- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Деление
- Деление с остатком
Начнём рассмотрение новой темы с решения задачи.
Мама принесла 8 конфет и разделила их поровну между двумя детьми. Сколько конфет получил каждый?
8 : 2 = 4 (к.)
Каждый ребёнок получил по 4 конфеты.
На следующий день мама опять принесла 8 конфет, но в гостях у её детей была ещё одна подружка. Мама опять разделила конфеты поровну, но уже между тремя детьми. Сколько конфет получил каждый ребёнок?
Каждый получил по 2 конфеты и 2 конфеты остались лишними.
Как это записать?
8 : 3 = 2 (ост. 2)
Как сделать проверку?
2 • 3 + 2 = 8
Правило 1
Деление с остатком — это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
16 : 7 = 2 (ост. 2)
23 : 8 = 2 (ост. 7)
Правило 2
При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.
43 : 8 = 5 (ост. 3)
остаток 3 < делимого 5
34 : 4 = 8 (ост. 2)
остаток 2 < делимого 4
Правило 3
Если делимое меньше делителя, в частном получается ноль, а остаток равен делимому.
7 : 10 = 0 (ост. 7)
6 : 9 = 0 (ост. 6)
Порядок решения
14 : 5 = 2 (ост. 4)
1. Нахожу наибольшее число до 14, которое делится на 5 без остатка. Это число 10.
10 : 5 = 2
2. Вычитаю из делимого найденное число: 14 − 10 = 4
3. Сравниваю остаток с делителем
4 < 5
Решение верно.
Проверка деления с остатком
1. Умножаю неполное частное на делитель.
2. Прибавляю остаток к полученному результату.
3. Сравниваю полученный результат с делимым, он должен быть МЕНЬШЕ.
Деление в столбик
В 23 содержится 5 раз по 4, и ещё остаётся 3.
Решение записывают так:
23 : 4 = 5 (ост. 3) или так:
, где 23 — делимое, 4 — делитель, 5 — неполное частное, а 3 — остаток.
Советуем посмотреть:
Табличное деление
Внетабличное деление
Деление суммы на число
Деление на однозначное число
Деление чисел, оканчивающихся нулями
Свойства деления
Деление
Правило встречается в следующих упражнениях:
2 класс
Страница 76. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 77. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 79. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 80. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 81. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 82. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 84. Урок 32,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 87. Урок 33,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 108. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 57. ПР. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 59,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 60,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 85,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 36,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 39. Урок 14,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 31. Урок 13,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 94. Урок 41,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 49. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 20,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 61,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 89,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 39,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 61. ПР 1. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 28,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 103,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 31,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 55,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 32. Урок 11,
Петерсон, Учебник, часть 1
5 класс
Задание 530,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 534,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 545,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 550,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 679,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1083,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1131,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 141,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 613,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 179,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 370,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 436,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 529,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 778,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 971,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1092,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 1517,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 638,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
7 класс
Номер 331,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 384,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 431,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 581,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 605,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 608,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 856,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 873,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1031,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1045,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 46,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 193,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 212,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 254,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 302,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 304,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 305,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 306,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 307,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Математика, 3 класс
Урок № 47. Приёмы нахождения частного и остатка
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
1. С помощью каких приёмов можно находить частное и остаток?
2. В чём смысл деления с остатком?
3. Какое правило поможет научиться делить с остатком?
Глоссарий по теме:
Деление – это обратное действие умножению.
Делимое – компонент деления, число которое делят.
Делитель – компонент деления, число на которое делят.
Частное – результат деления.
Неполное частное – результат деления с остатком.
Обязательная литература и дополнительная литература:
1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для
общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 26.
2. Математика. 3 класс. Часть 2. / Л. Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2013 – 96 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вы уже знакомы со случаями деления с остатком.
Рассмотрим еще один пример.
Тридцать два разделить на пять.
Вспомним, какое самое большое число до тридцати двух делится на пять. Это тридцать. Тридцать разделить на пять будет шесть. Это частное. Тридцать два вычесть тридцать получится два. Два – это остаток.
32 : 5
30 : 5 = 6 – это частное
32 – 30 = 2 – это остаток.
32 : 5 = 6 (ост. 2)
Если при делении трудно вспомнить самое большое число, которое делится без остатка, то можно частное найти способом подбора.
Тридцать четыре разделить на девять. Пробуем в частном два.
Проверяем: девять умножить на два равно восемнадцати.
Найдём остаток:
Из тридцати четырёх вычитаем восемнадцать, получается шестнадцать, шестнадцать больше девяти,
значит два не подходит.
Пробуем в частном три.
Проверяем: девять умножить на три равно двадцати семи. Тридцать четыре минус двадцать семь равно семи, семь меньше девяти, значит три подходит.
34 : 9
Пробуем в частном 2.
Проверяем: 9 ∙ 2 = 18.
Найдём остаток:
34 – 18 = 16, 16 > 9, значит 2 не подходит.
Пробуем в частном 3.
Проверяем: 9 ∙ 3 = 27.
34 – 27 = 7, 7 < 9, значит 3 подходит.
34 : 9 = 3 (ост.7)
Выполним тренировочные задания.
№ 1. В решении какого примера на деление остаток равен 3?
1.10 : 3;
2.19 : 4;
3. 16 : 2;
4.13 : 2
Ответ: 19 : 4 = 4 (ост. 3) и 13 : 2 = 5 (ост. 3)
№ 2. Найдите и выделите цветом в филворде числа, которые делятся на 7 без остатка.
Ответ:
№ 3. Вставьте пропущенные числа:
«Если делитель равен 9, то остаток может быть равен __; ___; ___; ____; ___; _____; ___; ___.»
Ответ: 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1.
№ 4. Соотнесите условие задачи и решение:
На аэродроме 20 самолётов. Сколько всего троек самолётов может подняться в воздух? Сколько останется?
20 : 3 = 6 (ост. 1)
20 : 3 = 5 (ост. 2)
20 : 3 = 6 (ост. 2)
Ответ: 20 : 3 = 6 (ост. 2)
№ 5. Заполните таблицу:
Правильный вариант:
№ 6. Найдите частное чисел 23 : 3, вставляя пропущенные числа, действуя по алгоритму:
1) ____ (наибольшее число до 23, кратное 3);
2) ____ : ____ = _____ (частное);
3) ______ — _____ = _____ (остаток);
4) ______ < ________.
Ответы:
- 21 ;
- 21 : 3 = 7 (частное);
- 23 – 21 = 2 (остаток);
- 2 < 3
Деление с остатком.
Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.
16=5⋅3+1
a=b⋅c+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Остаток от деления
Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.
Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.
Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Делим столбиком:
258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
7⋅36+6=252+6=258
б) Делим столбиком:
1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873
Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.
Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)
Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22
б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107
Задача:
Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?
Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.
Формула деления с остатком
Деление с остатком, как это?
Разделить с остатком число a на число b — значит найти два таких числа: c — частное и n — остаток, и сложить их.
Данную формулу так же можно прочитать следующим образом:
Разделить с остатком число a на число b — значит найти два таких числа c и n (частное и остаток), что:
Правило деления с остатком
Что бы разделить число с остатком, нужно:
1. Подобрать близкое к делимому число, которое меньше делимого и делителя на делитель без остатка;
2. Выполнить деление;
3. Найти остаток — из делимого вычесть число, которое разделили. Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Примеры
19 : 4 = 4 (остаток 1), 19 = 4 • 4 + 3;
23 : 3 = 7 (остаток 2), 23 = 7 • 3 + 2.
Объясним правило на примере 19 : 4
1. Подбираем близкое к 19 число, которое меньше 19 и делится на 4 без остатка. Это число 16;
2. Делим 16 на 4, получаем 4;
3. Находим остаток: 19 — 16 = 3. Сравниваем остаток с делителем: 3 < 4. Значит, частное найдено верно.
4. Значит, 19 : 4 = 4 + 3 (остаток).
Проверка деления с остатком
Что бы проверить деление с остатком нужно:
1. Остаток сравнить с делителем (остаток должен быть меньше делителя);
2. Частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток. Если получится делимое, то пример решен верно.
Пример №1
Проверяем:
1. 4 < 3;
2. 7 • 4 + 3 = 23.
Пример №2
Проверяем:
1. 5 < 15;
2. 3 • 15 + 5 = 50.
Деление с остатком
- Как делить с остатком?
- Проверка деления с остатком
Деление с остатком — это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Как делить с остатком?
Выполнить деление не всегда возможно, так как бывают случаи, когда одно число не делится на другое. Например, число 11 не делится на 3, так как нет такого натурального числа, при умножении которого на 3 получилось бы 11.
Когда деление невозможно выполнить условились делить не всё делимое, а только наибольшую его часть, какая только может разделиться на делитель. В данном примере наибольшая часть делимого, которая может быть разделена на 3 — это 9 (в результате получим 3), оставшаяся меньшая часть делимого — 2 не разделится на 3.
Говоря о делении 11 на 3, 11 по прежнему называется делимым, 3 — делителем, результат деления — число 3, называют неполным частным, а число 2 — остатком от деления. Само деление в этом случае называют делением с остатком.
Неполное частное — это наибольшее число, которое при умножении на делитель даёт произведение, не превосходящее делимого. Остаток — это разность между делимым и этим произведением. Остаток всегда меньше делителя, иначе его тоже можно было бы поделить на делитель.
Остаток всегда меньше делителя.
Деление с остатком можно записывать так:
27 : 7 = 3 (ост. 6),
где 27 — это делимое, 7 — делитель, 3 — неполное частное, а 6 — остаток.
Если при делении одного натурального числа на другое в остатке получается 0, то говорят, что первое число делится на второе нацело. Например, 4 делится на 2 нацело. Число 5 не делится на 2 нацело. Слово нацело обычно опускают для краткости и говорят: такое-то число делится на другое, например: 4 делится на 2, а 5 не делится на 2.
Пример. Выполнить деление с остатком:
1) 19 : 6;
2) 27 : 5;
3) 60 : 8.
Решение:
1) 19 : 6 = 3 (ост. 1);
2) 27 : 5 = 5 (ост. 2);
3) 60 : 8 = 7 (ост. 4).
Задание. Какие остатки могут получаться при делении на 3? на 6? на 8?
Решение: Так как остаток всегда меньше делителя то:
- при делении на 3 остаток может быть 2 или 1;
- при делении на 6 в остатке может получится 5, 4, 3, 2 или 1;
- при делении на 8 остаток будет равен 7, 6, 5, 4, 3, 2 или 1.
Проверка деления с остатком
Рассмотрим выражение:
15 : 2 = 7 (ост. 1),
где 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.
Чтобы узнать правильно ли было выполнено деление с остатком, можно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, равное делимому, то деление с остатком выполнено верно:
7 · 2 + 1 = 15
или
2 · 7 + 1 = 15.