Как найти частное от деления многочлена - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Калькулятор онлайн.
Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены, то для этого у
нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

Что значит поделить многочлен на многочлен?

Правила ввода выражений многочленов >>

Пример подробного решения >>

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x),
степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов ( f(x) ) и ( g(x) ), ( g(x) neq 0 ), существуют единственные полиномы
( q(x) ) и ( r(x) ), такие что
$$ frac{f(x)}{g(x)} = q(x)+frac{r(x)}{g(x)} $$
причем ( r(x) ) имеет более низкую степень, чем ( g(x) ).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного ( q(x) ) и остатка ( r(x) )
для заданных делимого ( f(x) ) и ненулевого делителя ( g(x) )

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
$$ frac{x^3-12x^2-42}{x-3} $$

Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой ( (x^3/x = x^2) )

( x^3 )

( -12x^2 )

( +0x )

( -42 )

( x )	( -3 )
( x^2 )

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми
двумя элементами делимого ( (x^2 cdot (x-3) = x^3-3x^2) )

( x^3 )	( -12x^2 )	( +0x )	( -42 )
( x^3 )	( -3x^2 )

( x )	( -3 )
( x^2 )

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой
( (x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) )

( x^3 )	( -12x^2 )	( +0x )	( -42 )
( x^3 )	( -3x^2 )
	( -9x^2 )	( +0x )	( -42 )

( x )	( -3 )
( x^2 )

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

( x^3 )	( -12x^2 )	( +0x )	( -42 )
( x^3 )	( -3x^2 )
	( -9x^2 )	( +0x )	( -42 )
	( -9x^2 )	( +27x )
		( -27x )	( -42 )

( x )	( -3 )
( x^2 )	( -9x )

5. Повторяем шаг 4.

( x^3 )	( -12x^2 )	( +0x )	( -42 )
( x^3 )	( -3x^2 )
	( -9x^2 )	( +0x )	( -42 )
	( -9x^2 )	( +27x )
		( -27x )	( -42 )
		( -27x )	( +81 )
			( -123 )

( x )	( -3 )
( x^2 )	( -9x )	( -27 )

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен ( q(x)=x^2-9x-27 ) — частное деления многочленов, а ( r(x)=-123 ) — остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
( x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 )
или
$$ frac{x^3-12x^2-42}{x-3} = x^2-9x-27 + frac{-123}{x-3} $$

Источник

Многочленом с одной переменной называется выражение вида

`P(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +a_(n-2) x^(n-2) + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`. (8)

Числа `a_0`, `a_1`, `…`, `a_n` — это коэффициенты многочлена; `a_n` называют старшим коэффициентом, `a_0` — свободным членом.

Степенью многочлена называют наибольшую степень переменной, входящую в многочлен.

Например, степень многочлена `P = x^4 — x^3 — x^2 + 2x + 1` равна `4`; степень многочлена `25 + x^5 — 3x` равна `5`; степень многочлена `17` равна `0`, т. к. переменная в это выражение не входит; наконец, выражение `3x^2 + x +5+ 2/x` многочленом не является, поэтому о его степени говорить бессмысленно. Многочлен `P(x) = 0` называют нулевым многочленом. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если равны все их коэффициенты. Многочлен равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.

Число `a` называется корнем многочлена `F(x)`, если `F(alpha) = 0`.

Приведём основные сведения о многочленах.

Для любых двух многочленов `F(x)` и `G(x)` существует единственная пара многочленов `P(x)` (частное) и `Q(x)` (остаток) такая, что `F(x) = G(x) * P(x) + Q(x)`, причём степень остатка `Q(x)` меньше степени делителя `G(x)`, или `Q(x)` есть нулевой многочлен. Покажем, как на практике находят частное и остаток от деления многочленов.

Разделите с остатком многочлен `F(x) = 18x^5 + 27x^4 -37x^3 — 14x + 20`

на многочлен `G(x) = 2x^2 + 3x -5`.

Процедура деления многочленов очень похожа на деление целых чисел. Если степень делимого не меньше степени делителя, то делаем следующее: делим старший член многочлена `F(x)` на старший член многочлена `G(x)`, получившийся результат записываем в частное. Умножаем результат на весь делитель `G(x)` и вычитаем полученное из исходного многочлена `F(x)`. После этих действий член со старшей степенью `x` сокращается. Если в результате вычитания у оставшегося многочлена степень не меньше, чем степень делителя, то можно сделать ещё один шаг деления и т. д.

Деление закончится тогда, когда степень делимого будет меньше степени делителя. В случае, когда в делимом отсутствуют некоторые степени переменных, для удобства записи лучше оставить пустые места для соответствующих членов (хотя это не обязательно).

Вернёмся к нашему примеру. Первый член частного равен `(18x^5)/(2x^2) = 9x^3`. При умножении на делитель `2x^2 +3x-5` получаем `18x^5 + 27x^4 — 45x^3`. После вычитания из исходного многочлена от него остаётся `8x^3 -14x +20`. Степень многочлена, оставшегося после вычитания, равна `3`. Это больше степени делителя, поэтому можно сделать следующий шаг деления. Делим `8x^3` на `2x^2` и получаем `4x`, умножаем `4x` на `2x^2 +3x-5`, получаем `8x^3 +12x^2 -20`; вычитаем этот многочлен из `8x^3 -14x +20` и т. д.

Частное равно `9x^3 +4x -6`; остаток равен `24x-10`.

Таким образом, `18x^5 + 27x^4 — 37x^3 -14x + 20 = (2x^2 + 3x — 5)(9x^3 + 4x — 6) + (24x — 10)`.

1) Теорема Безу. Остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `(x-alpha)` равен `F(alpha)`.

2) Число `alpha` является корнем многочлена `F(x)` тогда и только тогда, когда многочлен `F(x)` делится на многочлен `(x-alpha)`.

3) Если `alpha` и `beta` — различные корни многочлена `F(x)`, то он делится на многочлен `(x- alpha)(x- beta)`.

4) Многочлен степени `n` не может иметь более `n` корней.

1) Разделим с остатком многочлен `F(x)` на многочлен `(x-alpha)`. Тогда остаток либо равен нулю, либо является многочленом нулевой степени (т. к. степень остатка меньше степени делителя, а степень делителя равна `1`). Поэтому можно записать, что

`F(x) = (x-alpha) G(x) +C` (9)

Через `G(x)` здесь обозначено частное от деления, вид которого нас не интересует.

Равенство (9) верно при всех значениях `x`. Подставим в него `x=alpha`.

Тогда `F(alpha) = (alpha — alpha)G(alpha) + C`, или `F(alpha) = C`.

Подставим `C=F(alpha)` в (9) и получим

`F(x) = (x — alpha) G (x) + F(alpha)`. (10)

Первая часть доказана.

2) Из (10) следует, что `F(x)` делится на `(x — alpha)` тогда и только тогда, когда `F(alpha) = 0`, т. е. тогда и только тогда, когда `alpha` есть корень многочлена `F(x)`.

3) `alpha` — корень `F(x) => F(x)` делится на `(x- alpha) => F(x) = (x- alpha) G(x)`. Подставим в последнее равенство (которое верно для всех значений переменной `x`) `x= beta`. Тогда `F(beta) = (beta — alpha) G(beta)`.

`F(beta) = 0` (т. к. `beta` -корень `F(x)`), поэтому `(beta — alpha)G(beta) = 0 =>G(beta) = 0` (т. к. `beta != alpha`); отсюда `G(x)` делится на `(x- beta)`, т. е. `G(x) = H(x) * (x- beta)`. Подведём итог: `F(x) = (x- alpha) G(x) = (x -alpha)(x- beta) H(x)`, т. е. `F(x)` делится на `(x- alpha)(x- beta)`.

4) Теперь становится понятным, что многочлен степени `n` не может иметь больше, чем `n` корней.

Остатки от деления многочлена `F(x)` на многочлены `(x-3)` и `(x+5)` равны `2` и `(-9)` соответственно. Найдите остаток от деления многочлена `F(x)` на многочлен `x^2 + 2x -15`.

Заметим, что `x^2 + 2x -15 = (x-3)(x+5)`.

По теореме Безу `F(3) = 2`; `F(-5) =-9`.

Поделим `F(x)` с остатком на `x^2 + 2x -15`:

`F(x) = (x^2 + 2x — 15)G(x) + r(x)`.

Степень остатка не превосходит степени делителя, поэтому остаток – это либо многочлен первой степени, либо нулевой степени, либо равен нулю. В любом случае, остаток представим в виде `r(x) = ax +b` (если `a!= 0`, то получим многочлен первой степени; если `a=0`, `b!=0`, то будет многочлен нулевой степени; если `a=b=0`, то получим нулевой многочлен). Итак,

`F(x) = (x^2 + 2x-15)G(x) + ax+b`. (11)

Подставим в равенство (11) `x=3` и `x=-5`:

`F(3) = 0 * G(3) + 3a + b`; `F(-5)=0 * G(-5) -5a+b`, откуда $$ left{begin{array}{l}3a+b=2,\ -5a+b=-9.end{array}right.$$

Решая эту систему, нахоим, что `a=(11)/8`, `b=- (17)/8`.

Остаток равен `(11)/8 x — (17)/8`.

Докажите, что

$$ sqrt[3]{26-15sqrt{3}}+sqrt[3]{26+15sqrt{3}}=4$$. (12)

Пусть $$ sqrt[3]{26-15sqrt{3}}+sqrt[3]{26+15sqrt{3}}=x$$. Возведём обе части этого равенства в куб и преобразуем:

$$ 26-15sqrt{3}+3sqrt[3]{{left(26-15sqrt{3}right)}^{2}}sqrt[3]{26+15sqrt{3}}+3sqrt[3]{26-15sqrt{3}}sqrt[3]{{left(26+15sqrt{3}right)}^{2}}+26+15sqrt{3}={x}^{3}$$;

$$ 52+3sqrt[3]{26-15sqrt{3}}sqrt[3]{26+15sqrt{3}}left(sqrt[3]{26-15sqrt{3}}+sqrt[3]{26+15sqrt{3}}right)={x}^{3}$$;

$$ 52+3sqrt[3]{{26}^{2}-{left(15sqrt{3}right)}^{2}}left(sqrt[3]{26-15sqrt{3}}+sqrt[3]{26+15sqrt{3}}right)={x}^{3}$$;

$$ 52+3left(sqrt[3]{26-15sqrt{3}}+sqrt[3]{26+15sqrt{3}}right)={x}^{3}$$;

`52+3x=x^3`;

`x^3-3x-52=0`. (13)

Число `x=4` является корнем этого уравнения. Докажем, что других корней нет (и тем самым будет доказана справедливость равенства (12)). Поскольку `x=4` является корнем, многочлен `x^3 — 3x-52` делится на `x-4` без остатка. Выполняя деление, получаем:

$$ {x}^{3}-3x-52=0iff left(x-4right)left({x}^{2}+4x+13right)=0iff left[begin{array}{l}x-4=0,\ {x}^{2}+4x+13=0.end{array}right.$$

У квадратного трёхчлена `x^2 +4x+13` отрицательный дискриминант, поэтому уравнение (13) имеет ровно один корень `x=4`.

При каких `a` и `b` многочлен `F(x)=x^4 +ax^3 — 2x^2 +19x+b` делится на многочлен `x^2 -3x+2`?

1-й способ. Выполним деление с остатком:

Приравниваем коэффициенты остатка к нулю

$$ left{begin{array}{l}7a+28=0,\ b-6a-10=0,end{array}right.iff left{begin{array}{l}a=-4,\ b=-14.end{array}right.$$

2-й способ. `x^2 -3x+2=(x-1)(x-2)`.

Многочлен делится на `(x-1)(x-2)` тогда и только тогда, когда `x=1` и `x=2` являются корнями многочлена. То есть,

$$ begin{array}{c}Fleft(1right)=1+a-2+19+b=0, \ Fleft(2right)=16+8a-8+38+b=0,end{array}iff left{begin{array}{l}18+a+b=0,\ 46+8a+b=0,end{array}right.iff left{begin{array}{l}a=-4,\ b=-14.end{array}right.phantom{rule{0ex}{0ex}}$$

`a=-4`, `b=-14`.

Источник

Определение
3.3. Одночленом называют
выражение, представляющее собой
произведение чисел, переменных и степеней
с натуральным показателем.

Например, каждое
из выражений
,,является одночленом.

Говорят, что
одночлен имеет стандартный
вид, если
он содержит только один числовой
множитель, стоящий на первом месте, а
каждое произведение одинаковых переменных
в нем представлено степенью. Числовой
множитель одночлена, записного в
стандартном виде, называют коэффициентом
одночлена.
Степенью
одночлена
называют
сумму показателей степеней всех его
переменных.

Определение
3.4. Многочленом называют
сумму одночленов. Одночлены, из которых
составлен многочлен, называют членами
многочлена.

Подобные слагаемые
– одночлены в многочлене – называют
подобными
членами многочлена.

Определение
3.5. Многочленом стандартного вида
называют
многочлен, в котором все слагаемые
записаны в стандартном виде и приведены
подобные члены. Степенью
многочлена стандартного вида
называют наибольшую из степеней входящих
в него одночленов.

Например,
– многочлен стандартного вида четвертой
степени.

Действия над одночленами и многочленами

Сумму и разность
многочленов можно преобразовать в
многочлен стандартного вида. При сложении
двух многочленов записываются все их
члены и приводятся подобные члены. При
вычитании знаки всех членов вычитаемого
многочлена меняются на противоположные.

Например:

Члены многочлена
можно разбивать на группы и заключать
в скобки. Поскольку это тождественное
преобразование, обратное раскрытию
скобок, то устанавливается следующее
правило
заключения в скобки:
если перед
скобками ставится знак «плюс», то все
члены, заключаемые в скобки, записывают
с их знаками; если перед скобками ставится
знак «минус», то все члены, заключаемые
в скобки, записывают с противоположными
знаками.

Например,

Правило умножения
многочлена на многочлен:
чтобы умножить
многочлен на многочлен, достаточно
каждый член одного многочлена умножить
на каждый член другого многочлена и
полученные произведения сложить.

Например,

Итак, многочлены
можно складывать, вычитать и умножать.
При этом в результате снова получится
многочлен.

Определение
3.6. Многочленом от одной переменной
степениназывают
выражение вида

где
–
любые числа, которые называют коэффициентами
многочлена,
причем
,–
целое неотрицательное число.

Если
,
то коэффициентназываютстаршим
коэффициентом многочлена
,
одночлен–
его старшим
членом,
коэффициент
–
свободным
членом.

Если вместо
переменной
в многочленподставить действительное число,
то в результате получится действительное
число,
которое называютзначением
многочлена

при.

Определение
3.7. Число

называют
корнем
многочлена

,
если

.

Рассмотрим деление
многочлена
на многочлен,
гдеи— натуральные числа. Деление возможно,
если степень многочлена-делимогоне меньше степени многочлена-делителя,
то есть.

Разделить многочлен
на многочлен,,–
значит найти два таких многочлена
и,
чтобы

При этом многочлен

степениназываютмногочленом-частным,
–
остатком,
.

Замечание 3.2.
Если делитель

–
не нуль-многочлен, то деление
на,,
всегда выполнимо, а частное и остаток
определяются однозначно.

Замечание 3.3.
В случае, когда
при всех
,
то есть

говорят, что
многочлен
нацело делится(или
делится)
на многочлен
.

Деление многочленов
выполняется аналогично делению
многозначных чисел: сначала старший
член многочлена-делимого делят на
старший член многочлена-делителя, затем
частное от деления этих членов, которое
будет старшим членом многочлена-частного,
умножают на многочлен-делитель и
полученное произведение вычитают из
многочлена-делимого. В результате
получают многочлен – первый остаток,
который делят на многочлен-делитель
аналогичным образом и находят второй
член многочлена-частного. Этот процесс
продолжают до тех пор, пока получится
нулевой остаток или степень многочлена
остатка будет меньше степени
многочлена-делителя.

При делении
многочлена на двучлен можно воспользоваться
схемой Горнера.

Схема Горнера

Пусть требуется
разделить многочлен

на двучлен
.
Обозначим частное от деления как
многочлен

а остаток –
.
Значение,
коэффициенты многочленов,и остатокзапишем в следующей форме:

				…

В этой схеме каждый
из коэффициентов
,
,,
…,получается из предыдущего числа нижней
строки умножением на числои прибавлением к полученному результату
соответствующего числа верхней строки,
стоящего над искомым коэффициентом.
Если какая-либо степеньв многочлене отсутствует, то соответствующий
коэффициент равен нулю. Определив
коэффициенты по приведенной схеме,
записываем частное

и результат деления,
если
,

или
,

если
,

Теорема 3.1.
Для того чтобы несократимая дробь
(,)
была корнем многочлена
с целыми коэффициентами, необходимо,
чтобы числобыло делителем свободного члена,
а число— делителем старшего коэффициента.

Теорема 3.2.
(Теорема
Безу)
Остаток
от деления многочленана двучленравен значению многочленапри,
то есть.

При делении
многочлена
на двучленимеем равенство

Оно справедливо,
в частности, при
,
то есть.

Пример 3.2. Разделить
на.

Решение. Применим
схему Горнера:

Следовательно,

или
.

Пример 3.3. Разделить
на.

Решение. Применим
схему Горнера:

Следовательно,

или

Пример 3.4. Разделить
на.

Решение. Проведем
деление многочленов столбиком:

В итоге получаем

Пример 3.5. Разделить
на.

Решение. Проведем
деление многочленов столбиком:

Тогда получаем

Иногда бывает
полезным представление многочлена в
виде равного ему произведения двух или
нескольких многочленов. Такое тождественное
преобразование называют разложением
многочлена на множители.
Рассмотрим основные способы такого
разложения.

Вынесение
общего множителя за скобки.
Для того
чтобы разложить многочлен на множители
способом вынесения общего множителя
за скобки, необходимо:

1) найти общий
множитель. Для этого, если все коэффициенты
многочлена – целые числа, в качестве
коэффициента общего множителя
рассматривают наибольший по модулю
общий делитель всех коэффициентов
многочлена, а каждую переменную, входящую
во все члены многочлена, берут с наибольшем
показателем, который она имеет в данном
многочлене;

2) найти частное
от деления данного многочлена на общий
множитель;

3) записать
произведение общего множителя и
полученного частного.

Группировка
членов. При
разложении многочлена на множители
способом группировки его члены
разбиваются на две или более групп с
таким расчетом, чтобы каждую из них
можно было преобразовать в произведение,
и полученные произведения имели бы
общий множитель. После этого применяется
способ вынесения за скобки общего
множителя вновь преобразованных членов.

Применение
формул сокращенного умножения. В
тех случаях, когда многочлен, подлежащий
разложению
на множители,
имеет вид правой части какой-либо формулы
сокращенного умножения, его разложение
на множители достигается применением
соответствующей формулы, записанной в
другом порядке.

Пусть
,
тогда справедливы следующиеформулы
сокращенного умножения:





Для :
Если нечетное ():
Бином Ньютона: , где – число сочетаний изпо.

Введение новых
вспомогательных членов. Данный
способ заключается в том, что многочлен
заменяется другим многочленом,
тождественно равным ему, но содержащим
другое число членов, путем введения
двух противоположных членов или замены
какого-либо члена тождественно равной
ему суммой подобных одночленов. Замена
производится с таким расчетом, чтобы к
полученному многочлену можно было
применить способ группировки членов.

Пример 3.6. Разложить
на множители многочлен
.