если векторы коллинеарны и то существует такое число что

Доказательство: Если то при получаем, что Если то или

1) Пусть Рассмотрим вектор Поскольку следовательно, Кроме того, Таким образом, векторы сонаправлены и их модули равны. Отсюда

2) Пусть Рассмотрим вектор Для этого случая завершите доказательство самостоятельно.

Теорема 15.2. Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Доказательство: Если то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Рассмотрим вектор . Покажем, что Имеем:

Отложим от начала координат векторы равные соответственно векторам Поскольку прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид Этой прямой принадлежит точка Тогда Отсюда

Следовательно, точка также принадлежит прямой поэтому векторы коллинеарны, то есть

При числа имеют одинаковые знаки (или оба равны нулю). Таким же свойством обладают числа Следовательно, при точки лежат в одной координатной четверти (или на одном координатном луче), поэтому векторы сонаправлены (рис. 15.3), то есть При векторы будут противоположно направленными, то есть Следовательно, мы получили, что

Следствие 1. Векторы коллинеарны.

Следствие 2. Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

С помощью теоремы 15.2 можно доказать такие свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел и любых векторов выполняются равенства:

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержащие сумму векторов, разность векторов и произведение векторов на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например,

Пример №8

Докажите, что если то точки и лежат на одной прямой.

Решение:

Из условия следует, что векторы коллинеарны. Кроме того, эти векторы отложены от одной точки Следовательно, точки лежат на одной прямой.

Пример №9

Точка — середина отрезка — произвольная точка (рис. 15.4). Докажите, что

Решение:

Применяя правило треугольника, запишем:

Сложим эти два равенства:

Поскольку векторы противоположны, то Имеем:

Отсюда

Пример №10

Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжение ее боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение:

Пусть точки — середины оснований и трапеции — точка пересечения прямых (рис. 15.5).

Применяя ключевую задачу 2, запишем:

Поскольку где —некоторые числа.

Поскольку Следовательно,

Имеем:

Из ключевой задачи 1 следует, что точки лежат на одной прямой.

Пример №11

Докажите, что если — точка пересечения медиан треугольника то

Решение:

Пусть отрезки — медианы треугольника (рис. 15.6). Имеем:

Отсюда

Из свойства медиан треугольника следует, что

Тогда Аналогично

Отсюда

Применение векторов

Применяя векторы к решению задач, часто используют следующую лемму.

Лемма. Пусть — такая точка отрезка что (рис. 15.9). Тогда для любой точки выполняется равенство

Доказательство: Имеем:

Поскольку то

Запишем:

Поскольку то имеем:

Заметим, что эта лемма является обобщением ключевой задачи 2 п. 15.

Пример №12

Пусть — точка пересечения медиан треугольника — произвольная точка (рис. 15.10). Докажите, что

Решение:

Пусть точка — середина отрезка Имеем: Тогда, используя лемму, можно записать:

Докажем векторное равенство, связывающее две замечательные точки треугольника.

Теорема. Если точка — ортоцентр треугольника а точка — центр его описанной окружности, то

Доказательство: Для прямоугольного треугольника равенство очевидно.

Пусть треугольник не является прямоугольным. Опустим из точки перпендикуляр на сторону треугольника (рис. 15.11). В курсе геометрии 8 класса было доказано, что

На луче отметим точку такую, что Тогда Поскольку то четырехугольник — параллелограмм.

По правилу параллелограмма

Поскольку точка является серединой отрезка то в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда

Имеем:

Обратимся к векторному равенству где — точка пересечения медиан треугольника Так как — произвольная точка, то равенство остается справедливым, если в качестве точки выбрать точку — центр описанной окружности треугольника

Имеем:

Учитывая равенство получаем:

Это равенство означает, что точки лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера. Напомним, что это замечательное свойство было доказано в курсе геометрии 8 класса, но другим способом.

Скалярное произведение векторов

Пусть — два ненулевых и несонаправленных вектора (рис. 16.1). От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам Величину угла будем называть углом между векторами и

Угол между векторами обозначают так: Например, на рисунке 16.1 а на рисунке 16.2

Если векторы сонаправлены, то считают, что Если хотя бы один из векторов нулевой, то так же считают, что

Следовательно, для любых векторов имеет место неравенство:

Векторы называют перпендикулярными, если угол между ними равен Пишут:

Вы умеете складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число. Также из курса физики вы знаете, что если под действием постоянной силы тело переместилось из точки в точку (рис. 16.3), то совершенная механическая работа равна где

Изложенное выше подсказывает, что целесообразно ввести еще одно действие над векторами.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают так:

Имеем:

Если хотя бы один из векторов нулевой, то очевидно, что

Пусть

Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают

Мы получили, что то есть скалярный квадрат, вектора равен квадрату его модуля.

Теорема 16.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Доказательство: Пусть Докажем, что

Имеем: Отсюда

Пусть теперь Докажем, что

Запишем: Поскольку Отсюда

Теорема 16.2. Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны.

Отложим от начала координат векторы соответственно равные векторам (рис. 16.4). Тогда

Применим теорему косинусов к треугольнику

Отсюда

Поскольку

Кроме того, Отсюда

Имеем: Воспользовавшись формулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем:

Упрощая выражение, записанное в правой части последнего равенства, получаем:

Рассмотрим случай, когда векторы коллинеарны.

Если то очевидно, что

Если то существует такое число то есть

Если Имеем:

Случай, когда рассмотрите самостоятельно.

Следствие. Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Доказательство: Из определения скалярного произведения векторов следует, что Воспользовавшись теоремой 16.2 и формулой нахождения модуля вектора по его координатам, получаем формулу

С помощью теоремы 16.2 легко доказать следующие свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов и любого числа справедливы равенства:

— переместительное свойство;

— сочетательное свойство;

— распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно выразить через координаты векторов скалярные произведения, записанные в правых и левых частях равенств, и сравнить их. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения.

Например,

Пример №13

С помощью векторов докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Решение:

На рисунке 16.5 изображен ромб Пусть Очевидно, что По правилу параллелограмма имеем:

Отсюда

Следовательно,

Пример №14

Известно, что

Найдите

Решение:

Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то Отсюда

Ответ:

Пример №15

В треугольнике известно, что Найдите медиану

Решение. Применяя ключевую задачу 2 п. 15, запишем: (рис. 16.6).

Отсюда:

Следовательно,

Ответ:

Справочный материал

Вектор

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Равные векторы

Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Координаты вектора

Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа равны соответственно первой и второй координатам вектора

Модуль вектора

Если вектор имеет координаты

Правила сложения двух векторов

Правило треугольника

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору а от точки — вектор равный вектору Вектор — сумма векторов Для любых трех точек выполняется равенство

Правило параллелограмма

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм Тогда вектор — сумма векторов

Координаты суммы векторов

Если координаты векторов соответственно равны и то координаты вектора равны

Свойства сложения векторов

Для любых векторов выполняются равенства:

Разность векторов

Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору

Для любых трех точек выполняется равенство

Координаты разности векторов

Если координаты векторов соответственно равны и то координаты вектора равны

Противоположные векторы

Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены. Для любых точек выполняется равенство

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:

2) если

Если то считают, что

Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Свойства коллинеарных векторов

Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

Свойства умножения вектора на число

Для любых чисел и любых векторов справедливы равенства:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними:

Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа выполняются равенства:

Условие перпендикулярности двух векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Векторы в аналитической геометрии

Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.

Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.

Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

• направлением;
• длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества — представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.

Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, или двумя буквами со стрелкой , где точка А есть начало вектора (его точка приложения), а В — его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначаетсяили

и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается .

Два вектора называются равными, если:

1. равны их длины;
2. они параллельны;
3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .

Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма:

Поскольку вектор равен , то можно дать другое правило нахождения суммы (правило треугольника): суммой векторов является вектор, идущий из начала в конец если вектор приложен к концу вектора , т.е.:

(4-1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы образуют ломаную OAB…KL, то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т.е.:

(4-2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. O = L, то сумма ее звеньев равна нуль-вектору .

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения -сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией — вычитанием.

Разностью двух векторов , отложенных от одной точки О является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т.е. (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. .

Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор равен , где — некоторое число, если:

1. коллинеарен ;
2. длина вектора отличается от длины вектора в раз, т.е.
3. 
4. при направлены в одну сторону, при — в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

Проекция вектора на ось

Пусть даны ось и вектор . Проектируя начало и конец вектора на ось получим на ней вектор . Проекциейвектора на ось называется число, равное длине вектора , взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли вектор , в ту же сторону, что и ось (. или в противоположную.

Проекция вектора на ось (: обозначается ).

Свойства проекций:

1. — угол между вектором и осью ;
2. 
3. 

Пусть — произвольная конечная система векторов; произвольная система действительных чисел.

Вектор называется линейной комбинацией векторов этой системы.

Из свойства проекций следует, что:

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

(4-3)

следует, что .

В противном случае векторы , называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде как, то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.

Следствие. Если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности , ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинсарные векторы линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например ? линейно выражается через второй, т.е. , а это противоречит неколлинеарности . Следовательно, — линейно независимы.

Пусть неколлинеарные векторы, — произвольный вектор компланарный векторам . Отложим векторы и от одной точки О, т.е. построим (Рис.4.3).

Из параллелограмма видно, что:

Следовательно, любые три компланарных вектора линейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора линейно независимы.

Если предположить, что три некомпланарных вектора линейно зависимы, то один из них, например , линейно выражается через , т.е. а это говорит о том, что три вектора лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы в некотором базисе имеют координаты

соответственно. Тогда векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа , неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов такой, что:

4)

Если один из векторов, например, ,, является нулевым, то система окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при .

Теорема, Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на

этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой,

может быть выражен через вектор в виде .

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис , может быть представлен в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается . Пусть — произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что:

(4.5)

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4.5) есть разложение вектора с по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс (Ох), вторая — осью ординат (Оу), третья — осью аппликат (Oz); точка О — начало координат (Рис. 4.4).

Положение координат осей можно задать с помощью единичных векторов направленных по осям Ох, Оу, Oz. Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве дана точка М. Проектируя ее на ось Ох, получим точку Мх. Первой координатой х или абсциссой точки М называется длина вектора , взятая со знаком плюс, если направлен в ту же сторону, что и вектор , и со знаком минус -если в противоположную. Аналогично проектируя точку М на оси Оу и Oz, определим ее ординату у и аппликату z. Тройка чисел (х, у, z) взаимно однозначно соответствует точке М .

Система координат называется правой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно с положительного направления оси Oz совершающимися против часовой стрелки, и левой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.

Вектор , направленный из начала координат в точку М(х, у, z) называется радиус-вектором точки М, т.е.:

(4.6)

Если даны координаты точек , то координаты вектора АВ получаются вычитанием из координат его конца В координат начала или .

Следовательно, по формуле (4.5):

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

(4.8)

Длина вектора, заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:

(4.9)

Если коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

(4.10)

Пусть точка М(х, у, z) делит отрезок между точками и в отношении , тогда радиус-вектор точки М выражается через радиусы-векторы его концов по формуле:

Отсюда получаются координатные формулы:

В частности, если точка М делит отрезок пополам, то

Направляющие косинусы

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и (орт вектора ) находится по формуле:

Пусть ось образует с осями координат углы. Направляющими косинусами оси называются косинусы этих углов: . Если направление задано единичным вектором , то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

Если направление задано произвольным вектором , то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора , получают:

Скалярное произведение

Скалярными произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

4. Если — ненулевые векторы, то тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если , то угол между а и Ь— острый, если , то угол — тупой;

5. Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины, т.е.

Следовательно,

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор равно проекции вектора на направление, определяемое , т.е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов :

Если векторы заданы своими координатами и

, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов:

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор длина и направление которого определяется условиями:

  3. направлен так, что кратчайший поворот от виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами: 4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда коллинсарны. В частности для любого вектора ;

5. Если неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма S построенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом:

Если, то с учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей :

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

(4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора принадлежат плоскости Оху, т.е. их можно представить как и

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером 2×2, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:

В таком случае:

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то: (4.12) Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке. Таким образом:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правилом Саррюса, которое формулируется следующим образом:

• Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;
• Знак «плюс» имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;
• Знак «минус» имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение

Если рассматриваемые векторы некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор а, то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов

(которое обозначается есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного па векторах .

Знак произведение положителен, если векторы, образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов : для того, чтобы векторы были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их сметанное произведение было отлично от нуля.

Если и то:

или в свернутой форме:

Справедливы следующие свойства сметанного произведения векторов:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей
2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный

Векторы в высшей математике

Определение вектора:

На начальной стадии, когда приходится прибегать к математическим методам исследования, необходимо разработать удобное средство организации исходных данных. Таким простейшим средством является вектор. Например, еженедельное изменение цены за месяц на некоторый товар удобно записать в виде массива: (5500; 5700; 6000; 6200). Записанный таким образом массив чисел называют вектором.

Алгебраические операции над векторами и их свойства

Введём теперь математическое определение векторов и алгебраические операции над ними.

Упорядоченную совокупность действительных чисел назовём вектором и обозначим , т.е . Действительные числа будем называть координатами вектора. Равные векторы имеют равные координаты. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, у которого одна из координат равна 1, а все остальные равны нулю, называется единичным вектором. Единичными векторами будут векторы:

С геометрической точки зрения, вектор — это направленный отрезок. Поэтому вектор, длина которого равна единице, также называется единичным вектором.

Определим далее линейные операции над векторами: сложение и умножение вектора на число.

Сложение векторов

Пусть даны два вектора

. Суммой двух векторов и

назовем вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов :

Пусть дан вектор . Обозначим через — вектор, порождённый вектором , такой, что .

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. Для любых двух векторов существует единственный вектор , называемый суммой векторов .
2. Для любых .
3. Для любых .
4. Существует единственный вектор , называемый нулевым вектором, такой, что для всех .
5. Для любого вектора существует единственный вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору

Из указанных свойств векторов следует, что можно рассматривать сумму любого конечного числа векторов .

Умножение вектора на число

Пусть и

. Произведение вектора на число — это вектор, обозначаемый, полученный умножением координат вектора на число :

.

Положим, для любого вектора для любого числа .

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1. Для любого вектора и любого числа существует единственный вектор .
2. для любых чисел и любого.
3. для любых чисел и любого .
4. для любых чисел и любого .
5. для любого .

Выражение где — вскто-ры, а — любые действительные числа, называется ли-нейиой комбинацией векторов с коэффициентами . Линейная комбинация векторов-это вектор. Вектор представленный в виде будем называть транспонированным по отношению к вектору и обозначать .

Замечание. Зная координаты вектора , можно вычислить его длину по формуле

.

Пример №16

Найти линейную комбинацию векторов .

Решение:

Воспользуемся определением линейной комбинации векторов и операций над векторами. Тогда получим вектор вида:

Скалярное произведение векторов и его свойства

Предположим, что объем продаж трёх видов товаров фирмы в течение месяца составил 34, 57, 21 единиц, и что цены этих же товаров были равны соответственно 2, 3, 7 дсн.ед. Следовательно, общий доход от продажи всех трёх товаров за месяц равен: ден.ед. Представим данные о продажах с помощью вектора: , а соответствующие цены с помощью вектора . Тогда общий доход от продажи трёх товаров, равный 386 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов вектора на соответствующие элементы вектора :.

Приведенный пример помогает уяснить общую методику введения скалярного произведения векторов.

Определепие2.2.1. Скалярным произведением векторов называется число, обозначаемое , равное сумме произведений соответствующих коорди-. пат векторов :

Это определение можно применять только в тех случаях, когда векторы содержат одинаковое количество координат; в противном случае скалярное произведение не может быть определено.

Укажем некоторые свойства скалярного произведения:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Рассмотрим систему n ненулевых векторов . Если

скалярное произведение каждого вектора на себя равно единице, а скалярное произведение различных векторов равно нулю, т.е.

то система векторов называется ортоиормированной. Условия (1.3) можно записать в координатной форме:

где .

Пример №17

Найти вектор коллинеарный1 вектору и удовлетворяющий условию .

Решение:

Так как вектор коллинеарный вектору , то его координаты пропорциональны координатам вектора , т.е.

. Воспользовавшись определением скалярного произведения, составим равенство: .

Откуда следует, что . Тогда вектор коллинеарный вектору я будет иметь координаты: (6,-2,8).

Пример №18

Пусть рассматривается проект вложения капитала на четыре года. Этот проект должен обеспечивать следующую денежную выручку: в первый год- 1000 дсн.ед.; во второй — 3000 дсн.ед.; в третий — 10000 ден.ед.; в четвёртый — 15000 дсн.ед. Проект будет принят в том случае, если совокупный доход от капиталовложений (в пересчёте на сегодняшний доход) будет превышать требующиеся затраты, составляющие 17000 дсн.ед. Дисконтирование ожидаемого дохода проводится по годовой ставке равной 10%. Будет ли принят рассматриваемый проект?

Решение:

При ставке дисконтирования 10% годовых, доход, который будет получен на протяжении первого года, должен быть умножен на , на протяжении второго года- на  , на протяжении третьего года- на 0,7513 = и на протяжении четвёртого года- на 0,6838 =.

1. Вектор называется коллинеарным вектору , если при совмещении их начальных точек они располагаются на одной прямой.

Запишем денежную выручку и дисконтирующие множители в векторной форме:

и

.

Скалярное произведение векторов и — —определяет дисконтированный совокупный доход за четыре года:

Так как 21158,3>17000, то рассматриваемый проект вложения капитала будет принят.

Операции над векторами в высшей математике

Внимание! Вектор определяется числом и направлением.

Отрезком АВ называется множество точек, заключенных между точками

А и В, включая их. Точки А и В называются концами отрезка.

Отрезок АВ называется направленным, если его концы упорядочены.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В будем обозначать АВ. Направленный отрезок ВА с началом в точке В и концом в точке А называется противоположно направленным отрезку АВ.

Модулем направленного отрезка АВ называется его длина.

Вектором называется класс направленных отрезков, расположенных на параллельных или совпадающих прямых и имеющих одинаковые направление и длину.

Векторы геометрически изображают направленными отрезками и обозначаются и буквами жирного шрифта

Вывод. Вектор однозначно определяется своим одним направленным отрезком. Пусть заданы два вектора и (рис.1). Суммой векторов а и b

называется вектор, проведенный из начала а к концу b:

Способ сложения векторов, показанный на рис.1, называется правилом треугольника.

Замечание. На векторах а и b можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ будет их суммой: , а вторая — разностью: Способ сложения векторов, показанный на рис.2, называется правилом параллелограмма.

Множество всех нулевых отрезков называется нулевым вектором и обозначается 0. Направление нулевого вектора произвольно.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Для любого вектора а верны равенства:

Произведением вектора а на число отличное от нуля, называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1. длина вектора равна длине вектора а, умноженного на модуль числа
2. векторы а и одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если (рис.З).

Произведение вектора на число «нуль» есть нулевой вектор.

Углом между двумя векторами а и b называется наименьший угол на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором (рис.4).

Проекцией вектора а на вектор b называется длина вектора а, умноженная на косинус угла между векторами а и b (рис.4):

Внимание! Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений: скалярное произведение (в ответе получается число), векторное произведение (в ответе получается вектор) и смешанное произведение (в ответе получается число).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: Таким образом,

Например, для скалярного квадрата ii, где i -единичный вектор, имеем

Векторным произведением двух ненулевых векторов а и b называется такой вектор что

1. 1) его модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е.
2. 2) он перпендикулярен плоскости построенного на данных векторах параллелограмма, , т.е.
3. 3) векторы образуют правую тройку векторов, т.е. при наблюдении из конца вектора кратчайший поворот от а к b виден против часовой стрелки.

Пример №19

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b. если а — единичный вектор, длина вектора b равна трем, а их скалярное произведение — двум.

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна .

По условию задачи имеем

Найдем синус угла между векторами а и b. Так как то

Следовательно,

Подставим найденное значение в формулу и получим: Задача решена.

Смешанным произведением трех ненулевых векторов а, b и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов а и b на третий вектор . Обозначение:

Замечание. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е.

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно,

где S — площадь основания параллелепипеда, H — высота параллелепипеда, V -объем параллелепипеда.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен

Необходимое и достаточное условие ортогональности:

Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Пулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности:

1. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. — произвольное число, отличное от нуля.
2. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору (площадь параллелограмма равна нулю).

Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости. Любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Необходимое и достаточное условие компланарности. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).

Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами

Пусть Ох, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начала координат) и образующие правую тройку (рис. 5).

Точка М с координатами х, у, z обозначается M(x,y,z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, третья — аппликатой точки М.

Для каждой точки М пространства существует ее радиус-вектор r=ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М. Координаты x,y,z точки М являются проекциями радиус-вектора r на оси Ох, Оу, Oz соответственно.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки и Тогда координаты вектора АВ вычисляются по формуле:

(«от координат конца отнимают координаты начала»).

Например, координаты радиус-вектора

Если ввести единичные векторы i,j, k, направленные по осям Ох, Оу, Oz соответственно (рис.5), то координаты вектора r можно записать в эквивалентной форме:

Векторы i, j,k называются базисными.

Пусть даны два вектора

Сложив векторы почленно, получим:

или

Умножив вектор а на число получим:

или

Пример №20

Найти вектор х из уравнения

Решение:

Выразим х из векторного уравнения:

Подставим векторы а, b и с в полученное выражение:

Задача решена.

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле:

Для cкалярного квадрата аа получаем:

но, с другой стороны, Следовательно,

Мы получили формулу вычисления длины вектора, заданного в координатной форме.

Векторное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле

которую можно выразить через символический определитель третьего порядка

Смешанное произведение трех векторов в координатной форме определяется формулой

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А( 1,1 ,-1), В(2,1,-3), С(-1,1,1), D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вершины D на основание АВС.

Решение:

Высоту треугольной пирамиды найдем из формулы:

где — объем пирамиды ABCD, — площадь основания АВС, H — высота пирамиды, опущенная из вершины D.

Найдем площадь треугольника АВС. Она равна половине площади параллелограмма, построенного, например, на векторах АВ и АС. Следовательно, по определению векторного произведения

По координатам точек А, В и С найдем координаты векторов АВ и АС:

Векторное произведение АВ и АС в координатной форме равно

Найдем объем треугольной пирамиды. Он равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного, например, на векторах АВ, АС и AD. Тогда по геометрическому смыслу смешанного произведения Найдем координаты вектора AD:

Смешанное произведение АВ, АС и AD в координатной форме равно разложим определитель по второму столбцу

Задача решена.

Замечание.

• 1. Площадь треугольника АВС можно находить из площади параллелограмма, построенного на любых двух векторах, исходящих из одной вершины, например: АВ и АС; ВА и ВС; СА и СВ.
• 2. Объем треугольной пирамиды ABCD можно находить из объема параллелепипеда, построенного на любых трех векторах, исходящих из одной точки, например: АВ, АС и AD; ВА, ВС и BD; СА, СВ и CD; DA, DB и DC.

Линейное пространство

Идея линейности является одним из важнейших принципов математики. На этой основе построены различные разделы математики. Более того, почти каждый экономический процесс в малом является линейным, что позволяет делать о нём достаточно точные выводы, изучая линейный, гораздо более простой для исследования объект.

В математике часто приходится встречаться с объектами, для которых определены операции сложения и умножения на числа. Объектами такого рода являются векторы, функции, матрицы и т.д. Для того, чтобы изучать все такие объекты с единой точки зрения и вводится понятие линейного пространства.

Определение 2.3.1. Множество L элементов х, у, z,… называется линейным пространством, если:

При этом введенные операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):

1. х+у = у+х (коммутативности);
2. (х+у)+ z = x+(y+z) (ассоциативности);
3. существует элемент 0, такой, что х+0=х для любого х. Элемент 0 называется нулевым элементом;
4. для каждого х существует противоположный элемент, обозначаемый -х, такой, что х+(-х)=0;
5. ;
6. ;
7. :;
8. ,

где и — вещественные числа.

В определении линейного пространства не говорится, как определяются операции сложения и умножения на числа, и не говорится о природе объектов. Требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими этим условиям, будем считать их операциями сложения и умножения.

Рассмотрим систему векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, для которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число как в п.2.1. Так как для этих операций выполняются свойства (1) — (8) определения 2.3.1, то они образуют линейное пространство.

Линейное пространство образует и совокупность многочленов степени не выше п с вещественными коэффициентами, для которых определены обычные операции сложения многочленов и умножения многочлена на число.

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.

Пространство, где векторами являются наборы из n действительных чисел с покомпонентными операциями сложения и умножения их на число, и скалярное произведение определяется по формуле (1.2.1), является евклидовым пространством. Это пространство обозначается .

Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Свойства линейной зависимости векторов.

Определение линейной комбинации векторов, тесно связано с понятием подпространства векторного пространства.

Определение 2.4.1. Некоторое непустое подмножество векторного пространства М называется подпространством, если оно само является векторным пространством.

А доказательство того, что подмножество является векторным пространством, проводится на основании доказательства того, что всякая линейная комбинация любых двух векторов этого подмножества, также является вектором этого подмножества.

Определение 2.4.2. Векторы из называются линейно независимыми, если не существует чисел хотя бы одно из которых отлично от нуля, таких, что

Если равенство (2.4.1) возможно и при ненулевом значении хотя бы одного числа , то векторы называются линейно зависимыми.

Пример №22

Рассмотрим евклидово пространство и векторы

называемые координатными векторами. Покажем, что в пространстве векторылинейно независимы.

Решение:

Пусть произвольные числа. Составим линейную комбинацию векторов :

Подставив координаты векторов , получим:

В результате получили вектор, который будет нулевым если . Следовательно, линейная комбинация , может равняться нулю если . А это и есть условие линейной независимости векторов .

Вектор называется линейной комбинацией векторов из , если существуют числа, такие, что выполняется равенство: .

Относительно линейной зависимости векторов справедливы следующие утверждения:

1. Если совокупность векторов из содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если в системе векторов имеется подсистема линейно зависимых векторов, то и вся совокупность векторов линейно зависима.
3. Система векторов из линейно зависима тогда и только тогда, если один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
4. Любые векторов из , каждый из которых является линейной комбинацией m векторов линейно зависимы. .

Пример №23

Выясним линейную зависимость векторов и . Решение. Составим линейную комбинацию этих векторов

Полученный вектор является нулевым, если координаты равны нулю:

Полученная система имеет только одно решение . Следовательно, векторное равенство выполняется при нулевых значениях коэффициентов . Это значит, что векторы линейно независимы.

Заметим, что два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (их направления параллельны). Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (их направления параллельны некоторой плоскости).

Элементы векторной алгебры

Некоторые физические величины (например, температура, масса, объем, работа, потенциал) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения; такие величины называются скалярными. Ещё примеры скалярных величин: длина, площадь, время, угол, плотность, сопротивление.

Другие величины (например, сила, скорость, ускорение, напряжённость электрического или магнитного поля) характеризуются числом и направлением. Эти величины называются векторными.

Необходимо подчеркнуть, что вектор не является числом. Если мы рассматриваем вектор, лежащий в плоскости, то для его описания необходимо знать два фактора – модуль и его направление (например, угол, образуемый им с одним из осей координат). Если рассматривается вектор в трехмерном пространстве, то для описания вектора требуется три фактора: один – величину для его модуля и два для указания его положения в системе координат.

Скаляры и векторы

Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Таковы, например, масса тела, объем его, температура среды и т. п. Скаляр определяется числом положительным или отрицательным или равным нулю.

Величина, кроме числового значения характеризуемая еще направлением, называется векторной или вектором. К числу их относятся сила, перемещение, скорость и т.п. Вектор определяется числом и направлением.

Векторы обычно обозначают буквами жирного шрифта, например а. Геометрически вектор изображается направленным отрезком пространства (рис. 168); при этом используется обозначение а = , где точка А — начало В отрезка, а точка В — конец его. В дальнейшем, для наглядности изложения, векторы мы будем рассматривать как направленные отрезки.

Под модулем (длиной) вектора а

понимается числовое значение его, без учета направления. (Естественно, обозначает модуль вектора ) Вектор 0, модуль которого равен нулю, называется нулевым или нуль-вектором (направление нулевого вектора произвольно).

Два вектора считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых (параллельность в широком смысле) и имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Мы условимся не различать равные векторы и, таким образом, приходим к понятию свободного вектора. Иными словами, свободный вектор допускает перенос его в любую точку пространства при условии сохранения длины и направления.

В частности, для свободных векторов можно обеспечить общую начальную точку их. В дальнейшем мы будем излагать теорию свободных векторов в трехмерном пространстве.

Сумма векторов

Определение: Суммой нескольких векторов, например а, b, с, d (рис. 169), называется вектор

по величине и направлению равный замыкающей ОМ пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах.

Для случая двух векторов а и b (рис. 170) их суммой s является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки приложения их (правило параллелограмма).

Так как в треугольнике длина одной стороны не превышает суммы длин двух других сторон, то из рис. 170 имеем

т. е. модуль суммы двух векторов не превышает суммы модулей этих векторов.

Для случая трех векторов а, b, с (рис. 171) их суммой s является диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Легко проверить, что для векторного сложения справедливы следующие свойства:

1)переместительное свойство

а + b = b + а,

т. е. векторная сумма не зависит от порядка слагаемых;

2)сочетательное свойство

т.е. сумма трех (и большего числа) векторов не зависит от порядка расстановки скобок.

Для каждого вектора (рис. 172) существует противоположный вектор , имеющий ту же длину, но противоположное направление. По правилу параллелограмма, очевидно, имеем

где 0 — нуль-вектор.

Легко проверить, что а + 0 = а.

Разность векторов

Под разностью векторов (рис. 173) понимается вектор

такой, что

Отметим, что в параллелограмме, построенном на данных векторах (см. рис. 170), их разностью является соответственно направленная вторая диагональ.

Легко проверить, что справедливо следующее правило вычитания:

Умножение вектора на скаляр

Определение: Произведением вектора а на скаляр k (рис. 174) называется вектор

имеющий длину b = а, направление которого: 1) совпадает

с направлением вектора а, если k > 0; 2) противоположно ему, если k < 0; 3) произвольно, если k = 0.

Нетрудно убедиться, что эта векторная операция обладает следующими свойствами:

Пример:

Если ненулевой вектор а разделить на его длину a = |a| (т.е. умножить на скаляр 1 /а), то мы получим единичный вектор е, так называемый , того же направления: е = а/а. Отсюда имеем стандартную формулу вектора

Формула (1) формально справедлива также и для нулевого вектора а = 0, где а = 0 и е — произвольный орт.

Коллинеарные векторы

Определение: Два вектора (рис. 175) называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле (т. е. расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой).

Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема: Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е.

(k — скаляр).

Доказательство: 1) Пусть векторы коллинеарны и е, е’ — их орты. Имеем

Очевидно,

где знак плюс соответствует векторам одинакового направления, а знак минус— векторам противоположного направления.

Из формул (2) и (3) получаем

Отсюда вытекает формула (1), где

2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов непосредственно следует из смысла умножения векторов на скаляр.

Компланарные векторы

Определение: Три вектора a, b и с называются компланарны ми, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или параллельны плоскости, или лежат в ней).

Можно сказать также, что векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости.

По смыслу определения тройка векторов, среди которых имеется хотя бы один нулевой, компланарна.

Теорема: Три ненулевых вектора а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е., например,

(k, I — скаляры).

Доказательство: 1) Пусть векторы а, b и с компланарны, расположены в плоскости Р (рис. 176) и имеют общую точку приложения О.

Предположим сначала, что эти векторы не все попарно коллинеарны, например векторы а и b неколлинеарны. Тогда, производя разложение вектора с в сумму векторов с_а и с_ь, коллинеарных соответственно векторам а и b, в силу будем иметь

где k и I — соответствующие скаляры.

Если векторы а, b, с попарно коллинеарны, то можно написать

таким образом, снова выполнено условие (1).

2) Обратно, если для векторов (рис. 176) выполнено условие (1), то на основании смысла соответствующих векторных операций вектор с расположен в плоскости, содержащей векторы а и b, т. е. эти векторы компланарны.

Пример:

Векторы а, а + b, а — b компланарны, так как

Проекция вектора на ось

Осью называется направленная прямая. Направление прямой обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси будем считать положительным, противоположное — отрицательным.

Определение: Проекцией точки А на ось (рис.177) называется основание А’ перпендикуляра АА’, опущенного из точки А на эту ось.

Здесь под перпендикуляром АА’ понимается прямая, пересекающая ось и составляющая с ней прямой угол. Таким образом, проекция А есть пересечение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной оси с этой осью.

Определение: Под ком-по не н той (составляющей) вектора относительно оси (рис. 177) понимается вектор а’ = АВ’, начало которого А есть проекция на ось начала А вектора а, а конец которого В’ есть проекция на ось конца В этого вектора.

Определение: Под проекцией вектора а на ось понимается скаляр , равный длине {модулю) его компоненты а’ относительно оси , взятой со знаком плюс.

Напомним, что все геометрические объекты мы здесь рассматриваем в трехмерном пространстве.

Если направление компоненты совпадает с направлением оси , и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси

Если а = О, то полагают = О.

Заметим, что если е — единичный вектор оси , то для компоненты а’ справедливо равенство

Теорема: Проекция вектора а на ось равна произведению длины а вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.

Доказательство: Так как вектор свободный (рис. 178), то можно предположить, что начало его О лежит на оси .

1) Если угол ф между вектором a и осью острый , то направление компоненты вектора а совпадает с направлением оси (рис. 178, а). В этом случае имеем

2) Если угол ф между вектором а и осью тупой (рис. 178, б), то направление компоненты вектора а противоположно направлению оси Тогда получаем

3) Если же ф = , то формула (2), очевидно, выполняется, так как при этом .

Таким образом, формула (2) доказана.

Следствие 1. Проекция вектора на ось: 1) положительна, если вектор образует с осью острый угол; 2) отрицательна, если этот угол — тупой, и 3) равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема: Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось.

Доказательство: Пусть, например, s = a + b + с,

где (рис. 179) и, следовательно, .

Обозначая проекции точек на ось через и учитывая направления компонент (рис. 179), имеем

что и требовалось доказать.

Следствие. Проекция замкнутой векторной линии на любую ось равна нулю.

Теорема: При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр, т.е.

Формула (4) следует из теоремы 1 и смысла умножения вектора на скаляр.

Следствие. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Пусть (рис. 180) Ox, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начало координат) и образующие правую тройку (правая система координат), т. е. ориентированные по правилу правого буравчика. Иными словами, для наблюдателя, направленного по оси Oz, кратчайший поворот оси Ох к оси Оу происходит против хода часовой стрелки.

Три взаимно перпендикулярные плоскости Oyz, Ozx и Оху, проходящие через соответствующие оси, называются координатными плоскостями; они делят все пространство на восемь октантов.

Для каждой точки М пространства (рис. 180) существует ее радиус-вектор г = ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М.

Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами х, у, z точки М понимаются проекции ее радиуса вектора г на соответствующие оси координат, т. е.

В дальнейшем для краткости декартовы прямоугольные координаты мы будем называть просто прямоугольными координатами.

Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х, у, z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой точки М.

Для нахождения этих координат через точку М проведем три плоскости МА, MB, МС, перпендикулярные соответственно осям Ox, Оу, Oz (рис. 180). Тогда на этих осях получатся направленные отрезки

численно равные координатам точки М.

Радиус-вектор г является диагональю параллелепипеда П с измерениями , образованного плоскостями МА, МБ, МС и координатными плоскостями. Поэтому

Если обозначить через углы, образованные радиусом-вектором г с координатными осями, то будем иметь

Косинусы cos а, cos р, cos у называются направляющими косинусами радиуса-вектора г. Из (4), учитывая (3), получаем

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов радиуса-век-тора точки пространства равна 1.

Из формулы (4) следует, что координата точки М положительна, если радиус-вектор этой точки образует острый угол с соответствующей координатной осью, и отрицательна, если этот угол тупой. В частности, в I октанте пространства, ребра которого составляют положительные полуоси координат, все координаты точек положительны- В остальных октантах пространства отрицательными координатами точек будут те, которые соответствуют отрицательно направленным ребрам октанта.

Измерения параллелепипеда П равны расстояниям точки М соответственно от координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху. Таким образом, декартовы прямоугольные координаты точки М пространства представляют собой расстояния от этой точки до координатных плоскостей, взятые с надлежащими знаками,

В частности, если точка лежит на плоскости Oyz, то х = 0; если на плоскости Ozx, то у = 0; если же на плоскости Оху, то z = 0, и обратно.

Длина и направление вектора

Пусть в пространстве Oxyz задан вектор а. Проекции этого вектора на оси координат

называются координатами вектора а; при этом вектор мы будем записывать так:

Так как вектор а свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки . Отсюда получаем длину вектора

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора а определяются из уравнений

причем

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Направляющие косинусы ненулевого вектора однозначно определяют его направление. Следовательно, вектор полностью характеризуется своими координатами.

Пример №24

Найти длину и направление вектора а = {1, 2, -2}.

Решение:

Имеем

Отсюда

Таким образом, вектор а образует острые углы с координатными осями Ох и Оу и тупой угол с координатной осью Ог.

Расстояние между двумя точками пространства

Пусть — начальная точка отрезка и — конечная точка его. Точки можно задать их радиусами-векторами и (рис. 181).

Рассматривая вектор , из будем иметь

Проецируя это векторное равенство на оси координат и учитывая свойства проекций, получаем

Таким образом, проекции направленного отрезка на оси координат равны разностям соответствующих координат конца и начала отрезка.

Из формул (2) получаем длину отрезка (или, иначе, расстояние между двумя точками )

Итак, расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Пример №25

Ракета из пункта М₁ (10, -20, 0) прямолинейно переместилась в пункт М₂ (-30, -50, 40) (расстояния даны в километрах). Найти путь пройденный ракетой.

Решение:

На основании формулы (3) имеем

Заметим, что, найдя направляющие косинусы вектора перемещения , нетрудно определить направление движения ракеты.

Действие над векторами, заданными в координатной форме

Пусть вектор задан своими проекциями на оси координат Ox, Оу, Oz.

Построим параллелепипед (рис. 182), диагональю которого является вектор а, а ребрами служат компоненты его относительно соответствующих координатных осей. Имеем разложение

Если ввести единичные векторы (орты) i, j, k, направленные по осям координат, то на основании связи между компонентами вектора и его проекциями будем иметь

Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем координатную форму вектора

Заметим, что разложение (3) для вектора а единственно. Действительно, пусть

Отсюда, вычитая из равенства (3) равенство (3′) и пользуясь перемести -тельным и сочетательным свойствами суммы векторов, а также свойствами разности векторов, будем иметь

Если хотя бы один из коэффициентов при ортах i, j и k был отличен от нуля, то векторы i, j и k были бы компланарны, что неверно. Поэтому и единственность разложения (3) доказана.

Если то, очевидно, также имеем

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

или короче: . Таким образом, при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр;

или кратко:

Таким образом, при сложении (или вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются):

Пример №26

Найти равнодействующую F двух сил

и ее направление.

Решение:

Имеем . Отсюда

где — направляющие косинусы равнодействующей F.

Скалярное произведение векторов

Определение: Под скалярным произведением двух векторов а и b понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. в обычных обозначениях:

где

Заметим, что в формуле (1) скалярное произведение можно еще записывать как ab, опуская точку. Так как (рис. 183)

то можно записать

т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением первого.

Физический смысл скалярного произведения

Пусть постоянная сила F обеспечивает прямолинейное перемещение материальной точки. Если сила F образует угол ф с перемещением s (рис. 184), то из физики известно, что работа силы F при перемещении s равна

На основании формулы (1) имеем

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее м точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Скалярное произведение векторов обладает следующими основными свойствами.

1)Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство):

Эта формула непосредственно следует из формулы (1).

2)Для трех векторов а, b и с справедливо распределительное свойство

т. е. при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть скобки».

Действительно, на основании формул (2), учитывая свойства проекций векторов, имеем

3)Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т.е.

Действительно,

Отсюда для модуля вектора получаем формулу

4)Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е.

Это свойство также легко получается из (1).

5)Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е.

( — скаляры).

Это — очевидное следствие 2) и 4).

Из определения (1) вытекает, что косинус угла между двумя ненулевыми векторами а и b равен

Из формулы (8) получаем, что два вектора а и b перпендикулярны (ортогональны), т. е. , тогда и только тогда, когда

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов а или b нулевой.

Пример №27

Найти проекцию вектора а на вектор b. Обозначая через угол между этими векторами, имеем

где е =— орт вектора b

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть

Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая соотношения

будем иметь

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат. Отсюда, обозначая через ф угол между векторами а и b, получаем

Пример:

Определить угол ф между векторами а = { 1,+2, 3} и b ={-3, 2,-1}. На основании формулы (4) имеем

Отсюда

Пусть векторы а и b коллинеарны (параллельны). Согласно условию коллинеарности,

где k — скаляр, что эквивалентно или

Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Для перпендикулярных (ортогональных) векторов а и b имеем и, следовательно, cos ф = 0 или, согласно формуле (4),

Таким образом, два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма парных произведений их одноименных координат равна нулю.

Векторное произведение векторов

Напомним, что тройка а, b и с некомпланарных векторов называется правой (рис. 185, а) или левой (рис. 185, б), если она ориентирована по правилу правого винта или соответственно по правилу левого винта.

Заметим, что если в тройке некомпланарных векторов а, b, с переставить два вектора, то она изменит свою ориентацию, т. е. из правой сделается левой или наоборот.

В дальнейшем правую тройку мы будем считать стандартной.

Определение: Под векторным произведением двух векторов а и b понимается вектор

для которого:

1)модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т. е.

где (рис. 186);

2)этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на них параллелограмма), т. е. ;

3)если векторы неколлинеарны, то векторы а, b, с образуют правую тройку векторов.

Укажем основные свойства векторного произведения.

1)При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.

Действительно, при перестановке векторов а и b площадь построенного на них параллелограмма остается неизменной, т. е. . Однако тройка векторов является левой. Поэтому направление вектора противоположно направлению вектора (а и b неколлинеарны). Если а и b коллинеарны, то равенство (3) очевидно.

Таким образом, векторное произведение двух векторов не обладает переместительным свойством.

2)Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

Это — очевидное следствие свойства 1).

3)Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. если — скаляр, то

Это свойство непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

4)Для любых трех векторов а, b, с справедливо равенство

т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством.

Пример:

Отсюда, в частности, имеем

т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.

С помощью векторного произведения удобно формулировать легко проверяемый критерий коллинеарности двух векторов а и b:

Векторное произведение в координатной форме

Пусть

Перемножая векторно эти равенства и используя свойства векторного произведения, получим сумму девяти слагаемых:

Из определения векторного произведения следует, что для ортов справедлива следующая «таблица умножения»:

Поэтому из формулы (3) получаем

(с сохранением порядка следования букв ).

Для удобства запоминания формула (4) записывается в виде определителя третьего порядка (см. гл. XVII)

Из формулы (4) вытекает, что

Геометрически формула (6) дает квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах .

Пример №28

Найти площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 0), В (1,0, 1) и С (0, 1, 1).

Решение:

Площадь S треугольника ABC равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 187). Используя формулы для проекций направленных отрезков, имеем отсюда

Следовательно,

Смешанное произведение векторов

Определение: Под смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов понимается число

Построим параллелепипед П (рис. 188), ребрами которого, исходящими из общей вершины О, являются векторы .

Тогда представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах , т.е. площадь основания параллелепипеда.

Высота этого параллелепипеда , очевидно, равна

где и знак плюс соответствует острому углу , а знак минус — тупому углу ф. В первом случае векторы образуют правую тройку, а во втором — левую тройку.

На основании определения скалярного произведения имеем

где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах . Отсюда

т. е. смешанное произведение трех векторов равно объему V параллелепипед а у построенного на этих векторах, взятому со знаком плюсу если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.

Справедливы следующие основные свойства смешанного произведения векторов.

1)Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда П, ни ориентация его ребер.

2)При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

Это следует из того, что перестановка соседних множителей, сохраняя объем параллелепипеда, изменяет ориентацию тройки векторов, т.е. правая тройка переходит в левую, а левая — в правую.

С помощью смешанного произведения получаем необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов :

abc = 0

(объем параллелепипеда равен нулю). Если

то, используя выражения в координатах для векторного и скалярного  произведений векторов, получаем

т. e.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом ( — точка начала, — точка конца вектора), либо . В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

2. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка . Модуль вектора обозначается .

3.Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор направления вектора называется ортом вектора и определяется по формуле .

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают ; любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: . Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и является существование такого числа , что .

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор называется противоположным вектору , если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над
направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

11. Произведением вектора на число называется вектор , который имеет :

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры

Задача:

Пусть даны точки

1) Найти координаты векторов

2) Написать разложение этих векторов по базису

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение

5) Найти угол между векторами и .

6) Найти разложение вектора по базису и

Решение:

1) Вычислим координаты векторов и (нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

, аналогично,

и

2)

3)

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

5) Разложить вектор по векторам и — это значит представить вектор в виде линейной комбинации векторов и , т. е.

, где . Имеем , но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем и .

Задача:

а). Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если .

Найдем координаты вектора в базисе и .

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Решим систему методом Крамера:

Ответ: .

Задача:

Даны координаты вершин тетраэдра и . Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника ; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно медиане, проведенной из вершины треугольника ; 3) координаты точки, симметричной точке относительно плоскости . Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем координаты т. середины отрезка (рис. 16):

Точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении , считая от вершины . Найдем координаты точки :

2) Найдем направляющий вектор прямой . Уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно прямой :

3) Найдем уравнение плоскости :

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через т. : . Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: .

Найдем координаты точки пересечения плоскости и найденной прямой:

Координаты точки симметричной точке относительно плоскости — .

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан уравнение прямой ; 3) координаты симметричном точки .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

1°. Любые две точки пространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от A к В). Направленный отрезок называется вектором. Вектор с началом в A и концом в В обозначается или Длина вектора, обозначаемая , АВ или а, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: Тогда длина вектора найдется так:

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут Равные векторы имеют равные координаты.

Векторы называются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления:

Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается

2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

1.Если начало совмещено с концом то начало совпадает с началом а конец — с концом (рис. 3.1).

2.Если начала векторов совмещены, то начало совпадает с концом , а конец совпадает с концом (рис. 3.2).

3.При умножении вектора на число (скаляр) длина вектора умножается на , а направление сохраняется, если и изменяется на противоположное, если (рис. 3.3).

Вектор называется ортом, или единичным вектором вектора его длина равна единице:

3°. Запись ci — означает, что вектор имеет координаты или разложен по базису — орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом

4°. Числа называются направляющими косинусами вектора — углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор — орт вектора . Для любого вектора справедливо:

5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть тогда

Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.

6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов , устанавливаемое равенством может быть записано соотношениями из которых следует пропорциональность их координат:

Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если то векторы ).

7°. Система векторов называется линейно независимой, если равенство

( — действительные числа) возможно только при Если же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе то система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.

Примеры с решениями

Пример:

Доказать, что треугольник с вершинами в точках A(1,2), B(2,5), С(3,4) прямоугольный.

Решение:

Построим векторы, совпадающие со сторонами треугольника (см. п. 1°): (рис. 3.4).

Найдем длины сторон:
Нетрудно видеть, что Следовательно, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой и катетами

Пример:

Проверить, что точки А( 2,-4,3), В(5, —2,9), С( 7,4,6) и D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.

Решение:

Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):

Имеем значит, ABCD — трапеция.

Пример:

Найти орт и направляющие косинусы вектора

Решение:

Имеем В соответствии с п. 3°, 4°

и направляющие косинусы вектора причем

Пример:

Определить точку В, которая является концом вектора , если его начало совпадает с точкой

Решение:

Пусть точка В имеет координаты B(x,y,z) (рис. 3.6). Тогда координа- ^ ты вектора (п. 1°)

Следовательно, Ответ. В(5, -5,3).

Пример:

Вектор разложить по векторам

Решение:

Необходимо найти такие числа х, у, z, что т.е.

Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений

из которой

Ответ.

Пример:

Показать, что система векторов линейно независима.

Решение:

В данном случае равенство (1) имеет вид , или Отсюда получаем систему уравнений

из которой следует, что Это подтверждает линейную независимость данных векторов.

Пример:

Показать, что система векторов линейно зависима.

Решение:

Равенство (1) равносильно системе уравнений

Она имеет ненулевое решение, например, Таким образом, Отсюда видно, что т.е. вектор линейно выражается через Очевидно, что можно выразить через — через

Скалярное произведение векторов

1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Из (рис. 3.7) имеем ( — проекция вектора на направление вектора ).

Итак,

2°. Если

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

При этом если же , т. е. поскольку cos 90° = 0 (условие перпендикулярности двух векторов).

3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:

Примеры с решениями

Пример:

Перпендикулярны ли векторы если

Решение:

Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) в нашем случае

Ответ. Да.

Пример:

Найти проекцию вектора на направление вектора

Решение:

Имеем (п. 1°). Подставив сюда выражение для из п. 3°, получим

Ответ

Пример:

Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: и найти внутренние углы треугольника ABC.

Решение:

Имеем (рис. 3.8)

При помощи таблиц находим Для нахождения других углов нам понадобится вектор который является суммой : поэтому

Ответ. 123° 10′, 19°29′, 37°21′.

Пример:

Найти координаты вектора если где и

Решение:

На рис. 3.9 имеем Из условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем Положим Условие задачи перепишем в виде Рис. 3.9 системы

Векторное произведение векторов

1°. Векторы приведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора на плоскость векторов то кратчайший поворот от совершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).

2°. Векторным произведением ненулевых векторов называется вектор , обозначаемый удовлетворяющий следующим трем условиям.

1) вектор перпендикулярен плоскости векторов

2) Вектор направлен так, что векторы образуют правую тройку.

3) т.е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 3.11), таким образом,

Если векторы коллинеарны, то под понимается нулевой вектор:

3°. Если известны координаты векторов-сомножителей то для отыскания координат векторного произведения служит формула

в которой определитель следует разложить по элементам первой строки.

Примеры с решениями

Пример:

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В{3,2,1), С(1,0,1).

Решение:

Найдем координаты векторов Определим координаты векторного произведения (рис. 3.12):

Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): Площадь треугольника равна

Пример:

Построить параллелограмм на векторах и вычислить его площадь и высоту, опущенную на .

Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем Отдельно вычисляем векторное произведение:

Следовательно,

Смешанное произведение векторов

1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов называется число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение , а другой — вектор . Обозначение: Если образуют правую тройку, то Если образуют левую тройку, то

Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, Условие равносильно тому, что векторы расположены в одной плоскости, т.е. компланарны. Имеет место равенство

Объем тетраэдра с вершинами в точках можно вычислить по формуле где

2°. Условие равносильно условию линейной независимости , а тогда любой вектор линейно выражается через них, т. е. Для определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение:

Искомый объем Поскольку

Пример:

В точках 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0) и С(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Решение:

1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).

2) Введем векторы .Объем пирамиды ОАВС (тетраэда) равен

3) Площадь грани ABC

4) Объем пирамиды отсюда
Ответ.

Основные понятия векторной алгебры

Прямоугольные декартовы координаты

Координатная ось

Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L: Ясно, что по этой прямой L сы можем перемещаться в oднoм из двух противоположных направлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориентацией прямой L.

Оnределение:

Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью. На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1 ) . Фиксируем на оси некоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, доложив по определению его длину равной единице (рис. 2).

Пусть М — произвольная точка оси . Поставим этой точке в соответствие число х по следующему прав илу: х равно расстоюiию между точками О и М, взятому со знаком плюс или со знаком минус н зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис. 3).

Оnределение:

Ось с точкой начала отсчета О и масштабными отрезками а называется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М. Обозначение: М (х).

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L ₁ и L _2. Зададим на каждой из nрямых L ₁ и L ₂ ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые nревратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 4).

Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), друrую —осью ординат (осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат. Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему nравилу:

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми при этом х называется ее абсциссой, а у — ординатой. координатами точки М; Обозначение: М(х, у). Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию, говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат Ох у. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты нумеруются (рис. 7).

Замечание:

Масштабные от резки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L ₁ , L ₂ и L ₃ . Выберем на каждой из nрямых ориентацию и единый масштаб. Прямые L ₁ , L ₂ и L ₃ превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 8).

Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу) и третью — осью аппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат. Пусть М — nроизвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М nлоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответстnие упорядоченную тройку чисел (х, у, z) по следующему правилу:

Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, а z —аппликатой. Обозначение: М(х, у, z). Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат.

Оnределение:

Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.

Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей — октантов. 1 .4. Простейшие задачи аналитической геометрии А. Расстояние между точками Пусть М ₁ (х ₁ ) и М ₂ (х ₂ )- две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М ₁ (х ₁ , у₁ и М₂ (х₂ , y₂) вычисляется по следующей формуле

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MM₁M₂ (pиc. l l). По теореме Пифагора

Так как расстояние d между точками M ₁ и M ₂ равно длине отрезка M₁M₂ а |M₁M| = |x ₂ — x ₁|, |MM₂| = |y ₂ — y ₁|, то отсюда получаем, что

Замечая, что

,и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле .

Замечание:

Расстояние между точками в пространстве вычисляется по следующей формуле

Задача:

Написать уравнение окружности радиуса т с центром в точке Р(а, b).

Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |M P| = r. Заменим |M P|его выражением

и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке Р(а, b) .

Задача:

Пусть F _л (-с, 0) и F _n (c, 0) -фиксированные точки плоскости, а -заданное число (а > с ≥ 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до F_л и до F _n равна 2а.

Вычислим расстояния между точками М и F _л и между точками М и F _n . Имеем

(рис. 13). Отсюда

Перенесем второй корень в правую часть

Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим

С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате nриходим к равенству

Полагая b ² = а ² — с ² и деля обе части nоследнего соотноwения на а ² b² , nолучаем уравнение эллипса

(см. главу 111) .

Деление отрезка в данном отношении:

Пусть М₁ (х₁ , y₁) и М₂ (х₂ , y₂) — различные точки плоскости. Пусть, далее, точка М(х, у) лежит на отрезке М₁М₂ и делит его в отношении λ ₁ : λ ₂ , т. е.

Требуется выразить координаты х и у этой точки через координаты концов отрезка М₁М₂ и числа λ ₁ и λ ₂ . Предположим сначала, что отрезок М₁М₂ не параллелен оси ординат Оу (рис. 14). Тогда

Так как

то из последних двух соотношений получаем, что

Точка М лежит между точками М₁ и М₂ , поэтому либо х ₁ < х < х ₂ , либо х ₁ > х > х ₂ . В любом из этих случаев разности х₁ — х и х — х ₂ имеют одинаковые знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме

Отсюда

В случае, когда отрезок М₁М₂ параллелен оси Оу, х ₁ = х ₂ = х. Заметим, что тот же результат дает формула (*), если nоложить в ней х ₁ = х ₂ . Справедливость формулы

доказывается аналогичным рассуждением .

Задача:

Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках . М₁ ( х ₁ , у ₁ ), М₂ ( х ₂ , у ₂ ) и М₃ ( х ₃ , у ₃ ). Восnользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее координаты х и у можно найти по формулам

где х’ и у’ — координаты второго конца М’ медианы М₃ М’. Так как М’ — середина отрезка М₁М₂, то

Полученные соотношения позволяют выразить координаты z и у центра тяжести М треугольника ∆М₁М₂М₃ через координаты его вершин:

Замечание:

Если точка М(х,у,z ) делит отрезок с концами М₁( х₁, у₁, z₁) и М₂( х₂, у₂, z₂) в отношении λ₁ : λ₂, то ее координаты вычисляются по формулам

Полярные координаты

Предположим, что задана точка О, ось .содержащая точку О, и масштабный отрезок (эталон длины) (рис. 16).

Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.17). Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между положительным лучом оси и лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, φ) называют полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М , φ — полярный угол.

Точка О называется полюсом, — полярной осью.

Ясно, чтоЕсли точка М совпадаете полюсом, то считаем г = 0; полярный угол φ в этом случае не определен.

Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему — полярную.

Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равный. Тогда

(рис.18). В свою очередь

Пример:

Пусть R > О — заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г, <р) которых удовлетворяют равенству

r = R,

является окружностью радиуса R с центром в полюсе (рис. 19)

Определители 2-го и 3-го порядков

Пусть имеем четыре числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ (читается — «а-один-один», «а-один-два», «а-два-один», «а-два-два»).

Определителем второго порядка называется число

Обозначение:

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя; пары элементов а₁₁, а₁₂ и а₂₁, а₂₂ образуют строки определителя, а пары элементов а₁₁, а₂₁ и а₁₂, а₂₂ — его столбцы; пара элементов а₁₁, а₂₂ образует главную диагональ определителя, а пара а₁₂, а₂₁ — побочную диагональ.

Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а₁₁, а₂₂ элементов главной диагонали вычесть произведение а₁₂, а₂₁ элементов его побочной диагонали (рис. 20).

Пример:

Вычислить определитель

По правилу (1) имеем

С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что

находим

Пусгь теперь даны девять чисел a_ij (i = I, 2, 3; j = I, 2, 3).

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

и вычисляемое по следующему правилу:

Первый индекс i элемента a_ij указывает номер строки, в которой он расположен, а второй индекс j — номер столбца.

Элементы а₁₁, а₂₂, а₃₃ образуют главную диагональ определителя ∆, элементы а₁₃, а₂₂, а₃₁ — побочную диагональ, элементы а₁₃, а₂₂, а₃₁ — побочную диагональ.

Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на следующее: произведение элементов а₁₁, а₂₂, а₃₃ главной диагонали входит в формулу со своим знаком, также как и произведение а₁₁, а₂₂, а₃₃ и а₁₁, а₂₂, а₃₃ элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произведение а₁₃, а₂₂, а₃₁ элементов побочной диагонали, а также произведения а₁₂, а₂₁, а₃₃ и а₁₁, а₂₃, а₃₂ — с противоположным знаком (рис.22). Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Пример:

Вычислить определитель

Применяя правило треугольника, находим

Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при помощи разложений (1) и (2).

Свойство:

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами

Свойство:

При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный.

Свойство:

Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя

Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их справедливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).

Свойство:

Если определитель имеет две равные строки (или дна равных столбца), то он равен нулю.

Свойство:

Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство:

Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка

Минором M_ij элемента a_ij определителя ∆ называется определитель, получаемый изданного путем вычеркивания элементов i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента a₂₃ будет определитель

Алгебраическим дополнением элемента A_ij называется минор M_ij — этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент a_ij, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное:

Теорема:

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства

Покажем, например, что

Пользуясь формулой (2), получаем, что

Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а правило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.

Пример:

Вычислить определитель

Раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получим

Понятия связанного и свободного векторов

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1).

В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.

Определение:

Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).

Обозначение:

А В = CD.

Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример:

Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны.

Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:

1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
2. Если АВ = CD, той CD = АВ.
3. Если АВ = CD и CD = EF,то АВ = EF (рис.4).

Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы

CD = АВ.

Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис. 5).

Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор однозначно определяется заданием связанного вектора АВ.

Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6).

Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.

Для обозначен ия свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, b, с,… ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой

= а

(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для которого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А.

Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую дли ну. Это позволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а. Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = b, то |а| = |b; обратное неверно.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: = а. От полученной точки А отложим вектор b: = b. Полученный в результате вектор называется суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство

Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: = а; от полученной точки А отложим вектор b: = b; отточки В — вектор с: = с (рис. 11). По определению суммы — а + b и = (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство

(а +b) + с = а + (b + с),

т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:

а + b + с.

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:

Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.

Пример:

Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.

По правилу замыкающего ломаную получаем

(рис. 15).

Умножение вектора на число

Определение:

Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).

Обозначение: а||b.

Замечание:

Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.

Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, = n, = Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.

Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число.

Определение:

Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что

1. |Ь| = |λ| • |а|;

2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ < 0).
Обозначение: b = λа.

При λ = 0 положим λа = 0.

Таким образом, векторы а и Ь = λа коллинеарны по определению. Верной обратное: если векторы а(а ≠ 0) и Ь коллинеарны, то можно найти число А такое, что h = λа.

Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число:

(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы).
Определение:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а ≠ 0, то вектор

есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).

Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что

Векторы коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,

поэтому найдутся числа х, у, z такие, что

и, следовательно,

а = xi + yj + zk. (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.

Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае

а = {х, y,z}.

Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = { х₁, у₁, z₁ } и b = {х₂, у₂, z₂} равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.

Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).

Линейные операции над векторами в координатах

Пусть имеем два вектора а = { х₁, у₁, z₁} и b = { х₂, у₂, z₂ },так что а = х₁i, у₁j+ z₁k. b = х₂i+ у₂j+z₂k. На основании правила сложения векторов имеем

или, что то же,

— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем

Далее,

или, что то же,

— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пусть а = { х₁, у₁, z₁}, b = { х₂, у₂, z₂ } — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.

или (3)

Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.

Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Пример:

Найти координаты вектора начало которого находится в точке М₁ ( х₁, у₁, z₁ ). а конец — в точке M₂ (х₂, у₂, z₂).
Из рис. 22 видно, что = r₂ — r₁ , где r₂, r₁ — радиус-векторы точек М₁ и M₂ соответственно. Поэтому

— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Рассмотрим теперь произвольный вектор , определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).

Определение:

Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение:

Основные свойства проекций

1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)
2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.

Например,

(рис. 26).

Скалярное произведение векторов

Пусть имеем два вектора a и b.

Определение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) и определяемое равенством

(1)
где φ, или в иной записи (), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать

(рис. 27 б) и, аналогично,’ (2)

(рис. 27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать, что

(a, b) = 0.

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны, a ⊥ b.

Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.

Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так:

2. Скалярное произведение коммутативно:

(а, b) = (b, а).

Справедливость утверждения вытекает из формулы (I), если учесть четность функции cos φ: cos(- φ) = cos φ.

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения:

(а + b, с) = (а, с) + (b, c).

Действительно,

4. Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения

(λа, b) = (а, λb) = λ (а, b).

• Действительно, пусть λ > 0. Тогда

поскольку при λ > 0 углы () и (λ) равны (рис.28).

Аналогично рассматривается случай λ < 0. При λ = 0 свойство 4 очевидно.

Замечание:

В общeм случае (а, b)c ≠ a(b, c).

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:

Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:

Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим

Учитывая, что

получаем (4)

То есть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Пример:

Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.

(a, b) = 4 • 6 + (-2) • 3 + 1 • 2 = 20.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:

(а, а) = а².

Применяя формулу (4) при b = а, найдем (5)

С другой стороны,

так что из (5) следует, что (6)

— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы

Согласно определению

(а, b) = |а| • |b| • cos φ,

где φ — у гол между векторами а и b. Из этой формулы получаем
(7)

(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).

Пусть а = { х₁, у₁, z₁}, b = { х₂, у₂, z₂ }. Тогда формула (7) примет следующий вид

Пример:

Найти угол между векторами a = {2, -4,4,} и d = {-3,2,6}. Пользуясь формулой (8), находим

Пусть b = i, T.e. b = {1,0,0}. Тогда для всякого вектора а = { х₁, у₁, z₁} ≠ 0 имеем

или, в координатной записи, (9)

где а есть угол, образованный вектором я с осью Ох. Аналогично получаем формулы

Формулы (9)-(11) определяют направляющие косинусы вектора а, т. е. косинусы углов, образуемых вектором n с осями координат (рис. 29).

Пример:

Найти координаты единичного вектора n°. По условию | n°| = 1. Пусть n° = zi+ yj+ zk. Тогда

Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат:

Отсюда получаем

Пример:

Пусть единичный вектор n° ортогонален оси z:

(рис. 30). Тогда его координаты г и у соответственно равны

x=cos φ, y = sin φ.

Тем самым,

Векторное произведение векторов

Определение:

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a, b] (или a х b), такой, что

1) длина вектора [а, b] равна |а| • |Ь| • sin φ, где φ — угол между векторами а и b (рис.31);

2) вектор [а, b] перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости этих векторов;

3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от л к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).

Иными словами, векторы я, b и [a, b] образуют правую тройку векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. В случае, если векторы a и b коллинеарны, будем считать, что [a, b] = 0.

По определению длина векторного произведения (1)

численно равна площади параллелограмма (рис.33), построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:

|[a, b]| = .

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы я и b коллинеарны, то угол между ними равен либо 0, либо тг).

Это легко получить из того, что |[a, b]| = |a| • |b| • sin φ.

Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов a и b можно выразить так

2. Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда (2)

В самом деле, векторы [а, b] и [b, а] имеют одинаковую длину и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [a, b] кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [b, a] — почасовой стрелке (рис. 34).

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению

4. Числовой множитель λ можно выносить за знак векторного произведения

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = { х₁, у₁, z₁}, b = { х₂, у₂, z₂ }. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим (3)

Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):

Поэтому для векторного произведения векторов a и b получаем из формулы (3) следующее выражение (4)

Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5)

Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примеры:

1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j- k, b = 2i + j- k.

Искомая площадь = |[а, b]. Поэтому находим

откуда

2. Найти площадь треугольника ОАВ (рис.36).

Ясно, что площадь S∆ треугольника ОАВ равна половине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя векторное произведение [a, b] векторов a= и b = , получаем

Отсюда

Замечание:

Векторное произведение не ассоциативно, т.е. равенство [[а, b], с] = [а, b,с]] в общем случае неверно. Например, при а = i, b = j. c= j имеем

Смешанное произведение векторов

Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:

([a, b], с).

Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).

Геометрический смысл смешанного произведения

Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.

Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем

где — площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).

Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что

Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что

Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,

(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).

Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:

{а, b, с компланарны} <=> (а, b, с) = 0.

Смешанное произведение в координатах

Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:

Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем

Откуда

Итак,

— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов а = { х₁, у₁, z₁}, b = { х₂, у₂, z₂ }, c = { х₃, у₃, z₃} запишется в следующем виде

Пример:

Проверить, компланарны ли векторы

a = {7, 4,-6}, b = {2, 1,1}, с ={19, 11,17}.

Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель

Разлагая его по элементам первой строки, получим

Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение [а, [b, с]] представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам а и [b, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула

[а, [b, с]] = b(а, с) — с(а, b).

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат