Как найти часть высоты ромба

Высота ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти высоту ромба по известным элементам. Для нахождения высоты ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Высота ромба через сторону и площадь

Пусть задан ромб (Рис.1).

Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:

Откуда легко вывести формулу высоты ромба через сторону и площадь:

(small h=frac<large S><large a>.)

2. Высота ромба через сторону и угол

Рассмотрим ромб со стороной a и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол.

Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:

(small frac<large a><large sin 90°>=frac<large h><large sin alpha>.)

(1)

Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:

(small h=a cdot sin alpha.)

(2)

Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого угла. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: (small angle C=180°-alpha.) Следовательно (small sin angle C=sin(180°-alpha)=sin alpha.) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.

3. Высота ромба через диагонали

Выведем формулу вычисления высоты ромба через диагонали. Плошадь ромба через диагонали вычисляется формулой (см. статью Площадь ромба):

(small S= frac<large d_1d_2><large 2>,)

(3)

а через сторону и высоту, формулой

(small S= a cdot h.)

(4)

Из формул (3) и (4) следует:

(small frac<large d_1d_2><large 2>=a cdot h.)

(5)

Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).

Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:

(small a^2= left( frac<large d_1> <large 2>right)^2+left( frac<large d_2> <large 2>right)^2.)

(6)

(small a= frac<sqrt<large d_1^2+d_2^2>> <large 2>)

(7)

Подставим (7) в (5) и найдем h:

(small frac<large d_1d_2><large 2>=frac<sqrt<large d_1^2+d_2^2>> <large 2>cdot h,)

(small h= frac<large d_1d_2> <sqrt<large d_1^2+d_2^2>>.)

(8)

4. Высота ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:

(small a=frac<large d><large 2 cdot sin frac< alpha>< 2>>.)

(9)

С другой стороны (см. параграф 2):

(small h=a cdot sin alpha.)

(10)

Подставим (9) в (10):

(small h=frac<large d cdot sin alpha><large 2 cdot sin frac<large alpha><large 2>>.)

(11)

Применяя формулу двойного угла для (small sin alpha, ) имеем: (small sin alpha=2 cdot sin frac<alpha> <2>cdot cos frac<alpha> <2>. ) Подставляя это равенство в формулу (11), получим формулу высоты ромба через угол и противолежащую диагональ:

(small h=d cdot cos frac<large alpha><large 2>.)

(12)

5. Высота ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

(small frac<large OB > <large a>=cos angle ABO.)

(13)

Учитывая, что ( small BO=frac<large d><large 2>) и ( small angle ABO=frac<large alpha><large 2>), формулу (13) можно записать так:

(small frac< large frac<large d > <large 2>><large a>= cos frac<large alpha> <large 2>.)

(small a=frac<large d><large 2 cdot cos large frac< alpha>< 2>>.)

(14)

Подставим (14) в (2):

(small h= frac<large d cdot sin alpha ><large 2 cdot cos frac<large alpha><large 2>> .)

или, учитывая что (small sin alpha=2 cdot sin frac<alpha> <2>cdot cos frac<alpha> <2>, ) получим:

(small h= d cdot sin frac<large alpha><large 2>.)

(15)

6. Высота ромба через радиус вписанной в ромб окружности

Покажем, что высота ромба через радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и высоту вычисляется формулой

(small S= a cdot h.)

(16)

а площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности − формулой:

Ромб. Свойства и признаки ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.

Помимо этого:

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Признаки ромба

Чтобы параллелограмм оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().

2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().

3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d ₁ = a √ 2 + 2 · cosα

d ₁ = a √ 2 — 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 + 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 — 2 · cosα

d ₁ = 2 a · cos ( α /2)

d ₁ = 2 a · sin ( β /2)

d ₂ = 2 a · sin ( α /2)

d ₂ = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S =	1	d 1 2 · tg ( α /2)
2

S =	1	d 2 2 · tg ( β /2)
2

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =	d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и противоположные стороны параллельны. Это условие упрощает формулы для определения высоты — перпендикуляра, опущенного из угла на одну из сторон. В четырёхугольнике из каждого угла можно опустить высоты на две стороны. Рассмотрим, как находить высоты ромба, как они соотносятся друг с другом.

Как находить высоту ромба

Четырёхугольники — это такие фигуры, у которых могут изменяться углы при неизменных длинах сторон. Поэтому, в отличие от треугольника, мало знать длины сторон четырёхугольника, необходимо указывать ещё и размеры углов или высоту. Например, если углы ромба равны 90°, то получится квадрат. В этом случае высота совпадает со стороной. Рассмотрим, как найти высоту ромба при углах, отличных от прямых.

Определяем величину двух высот ромба, опущенных из одного угла

Имеем ромб ABCD, у которого AB//CD, BC//AD, АВ = ВС = СD = DА = а. Высотой h называется перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Опустим высоту АН на сторону ВС, а другую высоту АН1 опустим из того же угла на сторону DС.

• Тогда высота АН = AB × sin∟B;
• Высота AH1 = AD × sin∟D.

Одно из свойств ромба — равенство противоположных углов, т.е. ∟B = ∟D. Поскольку АВ = AD (все стороны ромба все равны между собой), то высота АН = АН1. Аналогично можно доказать, что две высоты, опущенные из любого угла, равны между собой.

Как соотносятся остальные высоты ромба между собой

Поскольку противоположные стороны параллельны, то сумма углов, примыкающих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, синусы всех четырёх углов равны между собой:

• sin∟D = sin(180° — ∟D) = sin∟С = sin∟А = sin∟В.

Следовательно, все высоты, опущенные из любого угла ромба, равны между собой, а сторона, угол и высота связаны между собой жёстким соотношением: h = a × sin∟A, где а — длина любой стороны, ∟A — любой угол ромба.

Геометрическая фигура ромб представляет собой вариацию параллелограмма, имеющего равные стороны. Его высотой является часть прямой, проходящая через вершину фигуры и образующая при пересечении с противолежащей стороной угол 90°. Частным случаем ромба является квадрат. Знание свойств ромба, а также верная графическая интерпретация условия задачи позволяют правильно определить высоту фигуры, используя один из допустимых способов.

Нахождение высоты ромба на основании данных о площади фигуры

Перед вами находится ромб. Как известно, для нахождения его площади необходимо перемножить величину стороны на числовое значение высоты, т.е. S = k * H, где

• k – значение, определяющее длину стороны фигуры,
• H – числовое значение, соответствующее длине высоты ромба.

Данное соотношение позволяет определить высоту фигуры как: H = S/ k
(S – площадь ромба, известная по условию задачи или вычисленная ранее, например как половина произведения диагоналей фигуры).

Нахождение высоты ромба через вписанную окружность

Вне зависимости от длины сторон и величины углов ромба в него можно вписать окружность. Центр данной геометрической фигуры будет совпадать с точкой пересечения диагоналей равностороннего параллелограмма. Информация о величине радиуса такой окружности поможет определить высоту ромба, т.к. r = H/2, где:

• r – радиус вписанного в ромб круга,
• H – искомая высота фигуры.

Из данного соотношения следует, что высота равнобокого параллелограмма соответствует удвоенному радиусу вписанного в этот параллелограмм круга – H = 2r
.

Нахождение высоты ромба через величины углов фигуры

Перед вами ромб MNKP, сторона которого MN = NK = KP = PM = m. Через вершину M проведены 2 прямые, каждая из которых образует с противолежащей стороной (NK и KP) перпендикуляр – высоту. Обозначим их как MH и MH1 соответственно. Рассмотрите треугольник MNH. Он прямоугольный, а значит, зная ∠N и определение тригонометрических функций, вы можете определить и его сторону-высоту ромба: sinN = MH/MN ⇒ MH = MN * sinN, где:

• sinN – синус угла при вершине равностороннего параллелограмма (ромба),
• MN (m) – величина стороны заданного ромба.

Т.к. углы ромба, лежащие напротив друг друга, равны между собой, то и величина второго перпендикуляра, опущенного из вершины M, также определяется как произведение MN на sinN.

H = m * sinN
– высоту такой фигуры как ромб можно определить путем перемножения числового значения длины его стороны на синус угла при его вершине.

Определив длину одной высоты ромба, вы получаете информацию о величине оставшихся трех перпендикуляров фигуры. Данный вывод следует из того, что у ромба все высоты равны между собой.

Зная диагонали, найти высоту ромба легко. В этом нам поможет теорема Пифагора.
И хоть она касается прямоугольных треугольников, в ромбе они тоже есть — их образует пересечение двух диагоналей d1 и d2:

Вообразим, что диагональ 1 равна 30 сантиметрам, а диагональ 2 — 40 см.

Итак, наши действия:

Подсчитываем величину стороны по теореме Пифагора.
Сторона BC — это гипотенуза (потому что лежит напротив тупого угла) треугольника BXD (X — это пересечение диагоналей d1 и d2). А значит размер этой стороны в квадрате равен сумме квадратов сторон BX и XC. Их размер нам тоже известен (диагонали ромба пересечением делятся пополам) — это 20 и 15 сантиметров. Выходит, что длина стороны BC равняется корню от 20 в квадрате и 15 в квадрате. Сумма квадратов диагоналей равняется 625, а если извлечь это число из корня, получаем размер катета, равный 25 сантиметрам.

Вычисляем площадь ромба при помощи двух диагоналей.
Для этого умножаем d1 на d2 и делим результат на 2. Получается: 30 умножить на 40 (= 1200) и поделить на 2 — выходит 600 см кв. — это и есть площадь ромба.

Теперь вычисляем высоту, зная длину стороны и площадь ромба.
Для этого нужно площадь поделить на длину катета (это и есть формула вычисления высоты ромба): 1200 делим на 25 — выходит 48 сантиметров. Это окончательный ответ.

Как найти высоту ромба, если известна площадь и периметр (какая формула)?

Ознакомьтесь со всеми формулами расчета площади ромба:

Чтобы узнать высоту, нам нужна самая первая формула (Площадь = Высота умножить на Длину стороны).

Допустим, что периметр равен 124 см, а площадь — 155 см кв.

Нам играет на руку то, что у ромба все стороны одинаковые, потому его периметр — это 4 умножить на длину одного катета.

1. Найдем длину стороны ромба через известный периметр. Для этого значение периметра (124) делим на 4, и получаем значение 31 сантиметр — длина катета.
2. Подсчитываем высоту через формулу площади.
   Делим площадь (155 см кв.) на размер катета (31 см) и получаем 5 сантиметров — это размер высоты данной геометрической фигуры.
   

Как найти высоту ромба, если известна сторона и угол?

Задача кажется сложной, но это не так. Представим, что размер катета ромба равен корню из трех, а угол — 90 градусам.

Чтобы посчитать размер высоты, используем формулу площади ромба (сторона в квадрате умножить на синус угла). Чтобы узнать синус любого градуса, воспользуйтесь в моем ответе. Синус 90 градусов равняется 1, потому найти высоту будет очень просто. Получается, что площадь равна квадрату длины стороны (3) умножить на синус 90 гр. (1), что в итоге дает ответ- 3 см кв.

А потом делим полученную площадь на размер катета: 3 поделить на корень из 3, и получаем высоту ромба —
√3.

Как посчитать высоту ромба, если известна сторона и диагональ?

В этой задаче нужно использовать прямоугольный треугольник, который образован пересечением диагоналей.

Допустим, что сторона равна 10 см, а диагональ — 12 см.

Наши действия:

Находим размер половины второй диагонали при помощи теоремы Пифагора.
Гипотенуза в нашем случае — это сторона, потому величина половины диагонали будет равна разнице квадрата катета (10 в квадрате) и квадрата половины известной диагонали (6 в квадрате). Выходит, что нужно от 100 отнять 36 — имеем 64 сантиметра. Добываем корень из этого числа и получаем длину половины второй диагонали — 8 см. А полная длина равна 16 сантиметрам.

Подсчитываем площадь ромба при помощи двух диагоналей.
Умножаем длину первой диагонали (12 см) на длину второй (16 см) и делим это на 2 — получаем 96 см кв. (это площадь ромба).

Вычисляем высоту, зная размер стороны и площадь.
Для этого 96 поделите на 10 — выходит 9,6 сантиметров — это окончательный ответ.

Ромб – это фигура, являющаяся параллелограммом. Но его особенность в том, что он обладает четырьмя
одинаковыми сторонами. Имеет некоторые важные геометрические свойства, а если быть точнее:

• Два угла будут равны, если они противоположные.
• Точка пересечения делить диагонали пополам.
• Стороны, которые находятся друг напротив друга, попарно равны.
• Если сложить градусную меру соседних углов, то получится 180 градусов.
• Биссектрисами ромба являются все его диагонали

Через диагонали

Бывают случаи, когда из всех возможных данных нам известны только две диагонали: длинная и короткая,
тогда математики применяют такую формулу:

h = D * d / (√D² + d²)

где h – высота ромба, D – длинная диагональ, d – короткая диагональ.

Пример. Имеем ромб ABCD, длинная диагональ равна 7 см, а короткая – 4 см. В условиях
сказано, что нужно найти высоту, округлив ответ до десятых. Используя предыдущую формулу,
подставляем вместо переменных следующие числа: h = 7 * 4 / (√7² + 4²) = 3.4. Ответ: 3.4 см.

Через диагонали и сторону

Когда в условиях задачи нам даны обе диагонали (и короткая, и длинная) вместо с одной из сторон, то
нужно следовать этой формуле:

h = Dd / 2a

где h – высота, D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, a – одна из сторон

Пример. Решим задачу. Дан ромб ABCD. Имеется две диагонали: короткая диагональ равна
3 см, а длинная 6. Сторона AB в длину составляет 8 см. Найдите высоту, ответ дайте в десятых. Режим
задачу при помощи формулы: h = 6 * 3 / 2 * 8 = 1,2 см. Ответ: 1,2 см.

Через длинную диагональ и синус острого угла

Если в задаче дан синус острого угла, а так же нам известно значение длинной диагонали, то можно
использовать данный способ:

h = D * sin α/2

где h – высота, D – длинная диагональ, sin α – синус острого угла.

Пример. Приведём одну из возможных ситуаций. В задаче представлен ромб ABCD. Нам
неизвестны его стороны, однако мы знаем, что длинная диагональ равна 9 сантиметрам. Так же мы имеем
острый угол α в 30°. Нужно найти его высоту, ответ округляем до десятых. Для этого мы умножаем
диагональ на sin острого угла, так как он равен 30°, то его синус равен 1/2, соответственно: h = 9 * 1/2 = 2.3 сантиметра. Ответ: 2.3 см.

Через короткую диагональ и синус тупого угла

Допустим, в условиях прописано, какая длина у короткой диагонали. Так же мы знаем градус одного
тупого угла. Для решения задач подобного типа используем эту формулу:

h = d * sin β/2

где h – высота, d – короткая диагональ, β – синус тупого угла

Пример. Решим одну из задач. Нам дан ромб ABCD. У этой фигуры короткая диагональ
равна 10 см, мы знаем, что в ромбе есть тупой угол в 150°. Найдите высоту с точностью до десятых.
Чтобы узнать необходимую величину, необходимо умножить D, что обозначает длинную диагональ на sin
150°/2, получается: h = 10 * (sin 150º / 2) = 9.8 сантиметров. Ответ: 9.8
см.

Через сторону и синус любого угла

Для того чтобы найти высоту фигуры используя сторону и любой синус, нужно обратиться к следующей
формуле:

h = a * sin α

где h является высотой, a – сторона ромба, sin α – синус любого угла, который мы решили взять

Пример. Рассмотрим формулу на примере. Имеем ромб ABCD, где сторона CB = 5
сантиметров, а угол C равен 90°. Чтобы найти его высоту, нам необходимо умножить CB на sin угла C.
Так как синус угла 90 градусов равен 1, соответственно, получаем следующее выражение: h = 5 • 1 = 5 сантиметров составляет высота ромба ABCD. Ответ: 5 см

Если быть внимательным, то можно заметить необычные признаки ромба, по которым его легко отличить от
других:

• Если в параллелограмме есть возможность вписать окружность, то это ромб.
• Если в параллелограмме все высоты равны, то это ромб.
• Если в параллелограмме под углом в 90° пересекаются диагонали, то это ромб.
• Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны друг друга, кроме этого ещё и делятся точкой
  пересечения, то это ромб.
• Если все четыре стороны параллелограмма равны, то это ромб.

Задачи на нахождение различных величин ромба встречаются во многих экзаменах, в том числе на ОГЭ и
ЕГЭ.

Порой в задачах необходимо определить высоту ромба, чтобы при её помощи узнать основную неизвестную
величину. К примеру, для того, чтобы вычислить площадь ромба, в одной из формул нам необходимо знать
высоту: , где a – это одна из сторон ромба, а h – высота. По обратной формуле можно будет найти
сторону ромба, для этого будет необходимо разделить площадь на высоту: .