Как найти частоту колебаний через массу

Формула частоты в физике

Формула частоты

Чаще всего в физике частоту обозначают буквой $nu ,$ иногда встречаются другие обозначения частоты, например $f$ или $F$.

Частота (наряду со временем) является самой точно измеряемой величиной.

Формула частоты колебаний

При помощи частоты характеризуют колебания. В этом случае частота является физической величиной обратной периоду колебаний $(T).$

[nu =frac{1}{T}left(1right).]

Частота, в этом случае — это число полных колебаний ($N$), совершающихся за единицу времени:

[nu =frac{N}{Delta t}left(2right),]

где $Delta t$ — время за которое происходят $N$ колебаний.

Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) служат в герцы или обратные секунды:

[left[nu right]=с^{-1}=Гц.]

Герц — это единица измерения частоты периодического процесса, при которой за время равное одной секунде происходит один цикл процесса. Единица измерения частоты периодического процесса получила свое наименование в честь немецкого ученого Г. Герца.

Частота биений, которые возникают при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с разными, но близкими по величине частотами (${nu }_1 и {nu }_2$) равна:

[{nu =nu }_1- {nu }_2left(3right).]

Еще одно величиной характеризующей колебательный процесс является циклическая частота (${omega }_0$), связанная с частотой как:

[{omega }_0=2pi nu left(4right).]

Циклическая частота измеряется в радианах, деленных на секунду:

[left[{omega }_0right]=frac{рад}{с}.]

Частота колебаний тела, имеющего массу$ m,$ подвешенного на пружине с коэффициентом упругости $k$ равна:

[nu =frac{1}{2pi sqrt{{m}/{k}}}left(5right).]

Формула (4) верна для упругих, малых колебаний. Кроме того масса пружины должна быть малой по сравнению с массой тела, прикрепленного к этой пружине.

Для математического маятника частоту колебаний вычисляют как: длина нити:

[nu =frac{1}{2pi sqrt{{l}/{g}}}left(6right),]

где $g$ — ускорение свободного падения; $ l$ — длина нити (длина подвеса) маятника.

Физический маятник совершает колебания с частотой:

[nu =frac{1}{2pi sqrt{{J}/{mgd}}}left(7right),]

где $J$ — момент инерции тела, совершающего колебания относительно оси; $d$ — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Формулы (4) — (6) приближенные. Чем меньше амплитуда колебаний, тем точнее значение частоты колебаний, вычисляемых с их помощью.

Формулы для вычисления частоты дискретных событий, частота вращения

дискретных колебаний ($n$) — называют физическую величину, равную числу действий (событий) в единицу времени. Если время, которое занимает одно событие обозначить как $tau $, то частота дискретных событий равна:

[n=frac{1}{tau }left(8right).]

Единицей измерения частоты дискретных событий является обратная секунда:

[left[nright]=frac{1}{с}.]

Секунда в минус первой степени равна частоте дискретных событий, если за время, равное одной секунде происходит одно событие.

Частотой вращения ($n$) — называют величину, равную количеству полных оборотов, которое совершает тело в единицу времени. Если $tau $ — время, затрачиваемое на один полный оборот, то:

[n=frac{1}{tau }left(9right).]

Примеры задач с решением

Читать дальше: формулы математического маятника.

План урока:

Колебательное движение

Период и частота колебаний

Свободные колебания

Амплитуда колебаний

Колебательные системы

Гармонические колебания

Величины, характеризующие колебательное движение

Затухающие колебания

Вынужденные колебания

Колебательное движение

В самом широком смысле, колебательное движение – это любое движение, повторяющееся с течением времени. Например, птица, машущая крыльями вверх-вниз, совершает ими колебательные движения. Ребенок, качающийся на качелях, тоже совершает колебательные движения. Игла швейной машины при шитье – тоже.

Но как же так, ведь в названных примерах тела движутся абсолютно по-разному? Крылья птицы и игла швейной машины движутся вертикально вверх-вниз (прямолинейно), ребенок на качелях движется горизонтально и по дуге (криволинейно). Это все неважно. Главный признак колебательного движения – его повторяемость через определенный промежуток времени, то есть через период колебаний.

Период и частота колебаний

Период колебаний (T) – это время, за которое тело совершает полный цикл движения, т.е. совершает одно колебание.

В случае с движением крыльев птицы, если считать, что один взмах начинается с верхней точки, полным колебанием будет считаться, когда крылья пройдут от верхней точки через середину до нижней и вернутся от нижней точки через середину до верхней (рисунок 1).

Рисунок 1 – Взмах крыльев птицы как пример полного колебания   

Период колебаний обозначается латинской буквой T. По определению период – это время, значит, единица измерения периода будет такой же, как и единица измерения времени. В СИ это секунда.

[T] = 1 с

Как же можно вычислить период колебаний?

Самый простой способ – это посчитать количество колебаний и секундомером измерить время, за которое эти колебания были совершены. Например, ребенок на качелях совершает N = 10 колебаний за t = 30 секунд. Нетрудно подсчитать, что время совершения одного полного колебания будет 30/10 = 3 с. Если обобщить, получится формула для нахождения периода колебаний:

где t – время, за которое совершено N колебаний.

Рассмотрим еще одну важную характеристику.

Частота колебаний (ν) – это количество колебаний, совершаемое телом за единицу времени.

Частота колебаний обозначается греческой буквой (читается как «ню»).

Если сравнить определение частоты колебаний с определением периода, можно заметить, что это обратные величины. То есть:

Гц – единица измерения, которую назвали в честь немецкого физика Генриха Герца. При решении задач одинаково часто употребляется и герц, и с^-1. Можно употреблять и то, и другое – в зависимости от того, что удобнее при решении конкретной задачи.

Следует так же отметить, что иногда физики пользуются циклической частотой колебаний:

Свободные колебания

Положение равновесия при колебательном движении

Сравним две ситуации:

1. Родитель толкает качели, на которых сидит ребенок, а потом просто наблюдает, как качели качаются сами по себе.

2. Родитель толкает качели с ребенком, а потом при каждом цикле движения подталкивает качели, поддерживая качания.

Физики говорят, что в первом случае система (качели и ребенок) совершает свободные колебания, то есть колебания под действием только внутренних сил. После выведения системы из равновесия (то есть толчка родителя) к ней больше не прикладывают внешних сил. Во втором случае говорят, что система совершает вынужденные колебания – то есть колебания, под действием периодического внешнего воздействия.

Поговорим о свободных колебаниях. Для простоты рассмотрим систему, состоящую из маленького тяжелого шарика на длинной крепкой нити. Такая система называется нитяным маятником (рисунок 2).

 Рис.2 – Нитяной маятник 

Без воздействия внешних сил шарик будет находиться в положении 1. Такое состояние называется положением равновесия. Далее к шарику прикладывают силу, направленную влево и он начинает совершать колебания. Траектория шарика будет: 1-2-1-3-1 (см. рисунок 1).

Как при этом будет меняться скорость тела? Для того, чтобы рассмотреть подробно, нужно помнить определения потенциальной и кинетической энергии*, а также в чем заключается закон сохранения энергии (систему считаем замкнутой – потерь энергии не происходит, а, значит, закон сохранения энергии выполняется – энергия колебательной системы остается постоянной):

• при движении из точки 1 в 2 шарик постепенно замедляется (уменьшается его кинетическая энергия, а потенциальная увеличивается);
• в точке 2 он на мгновенье останавливается (кинетическая энергия равна нулю, потенциальная максимальна);
• далее он начинает движение с ускорением, но уже в обратном направлении (кинетическая энергия увеличивается, потенциальная уменьшается) — при движении из 2 в 1 тело будет ускоряться;
• когда шарик дойдет до точки 1 его кинетическая энергия будет максимальна, а потенциальная минимальна.

При движении от точки 1 в 3 будет происходить то же самое, что и при движении из 1 в 2 – предлагаем описать процесс изменения величин (скорости и энергии) самостоятельно.

Если обобщить все сказанное, можно сделать вывод: при колебаниях в положении равновесия кинетическая энергия тела максимальна, а потенциальная минимальна (или равна нулю, в зависимости от выбранной точки отсчета). В крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. То есть положение равновесия маятника – это такое положение, в котором его потенциальная энергия минимальна (или равна нулю, в зависимости от точки отсчета). При удалении маятника от положения равновесия кинетическая энергия будет уменьшаться, а потенциальная увеличиваться.

*Потенциальная энергия тела зависит от его положения в пространстве; кроме того, это относительная величина – она зависит от того, какая точка отсчета выбрана.

Кинетическая энергия зависит от модуля скорости тела.

Амплитуда колебаний

Помимо частоты и периода важной характеристикой колебаний является амплитуда.

Амплитуда колебаний – это модуль максимального смещения тела от положения равновесия. Другими словами, это расстояние между положением равновесия и крайней точкой траектории маятника. Рассмотрим рисунок 3. На нем изображен уже знакомый вам нитяной маятник. В идеальном случае амплитуду колебаний маятника нужно считать как длину дуги от положения равновесия до крайней точки. Но если мы считаем, что колебания малые – то есть длина нити маятника (l) гораздо больше смещения (S), можно считать, что длина дуги совпадает с длиной отрезка между проекциями положения равновесия и крайней точки на ось ОХ.

Рис.3 – Амплитуда колебаний нитяного маятника

Обычно амплитуда обозначается большой латинской буквой A.

Колебательные системы

Для того, чтобы рассмотреть колебательные движения подробнее, рассмотрим несколько колебательных систем, на примере которых будет рассматривать все закономерности.

1. Маятник

В общем случае маятник – это система, способная совершать колебания под действием каких-либо сил, например, сил трения, упругости, тяжести.

2. Пружинный маятник

Пружинный маятник – это система, состоящая из упругой пружины, один конец которой закреплен, а на другой прикреплен груз.

Такой маятник может быть вертикальным (рисунок 4а), тогда колебания будут совершаться под действием сил тяжести и упругости; и горизонтальным (рисунок 4б), тогда на груз будут действовать сил упругости и трения.

Рис.4 – Пружинный маятник

Для пружинного маятника справедливы формулы:

где T –период колебаний пружинного маятника; π ~ 3.14;  m–масса груза;k–коэффициент жесткости пружины; — частота колебаний пружинного маятника.

*Ранее говорилось, что существует такая характеристика, как циклическая частота. Формула для ее нахождения будет выглядеть так:

3. Нитяной маятник

Этот вид маятника уже рассматривался ранее (см. рисунок 3), он состоит из длинной нити и тяжелого грузика, подвешенного на ней.

Для нитяного маятника справедливы формулы:

где T – период колебаний нитяного маятника; π ~ 3.14; l –длина нити; g – ускорение свободного падения (~9,8 м/с²), v — частота колебаний.

Интересно отметить, что период нитяного маятника и, следовательно, его частота не зависят от массы грузика, прикрепленного к нити.

*Следует отметить, что все приведенные формулы справедливы только для малых колебаний.

** Циклическая частота нитяного маятника:

Гармонические колебания

При решении задач часто используется не нитяной маятник, а его упрощенная модель – математический маятник. Это идеальная колебательная система, в которой нить считается очень длинной по сравнению с амплитудой колебаний и размерами грузика; сам груз достаточно тяжелым, чтобы пренебречь массой нити. Кроме того, считается, что не происходит потерь энергии.

Рассмотрим подробно, какие силы действуют на такую систему. В первую очередь, на грузик действует сила тяжести mg, направленная вниз (см. рисунок 5). Так же на него действует сила натяжения со стороны нити F, она направлена вдоль нити. Обозначим  угол, на который смещается тело от положения равновесия.

Рис.5 – Силы, действующие на математический маятник

Запишем 2-й закон Ньютона:

Рисунок 6 – Силы, действующие на математический маятник при смещении на угол φ

В случае малых углов sinφ можно считать равным φ. Из геометрического определения синуса:

Тогда в крайней точке 2-й закон Ньютона в проекции на ось OX перепишется следующим образом:

То есть ускорение, с которым движется маятник прямо пропорционально его смещению от положения равновесия. Минус в данном выражении означает, что ускорении направлено в противоположную сторону от смещения.

Интересно заметить, что ускорение грузика, подвешенного к ниточке (а значит и самого маятника), не зависит от его массы. Период колебаний математического маятника тоже не зависит от массы грузика:

В случаях, когда колебания происходят под действием силы, пропорциональной смещению тела от положения равновесия, говорят, что тело совершает гармонические колебания.*

График зависимости смещения от времени при гармоническом колебательном движении представляет собой синусоиду или косинусоиду (см. рисунок 7).

Для лучшего понимания, почему график выглядит именно так, можно посмотреть урок в курсе алгебры «Тригонометрические функции»:

 Рис. 7 – График зависимости смещения (x) от времени (t) при гармонических колебаниях   

На графическом представлении колебаний (рисунок 7) удобно находить период и амплитуду гармонических колебаний.

*Могло сложиться впечатление, что гармонические колебания может совершать только математический маятник. Это не так. Любое тело может совершать колебания, близкие к гармоническим (нужно учитывать не идеальность систем). Например, можно говорить о гармонических колебаниях пружины, если она достаточно жесткая, чтобы она деформировалась упруго, а колебания совершаются с небольшой амплитудой.

Величины, характеризующие колебательное движение

Ранее рассматривались такие характеристики колебаний, как период, частота и амплитуда. Помимо этих величин, колебания характеризуются фазой колебаний.

Фаза колебаний

На рисунке 7 изображен график зависимости смещения от времени при гармонических колебаниях. Такой график называется синусоидой (косинусоидой). В общем случае уравнение зависимости координаты Х от времени t будет выглядеть так:

Разность фаз

Понятие «разность фаз» применяется, когда мы хотим сравнить движение двух маятников. Пусть маятник 1 и маятник 2 двигаются по законам соответственно:

Найдем разность фаз колебаний этих двух маятников.

Если взять конкретный момент времени , фаза гармонических колебаний каждого из маятников в этот момент времени будет:

 — это начальные фазы колебания первого и второго маятников соответственно. Эти величины являются начальными условиями, и они не изменяются во время движения, следовательно, при одинаковой частоте колебаний маятников разность фаз остается постоянной.

Затухающие колебания

Во всех рассмотренных ранее случаях считалось, что на колеблющуюся систему не действуют силы извне. На самом деле, идеальных систем не существует, поэтому любой маятник во время движения будет преодолевать внешние силы сопротивления и терять энергию. Например, пружинный маятник (рисунок будет преодолевать силу трению о поверхность.

Рисунок 8 – Пружинный маятник на шероховатой поверхности  

Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем. График таких колебаний изображен на рисунке 9.

Рисунок 9 – График зависимости координаты от времени при затухающих колебаниях  

Вынужденные колебания

Собственная частота колебаний. Частота вынуждающей силы. Установившиеся вынужденные колебания

В реальных (неидеальных) системах колебания всегда нужно поддерживать внешним воздействием.

Под действием периодической внешней изменяющейся силы возникают вынужденные колебания.

Почему же обязательно сила должны быть периодически изменяющейся? Ответ на этот вопрос легко найти, представив себе качели. Если на них действовать с постоянной по модулю и направлению силой, они никогда не начнут качаться. А толчками (то есть периодической изменяющейся силой) раскачать их не составит труда.

Внешняя сила, заставляющая систему совершать колебания, называется вынуждающей силой.

Так как эта сила периодическая, необходимо ввести частоту вынуждающей силы. А чтобы не запутаться, частоту свободных колебаний называют собственной частотой системы. Как показывают эксперименты, даже если изначально собственная частота системы и частота вынуждающей силы отличались, через некоторое время система начинает колебаться с частотой вынуждающей силы. В таких случаях говорят об установившихся вынужденных колебаниях.

Если частота вынуждающей силы равна собственной частоте системы, возникает резонанс – резкое увеличение амплитуды колебаний.

Примеры движения

Колебательное движение является одним из наиболее распространенных в природе. Например, можно представить себе струны музыкальных инструментов, качели или голосовые связки человека.

В физике колебаниями называются процессы, которые повторяются через равные промежутки времени. Подобные движения рассматривается посредством нескольких моделей:

• тела, подвешенного на пружине (двигающееся по направлению вверх-вниз);
• груза на нитке;
• электрического контура и других.

Амплитуда, период и частота

Если подвесить одновременно два груза на две разные нити и запустить их, то можно заметить, что расстояние отклонения груза от среднего положения до крайнего — разное.

Это величина носит название амплитуды. Обозначается буквой А и измеряется в системе Си в метрах. Также для обозначения подобного движения применяются следующие термины:

• Время, за которое маятник приходит в одно и то же положение, называется периодом колебаний.
• Количество колебаний в единицу времени представляет собой частоту. Она измеряется в Герцах (Гц). Имеет обратную зависимость от периода.
• Циклическая частота колебаний (угловая, круговая) представляет собой количество колебаний за 2 π секунд. Обозначается греческой буквой омега. Она вводится для упрощения расчетов в теоретической физике и электронике. Единица измерения циклической частоты рад/с.
• Если имеется два графика функций с одинаковой частотой, но сдвинуты относительно друг друга, то различна их фаза колебаний.

Выделяют понятие свободных колебаний. Когда системе, например, математическому маятнику, придают импульс, чтобы начать движение, дальнейшие его колебания (самостоятельные) будут считаться свободными.

Математический маятник

Эта модель рассматривает движение груза, подвешенного на нитке. Описывается система, в которой масса нитки намного меньше массы груза, а ее длина намного больше его размеров.

Также нить должна быть невесомой и нерастяжимой.

Груз в этом случае считается материальной точкой.

При выполнении этих условий частота колебаний маятника и период не будут зависеть от массы груза. Движение математического маятника рассматривается при небольшом угле отклонения (α). Последний измеряется в радианах, поэтому приблизительно соответствует по значению его синусу и тангенсу. Этот же угол пропорционален отношению смещения на длину нити:

α=x/l.

На маятник действует синусовая составляющая силы тяжести и тангенсовая сила натяжения нити. Согласно второму закону Ньютона: ma=-mgsin (α). Откуда можно получить a=-gx/l

Вторая производная уравнения движения дает a=-(ω)^2x

Таким образом: -gx/l=-(ω)^2x -> ω ^2=g/l.

Период: T=2π /ω T=2π*sqrt (g/l)

Это формула Галилея, которая описывает движение математического маятника.

Формула частоты колебаний для математического маятника: v=sqrt (l/g)/2π.

Пружинный маятник

Подобным термином называется система, в которой движения совершает груз, подвешенный на легкой пружине.

Тело находится в положении равновесия, если пружина не деформирована. Если ее растянуть или сжать, то система начнет колебания под действием силы упругости, которая направлена на приведение маятника в положение равновесия.

Сила упругости пропорциональна смещению тела (x), но направлена противоположно. Коэффициент пропорциональности между этими двумя величинами носит название жесткости пружины (k). Таким образом:

F=-kx.

Сила упругости достигает наибольшей величины в положении максимального отклонения тела (амплитуда, смещение) от равновесия. В этой точке наибольшую величину имеет и ускорение.

По мере того, как тело приближается к положению равновесия, уменьшается сила упругости и ускорение. В средней точки обе величины равны нулю, но ненулевое значение имеет скорость тела. Поэтому груз не останавливается, а продолжает движение.

После прохождения положения равновесия он двигается в обратном направлении по инерции, а сила упругости тянет его назад. Благодаря трению воздуха скорость уменьшается, и маятник останавливается.

Все эти модели можно отнести к классическому гармоническому осциллятору — системе, которая имеет одну степень свободы и описывается единственным уравнением.

Явление резонанса

Это понятие имеет особое значение для описания колебаний. Если имеется некое воздействие, частота которого приближается к собственной частоте системы, то последняя реагирует резким увеличением амплитуды.

Явление резонанса можно представить себе на примере того же математического маятника. Для этого необходимо маятник привязать к веревке, к которой привязать еще один такой же, но с более длинной нитью. При этом длина нитки второго маятника может регулироваться. Если привести в движение оба маятника, а длину второй нитки постепенно изменять, то можно будет заметить, что амплитуда увеличивается по мере приближения размеров обеих ниток.

В этом случае первый маятник будет приемником колебаний, а второй — передатчиком. Причиной увеличения амплитуды является колебание подвески с такой же частотой.

Колебательный контур

Является еще одним примером колебаний, на котором основаны все радиоприемники. Контур играет роль приемника сигнала.

В простейшем примере представляет собой замкнутую цепь из катушки индуктивности и конденсатора. При определенных обстоятельствах в подобном контуре могут возникать и поддерживаться электрические колебания.

Для возбуждения колебаний необходимо подключить источник постоянного напряжения к конденсатору и зарядить его. После этого источник убрать, а цепь замкнуть.

Конденсатор разряжается через катушку индуктивности, а в цепи создается ток, интенсивность которого увеличивается по мере разряда конденсатора. Вокруг катушки создается магнитное поле.

Электрический заряд конденсатора преобразовался в магнитное поле. После этого магнитное поле катушки будет уменьшаться, а конденсатор обратно заряжаться. Процесс повторяется циклически и описывается теми же характеристиками, что и механические колебания: частотой, амплитудой и периодом.

Они являются свободными и затухающими. Чтобы их поддерживать, необходимо периодически заряжать конденсатор.

Звук и электромагнитные волны

Понятие частоты вводится и для звуковых и электромагнитных волн. Первые представляют собой колебания плотности среды. Вторые — изменение со временем напряженности магнитного и электрического полей.

От частоты звука зависит его тональность. Этим свойством пользуются для стандартизации описания музыки и создания музыкальных инструментов — каждой ноте соответствует своя частота.

До 16 Гц человеческое ухо не воспринимает, так же как и выше 20 КГЦ. Более высокие частоты используются в эхолокации, ультразвуковой диагностике.

Частота электромагнитных волн также определяет их способность взаимодействовать с человеческим организмом. Рентгеновское излучение проходит насквозь, при этом взаимодействуя с молекулами, вызывая их ионизацию. Ультразвук провоцирует процессы загара, фотосинтеза. Радиоволновое излучение практически не оказывает прямого воздействия, но хорошо подходит для передачи информации. В видимом диапазоне частота определяет цвет.

Есть также такая характеристика, как частота колебаний молекул. Она зависит от температуры тела и определяет его агрегатное состояние.

Таким образом, частота колебаний описывает большое количество процессов и оказывает воздействие на их характеристики.

Задача. Определите период и частоту колебаний груза массой г, движущегося по гладкой горизонтальной поверхности под действием лёгкой пружины жёсткостью  Н/м.

Дано:

г
 Н/м

Найти:
— ?
— ?

Решение

Думаем: в задаче сказано о пружине, на которой совершает колебание груз, тогда мы можем заключить. что перед нами пружинный маятник.

Решаем: раз мы определили систему как пружинный маятник, то воспользуемся определением периода для маятника:

(1)

И, судя по дано, в нашем случае всё известно.

Частоту найдём из периода:

(2)

Считаем: исходя из размерности жёсткости (там есть ньютоны), нам необходимо перевести значения всех переменных в единицы СИ.  г =  кг. Кроме того, вспомним значение константы .

Тогда для периода (1):

с

Для частоты (2):

Гц

Ответ:  с, Гц.

Ещё задачи на тему «Маятники«.

Колебательное движение очень распространено. Заставить колебаться можно любое тело, если приложить к нему силу — однократно или постоянно. К примеру, если подтолкнуть качели, они начнут качаться вперед-назад, и такое движение будет приблизительно повторяться до тех пор, пока качели полностью не остановятся.

Другой пример колебательного движения — тело, подвешенное к пружине. Если его потянуть вниз и отпустить, то за счет сил упругости оно сначала поднимется вверх, а затем снова опустится вниз, затем движения вверх-вниз будут повторяться. Со временем они прекратятся под действием силы сопротивления воздуха.

Колебаниями можно назвать даже движение гири, которую поднимается тяжелоатлет вверх, а затем опускает в низ. При этом он будет прикладывать к гире силу постоянно. Гиря будет колебаться до тех пор, пока к нему будет прикладываться эта сила.

Определения

Колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.

Механические колебания — это колебательные движения, совершаемые физическим телом в механической системе.

Механическая система — совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.

Какими бывают колебания?

Напомним, что в механической системе выделяют два вида сил:

• Внутренние силы — это силы, которые возникают между телами внутри системы. Примером внутренних сил служат силы тяготения между телами солнечной системы.
• Внешние силы — силы, которые действуют на тела системы со стороны тел, которые в эту систему не входят. Примером внешней силы может стать сила ветра, под действием которой шарик, подвешенный к опоре за нить, отклоняется в сторону порыва ветра.

Свободные колебания

Определения

Свободные колебания — колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил после того, как эта система выведена из положения равновесия.

Колебательная система — механическая система, в которой возможно совершение свободных колебаний.

Свободные колебания в колебательной системе могут возникнуть только при наличии двух условий:

1. После выведения из равновесия в колебательной системе появляются силы, направленные в сторону положения равновесия. Эти силы стремятся возвратить систему в положение равновесия.
2. Трение между телами колебательной системы относительно мало. В противном случае колебания либо сразу затухнут, либо не начнутся совсем.

Примеры свободных колебаний:

• колебания шарика на дне сферической чаши;
• движение качелей после однократного толчка;
• колебания груза на пружине после ее растяжения;
• колебания струны после ее отклонения.

  

Примером колебательной системы также служит математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. В действительности такого маятника не существует. Это идеализированная модель реального маятника, примером которого служит тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. В этом случае размером шарика и растяжением нити можно пренебречь.

В колебательную систему математического маятника входят:

• нить;
• тело, привязанное к нити;
• Земля, в поле тяжести которой находится привязанное к нити тело.

В положении равновесия (точка О) шарик висит на нити и покоится. Если его отклонить от положения равновесия до точки А и отпустить, под действием силы тяжести шарик приблизится к положению равновесия. Так как к этому моменту шарик обретет скорость, он не сможет остановиться и приблизится к точке В. Затем он снова вернется в точку А через положение равновесия в точке О. Шарик будет колебаться, пока не затухнут под действием возникающей силы сопротивления воздуха.

Вынужденные колебания

Определение

Вынужденные колебания — колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Примерами вынужденных колебаний служат:

• движение поршня в цилиндре;
• раскачивание ветки дерева на ветру;
• движение иглы швейной машинки;
• движение качелей под действием постоянных толчков.

Затухающие и незатухающие колебания

Определение

Затухающие колебания — колебания, которые со временем затухают. При этом максимальное отклонение тела от положения равновесия с течением времени уменьшается.

Колебания затухают под действием сил, препятствующих колебательному движению. Так, шарик в сферической чаше перестает колебаться под действием силы трения. Математический маятник и качели перестают совершать колебательные движения за счет силы сопротивления воздуха.

Важно!

Все свободные колебания являются затухающими, так как всегда присутствует трение или сопротивление среды.

Незатухающими колебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). Так, ветка будет раскачиваться до тех пор, пока дует ветер. Когда он перестанет дуть, колебания ветки со временем затухнут. Иголка швейной машинки будет совершать колебательные движения до тех пор, пока швея вращает ручку привода. Когда она перестанет это делать, иголка сразу остановится.

Динамика колебательного движения

Для того чтобы описать количественно колебания тела пол действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости

Рассмотрим колебательное движение шарика, вызванное силой упругости, возникшей при растяжении горизонтальной пружины вдоль оси Ох.

Согласно II закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно равнодействующей всех сил приложенных к телу. Поскольку сила трения пренебрежимо мала, мы можем считать, что в этой механической системе действует единственная сила — сила упругости. Учтем, что шарик колеблется вдоль одной прямой, и выберем одномерную систему координат Ох. Тогда:

m→a=→F

max=Fx упр

Согласно закону Гука, проекция сила упругости прямо пропорциональная смещению шарика из положения равновесия (точки О). Смещение равно координате x шарика, причем проекция силы и координаты имеют разные знаки. Это связано с тем, что сила упругости всегда направлена к точке равновесия, в то время как расстояние от этой точки во время движения увеличивается в обратную сторону. Отсюда делаем вывод, что сила упругости равна:

Fx упр=−kx

где k — жесткость пружины.

Тогда уравнение движения шарики принимает вид:

max=−kx

Или:

ax=−kmx

Так как масса шарики и жесткость пружины для данной колебательной системы постоянны, отношение km — постоянная величина. Отсюда делаем вывод, что проекция ax ускорения тела прямо пропорциональна его координате x, взятой с противоположным знаком.

Пример №1. Груз массой 0,1 кг прикрепили к пружине школьного динамометра жесткостью 40 Н/м. В начальный момент времени пружина не деформирована. После того, как груз отпускают, возникают колебания. Чему равна максимальная скорость груза?

Максимальной скорости груз достигнет при максимальном его отклонении от положения равновесия — в нижней точке траектории. Учтем, что тело движется вниз под действием силы тяжести. Но в то же время на него действует сила упругости, которая возникает в пружине и нарастает до тех пор, пока не становится равной по модулю силе тяжести. Применив III закон Ньютона получим:

∣∣∣→Fтяж∣∣∣=∣∣∣→Fупр∣∣∣

Тогда:

mg=kymax

где ymax — максимальное отклонение груза от положения равновесия. В этой точке скорость тела будет максимальная. Для нахождения этой величины используем формулу из кинематики:

ymax=v2max−v202g

Начальная скорость равна нулю. Отсюда:

ymax=v2max2g

Тогда:

mg=kv2max2g

Максимальная скорость равна:

vmax=g√2mk=10√2·0,140≈0,71 (мс)

Уравнение движения математического маятника

Ниже на рисунке представлен математический маятник. Если мы выведем из положения равновесия шарик и отпустим, возникнет две силы:

• сила тяжести, направленная вниз;
• сила упругости, направленная вдоль нити.

При колебаниях шарика также будет возникать сила сопротивления воздуха. Но так как она очень мала, мы будем ею пренебрегать.

Чтобы описать динамику движения математического маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие:

→Fт=→Fτ+→Fn

Причем компонента →Fτ направлена перпендикулярно нити, а →Fn — вдоль нее.

Компонента →Fτ представляет собой проекцию силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия (точки О) на угол α. Следовательно, она равна:

→Fτ=−→Fтsinα=−mgsinα

Знак «–» мы здесь поставили по той причине, что компоненты силы тяжести →Fτ и α имеют противоположные знаки. Ведь если отклонить шарик на угол α>0, то составляющая →Fτ будет направлена в противоположную сторону, так как она будет пытаться вернуть шарик в положение равновесия. И ее проекция будет отрицательной. Если же шарик отклонить на угол α<0, то составляющая →Fτ будет направлена в обратную сторону. В этом случае ее проекция будет положительной.

Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через aτ. Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника. Согласно II закону Ньютона:

maτ=Fτ

Или

maτ=−mgsinα

Разделим обе части выражения на массу шарика m и получим:

aτ=−gsinα

При малом отклонении нити маятника от вертикали можно считать, что sinα≈α (при условии, что угол измерен в радианах). Тогда:

aτ=−gα

Внимание! Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусы на число π и поделить результат на 180. К примеру 2^о = 2∙3,14/180 рад., или 2^о = 0,035 рад.

При малом отклонении также дугу ОА мы можем принять за длину отрезка OA, который мы примем за s. Тогда угол α будет равен отношению противолежащего катета (отрезка s) к гипотенузе (длине нити l):

α=sl

Отсюда:

aτ=−gls

Так как ускорение свободного падения и длина нити для данной колебательной системы постоянны, то отношение gl — тоже постоянная величина.

Это уравнение похоже на то уравнение, которое мы получили для описания колебательного движения шарика под действием силы упругости. И оно также позволяет сделать вывод, что ускорение прямо пропорционально координате.

Пример №2. Определить длину нити, если шарик, подвешенный к ней, отклонится на 1 см. При этом нить образовала с вертикалью угол, равный 1,5^о.

При отклонениях на малый угол мы можем пользоваться следующей формулой:

α=sl

Чтобы найти длину нити, нужно выразить угол α в радианах:

1,5°=3,14·1,5180≈0,026 (рад)

1 см = 0,01 м

Тогда длина нити равна:

l=sα=0,010,026≈0,385 (м)=38,5 (см)

Основные характеристики колебательного движения

Определения

Амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. Обозначается буквой A, иногда — x_max. Единиц измерения — метр (м).

Период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда (с).

Частота — количество колебаний, совершенных в единицу времени. Обозначается как ν («ню»). Единица измерения — 1/секунда, или секунда^–1, или герц (1/с, или с^–1, или Гц).

Период и частота колебаний связаны между собой следующей формулой:

ν=1T

Период колебаний также можно вычислить, зная количество совершенных колебаний N за время t:

T=tN

Поскольку частота — это величина, обратная периоду колебаний, ее можно выразить в виде:

ν=Nt

Пример №3. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м. Амплитуда колебаний равна 10 см.

Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2. Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1–2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3. И в это время он проходит расстояние 2–3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение (состояние 1), нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3–2, затем 2–1.

Следовательно, количество колебаний равно отношению пройденного пути к амплитуде, помноженной на 4:

N=s4A

10 см = 0,1 м

Так как мы знаем, что эти колебания совершались в течение 2 секунд, для вычисления частоты мы можем использовать формулу:

ν=Nt=s4At=14·0,1·2=1,25 (Гц)

Алиса Никитина | Просмотров: 9k