Как найти частоту чисел в интервале - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

С абсолютной частотой все довольно просто: она определяет, сколько раз конкретное число содержится в имеющемся наборе данных (объектов или значений). А вот относительная частота характеризует отношение количества конкретного числа в наборе данных. Другими словами, относительная частота – это отношение количества определенного числа к общему количеству чисел в наборе данных. Имейте в виду, что вычислить относительную частоту достаточно легко.

1
Соберите данные. Если вы решаете математическую задачу, в ее условии должен быть дан набор данных (чисел). В противном случае проведите эксперимент или исследование и соберите необходимые данные. Подумайте, в какой форме записать исходные данные.
- Например, нужно собрать данные о возрасте людей, которые посмотрели определенный фильм. Конечно, можно записать точный возраст каждого человека, но в этом случае вы получите довольно большой набор данных с 60-70 числами в пределах от 10 до 70 или 80. Поэтому лучше сгруппировать данные по категориям, таким как «Моложе 20», «20-29», «30-39» «40-49», «50-59» и «Старше 60». Получится упорядоченный набор данных с шестью группами чисел.
- Другой пример: врач собирает данные о температуре пациентов в определенный день. Если записать округленные числа, например, 37, 38, 39, то результат будет не слишком точным, поэтому здесь данные нужно представить в виде десятичных дробей.
2
Упорядочьте данные. Когда вы соберете данные, у вас, скорее всего, получится хаотичный набор чисел, например, такой: 1, 2, 5, 4, 6, 4, 3, 7, 1, 5, 6, 5, 3, 4, 5, 1. Такая запись кажется практически бессмысленной и с ней сложно работать. Поэтому упорядочьте числа по возрастанию (от меньшего к большему), например, так: 1,1,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6,7.^[1]
- Упорядочивая данные, будьте внимательны, чтобы не пропустить ни одного числа. Посчитайте общее количество чисел в наборе данных, чтобы убедиться, что вы записали все числа.
3

Создайте таблицу с данными. Собранные данные можно организовать в виде таблицы. Такая таблица будет включать три столбца и использоваться для вычисления относительной частоты. Столбцы обозначьте следующим образом:^[2]

Реклама

1
Найдите количество чисел в наборе данных. Относительная частота характеризует, сколько раз конкретное число содержится в имеющемся наборе данных по отношению к общему количеству чисел. Чтобы найти относительную частоту, нужно посчитать общее количество чисел в наборе данных. Общее количество чисел станет знаменателем дроби, с помощью которой будет вычислена относительная частота.^[3]
- В нашем примере набор данных содержит 16 чисел.
2
Найдите количество определенного числа. То есть посчитайте, сколько раз конкретное число встречается в наборе данных. Это можно сделать как для одного числа, так и для всех чисел из набора данных.^[4]
- Например, в нашем примере число встречается в наборе данных три раза.
3

Разделите количество конкретного числа на общее количество чисел. Так вы найдете относительную частоту для определенного числа. Вычисление можно представить в виде дроби или воспользоваться калькулятором или электронной таблицей, чтобы разделить два числа.^[5]

Реклама

1
Результаты вычислений запишите в созданную ранее таблицу. Она позволит представить результаты в наглядной форме. По мере вычисления относительной частоты результаты записывайте в таблицу напротив соответствующего числа. Как правило, значение относительной частоты можно округлить до второго знака после десятичной запятой, но это на ваше усмотрение (в зависимости от требований задачи или исследования). Помните, что округленный результат не равен точному ответу.^[6]
- В нашем примере таблица относительных частот будет выглядеть следующим образом:
- x : n(x) : P(x)
- 1 : 3 : 0,19
- 2 : 1 : 0,06
- 3 : 2 : 0,13
- 4 : 3 : 0,19
- 5 : 4 : 0,25
- 6 : 2 : 0,13
- 7 : 1 : 0,06
- Итого : 16 : 1,01
2
Представьте числа (элементы), которых нет в наборе данных. Иногда представление чисел с нулевой частотой так же важно, как и представление чисел с ненулевой частотой. Обратите внимание на собранные данные; если между данными имеются пробелы, их нужно заполнить нулями.
- В нашем примере набор данных включает все числа от 1 до 7. Но предположим, что числа 3 нет в наборе. Возможно, это немаловажный факт, поэтому нужно записать, что относительная частота числа 3 равна 0.
3
Выразите результаты в процентах. Иногда результаты вычислений нужно преобразовать из десятичных дробей в проценты. Это общепринятая практика, потому что относительная частота характеризует процент случаев появления определенного числа в наборе данных. Чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты, нужно десятичную запятую передвинуть на две позиции вправо и приписать символ процента.
- Например, десятичная дробь 0,13 равна 13%.
- Десятичная дробь 0,06 равна 6% (обратите внимание, что перед 6 стоит 0).
Реклама

Советы

Относительная частота характеризует наличие или возникновение определенного события в наборе событий.
Если сложить относительные частоты всех чисел из набора данных, вы получите единицу. Помните, что при сложении округленных результатов сумма не будет равна 1,0.
Если набор данных слишком большой, чтобы обработать его вручную, воспользуйтесь программой MS Excel или MATLAB; это позволит избежать ошибок в процессе вычисления.

Источники

Об этой статье

Эту страницу просматривали 145 917 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Интервальный вариационный ряд и его характеристики

Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента
Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения
Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда
Выборочная дисперсия и СКО
Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации
Алгоритм исследования интервального вариационного ряда
Примеры

п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента

Интервальный вариационный ряд – это ряд распределения, в котором однородные группы составлены по признаку, меняющемуся непрерывно или принимающему слишком много значений.

Общий вид интервального вариационного ряда

Интервалы, (left.left[a_{i-1},a_iright.right))	(left.left[a_{0},a_1right.right))	(left.left[a_{1},a_2right.right))	…	(left.left[a_{k-1},a_kright.right))
Частоты, (f_i)	(f_1)	(f_2)	…	(f_k)

Здесь k — число интервалов, на которые разбивается ряд.

Размах вариации – это длина интервала, в пределах которой изменяется исследуемый признак: $$ F=x_{max}-x_{min} $$

Правило Стерджеса
Эмпирическое правило определения оптимального количества интервалов k, на которые следует разбить ряд из N чисел: $$ k=1+lfloorlog_2 Nrfloor $$ или, через десятичный логарифм: $$ k=1+lfloor 3,322cdotlg Nrfloor $$

Скобка (lfloor rfloor) означает целую часть (округление вниз до целого числа).

Шаг интервального ряда – это отношение размаха вариации к количеству интервалов, округленное вверх до определенной точности: $$ h=leftlceilfrac Rkrightrceil $$

Скобка (lceil rceil) означает округление вверх, в данном случае не обязательно до целого числа.

Алгоритм построения интервального ряда
На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Найти размах вариации (R=x_{max}-x_{min})
Шаг 2. Найти оптимальное количество интервалов (k=1+lfloorlog_2 Nrfloor)
Шаг 3. Найти шаг интервального ряда (h=leftlceilfrac{R}{k}rightrceil)
Шаг 4. Найти узлы ряда: $$ a_0=x_{min}, a_i=1_0+ih, i=overline{1,k} $$ Шаг 5. Найти частоты (f_i) – число попаданий значений признака в каждый из интервалов (left.left[a_{i-1},a_iright.right)).
На выходе: интервальный ряд с интервалами (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k})

Заметим, что поскольку шаг h находится с округлением вверх, последний узел (a_kgeq x_{max}).

Например:
Проведено 100 измерений роста учеников старших классов.
Минимальный рост составляет 142 см, максимальный – 197 см.
Найдем узлы для построения соответствующего интервального ряда.
По условию: (N=100, x_{min}=142 см, x_{max}=197 см).
Размах вариации: (R=197-142=55) (см)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloor 3,322cdotlg ⁡100rfloor=1+lfloor 6,644rfloor=1+6=7)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{55}{5}rceil=lceil 7,85rceil=8) (см)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=142, a_i=142+icdot 8, i=overline{1,7} $$

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм

(left.left[142;150right.right))

(left.left[150;158right.right))

(left.left[158;166right.right))

(left.left[166;174right.right))

(left.left[174;182right.right))

(left.left[182;190right.right))

(left[190;198right])

п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения

Относительная частота интервала (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) — это отношение частоты (f_i) к общему количеству исходов: $$ w_i=frac{f_i}{N}, i=overline{1,k} $$

Гистограмма относительных частот интервального ряда – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – относительным частотам каждого из интервалов.
Площадь гистограммы равна 1 (с точностью до округлений), и она является эмпирическим законом распределения исследуемого признака.

Полигон относительных частот интервального ряда – это ломаная, соединяющая точки ((x_i,w_i)), где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).

Накопленные относительные частоты – это суммы: $$ S_1=w_1, S_i=S_{i-1}+w_i, i=overline{2,k} $$ Ступенчатая кривая (F(x)), состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – накопленным относительным частотам, является эмпирической функцией распределения исследуемого признака.
Кумулята – это ломаная, которая соединяет точки ((x_i,S_i)), где (x_i) — середины интервалов.

Например:
Продолжим анализ распределения учеников по росту.
Выше мы уже нашли узлы интервалов. Пусть, после распределения всех 100 измерений по этим интервалам, мы получили следующий интервальный ряд:

i	1	2	3	4	5	6	7
(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм	(left.left[142;150right.right))	(left.left[150;158right.right))	(left.left[158;166right.right))	(left.left[166;174right.right))	(left.left[174;182right.right))	(left.left[182;190right.right))	(left[190;198right])
(f_i)	4	7	11	34	33	8	3

Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:

(x_i)	146	154	162	170	178	186	194
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03
(S_i)	0,04	0,11	0,22	0,56	0,89	0,97	1

Построим гистограмму и полигон:

Построим кумуляту и эмпирическую функцию распределения:

Эмпирическая функция распределения (относительно середин интервалов): $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 146\ 0,04, 146lt xleq 154\ 0,11, 154lt xleq 162\ 0,22, 162lt xleq 170\ 0,56, 170lt xleq 178\ 0,89, 178lt xleq 186\ 0,97, 186lt xleq 194\ 1, xgt 194 end{cases} $$

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда

Выборочная средняя интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная по частотам: $$ X_{cp}=frac{x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k}{N}=frac1Nsum_{i=1}^k x_if_i $$ где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i $$

Модальным интервалом называют интервал с максимальной частотой: $$ f_m=max f_i $$ Мода интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) — нижняя граница модального интервала;
(f_m,f_{m-1},f_{m+1}) — соответственно, частоты модального интервала, интервала слева от модального и интервала справа.

Медианным интервалом называют первый интервал слева, на котором кумулята превысила значение 0,5. Медиана интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) — нижняя граница медианного интервала;
(S_{me-1}) накопленная относительная частота для интервала слева от медианного;
(w_{me}) относительная частота медианного интервала.

Расположение выборочной средней, моды и медианы в зависимости от симметрии ряда аналогично их расположению в дискретном ряду (см. §65 данного справочника).

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

(x_i)	146	154	162	170	178	186	194	∑
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03	1
(x_iw_i)	5,84	10,78	17,82	57,80	58,74	14,88	5,82	171,68

$$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i=171,68approx 171,7 text{(см)} $$ На гистограмме (или полигоне) относительных частот максимальная частота приходится на 4й интервал [166;174). Это модальный интервал.
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_o=166, f_m=34, f_{m-1}=11, f_{m+1}=33, h=8\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =166+frac{34-11}{(34-11)+(34-33)}cdot 8approx 173,7 text{(см)} end{gather*} На кумуляте значение 0,5 пересекается на 4м интервале. Это – медианный интервал.
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_o=166, w_m=0,34, S_{me-1}=0,22, h=8\ \ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_me}h=166+frac{0,5-0,22}{0,34}cdot 8approx 172,6 text{(см)} end{gather*} begin{gather*} \ X_{cp}=171,7; M_o=173,7; M_e=172,6\ X_{cp}lt M_elt M_o end{gather*} Ряд асимметричный с левосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|}=frac{2,0}{0,9}approx 2,2lt 3), т.е. распределение умеренно асимметрично.

п.4. Выборочная дисперсия и СКО

Выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная для квадрата отклонения от средней: begin{gather*} D=frac1Nsum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 f_i=frac1Nsum_{i=1}^k x_i^2 f_i-X_{cp}^2 end{gather*} где (x_i) — середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ D=sum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 w_i=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2 $$

Выборочное среднее квадратичное отклонение (СКО) определяется как корень квадратный из выборочной дисперсии: $$ sigma=sqrt{D} $$

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

$x_i$	146	154	162	170	178	186	194	∑
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03	1
(x_iw_i)	5,84	10,78	17,82	57,80	58,74	14,88	5,82	171,68
(x_i^2w_i) — результат	852,64	1660,12	2886,84	9826	10455,72	2767,68	1129,08	29578,08

$$ D=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2=29578,08-171,7^2approx 104,1 $$ $$ sigma=sqrt{D}approx 10,2 $$

п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

Исправленная выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как: begin{gather*} S^2=frac{N}{N-1}D end{gather*}

Стандартное отклонение выборки определяется как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии: $$ s=sqrt{S^2} $$

Коэффициент вариации это отношение стандартного отклонения выборки к выборочной средней, выраженное в процентах: $$ V=frac{s}{X_{cp}}cdot 100text{%} $$

Подробней о том, почему и когда нужно «исправлять» дисперсию, и для чего использовать коэффициент вариации – см. §65 данного справочника.

Например:
Для распределения учеников по росту получаем: begin{gather*} S^2=frac{100}{99}cdot 104,1approx 105,1\ sapprox 10,3 end{gather*} Коэффициент вариации: $$ V=frac{10,3}{171,7}cdot 100text{%}approx 6,0text{%}lt 33text{%} $$ Выборка однородна. Найденное значение среднего роста (X_{cp})=171,7 см можно распространить на всю генеральную совокупность (старшеклассников из других школ).

п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда

На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Построить интервальный ряд с интервалами (left.right[a_{i-1}, a_ileft.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k}) (см. алгоритм выше).
Шаг 2. Составить расчетную таблицу. Найти (x_i,w_i,S_i,x_iw_i,x_i^2w_i)
Шаг 3. Построить гистограмму (и/или полигон) относительных частот, эмпирическую функцию распределения (и/или кумуляту). Записать эмпирическую функцию распределения.
Шаг 4. Найти выборочную среднюю, моду и медиану. Проанализировать симметрию распределения.
Шаг 5. Найти выборочную дисперсию и СКО.
Шаг 6. Найти исправленную выборочную дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Сделать вывод об однородности выборки.

п.7. Примеры

Пример 1. При изучении возраста пользователей коворкинга выбрали 30 человек.
Получили следующий набор данных:
18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,24,29,29
Постройте интервальный ряд и исследуйте его.

1) Построим интервальный ряд. В наборе данных: $$ x_{min}=18, x_{max}=38, N=30 $$ Размах вариации: (R=38-18=20)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloorlog_2⁡ 30rfloor=1+4=5)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{20}{5}rceil=4)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=18, a_i=18+icdot 4, i=overline{1,5} $$

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет

(left.left[18;22right.right))

(left.left[22;26right.right))

(left.left[26;30right.right))

(left.left[30;34right.right))

(left.left[34;38right.right))

Считаем частоты для каждого интервала. Получаем интервальный ряд:

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет	(left.left[18;22right.right))	(left.left[22;26right.right))	(left.left[26;30right.right))	(left.left[30;34right.right))	(left.left[34;38right.right))
(f_i)	1	7	12	6	4

2) Составляем расчетную таблицу:

(x_i)	20	24	28	32	36	∑
(f_i)	1	7	12	6	4	30
(w_i)	0,033	0,233	0,4	0,2	0,133	1
(S_i)	0,033	0,267	0,667	0,867	1	—
(x_iw_i)	0,667	5,6	11,2	6,4	4,8	28,67
(x_i^2w_i)	13,333	134,4	313,6	204,8	172,8	838,93

3) Строим полигон и кумуляту

Эмпирическая функция распределения: $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 20\ 0,033, 20lt xleq 24\ 0,267, 24lt xleq 28\ 0,667, 28lt xleq 32\ 0,867, 32lt xleq 36\ 1, xgt 36 end{cases} $$ 4) Находим выборочную среднюю, моду и медиану $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_iapprox 28,7 text{(лет)} $$ На полигоне модальным является 3й интервал (самая высокая точка).
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_0=26, f_m=12, f_{m-1}=7, f_{m+1}=6, h=4\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =26+frac{12-7}{(12-7)+(12-6)}cdot 4approx 27,8 text{(лет)} end{gather*}
На кумуляте медианным является 3й интервал (преодолевает уровень 0,5).
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_0=26, w_m=0,4, S_{me-1}=0,267, h=4\ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h=26+frac{0,5-0,4}{0,267}cdot 4approx 28,3 text{(лет)} end{gather*} Получаем: begin{gather*} X_{cp}=28,7; M_o=27,8; M_e=28,6\ X_{cp}gt M_egt M_0 end{gather*} Ряд асимметричный с правосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|} =frac{0,9}{0,1}=9gt 3), т.е. распределение сильно асимметрично.

5) Находим выборочную дисперсию и СКО: begin{gather*} D=sum_{i=1}^k x_i^2w_i-X_{cp}^2=838,93-28,7^2approx 17,2\ sigma=sqrt{D}approx 4,1 end{gather*}
6) Исправленная выборочная дисперсия: $$ S^2=frac{N}{N-1}D=frac{30}{29}cdot 17,2approx 17,7 $$ Стандартное отклонение (s=sqrt{S^2}approx 4,2)
Коэффициент вариации: (V=frac{4,2}{28,7}cdot 100text{%}approx 14,7text{%}lt 33text{%})
Выборка однородна. Найденное значение среднего возраста (X_{cp}=28,7) лет можно распространить на всю генеральную совокупность (пользователей коворкинга).

Источник

Интервальное статистическое распределение

Если признак может
принимать любые значения из некоторого
промежутка, т.е. является непрерывной
случайной величиной, то необходимо
промежуток между наименьшим и наибольшим
значениями признака в выборке разбить
на несколько интервалов одинаковой
(или разной) длины. При
этом количество интервалов k
не должно
быть меньше 6 – 10 и больше 20 – 25 (выбор
числа интервалов зависит от объема
выборки n).

При подборе
количества интервалов можно пользоваться
приближенной формулой, которую предложил
американский статистик Sturgess
(Стерджесс):

– целая часть
числа х.

Затем определяем
длину частичного интервала группировки:

,
где R
=
–
размах выборки.

Находим границы
каждого из непересекающихся частичных
интервалов
:

a₁
= x_min
–
;
b₁
= a₁
+ h;

a₂
= b₁;
b₂
= a₂
+ h
и т.д.

Далее
каждому интервалу требуется поставить
в соответствие число выборочных значений
признака, попавших в этот интервал. В
результате получим интервальное
статистическое распределение:

Таблица
3.3

Интервалы	[a₁; b₁)	[a₂; b₂)	[a₃; b₃)	…	[a_k; b_k)
Частоты	m₁	m₂	m₃	…	m_k

Используя
интервальное статистическое распределение,
можно вычислить относительную частоту,
накопленную частоту, эмпирическую
функцию распределения, так же как и для
дискретного статистического распределения.

Если
в интервальном распределении каждый
интервал

заменить числом, лежащим в его середине
(a_i
+
b_i)/2,
то получим дискретное статистическое
распределение. Такая замена вполне
естественна, так как, например, при
измерении размера детали с точностью
до одного миллиметра, всем размерам из
промежутка [49,5 мм; 50,5 мм) будет
соответствовать одно число, равное 50.

Для графического
изображения интервального распределения
используется гистограмма.
Для ее построения в прямоугольной
системе координат по оси абсцисс
откладываем границы интервалов
группировки и на этих интервалах как
на основаниях строим прямоугольники,
высоты которых откладываются на оси
ординат. Различают:

а) гистограмму
абсолютных частот,
когда высота прямоугольника равна
;

б) гистограмму
относительных частот,
когда высота прямоугольника равна
.

Гистограмма
является выборочным
аналогом графика плотности вероятности.
Площадь на интервале (a_j;
a_m)
можно интерпретировать как приближенное
значение вероятности попадания случайной
величины Х
в этот интервал, т.е.
.

Основное свойство
гистограммы:
ее площадь для абсолютных частот равна
n,
а для относительных частот равна
единице.

Отношение
относительной частоты к длине частичного
интервала h
называют плотностью
распределения частоты
на интервале

(рис. 3.5).

Рис. 3.5. Гистограмма
относительных частот

При построении
графика эмпирической функции распределения
для интервального ряда необходимо
учитывать, что функция определена только
на концах интервалов.

Таким образом,
статистическое распределение выборки
можно рассматривать как статистический
аналог для распределения генеральной
совокупности. Из-за случайных колебаний
эти два распределения, как правило, не
будут совпадать, но можно ожидать, что
при большом объеме выборки ее распределение
будет служить приближением для генеральной
совокупности, т.е.

,
если
.

Пример
2.
Получены данные о выработке продукции
30-ю рабочими в отчетном месяце в процентах
к предыдущему месяцу

n	Х – выработка продукции, %
1-10	125	91	82	93	101	111	109	103	121	90
11-20	79	105	115	95	84	130	104	117	127	107
21-30	85	76	98	104	126	113	98	84	113	123

Необходимо:

составить
интервальное статистическое распределение;
построить
гистограмму относительных частот.

Решение

1. Определим величину
частичных интервалов:

Построим 6
непересекающихся интервалов:

[70,5; 81,5), [81,5; 92,5),
[92,5; 103,5),

[103,5; 114,5), [114,5;
125,5), [125,5; 136,5).

Первый интервал
[70,5; 81,5) содержит два значения (76 и 79),
поэтому m₁
= 2. Второй
интервал [81,5; 92,5) содержит шесть значений
(82, 84, 84, 85, 90, 91), поэтому m₂
= 6 и т.д.
Полученные данные внесем в таблицу
интервального статистического
распределения:

Таблица 3.4

Интервалы

[70,5-

81,5)

[81,5-

92,5)

[92,5-

103,5)

[103,5-

114,5)

[114,5-

125,5)

[125,5-

136,5)

Частоты

2. Для построения
гистограммы вычислим значения
относительных частот w_i
и значения плотности распределения
частоты на интервале
:

Таблица 3.5

Интервалы	[70,5- 81,5)	[81,5- 92,5)	[92,5- 103,5)	[103,5- 114,5)	[114,5- 125,5)	[125,5- 136,5)
m_i	2	6	6	8	5	3
w_i	0,07	0,20	0,20	0,27	0,17	0,10
	0,006	0,018	0,018	0,024	0,015	0,009

Изобразим
данные последней строки табл. 3.5 на
графике

(рис. 3.6).

Обведем гистограмму
плавной линией f*(x)
так, чтобы приблизительно были равны
площади, ограниченные гистограммой и
кривой f*(x),
которую называют эмпирической
плотностью распределения относительных
частот. В
генеральной совокупности ей соответствует
плотность вероятности f(x).

Рис.
3.6. Гистограмма относительных частот

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Функция ЧАСТОТА используется для определения количества вхождения определенных величин в заданный интервал и возвращает данные в виде массива значений. Используя функцию ЧАСТОТА, мы узнаем, как посчитать частоту в Excel.

Пример использования функции ЧАСТОТА в Excel

Пример 1. Студенты одной из групп в университете сдали экзамен по физике. При оценке качества сдачи экзамена используется 100-бальная система. Для определения окончательной оценки по 5-бальной системе используют следующие критерии:

От 0 до 50 баллов – экзамен не сдан.
От 51 до 65 баллов – оценка 3.
От 66 до 85 баллов – оценка 4.
Свыше 86 баллов – оценка 5.

Для статистики необходимо определить, сколько студентов получили 5, 4, 3 баллов и количество тех, кому не удалось сдать экзамен.

Внесем данные в таблицу:

Для решения выделим области из 4 ячеек и введем следующую функцию:

Описание аргументов:

B3:B20 – массив данных об оценках студентов;
D3:D5 – массив критериев нахождения частоты вхождений в массиве данных об оценках.

Выделяем диапазон F3:F6 жмем сначала клавишу F2, а потом комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, чтобы функция ЧАСТОТА была выполнена в массиве. Подтверждением того что все сделано правильно будут служить фигурные скобки {} в строке формул по краям. Это значит, что формула выполняется в массиве. В результате получим:

То есть, 6 студентов не сдали экзамен, оценки 3, 4 и 5 получили 3, 4 и 5 студентов соответственно.

Пример определения вероятности используя функцию ЧАСТОТА в Excel

Пример 2. Известно то, что если существует только два возможных варианта развития событий, вероятности первого и второго равны 0,5 соответственно. Например, вероятности выпадения «орла» или «решки» у подброшенной монетки равны ½ и ½ (если пренебречь возможностью падения монетки на ребро). Аналогичное расчетное распределение вероятностей характерно для следующей функции СЛУЧМЕЖДУ(1;2), которая возвращает случайное число в интервале от 1 до 2. Было проведено 20 вычислений с использованием данной функции. Определить фактические вероятности появления чисел 1 и 2 соответственно на основании полученных результатов.

Заполним исходную таблицу случайными значениями от 1-го до 2-ух:

Для определения случайных значений в исходной таблице была использована специальная функция:

=СЛУЧМЕЖДУ(1;2)

Для определения количества сгенерированных 1 и 2 используем функцию:

=ЧАСТОТА(A2:A21;1)

Описание аргументов:

A2:A21 – массив сгенерированных функцией =СЛУЧМЕЖДУ(1;2) значений;
1 – критерий поиска (функция ЧАСТОТА ищет значения от 0 до 1 включительно и значения >1).

В результате получим:

Вычислим вероятности, разделив количество событий каждого типа на общее их число:

Для подсчета количества событий используем функцию =СЧЁТ($A$2:$A$21). Или можно просто разделить на значение 20. Если заранее не известно количество событий и размер диапазона со случайными значениями, тогда можно использовать в аргументах функции СЧЁТ ссылку на целый столбец: =СЧЁТ(A:A). Таким образом будет автоматически подсчитывается количество чисел в столбце A.

Вероятности выпадения «1» и «2» — 0,45 и 0,55 соответственно. Не забудьте присвоить ячейкам E2:E3 процентный формат для отображения их значений в процентах: 45% и 55%.

Теперь воспользуемся более сложной формулой для вычисления максимальной частоты повторов:

Формулы в ячейках F2 и F3 отличаются только одним лишь числом после оператора сравнения «не равно»: <>1 и <>2.

Интересный факт! С помощью данной формулы можно легко проверить почему не работает стратегия удвоения ставок в рулетке казино. Данную стратегию управления ставками в азартных играх называют еще Мартингейл. Дело в том, что количество случайных повторов подряд может достигать 18-ти раз и более, то есть восемнадцать раз подряд красные или черные. Например, если ставку в 2 доллара 18 раз удваивать – это уже более пол миллиона долларов «просадки». Это уже провал по любым техникам планирования рисков. Так же следует учитывать, что кроме «черные» и «красные» иногда выпадает еще и «зеро», что окончательно уничтожает все шансы. Так же интересно, что сумма всех чисел в рулетке от 0 до 36 равна 666.

Как посчитать неповторяющиеся значения в Excel?

Пример 3. Определить количество уникальных вхождений в массив числовых данных, то есть не повторяющихся значений.

Исходная таблица:

Определим искомую величину с помощью формулы:

В данном случае функция ЧАСТОТА выполняет проверку наличия каждого из элементов массива данных в этом же массиве данных (оба аргумента совпадают). С помощью функции ЕСЛИ задано условие, которое имеет следующий смысл:

Если искомый элемент содержится в диапазоне значений, вместо фактического количества вхождений будет возвращено 1;
Если искомого элемента нет – будет возвращен 0 (нуль).

Полученное значение (количество единиц) суммируется.

В результате получим:

То есть, в указанном массиве содержится 8 уникальных значений.

Скачать пример функции ЧАСТОТА в Excel

Функция ЧАСТОТА в Excel и особенности ее синтаксиса

Данная функция имеет следующую синтаксическую запись:

Описание аргументов функции (оба являются обязательными для заполнения):

массив_данных – данные в форме массива либо ссылка на диапазон значений, для которых необходимо определить частоты.
массив_интервалов — данные в формате массива либо ссылка не множество значений, в которые группируются значения первого аргумента данной функции.

Примечания 1:

Если в качестве аргумента массив_интервалов был передан пустой массив или ссылка на диапазон пустых значений, результатом выполнения функции ЧАСТОТА будет являться число элементов, входящих диапазон данных, которые были переданы в качестве первого аргумента.
При использовании функции ЧАСТОТА в качестве обычной функции Excel будет возвращено единственное значение, соответствующее первому вхождению в массив_интервалов (то есть, первому критерию поиска частоты вхождения).
Массив возвращаемых данной функцией элементов содержит на один элемент больше, чем количество элементов, содержащихся в массив_интервалов. Это происходит потому, что функция ЧАСТОТА вычисляет также количество вхождений величин, значения которых превышают верхнюю границу интервалов. Например, в наборе данных 2,7, 10, 13, 18, 4, 33, 26 необходимо найти количество вхождений величин из диапазонов от 1 до 10, от 11 до 20, от 21 до 30 и более 30. Массив интервалов должен содержать только их граничные значения, то есть 10, 20 и 30. Функция может быть записана в следующем виде: =ЧАСТОТА({2;7;10;13;18;4;33;26};{10;20;30}), а результатом ее выполнения будет столбец из четырех ячеек, которые содержат следующие значения: 4,2, 1, 1. Последнее значение соответствует количеству вхождений чисел > 30 в массив_данных. Такое число действительно является единственным – это 33.
Если в состав массив_данных входят ячейки, содержащие пустые значения или текст, они будут пропущены функцией ЧАСТОТА в процессе вычислений.

Примечания 2:

Функция может использоваться для выполнения статистического анализа, например, с целью определения наиболее востребованных для покупателей наименований продукции.

=ЧАСТОТА(массив_данных;массив_интервалов)

Данная функция должна быть использована как формула массива, поскольку возвращаемые ей данные имеют форму массива. Для выполнения обычных формул после их ввода необходимо нажать кнопку Enter. В данном случае требуется использовать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Источник

The term ‘relative’ is used to denote that an act is being observed in comparison to something other. Frequency is a way to calculate how repeatedly a particular action takes place. Relative frequency is a way to find how regularly a particular action takes place against total events. To calculate relative frequency two things are important

1. Number of total events/occurrences
2. Frequency count for a subgroup/category

Relative frequency: Subgroup frequency/ total frequency

Relative frequency: f/n

Here,
f = Number of times an event occurred in an observation
n = frequency

How to Calculate Relative Frequency?

Frequencies can be converted into relative frequencies by following these steps

Step 1: Find the frequency in the given data

Step 2: Then the frequency should be divided by N (total number).

Suppose for example Gopal surveys a group of students in his college to find their favorite game. The data processed by him is represented in graphical form below. What will be the relative frequency of students whose favorite game is cricket?

The total number of students in the above-given data set is found by the addition of the heights of the bars

5+10+25+15 = 55

from the above graphical representation The number of students whose favorite game is cricket are 5
So, the relative frequency for the cricket will be = f/N = 5/55= 0.09 = 9%

Cumulative relative frequency

The addition of all of the previous relative frequencies to the relative frequency for the current row is called cumulative relative frequency

Sample Problems

Problem 1: A die is tossed 50 times and it falls 5 times on the number 6. Then find the relative frequency?

Solution:

Given, Number of times a die is tossed = 50

Number of times it falls on number 6 = 5

From the formula,

Relative frequency = Number of positive occurrences/Total Number of occurrences

f = 5/50 = 0.1

Therefore, the relative frequency of the die that fell on the number 6 is 0.1

Problem 2: A coin is tossed 90 times, and the coin falls on heads 24 times. What is the relative frequency of the coin falling on tails?

Solution:

Relative frequency = number of times an act has occurred / number of occurrences

The act taken into consideration is the coin falling on tails = 90 – 24 = 66 times

Relative frequency of the coin falling on tails = 66/90 = 0.733 = 73.3%

Problem 3: If 10 students travel to school by car, another 10 students travel to school by bus and another 10 students reach school through a van. Then find the relative frequency of students who reach school by bus?

Solution:

The total number of students in the above-given data set

10 + 10 + 10 = 30

graphical representation of given data

Number of students traveling through bus = 10
So, the relative frequency of students traveling through bus will be = f/N = 10/30= 0.33= 33%

Problem 4: There are 36 students in a class, 20 boys and 16 girls. Then what are the frequency and relative frequency of boys in the classroom?

Solution:

The frequency of boys = Number of boys in the classroom = 20

Relative frequency of boys in classroom = Number of boys / Total students

= 20/36 = 0.5555 = 55.55 %

The frequency is 20 and the relative frequency in % is 55.55 %

Problem 5: Varun has conducted a survey in his village to study the diet habits of people. He obtained the results as given below. Then find

Diet followed	Number of people
Vegetarian	320
Mixed diet	430
Non-vegetarian	810

A) The relative frequency of vegetarians in Varun’s village.
B) The relative frequency of people taking a mixed diet in his village

Solution:

The relative frequency of vegetarians in Varun’s village.
Total population: 1560
Number of vegetarians: 320
From the formula

Relative frequency = Number of vegetarians / Total population
f = 320/1560
= 0.21 = 21%

The relative frequency of the population taking a mixed diet in Varun’s village
Total population: 156
Number of people on mixed diet: 430
From the formula

Relative frequency = Number of population taking mixed diet/ Total population
f = 430/1560
= 0.28 = 28%

Last Updated :
28 Jun, 2022

Like Article

Save Article

Источник