Как найти частоту колебаний в воде

Колебание жидкости в трубке.

Рассмотрим
еще один пример колебательной системы.
Пусть в вертикальной 
U-образной
трубке находится вода (рис. 4.8).

Рис.4.8.
Колебания жидкости в трубке

В
состоянии равновесия верхний уровень
воды расположен на высоте l.
Воду вывели из положения равновесия и
она совершает колебания, переливаясь
из одного колена трубки в другое. Для
определения частоты (или периода) этих
колебаний воспользуемся законом
сохранения энергии. В качестве координаты,
характеризующей положение воды, выберем
величину x
− отклонение уровня воды в одном колене
от положения равновесия. Если площадь
поперечного сечения трубки S
постоянна по ее длине, то скорость
течения жидкости будет одинакова и
равна производной от введенной координаты
.
Следовательно, кинетическая энергия
движущейся жидкости равна

где− плотность воды,−
ее объем (пренебрегая частью жидкости,
находящейся в нижней части трубки,
которую будем считать малой). Потенциальная
энергия тела в поле тяжести земли равна
произведению массы тела, ускорения
свободного падения и высоты центра
масс, поэтому в рассматриваемом случае

,

где
первое слагаемое – это потенциальная
энергия жидкости в левом части трубки,
второе − в правой. Если пренебречь
неизбежными потерями механической
энергии из-за сил вязкого трения, то
сумма кинетической и потенциальной
энергии жидкости постоянна, поэтому

Из
этого уравнения следует, что движение
жидкости подчиняется уравнению
гармонических колебаний 

с
круговой частотой
и периодом.
Описать движение жидкости на основании
уравнений динамики в данном случае
сложнее.

Свободные колебания в контуре

Цепь
(или часть другой цепи), состоящая из
конденсатора и катушки индуктивности
называется колебательным
контуром.
Пусть конденсатор зарядили до заряда
q_o
и затем подключили к нему катушку
индуктивности. Такую процедуру легко
осуществить с помощью цепи, схема которой
показана на рис.4.9: сначала ключ замыкают
в положении 1,
при этом конденсатор заряжается до
напряжения, равного ЭДС источника, после
чего ключ перебрасывают в положения 2,
после чего начинается разрядка
конденсатора через катушку.

Рис.4.9.
Колебательный контур

Согласно
второму правилу Кирхгофа алгебраическая
сумма напряжений в любом замкнутом
контуре равна алгебраическая сумме
ЭДС, в этом контуре. В нашем случае
напряжение на конденсаторе равна ЭДС
самоиндукции, которая возникает за счет
изменения тока в катушке при перезарядке
конденсатора

,

где
– напряжение на конденсаторе,– ЭДС самоиндукции в катушке.

Используем
определение силы тока

.

Закон
Кирхгофа примет вид

.

Разделим
обе части этого уравнения на L

.

–циклическая
частота собственных колебаний контура.

По
своей форме это уравнение совпадает с
уравнениями, следующими из закона
сохранения энергии при механических
колебаниях. Так как, уравнения, описывающие
колебания электрического заряда
конденсатора, аналогичны уравнениям,
описывающим механические колебания,
то можно провести аналогию между
процессами, протекающими в колебательном
контуре, и процессами в любой механической
системе. На рис. такая аналогия показана
для колебаний пружинного маятника. В
этом случае аналогами являются: заряд
конденсатора
− смещение
и сила тока −
скорость движения маятника .

Рис.
4.10. Аналогия
процессов свободных электрических и
механических колебаний

Рассмотрим
процесс колебаний заряда и электрического
тока в контуре. В начальный момент
времени конденсатор заряжен, сила
электрического тока равна нулю, вся
энергия заключена в энергии электрического
поля конденсатора (что аналогично
максимальному отклонения маятника от
положения равновесия). Затем конденсатор
начинает разряжаться, сила тока
возрастает, при этом в катушке возникает
ЭДС самоиндукции, которая препятствует
возрастанию тока; энергия конденсатора
уменьшается, переходя в энергию магнитного
поля катушки (аналогия – маятник движется
к положению равновесия с возрастанием
скорости движения). Когда заряд на
конденсаторе становится равным нулю,
сила тока достигает максимального
значения, при этом вся энергия превращается
в энергию магнитного поля (маятник
достиг положения равновесия, скорость
его максимальна). Затем магнитное поле
начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции
поддерживает ток в прежнем направлении,
при этом конденсатор начинает заряжаться,
причем знаки зарядов на обкладках
конденсатора противоположны начальному
распределению (аналог − маятник движется
к противоположному начальному
максимальному отклонению). Затем ток в
цепи прекращается, при этом заряд
конденсатора становится опять
максимальным, но противоположным по
знаку (маятник достиг максимального
отклонения), после чего процесс повторятся
в противоположном направлении.

Плазменные
колебания.

В
плазме возможно самопроизвольное
смещение зарядов. Такое смещение зарядов
вызовет колебательные движения зарядов.

Рассмотрим
упрощенный
подход к решению задачи о нарушениbя
квазинейтральности.

Выделим
в плазме плоский слой площадью
и толщинойи предположим, что заряды одного знака
вышли на одну из плоскостей, ограничивающих
слой, т.е. произошло разделение зарядов
(например, за счет тепловых флуктуаций
Такое самопроизвольное разделение
зарядов возможно, если потенциальная
энергия заряженной частицы и ее
кинетическая энергия теплового движения
равны, т.е.

Рис.4.11.
Схема плазменных колебаний

Плоский
слой можно рассматривать как конденсатор,
напряжение на котором
,
заряд равен заряду электронов, ушедших
вследствие тепловой флуктуации на одну
из плоскостей рассматриваемого слоя
из объема слоя, т.е.,
а емкость.

В
электрическом поле при разделении
зарядов на них будет действовать сила
.
Смещение зарядов из положения равновесия
на расстояниеприведет
к возникновению электрического поля
напряженностью

.

где
е
– заряд, n
– плотность заряда.

По
второму закону Ньютона
(знак «-» обусловлен тем, что сила,
действующая на электрон, направлена в
сторону, противоположную направлению
смещения от положения равновесия, а
электрон в процессе движения «проскакивает»
положение равновесия – возникают
колебания). Отсюда.
Это уравнение описывает описываетколебательные
движения заряженных частиц в плазме с
собственной круговой частотой
:

называемой
плазменной или ленгмюровской частотой.
Отметим, что ленгмюровская частота
зависит от массы заряженных частиц.

Величина
—характерное
время, за которое плазма может отреагировать
на внешнее воздействие.
(Например, при резком включении внешнего
поля распространение поля в плазме
установится за время порядка
).

Контрольные
вопросы

1.
Какое движение называют колебательным?
Что понимают под колебанием тела?

2.
Какие колебания называют свободными?
Приведите примеры.

3.
Какие колебания называют вынужденными?
Приведите примеры.

4.
Объясните опыт, устанавливающий связь
между вращательным и колебательным
движениями.

5.
Какие колебания называют гармоническими?
Запишите уравнение гармонического
колебания?

6.
Что понимают под амплитудой колебания?

7.
Что понимают под периодом колебаний?
Запишите формулу для нахождения периода.

8.
Что понимают под частотой колебаний?
Запишите формулы линейной и циклической
частоты колебаний. В каких единицах они
измеряются.

9.
Запишите формулу связи между циклической
и линейной частотой.

10.
Что понимают под фазой гармонического
колебания? (начальной фазой?)

Что
такое маятник? (математический маятник?)

Сделав
рисунок, иллюстрирующий процесс колебаний
математического маятника, докажите,
что они являются гармоническими.

Напишите
уравнение свободных колебаний
математического маятника.

Запишите
формулы периода свободных колебаний
математического маятника и циклической
частоты.

Какой
маятник называют пружинным маятником?

Проиллюстрируйте
процесс свободных колебаний пружинного
маятника, объясните этот процесс.

Запишите
формулы для периода свободных колебаний
и циклической частоты пружинного
маятника.
Объясните процесс превращения
энергии при гармоническом колебательном
движении на примере пружинного или
математического маятника.

Как
определяется полная механическая
энергия гармонически колеблющегося
тела в моменты его прохождения точки
равновесия и крайних точек движения?

Почему
в реальных условиях свободные колебания
маятника затухают? При каких условиях
колебания могут стать незатухающими?

Как
определяется период колебаний жидкости
в сообщающихся сосудах.

Выведите
формулу для свободных колебаний
горизонтального пружинного маятника

Выведите
формулу для свободных колебаний
вертикального пружинного маятника

Выведите
формулу для свободных колебаний
математического маятника

Выведите
формулу для свободных колебаний
физического маятника

Выведите
формулу для свободных колебаний
математического маятника с пружиной

Выведите
формулу для свободных колебаний жидкости
в трубке.

Выведите
формулу для свободных колебаний
электрического колебательного контура

Выведите
формулу для свободных колебаний в
плазме.

http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Отдельные частицы любого тела — твердого, жидкого или газообразного — взаимодействуют друг с другом. Поэтому если какая-то частица начинает колебаться, то благодаря взаимодействию между частицами это движение с некоторой скоростью начинает распространяться во все стороны.

Определение

Волна — колебания, распространяющиеся в пространстве с течение времени.

В воздухе, твердых телах и внутри жидкостей механические волны возникают благодаря силам упругости. Эти силы осуществляют связь между отдельными частями тела. В образовании волн на поверхности воды играют роль сила тяжести и сила поверхностного натяжения. Такие волны позволяют наиболее наглядно рассмотреть главные особенности волнового движения.

Волна на поверхности воды представляет собой бегущие вперед валы округлой формы. Расстояние между валами, которые также называют гребнями, примерно одинаковы. Волны распространяются в среде с определенной скоростью. Так, если чайка летит вперед, а по ней в любой момент времени оказывается один и тот же гребень, то скорость распространения волны можно принять равной скорости полета чайки. Волны на воде наблюдать удобно потому, что скорость их распространения невелика.

Если бросить в воду легкий предмет, он не будет увлекаться волной, а начнет совершать колебания вверх и вниз, оставаясь примерно на одном месте, как поплавок. Это говорит о том, что частицы воды остаются на месте в то время, как волна распространяется на большие расстояния.

Если же резко толкнуть горизонтальную пружину, можно будет наблюдать, как в одних местах она разрежается, в других — уплотняется. Это тоже волна. Видно, что энергия, полученная от толчка руки, переносится через пружину, хотя ее частицы остаются на месте.

Примеры с поплавком на воде и горизонтальной пружиной позволяют сделать вывод, что волна переносит энергию, но не переносит вещество среды.

Виды механических волн

По характеру колебаний частиц среды относительно положения равновесия различают два вида волн:

Определения

1. Поперечная волна — волна, при которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения этой волны.
2. Продольная волна — волна, при которой частицы среды колеблются параллельно направлению распространения этой волны.

Волны, распространяющиеся вдоль резинового шнура, являются поперечными (см. рисунок ниже). Чтобы появилась волна, нужно взять конец шнура, прикрепленного к вертикальной опоре, и дернуть его. При этом волна побежит к вертикальной опоре, а сам шнур будет менять свою форму. Каждая частица шнура станет совершать колебания относительно своего неизмененного положения равновесия сверху вниз (перпендикулярно направлению распространения волны).

Рассмотрим поперечные волны подробнее. Каждый участок шнура обладает массой и упругостью. При деформации шнура в любом его сечении появляются силы упругости. Эти силы стремятся возвратить шнур в исходное положение. Благодаря инертности участок колеблющегося шнура не останавливается в положении равновесия, а проходит его, продолжая двигаться до тех пор, пока силы упругости не остановят этот участок в момент максимального отклонения от положения равновесия.

На рисунках а, б, в, г, д и е изображен процесс распространения поперечной волны. На них показаны положения частиц среды в последовательные моменты времени.

Теперь рассмотрим распространение в среде продольной волны. Такую волну можно наблюдать, собрав установку из цепочки массивных шариков, связанных пружинками. Шары подвешены так, чтобы они могли колебаться только вдоль цепочки (см. рисунок ниже).

Если первый шар привести в колебательное движение, то вдоль цепочки побежит продольная волна, состоящая из чередующихся уплотнений и разрежений шаров. Уплотнения и разрежения (см. рисунок ниже) появляются вследствие горизонтальных колебаний шаров у положения равновесия. Волна также распространяется горизонтально.

Физические характеристики волны

Обратимся к рисункам д, е еще раз. Видно, что когда частица 1 находится в положении равновесия и движется вверх, частица 13 тоже находится в положении равновесия и движется вверх. Спустя четверть период частица 1 будет максимально отклонена от положения равновесия, ровно, как и частица 13. Так как частицы 1 и 13 движутся одинаково, говорят, что колебания этих частиц происходят в одинаковых фазах. Расстояние между этими частицами называют длиной волны.

Внимание! В действительности частица 13 отстает по фазе от частицы 1 на 2π. Но поскольку такая разница фаз не приводит к различию в состояниях колеблющихся частиц, можно считать, что частицы колеблются в одинаковых фазах.

Определение

Длина волны — расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах.

Длина волны обозначается как λ (лямбда). Единица измерения длины волны — метр (м).

Согласно рисунку е, в одинаковых фазах колеблются частицы 1 и 13, 2 и 14, 3 и 15, 4 и 16. Поэтому расстояния между этими частицами равно длине волны. Но частицы 1 и 7, находящиеся на расстоянии λ2, колеблются в противоположных фазах. Посмотрите на рисунок д: когда 1 частица находится в положении равновесия и движется вверх, частица 7 находится в положении равновесия и движется низ. На рисунке е обе частицы максимально отклонены от положения равновесия, но в противоположных направлениях.

Волна распространяется на расстояние λ за время, равное периоду колебаний частиц вещества. Зная расстояние, на которое распространилась волна, и время, в течение которого это распространение происходило, можно найти скорость волны:

v=λT

Но мы знаем, что период равен величине, обратной частоте колебаний:

T=1ν

Тогда скорость распространения волны равна:

v=λν

Скорость волны равна произведению длины волны на частоту колебаний.

При распространении волны мы имеем дело с периодичностью двоякого рода:

1. Во-первых, каждая частица среды совершает периодические колебания во времени. В случае гармонических колебаний (эти колебания происходят по синусоидальному или косинусоидальному закону) частота постоянна и амплитуда одинакова во всех точках. Колебания отличаются только фазами.
2. Во-вторых, в данный момент времени форма волны повторяется в пространстве через отрезки длиной λ вдоль линии распространения волны. На рисунке ниже показан профиль волны в определенный момент времени (сплошная линия). С течением времени вся эта картина перемещается со скоростью v направо. Спустя промежуток времени ∆t волна будет иметь вид, изображенный на том же рисунке прерывистой линией.

Пример №1. Определите скорость распространение волны на поверхности воды, если расстояние между ее гребнями равно 1 метру. Учитывайте, что мимо наблюдателя за 5 секунд прошло 10 волн.

Обычно под волной на воде люди понимают гребни — частицы воды, максимально отклоненные от положения равновесия. Расстояние между гребнями равно длине волны. Чтобы найти скорость распространения волны, нужно знать частоту колебания молекул воды. Ее можно вычислить по следующей формуле:

ν=nt

где n — количество «волн», прошедших мимо наблюдателя.

Тогда скорость волны равна:

v=λν=λnt=1·105=2 (мс)

Уравнение бегущей волны

Определение

Бегущая волна — волна, распространяющаяся в пространстве.

Колебания гармонической волны в любой точке происходят по гармоническому закону с одной и той же амплитудой. Найдем уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны.

Будем рассматривать волну, бегущую по длинному тонкому резиновому шнуру. Ось Ox направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура. Смещение любой колеблющейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой s. Для описания волнового процесса необходимо знать значение s в любой точке шнура в любой момент времени. Следовательно, нужно знать вид функции:

s = s(x, t)

Заставим конец шнура (точка х = 0) совершать гармонические колебания с частотой ω. Если начальную фазу колебаний считать равной 0, то колебания этой точки будут происходить по закону:

s = smaxsin ωt

smax — амплитуда колебаний (рис. а).

Колебания распространяются вдоль шнура (оси Ox) со скоростью v и в произвольную точку шнура с координатой х придут спустя время, которое можно определить следующим выражением:

τ=xv

Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой ω, но с запаздыванием на время τ (рис. б). Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой s_max, но с другой фазой:

Уравнение бегущей волны

s=smaxsin [ω(t−τ)]=smaxsin [ω(t−xv)]

Это уравнение называется уравнением бегущей волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ox.

Пример №2. Уравнение бегущей волны имеет вид s(x, t)=0,1sin(2πt−xπ2). Найдите частоту волны, скорость её распространения и длину.

Запишем уравнение бегущей волны:

s=smaxsin [ω(t−τ)]=smaxsin [ω(t−xv)]

Сопоставляя эти два уравнения можно определить, что циклическая частота и скорость распространения соответственно равны:

ω=2π (радс)

v=4 (мс)

Циклическую частоту также можно рассчитать по формуле:

ω=2πν

Тогда частота волны равна:

ν=ω2π=2π2π=1 (Гц)

Тогда длина волны равна:

λ=vν=41=4 (м)

Алиса Никитина | Просмотров: 3.1k