Определение
Деление столбиком — это стандартный математический метод для деления простых или сложных многозначных чисел изучаемый в 4 классе начальной школы. При делении столбиком, как и при обычном делении, первое число — это делимое, второе — делитель, а результат — частное.
В столбик можно выполнять как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.
Правила записи чисел при делении столбиком
Сначала делимое и делитель записываются в одну строку слева направо, после чего следует символ вида:
Например, если делимое равно 7439, а делитель 43, то правильная запись в столбце будет следующей:
Рассмотрим следующую схему, которая иллюстрирует, где записывать делимое, делитель, частное, остаток и промежуточные вычисления при делении по столбцу:
Рассмотрим общую схему, которая иллюстрирует, где записывать делимое, делитель, частное, остаток и промежуточные вычисления при делении по столбцу:
Из схемы выше видно, что частное будет написано под делителем, т.е. ниже горизонтальной линии, а промежуточные расчеты пишутся под делимым.
Деление столбиком на однозначное число
Практические навыки лучше всего отрабатываются на простых примерах. Поэтому делим числа 9 и 3 в столбик. Конечно, эту операцию легко проделать в уме или по таблице умножения, однако подробный разбор для наглядности будет полезен, хотя мы уже знаем, что 9 ÷ 3= 3. Итак, сначала запишем делимое и делитель по методу деления в столбик:
Далее определяем число делителей, имеющихся в делимом. Как определить? Поэтапно умножать делитель на 0, 1, 2, 3…, до тех пор, пока в итоге не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в итоге сразу окажется число, равное делимому, под делителем запишем число, на которое делитель умножался.
Иными словами, когда получается число, большее делимого, под делителем записываем число, высчитанное на предпоследнем этапе. Вместо неполного частного записываем число, на которое делитель умножался на предпоследнем этапе.
[3 times 0=0 ; 3 times 1=3 ; 3 times 2=6 ; 3 times 3=9]
Итак, мы имеем число, равное делимому. Запишем его под делимыми, а вместо частного стоит число 3, на которое мы умножили делитель:
Теперь осталось вычесть числа под делителем (тоже методом столбца). В нашем случае 9 — 9 = 0.
Этот пример деления числа без остатка. Число после вычитания имеетс остаток от деления. Если он равен нулю, числа полностью делятся. Теперь рассмотрим пример деления числа с остатком.
Разделим натуральное число 7 на натуральное число 5.
При этом 5 последовательно умножается на 0, 1, 2, 3. ..получаем в результате:
[5 times 0=0<9 ; 5 times 1=5<9 ; 5 times 2=10>9]
Под делимым запишем число, полученное на предпоследнем этапе. Под делителем пишем число 1 — неполное частное, полученное на предпоследнем этапе. Именно на 1 мы помножили делитель, когда получили 5.
В завершение операции вычитаем 5 из 7 и получаем:
Это пример деления числа с остатком. Неполное частное равно 1, а остаток равен 2. Теперь, после изучения простейших примеров, поделим многозначные натуральные числа на однозначные значения.
Изучим механизм деления столбиком на примере деления числа 140288 на число 4.
Понять суть принципа намного легче на практических примерах, и этот пример был избран неслучайно, так как описывает все вероятные аспекты деления натуральных чисел столбиком.
Алгоритм деления столбиком
Рассмотрим подробне алгоритм деления натуральных чисел в столбик. Для этого запишем числа совместно со знаком деления столбиком. Далее смотрим на первую цифру слева в записи делимого. Вероятны два случая: число, вычисляемое этой цифрой, больше делителя и наоборот. В первом моменте работаем с этим числом, во втором добавочно берем последующую цифру в записи делимого и работаем с подобающим двузначным числом. В соответствии с этим пунктом выберем в примере число, с которым будем работать первоначально. Это число 14, так как первая цифра делимого 1 меньше делителя 4.
Определите, сколько раз числитель входит в полученное число. Обозначим это число как x = 14 Последовательно умножаем делитель 4 на каждый элемент ряда натуральных чисел N, включая ноль: 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3 и так далее. Мы делаем это до тех пор, пока результат не будет х или число больше, чем х. Когда результат умножения равен 14, мы записываем его под выбранным числом в соответствии с правилами вычитания столбца. Под делителем пишут множитель, на который умножался делитель. Если результатом умножения является число больше х, то под выбранным числом вписываем число, полученное на предпоследнем шаге, а вместо неполного частного (под делителем) вписываем множитель, на который производилось умножение на предпоследний шаг.
В соответствии с алгоритмом имеем:
[4 times 0=0<14;\4 times 1=4<14;\4 times 2=8<14;\4 times 3=12<14;\14 times 4=16>14.]
Под отмеченным числом пишем полученное на предпоследнем шаге число 12. Вместо частного пишем множитель 3.
Вычтите 12 из 14 и запишите результат под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем.
Число 2 меньше числа 4, поэтому запишем под горизонтальной чертой после двойки число, находящееся в следующем числе делимого. Если в делимом больше нет цифр, то деление окончено. В нашем примере после числа 2, полученного в предыдущем пункте, пишем следующую цифру делимого — 0. Соответственно, помечаем новое рабочее число — 20.
Важно
Пункты 2 − 4 циклически повторяются до окончания деления натуральных чисел.
Снова вычисляем, сколько содержится делителей в числе 20. Умножая 4 на 0, 1, 2, 3. . получаем: [4 times 5=20]. Так как в результате мы получили число равное 20 , пишем под отмеченным числом, а вместо частного в следующем бите пишем 5 — множитель, на который производилось умножение.
Проведем вычитание: 20 − 20 = 0
Цифру ноль писать не будем, потому что этот шаг не является концом деления. Давайте просто запомним место, где мы могли его написать и рядом напишем число из следующего разряда делимого — в нашем случае это число 2.
Умножьте делитель на 0, 1, 2, 3.. и сравните результат с отмеченным числом:
[4 times 0=0<2;\4 times 1=4>2]
Следовательно, под отмеченным числом пишем число 0, а под делителем в следующем разряде частного тоже пишем 0.
Выполняем операцию вычитания и записываем результат под чертой.
Справа, под чертой, прибавьте число 8, так как это следующая цифра делимого числа.
Следовательно, получаем новое рабочее число – 28, и снова повторяем пункты алгоритма.
Вычислив все по правилам, получаем результат:
Переносим последнюю цифру делимого 8 под черту. В последний раз повторяем шаги алгоритма 2 − 4 и получаем:
В нижней строке пишем число 0. Это число пишется только в последней фазе деления, когда операция завершена.
Рассмотрев алгоритм деления можно выделить общее правило деления натуральных чисел в столбиком:
- Делим тысячи;
- Делим сотни:
- Делим десятки;
- Делим единицы.
Рассмотрим другие примеры:
Пример №1
Выполним деление 7485 на 3:
Следовательно, 7485 : 3 = 2495
Проверка:
2495*3=7485
Пример № 2:
Разделим 318624 на 6:
Проверка: [54104 times 6=318624]
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Деление на многозначные натуральные числа столбиком
Алгоритм деления на многозначные числа столбиком весьма схож с ранее изученным механизмом деления многозначного числа на единичное число. Точнее, преобразования касаются только первого абзаца, а пункты 2-4 остаются без изменений. Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то сейчас будем смотреть на столько цифр, сколько их в делителе.Когда число, вычисляемое этими цифрами, больше делителя, мы берём это как рабочую цифру, иначе прибавляем лишнюю цифру из следующей цифры делимого. Далее следуем пунктам, изложенным в прошлом алгоритме. Изучим применение алгоритма многозначного деления на примере.
Пример №3
Разделим 5562 на 206.
В делителе три числа, поэтому в делимом сразу выбираем 556. Умножьте 206 на 0, 1, 2, 3.. и получаем:
[206 times 0=0<556;\206 times 1=206<556\206 times 2=412<556; text { деление}\206 times 3=618>556]
Следовательно, под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым — множитель 2.
Продолжаем вычисления:
В результате получаем число 144. Справа от результата под чертой пишем число из соответствующей цифры делимого и получаем новое рабочее число – 1442.
Повторяем пункты 2 − 4. Получаем:
[begin{gathered}
206 times 5=1030<1442; \
206 times 6=1236<1442; \
206 times 7=1442,1442=1442
end{gathered}]
Под выделенным числом записываем 1442, а в следующий разряд частного записываем цифру 7- множитель.
Выполним вычитание в столбик, и поймем, что операция деления окончена: в делителе больше нет цифр, чтобы писать их справа от результата вычитания.
Ответ: 27
Пример № 4
Разделим 36261 на 153
Проверка: [237 times 153=36261].
Ответ: 237
Пример № 5
Разделим 25725000 на 70
Проверка: [367500 times 70=25725000].
Ответ: 367500
Примеры деления на многозначное число с остатком
Пример №6:
Разделим 14507 на 186
Проверка: [186 times 77=14507].
Пример №7:
Разделим 300428 на 505
Проверка: [505 times 594=300428].
Деление десятичной дроби на натуральное число
Деление десятичной дроби в столбик производится по правилам деления натуральных чисел.
Рассмотрим детальней на примере: [1505,86 div 43=35,02].
Пример №8:
Разделим 5612,8 на 350,8
Проверка: [350,8 times 16=5612,8]
В данной публикации мы рассмотрим правила и практические примеры того, каким образом натуральные числа (двузначные, трехзначные и многозначные) можно делить столбиком – с остатком и без него.
-
Правила деления в столбик
- Без остатка
- С остатком
- Примеры деления в столбик
Правила деления в столбик
Без остатка
Чтобы найти частное от деления одного числа на другое (с любым количеством разрядов) можно выполнить это арифметическое действие в столбик.
Рассмотрим правила деления на практическом примере для лучшего понимания. Допустим, нам нужно трехзначное число разделить на однозначное, к примеру 256 на 8. Вот, что мы делаем:
1. Пишем делимое (256), затем немного отступаем от него и в этой же строке дописываем делитель (8). Затем между этими числами дорисовываем уголок. Результат будем записывать под делителем.
2. В делимом слева направо отсчитываем минимально необходимое количество разрядов таким образом, чтобы полученное из содержащихся в них цифр новое число было больше, чем делитель. В нашем случае числа 2 недостаточно, поэтому к нему добавляем 5 и в итоге получаем 25.
Примечание: Если крайняя левая цифра делимого больше делителя, добавлять к нему цифру следующего разряда не нужно, и мы сразу приступаем к следующему шагу.
3. Определяем, сколько целых раз наш делитель содержится в полученном из цифр делимого числе (25). В нашем случае – три раза. Пишем цифру 3 в отведенном для этого месте, затем умножаем ее на делитель (3 ⋅ 8). Получившееся число (24) отнимаем из 25 и остается единица. Важно, чтобы результат вычитания (остаток) обязательно был меньше делителя, иначе мы неправильно выполнили вычисления.
Примечание: Правила и примеры вычитания чисел столбиком приведены в отдельной публикации.
4. К остатку (1) добавляем следующую цифру делимого (6), чтобы получить новое число, которое снова больше, чем делитель.
Примечание: Если при добавлении следующей цифры образовавшееся новое число все еще меньше делителя, берем еще одну цифру справа (если есть такая возможность), при этом в частном пишем ноль. В противном случае, получается деление с остатком, которое мы рассмотрим далее.
5. В числе 16 содержится ровно два раза по восемь (2 ⋅ 8), следовательно, пишем 2 в частном, затем выполняем вычитание (16 – 16) и получаем остаток, равный нулю.
На этом деление столбиком числа 256 на 8 успешно выполнено, и частное равно 32.
С остатком
В целом, алгоритм действий аналогичен вышеописанному. Разница лишь в том, что при последнем вычитании остается неделимой остаток, к которому больше нечего дописывать из делимого, т.к. все его разряды уже были использованы. Остаток обычно записывается справа от результата в скобках.
Например, остаток от деления 112 на 5 равняется двум. То есть 112 : 5 = 22 (2).
Пояснение: в результате вычитания 10 из 12 получается 2, но к нему больше нечего дописать из делимого.
Примеры деления в столбик
Пример 1
Разделим трехзначное число на двузначное, например 378 на 21.
Ответ: 378 : 21 = 18.
Пример 2
Найдем частное от деления чисел 1537 и 35.
Пояснение: в данном случае в делимом нужно сразу отсчитать слева не две, а три цифры, т.к. числа 1 и 15 меньше 35.
Ответ: 1537 : 35 = 43 (32)
Сегодня мы рассмотрим деление в столбик — объяснение (3 класс).
Бывают небольшие числа, и с ними можно работать в уме. Бывают очень большие числа, для таких чисел люди нашли разные способы умножения и деления. Есть умножение в столбик. Это замечательно, там сразу видно что куда необходимо переносить и куда добавлять. Конечно, если аккуратно записывать. Но если есть умножение в столбик, тогда должно быть и деление в столбик.
Люди нашли удобный способ представления деления больших чисел, чтобы ничего не забыть.
Пример:
Это удобно, но почему так?
Сегодня в этом разбираются Бом, Бим и ребята.
Деление — это действие обратное умножению
Деление двух чисел — это действие обратное к умножению. Используется для нахождения одного из неизвестных (первого или второго множителя) в операции умножения. Делить на ноль — нельзя.
Деление в столбик — объяснение (3 класс)
Деление в столбик — это удобный способ представления деления одного числа на другое.
Сегодня ребята пришли раньше на представление и пошли осматривать цирк. По дороге им встретился Бим, который вез тележку с тремя коробками.
— Здравствуйте, ребята! — обрадовался. Бим. — Пойдемте за кулисы, поможете мне и Бому!
Бим и ребята пошли к Бому. В трех коробках находились бананы: в первой большой коробке лежали два больших пакета, в каждом большом пакете лежало по 100 бананов. Во второй, средней коробке, лежали два средних пакета; и здесь в каждом среднем пакете лежало по 10 бананов. В третьей маленькой коробке лежало четыре банана.
— Давайте посчитаем сколько всего бананов получается, — предложил Бим. — В большом пакете 100 бананов. Всего 2 больших пакета. В двух больших пакетах будет:
2 х 100 = 200 бананов.
Всего в большой коробке лежит 200 бананов. Теперь считаем сколько бананов в средней коробке: два пакета по 10 бананов,
2 х 10 = 20 бананов.
В маленькой коробке 4 банана. Получается, что во всех трех коробках будет:
200 + 20 + 4 = 224 банана.
Мне буфетчица сказала, что надо поделить эти бананы на 14 представлений и дать тебе, Бом, для твоих подопечных. Вот, что я придумал. Давайте все бананы высыплем в одну коробку и будем раскладывать по одному банану на 14 подносов пока все бананы не закончатся.
Бим начал высыпать все бананы в маленькую коробку.
— Здесь, конечно, бананов немного, а если бы бананов была тонна, то ты тоже по одному банану раскладывал бы? — поинтересовался Бом. — Очень легко запутаться. Давай придумаем другой способ.
— Ребята, — обратился Бом к школьникам, — помогите Биму все бананы сложить на место. В большой коробке должно быть два больших пакета по 100 бананов, всего в большой коробке будет 200 бананов. В средней коробке два средних пакета по 10 бананов в каждом пакете, всего в средней коробке будет 20 бананов. В маленькой коробке будет четыре банана.
И давай, Бим, договоримся, что в большой коробке будут лежать только большие пакеты по 100 бананов, в средней только средние пакеты по 10 бананов, в маленькой коробке только оставшиеся бананы без никаких пакетиков.
Ребята быстро помогли Бому и Биму.
— Вот теперь всё на месте, — подытожил Бом. — Давайте теперь будем делить так, чтобы бананов хватило на 14 представлений. В большой коробке два больших пакета, два на 14 не делится. А что, если мы бананы переложим из большой коробки в среднюю? Но для этого нужно достать каждый большой пакет и выложить из него бананы по 10 штук в средние пакети, и тогда мы можем бананы из большой коробки переложить в среднюю коробку.
Бом достал большой пакет из большой коробки. Ребята переложили бананы в средние пакеты и начали считать:
— Из одного большого пакета получается 10 средних пакетов по 10 бананов.
— У нас два больших пакета, значит из двух больших пакетов у нас получается 20 средних пакетов по 10 бананов, продолжил Бом. — Мы все средние пакеты помещаем в среднюю коробку.
Ого! В средней коробке уже 22 средних пакета. Такое количество уже делится на 14, это у нас неполное деление с остатком. Получается, на каждое представление будет по одному среднему пакету.
Бом взял 14 подносов и разложил по 1 среднему пакетику на каждый поднос:
— У нас было 22 средних пакетика, 14 мы разложили по местам, остаток 8 средних пакетиков в средней коробке и 4 банана в маленькой. Восемь на четырнадцать не делится. Но если мы оставшиеся в средней коробке бананы в восьми средних пакетах высыплем в маленькую коробочку, то получится в маленькой коробочке 84 банана:
8 х 10 + 4 = 84.
84 банана делятся на 14, получается по 6 бананов, то есть мы на каждый поднос должны добавить еще по 6 бананов. У нас всего 14 подносов, и на каждом подносе лежит одинаковое количество бананов. Значит мы поделили поровну все бананы, которые у нас были. На каждом подносе 1 средний пакет и 6 бананов. Выходит, что всего на каждом подносе по 16 бананов.
— Неужели всякий раз придется по разным пакетикам раскладывать, чтобы правильно поделить? — озадаченно спросил Бим.
— Совсем не обязательно, — ответил Коля. — Люди вместо коробок и пакетиков договорились, как будет называться каждая из цифр в числе. Цифра, которая стоит в числе самой правой, называется разрядом единиц. У нас в маленькой коробке 4 банана, значит число единиц — 4.
— Следующая цифра, которая находится левее разряда единиц называется разрядом десятков, — продолжила Оля. — У нас в средней коробке 2 пакета, значит число десятков равно 2. И мы знаем, что 2 десятка — это 20, и у нас в средней коробке как раз 2 пакетика по 10 бананов, всего 20 бананов.
— Следующая цифра, которая находится левее разряда десятков называется разрядом сотен. У нас это самая большая коробка, в ней два больших пакета, значит число бананов 200, — закончил Вася. — И мы знаем, что 2 сотни — это число 200.
— А какие еще числа могут стоять … в разрядах? — поинтересовался Бим.
— Число в каждом из разрядов может быть любой цифрой от 0 до 9, — ответил Биму Коля. — Еще левее от разряда сотен стоит разряд тысяч. У нас нет еще большей коробки, в которой лежали бы пакеты с количеством бананов по 1000 в каждом, поэтому мы ничего не пишем.
— Мы разложили бананы, у нас общее число бананов 224: 4 банана в маленькой коробке, 2 средних пакета по 10 бананов в средней коробке, — всего 20, и 2 больших пакета из 100 бананов в большой коробке, — подытожил Бом. — Число единиц у нас 4, число десятков 2, число сотен 2. Записываем: 4 стоит справа, левее стоит число десятков 2, еще левее число сотен 2. Теперь это число 224 будем делить на 14.
— Давайте теперь запишем деление 224 на 14 в столбик, — предложил Коля. — Делимое у нас 224, делитель 14. Смотрим: первая цифра слева 2 (число сотен) на 14 не делится, значит надо к ней справа приписать следующую за “2” цифру 2. Читаем число, которое получилось — 22. Число 22 уже делится на 14. Число 14 помещается в числе 22 по одному (1) разу, вот это число “1” и записываем в ответ для частного первым, потом надо из 22 вычесть 14 х 1:
22
—
14
____
8
Мы при делении 22 на 14 находим неполное частное 1 и остаток 8. Неполное частное записываем в частное результата, остаток пишем как при обычном вычитании чисел в столбик.
Теперь смотрим, есть ли еще цифры справа, в делимом 224. Да такая цифра есть, после 22 стоит цифра 4, мы её записываем справа от остатка 8. Эта четверка будет стоять на том же месте в строке, где стоит 4 в числе 224, но только ниже возле “8”. У нас внизу получается число “84”. Смотрим, делится ли оно на делитель “14”. Делится. В результате деления 84 на 14 получаем “6”, его записываем справа от “1” в частном. А внизу после того, как умножим 14 х 6 = 84 мы пишем опять обыкновенное вычитание в столбик:
84
—
84
___
0
Ура! Еще и остаток в конце равен 0. В числе 224 нет справа больше цифр, сносить на более нижние строки нечего. Значит, мы закончили деление. Частное — 16.
— Смотрите, получилось такое же число, как и количество бананов на каждом подносе, — обрадовалась Оля.
— Проверка, что деление выполнено правильно, делается также как и для обычного деления: частное умножается на делитель, должно получиться делимое, — добавил Вася.
— Сейчас каждый из нас еще по одному примеру деления в столбик запишет, — продолжил Коля.
Коля 1000 : 25 = 40. Оля 1025 : 25 = 41. Вася 10025 : 25 =401.
— Жалко, что у нас нет бананов в остатке, я бы его съел, огорчился Бим.
— Делаем вывод, — продолжил Коля. — Все деление в столбик состоит из неполных делений чисел, пока в числе не окончатся все разряды, но если после того, как мы снесли последний разряд (число единиц) остался остаток, то все деление у нас неполное, и результат будет состоять из частного-результата и остатка-результата. Если в конце деления остаток 0, то так и говорят, что делимое делится на делитель без остатка.
Можно и так определить деление в столбик, — подытожил Бом:
Деление в столбик — это ряд неполных делений чисел (неполных делимых), составленных из остатков от деления и цифр делимого, на делитель. В результате деления в столбик должны быть использованы все цифры делимого.
Вначале в делимом выделяем первое неполное делимое из цифр делимого, начиная с левой цифры делимого, пока неполное делимое не будет делиться не делитель. Частное от неполного деления записываем первой цифрой в частном.
К остатку от неполного деления сносим следующие цифры из делимого, пока новое неполное делимое не будет делится на делитель. При этом, если после снесенной цифры, неполное делимое не делится на делитель, то в частное ставится справа 0. После деления нового неполного делителя на делимое неполное частное записывается справа от уже найденных цифр частного, а к полученному неполному остатку опять сносятся последующие цифры из делимого. Действия повторяются, пока не будут снесены все цифры делимого.
Деление в столбик с остатком: объяснение (3 класс)
Неполное частное при делении в столбик — это частное от деления в столбик, при котором имеется остаток после использования последнего разряда в операции деления в столбик.
— Получается, — подхватил Вася, — что при делении в столбик тоже может быть неполное деление, когда есть остаток в самом конце деления. И результат тогда пишут, как при обычном неполном делении: частное-результат или как обычно говорят “частное”, а в конце в скобочке пишут остаток.
Пример:
— Спасибо ребята, что помогли нам сегодня разобраться с делением в столбик, — поблагодарил зрителей Бом. — Вот вам 315 конфет. Поделите в столбик 315 на 15 и разложите по 15 конфет в каждый кулечек. Три пакетика заберите себе, а остальные я раздам другим ребятам. Сколько всего получится пакетиков и сколько пакетиков мне останется раздать ребятам пусть посчитают ребята, которые научились делению в столбик.
— Подсказка. В ответе должен быть 21 кулечек, три из которых получили Коля, Оля и Вася, — добавил Бим. — Теперь напишите, пожалуйста, вопросы и ответы для ребят с Бомом, а я побежал одеваться, мой выход в самом начале представления, а выход Бома с обезьянками будет позже.
Бим убежал.
— До начала представления еще есть время, — посмотрел на часы Бом. — Ребята, давайте запишем вопросы:
- Что такое деление?
- Деление в столбик — это …
- Деление в столбик с остатком — это …
И как обычно, ответы:
- Деление двух чисел — это действие обратное к умножению, используется для нахождения одного из неизвестных (первого или второго множителя) в операции умножения. Делить на ноль — нельзя.
- Деление в столбик — это удобный способ представления обыкновенного деления. Деление — это действие обратное к умножению.
- Неполное частное при делении в столбик — это частное от деления в столбик, при котором имеется остаток после использования последнего разряда в операции деления в столбик
— Спасибо, ребята! — обрадовался Бом. — Вы очень помогли нам с Бимом. А теперь бегите на представление.
Заключение
Сегодня мы постарались в игровой форме рассмотреть тему: «Деление в столбик — объяснение (3 класс)». Надеемся, что ребята выучат деление в столбик и оно им еще не один раз пригодится.
Оригинальная идея подачи материала принадлежит Стуловой Лилии Валериевне (преподаватель математики от 5 лет и старше).
Не забудьте оценить наши старания! Комментарии приветствуются. По желанию подписывайтесь на нас в Яндекс.Дзен и в других социальных сетях!!!)))
Определение частного чисел
Определение
Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел
$a$ и
$b$ будет число
$c$, которое равно
$c = a : b$ . При этом число
$a$ будет делимым, а число
$b$ — делителем.
Пример
Задание. Найти частное чисел:
1) $39 : 3$ ;
4) $124 : 4$
Ответ. $39 : 3 = 13$
$124 : 4 = 31$
Для нахождения частного больших чисел или
десятичных дробей используют способ
деления в столбик.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти частное чисел:
1) $564 : 12$ ;
2) $0,567 : 0,21$
Решение. Для нахождения частного в первом примере выполним деление в столбик.
Для этого запишем делимое и делитель следующим образом
Берем первую цифру слева, она не делится на 12, значит, берем две цифры: 56 и делим их на 12 с остатком.
Возьмем по $4 : 4 cdot 12 = 48$ . Записываем 48 под 56 и находим остаток:
$56 — 48 = 8$ . Восьмерку записываем под чертой и сносим к ней следующее
число из делимого, получим 84. Делим 84 на 12, получаем 7. остаток от деления 0 и цифр в делимом больше нет. Деление окончено.
Таким образом, $564 : 12 = 47$
Для нахождения частного во втором примере, сведем деление десятичных дробей к делению десятичной дроби на целое число.
Для этого будем передвигать запятую вправо у делимого и делителя до тех пор, пока делимое не станет целым числом. Далее
запишем полученные числа в столбик, как и в первом примере:
Берем в делимом первые две цифры слева и делим их на делимое с остатком. Получаем $56 : 21$ , можно взять по 2. Двойку записываем в частное.
И так как целая часть делимого закончилась, ставим в частном запятую. Умножаем $2 cdot 21 = 42$ , записываем 42 под 56 и вычитаем:
$56 — 42 = 14$ . Остаток 14 списываем к нему следующую
незадействованную цифру делимого 7. Полученное число 147 делим на 12, получаем 7. Записываем семерку в частное,
и, так как на этом делимое закончилось, а остаток после последнего деления 0, деление окончено.
Таким образом $0,567 : 0,21 = 2,7$
Ответ. $564 : 12 = 47$
$0,567 : 0,21 = 2,7$
Частное рациональных дробей находится по правилу
$$frac{m}{n}: frac{p}{q}=frac{m cdot q}{n cdot p}$$
Пример
Задание. Найти частное рациональных дробей:
1) $frac{2}{3}: frac{1}{3}$ ;
2) $1 frac{1}{14}: 1 frac{3}{7}$
Решение. 1) Воспользуемся правилом вычисления частного рациональных дробей:
$$frac{2}{3}: frac{1}{3}=frac{2 cdot 3}{3 cdot 1}=2$$
Для вычисления частного во втором примере, сначала запишем дроби в виде неправильных дробей. Для этого целую часть
умножим на знаменатель и прибавим к числителю. Затем применим правило вычисления частного рациональных дробей:
$$1 frac{1}{14}: 1 frac{3}{7}=frac{1 cdot 14+1}{14}: frac{1 cdot 7+3}{7}=frac{15}{14}: frac{10}{7}=$$
$$=frac{15 cdot 7}{14 cdot 10}=frac{15}{2 cdot 10}=frac{15}{20}=frac{3}{4}$$
Ответ. $frac{2}{3}: frac{1}{3}=2$
$1 frac{1}{14}: 1 frac{3}{7}=frac{3}{4}$
Читать дальше: что такое иррациональное число.
Содержание материала
- Определение частного чисел (деление)
- Видео
- Неполное частное
- Как найти частное чисел
- Проверка деления умножением
- Увеличение или уменьшение делимого
- Нахождение значения частного чисел
- Деление с остатком
Определение частного чисел (деление)
Частное чисел — это результат получаемый при определении количества содержания одного числа в другом. Проще говоря это обычное деление. При этом общепринятые оперируемые понятия для частного это делимое, делитель и само частное — результат.
Пример. Найти частное чисел:
1) 20:2=10;
2) 35:7=5.
Ответ: 20:2=10 и 35:7=5.
Это был самый простой пример. Все самое интересное впереди! Проблемы с делением начинаются тогда, когда числа становятся большими и выходят за рамки таблицы умножения. Здесь приходится делить большое число по определенному правилу. Такое деление еще называется деление в столбик.
Пример. Найти частное чисел:
1) 894:3=298
-894| 3__ 6 |298-29 27— 24 24 0
Ответ: 894:3=298
Видео
Неполное частное
Неполное частное – результат, который получился после деления с остатком.
Под делением с остатком понимается нахождение наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Это искомое и называют неполным частным.
Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, который всегда меньше делителя.
Например, 17 не делится без остатка на 5.
Наибольшее число, результат умножения которого на 5 не превосходит 17, это 3. 3 в данном случае является неполным частным.
Чтобы получить остаток, нужно из 17 вычесть произведение 3 и 5, то есть 17 – 3*5 = 2. Остаток – 2.
Как найти частное чисел
Пришли в цирк трое ребят: Вася, Коля и Оля. На входе их встречал клоун Бим, который дарил детям шарики. У него в руках было 6 шариков, но дарил он их за отгадки. Клоун спросил у ребят:
— Мне надо подарить вам шарики, какое математическое действие я буду применять?
— Деление! — быстро ответил Коля. — Ты же будешь делить шарики между нами.
Клоун хитро прищурился:
— А как называются члены деления?
— Мы недавно это изучали! — воскликнула Оля. — Всё количество шариков, которое ты будешь делить, называется делимое. У тебя сейчас 6 шариков, значит здесь делимое — 6!
— А то, на сколько ребят ты их разделишь, называется делитель, — вмешался Вася. — Нас трое ребят, значит делитель — 3!
Коля продолжил:
— У каждого из нас будет часть шариков, и результат от деления называется частным.
— Какое же здесь будет частное? — спрашивает Бим.
— Два! — не сговариваясь, хором ответили ребята.
— Правильно, каждому из вас достанется по два шарика, это и есть частное.
Ребята ответили на все вопросы Бима, и каждый получил по два шарика — как результат деления:
6 (делимое) : 3 (делитель) = 2 (частное).
Запишем цифрами:
6:3=2
| Делимое | Делитель | Частное |
| 6 | 3 | 2 |
В этом выражении 6 (делимое) стоит самым первым, 3 (делитель) — на втором месте. А частное (2) — после знака равенства справа.
Итак, частное — это число, которое получается в результате деления делимого на делитель.
Проверка деления умножением
— Я что-то не пойму. Это уже умножение, а не деление! — говорит Бим. — Выходит, что деление — действие обратное умножению. То есть, мы можем проверить деление умножением?
— Да, — ответил Бом.
Деление — действие, обратное умножению. Для того чтобы проверить деление, надо провести умножение.
Центр образовательных технологий Advance
Увеличение или уменьшение делимого
Некоторые другие соотношения вытекают из этих. Например, если увеличить или уменьшить делимое в n раз, то в результате частное также повысится или понизится в n раз соответственно.
Изложенное правило имеет такой вид:
Приведём пример:
12 ⁄ 2 = 6 и пусть n = 3.
Проведём увеличение и уменьшение делимого:
(12∗3) /2 = 6∗3 — увеличили делимое на 3, равенство верное: 36 / 2 = 18;
(12 / 3) / 2 = 6 / 3 — уменьшили делимое на 3, равенство все равно верное: 4 / 2 = 2.
То есть, в три раза увеличив делимое, можно в три раза увеличить частное. Аналогично выполняется и уменьшение.
Нахождение значения частного чисел
Пример:
12 : 3 = 4 (в числе 12 4 раза содержится по 3)
15 : 5 = 3 (в числе 15 5 раз содержится по 5)
Нужно знать, что правильность определения частного от деления числа всегда можно проверить путем перемножения его на делитель, либо делимое поделить на частное и получить делитель.
Например:
20 : 4 = 5
Перемножим частное двух чисел на делитель и получим делимое:
4 * 5 = 20
Разделим делимое на частное и получим делитель:
20 : 5 = 4
Таким образом, мы доказали правильность определения частного.
Деление с остатком
Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком. Он всегда меньше делителя.
19 не делится нацело на 5.Числа 1, 2, 3 в произведение с 5 дают 5, 10, 15,не превосходящие делимое 19,но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19.Поэтому неполное частное есть 3.Разность между 19 и произведением 3 · 5 = 15 есть 19 — 15 = 4;поэтому остаток есть 4.