Как найти частоту малых колебаний - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Задание:

Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 6.15. Известны радиус блока R, его момент инерции J относительно оси вращения, масса тела m и жесткость пружины k. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.

Решение:

Источник

2018-05-31

Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. Известны радиус блока $R$, его момент инерции $I$ относительно оси вращения, масса тела $m$ и жесткость пружины $chi$. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.

Решение:

Физическая система состоит из шкива и блока. Выбирая промежуточную систему отсчета, давайте направим ось х, как показано на рисунке.

Первоначально система находится в положении равновесия. Теперь из условия равновесия для блока

$T_{0} = mg$ (1)

Аналогично для вращательного равновесия шкива

$chi Delta /R = T_{0} R$

или $T_{0} = chi Delta l$ (2)

из уравнений (1) и (2) $Delta l = frac{mg}{ chi} $ (3)

Когда равновесие системы нарушается. В произвольной позиции, показанной на рисунке, из второго закона движения Ньютона для блока

$F_{x} = mw_{x}$

$mg — T = mw = m ddot{x}$ (4)

Аналогично для шкива

$N_{Z} = I beta_{z}$

$TR — chi ( Delta l + x)R = I ddot{ theta}$ (5)

Но $w = beta R$ или, $ddot{x} = R ddot{ theta}$ (6)

из (5) и (6) $TR — chi ( Delta l + x) R = frac{I}{R} ddot{x}$ (7)

Решение (4) и (7) с использованием начальных условий задачи

$- chi Rx = left ( mR + frac{I}{R} right ) ddot{x}$

или, $ddot{x} = — left ( frac{ chi}{ m + frac{l}{R^{2} } } right ) x$

Следовательно, искомый период колебаний, $T = frac{2 pi}{ omega_{0} } = 2 pi sqrt{ frac{m + l/R^{2} }{ chi} }$

Примечание: можно решить эту задачу, используя закон сохранение механической энергии

Источник

1Свободные одномерные колебания

1.1Теория

Пусть положение рассматриваемой замкнутой одномерной механической системы описывается одной ”хорошей” (что означает это слово в данном контексте?) обобщенной координатой q. Для существования колебаний необходимо, чтобы система обладала положением устойчивого равновесия (обозначим его q0). В общем случае колебательное движение является сложным. Для упрощения задачи предположим, что система мало отклоняется от положения равновесия q0, а само ее движение является медленным (эти 2 требования независимы). В дальнейшем отклонение системы от положения равновесия x q q0 и ее скорость q = x

будем считать величинами 1-го порядка малости. Для получения приближенного уравнения движения разложим функцию Лагранжа системы в ряд по степеням этих величин.

Пусть точная потенциальная энергия системы равна U(q), а ее кинетическая энергия определяется общим выражением

T = 12 a(q) q2;

где функция a(q) > 0 (откуда следует это условие?). Разложим потенциальную энергию в окрестности точки q0

смещений x:

U(q) = U(q0) +	dU	jq0 x +	1 d2U	jq0 x2 +	1 d3U	jq0 x3:::

dq	2 dq2	3! dx3

(1)

в ряд Тейлора по степеням

(2)

(все производные от U вычисляются в положении равновесия q0).

Положение равновесия (не обязательно устойчивого) отличается от прочих положений тем, что система, первоначально покоившаяся в этом положении, остается там сколь угодно долго. Это означает, что в положении равновесия на систему не действуют никакие силы. Но сила равна dUdq , т.е. производной от потенциальной энергии по координате, взятой с обратным знаком. Поэтому в положении равновесия такая производная должна быть равна нулю. Следовательно, линейный по x член в разложении (2) исчезает. Положение устойчивого равновесия от других возможных положений равновесия (неустойчивого и безразличного) отличается тем, что при выведении системы из этого положения она стремится снова вернуться в него. Это означает, что в окрестности положения устойчивого равновесия на систему действуют возвращающие силы. Поскольку сила есть минус градиент потенциальной энергии, в окрестности положения равновесия потенциальная энергия должна быть больше, чем в этом положении. Иначе говоря, вторая производная потенциальной энергии в положении равновесия должна быть положительной:

d2U

k dq2 jq0 > 0:

Следовательно, в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет локальный минимум. Выберем начало координат в точке q0 и будем отсчитывать потенциальную энергию от ее значения в минимуме. Тогда выражение (2) будет начинаться с члена, квадратичного по смещениям. Если ограничиться в разложении потенциальной энергии по степеням смещения этим квадратичным слагаемым, то получится приближение, называемое

гармоническим (также линейным):

Для получения кинетической энергии в том же (гармоническом) приближении нужно иметь в виду, что выражение (1) уже содержит в качестве множителя величину второго порядка малости q2. Поэтому в разложении зависящего от координаты коэффициента a(q) =

a(q0) + dadq(q)j0 x + ::: следует удержать нулевой член a(q0) m. Постоянная m a(q0) обязана быть положительной (как и функция a(q)), т.к. в противном случае при прохож-

дении положения равновесия с отличной от нуля скоростью q система имела бы нулевую или отрицательную кинетическую энергию. Следовательно, в гармоническом приближении кинетическая энергия имеет вид:

Объединяя приближенные выражения (3) и (4), получаем функцию Лагранжа в гармоническом приближении:

L(x; x) ‘	m x2		k x2	(5)
		:
2	2

Заметим следующее:

Постоянные k и m определяются приведенными выше формулами и в общем случае не являются жесткостью какой-либо пружины и массой какой-либо частицы (последнее имеет место в частном случае грузика на пружинке при малых ее деформациях).

Механическая система, лагранжиан которой имеет вид (5), называется гармоническим осциллятором.

В приведенных выше разложениях для потенциальной и кинетической энергий членами одного порядка малости являются слагаемые, имеющие одинаковые степени произведений смещения x и скорости x. Например, члену третьего порядка в разложении

1 d3U

потенциальной энергии 3! dx3 jq0 x3 в кинетической энергии соответствует слагаемое

da(q)

dq jq0 xx2 и т.д. При учете в разложениях членов более высоких порядков получается ангармонический осциллятор.

Подстановка полученного приближенного лагранжиана в уравнение Лагранжа dtd @L@x =

@L@x приводит к уравнению движения x• + mk x = 0. Обозначая

!2	k	(6)
	;
m
получаем уравнение движения гармонического осциллятора
x• + !2x = 0:	(7)
Его общее решение
x(t) = a cos(!t + )	(8)

описывает гармонические колебания с амплитудой a, (циклической) частотой ! и начальной фазой . Гармонический характер колебаний и оправдывает название ”гармоническое” для рассмотренного приближения. Скорость системы x = a! sin(!t + ). Очевидно, что малость колебаний определяется малостью амплитуды a. Из приведенного выражения для скорости видно, что она того же порядка, что и смещение x. Следовательно, оба слагаемых в приближенном лагранжиане имеют один и тот же порядок малости.

Две произвольные постоянные a и могут быть найдены из начальных условий. В отличие от них частота !, как это видно из выражений для входящих в нее величин k и m, определяется свойствами механической системы и от начальных условий не зависит. В гармоническом приближении колебания являются изохронными — их период не зависит от амплитуды.

Типичная постановка задачи об одномерных малых колебаниях такова: найти положение устойчивого равновесия системы и определить частоту колебаний. Если, кроме того, известны начальные условия, то можно найти амплитуду и начальную фазу колебаний. Для ее решения:

Записываются точные выражения для потенциальной и кинетической энергий.

Потенциальная энергия исследуется на наличие минимума. Сначала ищется положение

q0, в котором dq = 0.

d2U

Если оно существует, то вычисляется вторая производная dq2 jq0

так находится постоянная k.

Если она положительна, потенциальная энергия в положении q0

рого порядка и гармоническое приближение существует.

в этом положении –

имеет минимум вто-

В этом приближении находится находится постоянная m в соответствии с формулой m = a(q0).

С помощью формулы (6) находится искомая частота.

При заданных начальных условиях определяются амплитуда и начальная фаза колебаний.

Как правило механические системы характеризуются некоторыми параметрами. Нередко при определенных сочетаниях этих параметров оказывается, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет минимум более высокого порядка. Это значит, что вторая производная потенциальной энергии в положении равновесия обращается в нуль и гармонического приближения не существует. Для исследования движения в таких случаях неизбежно рассмотрение приближений, следующих за гармоническим. В материале ”Период колебаний при вырождении”, размещенном на сайте физфака (страничка кафедры теоретической физики, папка ”Теоретическая механика”), показано, как можно найти частоту колебаний в таком случае.

1.2Задачи

Задача 1

Определить положение устойчивого равновесия и частоту малых колебаний точки массой m, способной двигаться по гладкой прямой и прикрепленной к пружине жесткостью k, другой конец которой закреплен в точке A на расстоянии b от прямой (рис. 1). Длина пружины в нерастянутом состоянии равна l0.

Решение. В качестве обобщенной координаты точки выберем декартову координату q, отсчитываемую от точки O вдоль прямой. Поскольку это декартова координата, то кинетическая энергия точки равна

	mq2			(9)
T =		;
2

т.е. в данном случае функция a(q) совпадает с массой частицы.
Когда частица находится в положении с координатой q, длина пружины l равна			.
b2	+ q2
В этом положении потенциальная энергия растянутой пружины равна	p
U(q) =	k(p	l0)2
b2 +2q2	:		(10)

Определим положение устойчивого равновесия частицы на прямой, потребовав обраще-

ния в нуль производной	dU	:
dq

dq =		(p			0	= 0:	(11)
k	b2	b2 + q2
dU		+ q2	l	) q

Это уравнение имеет следующие решения: 1. q1 = 0 и

2. q2;3 = l02 b2:

Заметим, что второе решение при b > l0 оказывается мнимым и не имеет смысла.

Для выяснения характера экстремума потенциальной энергии в найденных точках вы-

числим вторую производную от U(q):

d2U

= k(1

b2 l0

(12)

dq2

(b2 + q2)3=2

d2U

В точках экстремума q1 и q2;3 получаем соответственно: k1

jq1 = k(1

) и

dq2

d2U

jq2;3 = k(1

dq2

l02

При b > l0 вторая производная положительна в точке q1, а решение q2 мнимое. Поэтому в данном случае положением устойчивого равновесия является точка q1. Частота колебаний

вблизи этого положения в соответствии с (6) равна !1 = k(1 lb0 )=m.

При b < l0 вторая производная положительна в точках q2;3, симметрично расположенных относительно точки O, которые и являются при этом условии положениями устойчивого равновесия. В точке q1 вторая производная отрицательна и отвечает положению неустойчивого равновесия – колебания вблизи нее невозможны. Частоты колебаний вблизи положений

q2;3 = pl02 b2 одинаковы и равны !2 = k(1 b2 )=m.

l02

При b = l0 оба решения уравнения (11) совпадают: q1 = q2;3 = 0, а вторая производная в этой точке O обращается в нуль. Следовательно, при данном условии в точке O имеется минимум потенциальной энергии не второго, а более высокого порядка. Гармонического приближения в данном случае не существует и нужно рассматривать следующие приближения. Поскольку в нашем случае коэффициент перед квадратом скорости в кинетической энергии не зависит от координат (см.(9)), то разложению до первого неисчезающего члена подлежит только потенциальная энергия. Легко проверить, что это будет член степени 4 по отклонениям от положения равновесия (в точке минимума старший член разложения не может иметь нечетную степень!). В таком случае для нахождения частоты колебаний полученного ангармонического осциллятора можно воспользоваться результатами упомянутого выше материала ”Период колебаний при вырождении”.

Задача 2 (КС 5.3)

Частица массы , несущая заряд q, может двигаться в поле тяжести по вертикальной окружности радиуса R. В нижней части окружности закреплен заряд q. Найти положение равновесия и частоту малых колебаний частицы (рис. 2).

Решение. Выберем в качестве обобщенной координаты подвижного заряда угол ‘ (см. рисунок). Кинетическая энергия частицы

T =	R2	‘2	(13)

2

как и в предыдущей задаче не зависит от координаты ‘ – функция a(‘) = R2 сводится к

постоянной m (заметим, однако, что она не совпадает с массой частицы).

Потенциальная энергия частицы состоит из ее потенциальной энергии U1 в поле тяжести и потенциальной энергии U2 взаимодействия двух точечных зарядов. Выберем начало отсчета для U1 в нижней точке окружности. Тогда U1 = gR(1 cos ‘). Потенциальная энер-

	‘			q2
гия двух одинаковых зарядов, находящихся на расстоянии 2R sin		, равна U2	=		(в
2	‘
			2R sin
				2

единицах СГСЭ). Складывая оба выражения, находим потенциальную энергию подвижного заряда

U(‘) = gR(1 cos ‘) +

(14)

2R sin

‘

Вычислим ее первую производную по углу:

q2 cos

‘

= gR sin ‘

(15)

d’

sin2

‘

Удобно выразить sin ‘ через половинный угол и представить необходимое условие минимума в виде

‘

(16)

= 2 gR cos

(sin

) = 0;

d’

sin2

‘

где x0

: Это уравнение имеет два решения:

8 gR2

1.‘1 = (верхняя точка окружности) и

2.‘2 = 2(arcsin x0)1=3: Так как sin3 ‘22 = x0, то это решение существует только при x0 1.

Для выяснения характера экстремумов при разных значениях x0 найдем вторую производную (при этом удобнее использовать выражение (15)):

d2U

sin

‘

+ 2 cos

2 ‘

‘

1 + cos

2 ‘

) = gR(cos2

sin2

(17)

= gR(cos ‘ + x0

+ x0

d’2

3 ‘

sin

3 ‘

sin

Подставляя в это выражения ‘1 и ‘2, получим вторые производные потенциальной энергии

	d2U		d2U
в найденных точках: k1		j‘1 = gR(x0 1)	и k2	j‘2 = 3 gR(1 x02=3).
d’2	d’2

При x0 > 1 существует только одно решение ‘1 = . Так как в этом случае вторая производная k1 положительна, то верхняя точка окружности является положением устойчивого

равновесия. Частота колебаний вблизи этого положения !1 =	g(x0 1)=R.
При	x0 < 1	существуют оба решения уравнения (16).	Так как в этом случае поло-
		p

жительна вторая производная k2, то положением устойчивого равновесия является точка

		7
‘2 = (arcsin x0)1=3. Частота колебаний вблизи этого положения !2 =			.
3g(1 (x0)2=3)=R
Верхняя точка окружности в данном случае оказывается положением	неустойчивого равно-
	p

весия.

Как и в предыдущей задаче имеется особый случай x0 = 1, когда оба решения уравнения (16) совпадают: ‘1 = ‘2 = . Вторая производная потенциальной энергии в этой точке обращается в нуль и гармонического приближения не существует (как легко проверить имеется минимум 4-го порядка). Так как и в этой задаче кинетическая энергия не зависит от координаты, то для нахождения частоты колебаний можно снова использовать результат материала ”Период колебаний при вырождении”.

2Вынужденные одномерные колебания

2.1Теория

см. § 22 учебника ЛЛ.

2.2Задачи

Задача 1 (ЛЛ § 22, № 1)

Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы F (t), если в начальный момент t = 0 система покоится в положении равновесия (x = 0; x = 0) для случаев

а)F = const = F0

Решение. Общее решение уравнения вынужденных колебаний x• + !2x = m1 F (t) является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного: x(t) = x1(t) + x2(t). Так как однородное уравнение, т.е. x• + !2x = 0, – это рассмотренное выше уравнение свободных колебаний, то x1 = a cos(!t + ). Частное же решение уравнения

x• + !2x =	1	F0	(18)

	m

можно искать в виде x2 = b, где b = const. Подстановка этой постоянной в уравнение (18) дает для нее значение

b =	F0	:		(19)
m!2

Таким образом, общее решение имеет вид
x(t) = a cos(!t + ) +	F0	:	(20)
m!2

Оно описывает гармонические колебания с частотой !, амплитудой a и начальной фазой , которые совершаются вокруг смещенного положения равновесия m!F0 2 .

				8
Для нахождения постоянных a и воспользуемся начальными условиями:
x(0) = a cos +	F0		=	0;
m!2

x(0) = a sin	=	0:

Второму из этих соотношений можно удовлетворить, положив = 0. Из первого соотноше-


ния находим для амплитуды a =	F0	. Следовательно, при данных начальных условиях
m!2
система движется по закону
	F0	(21)
x(t) =			(1 cos !t):
m!2
б) F = bt; b = const
Решение. Поскольку в данном случае уравнение движения системы
x• + !2x =	bt		(22)

	m

отличается от уравнения движения предыдущей задачи только правой частью, то остается найти удовлетворяющее ему частное решение. Снова попробуем функцию того же типа, что и в правой части уравнения, а именно x2 = ct; где c = const. Подстановка этого пробного

решения в уравнение (22)	дает c =	b	, поэтому частное решение x2 =	bt	, а общее
m!2	m!2
решение (22) имеет вид

x(t) = a cos(!t + ) +	bt	:				(23)
m!2

Для отыскания амплитуды колебаний a и начальной фазы используем начальные усло-

вия:
x(0) = a cos	=	0;
x(0) = a! sin +	b	=	0:

m!2

Первому из них можно удовлетворить, положив = =2. Из второго соотношения находим

амплитуду a =		b	. Следовательно, при данных начальных условиях система движется по
m!3
закону

x(t) =	b	(!t sin !t):	(24)

m!3

Этот закон движения соответствует гармоническим колебаниям с частотой ! около поло-

жения устойчивого равновесия, которое равномерно движется со скоростью	b	в положи-
m!2

тельном направлении оси x. Скорость движения системы определяется выражением
	b		(25)
x(t) =		(1 cos !t):
m!2

Задача 2 (ЛЛ § 22, № 2)

Определить конечную амплитуду колебаний после действия внешней силы, меняющейся по закону F = 0 при t < 0; F = F0 t=T при 0 < t T; F = F0 при t > T (рис. 3). До момента t = 0 система покоится в положении равновесия.

Решение. В промежутке 0 < t T сила меняется по линейному закону – так же, как в задаче 1б, а при t > T она постоянна, как это было в задаче 1а. Общие решения уравнений движения для обоих режимов изменения силы, полученные в этих задачах, могут быть использованы здесь. Более того, решение (24) задачи 1б было получено при тех же начальных условиях, что и в данной задаче. Поэтому в промежутке 0 < t T его можно использовать, заменив только постоянную b на F0=T . Однако непосредственно воспользоваться решением (21 для постоянной внешней силы нельзя, т.к. оно было было получено для нулевых начальных условий, а теперь в момент времени T , когда сила становится постоянной, система не находится в начале координат и, вообще говоря, движется.

Найти новое частное решение для t > T можно, если учесть, что состояние системы в этот момент времени (как и в любой другой) должно изменяться непрерывно: непрерывность координаты следует из непрерывности движения, а непрерывность скорости вытекает из свойства инерции – скорость не может изменяться скачком. Поэтому следует, как говорят,

сшить оба решения в момент времени T , потребовав совпадения состояний (т.е. координат

и скоростей) обоих решений.
Общее решение задачи 1а представим в следующей форме:
F0		(26)
x(t) = a cos[!(t T ) + ] + m!2	;

где учтено, что теперь движение по такому закону начинается не в момент времени t = 0, а в момент времени T . Скорость при таком движении изменяется по закону x = a! sin[!(t T ) + ]. Потребуем теперь, чтобы при t = T оба решения непрерывно переходили друг в друга вместе с первыми производными (т.е. скоростями):


		F0	sin !T )			F0
			(!T	=	a cos +		;
	m!3T	m!2
		F0	cos !T )		a! sin
			(1	=
		m!2T
или
		a cos	=		F0		sin !T;
		m!3T
		a sin	=		F0		(1 cos !T ):
		m!3T

Отсюда находим искомую амплитуду колебаний jaj = m!2F30T j sin !T2 j. Отметим, что она тем меньше, чем медленнее ”включается” сила (т.е. чем больше T ). При T ! 0 амплитуда стремится к m!F0 2 – известному из задачи 1а результату. Кроме того, амплитуда обращается

в нуль, если T = 2!k , где k – целое число (отличное от нуля).

Задача 3 (ЛЛ § 22, № 3)

То же для постоянной силы F), действующей в течение ограниченного времени T (рис. 4).

Решение. Эту задачу можно решить тем же способом, что и предыдущую, – сшивкой известных решений, но мы используем общий метод, изложенный в конце § 22 учебника ЛЛ.

Для этого объединим координату x и скорость x системы в одну комплексную перемен-

ную x + {!x. Тогда исходное уравнение движения x• + !2x = m1 F (t), являющееся дифференциальным уравнением 2-го порядка для действительной переменной x, превратится в уравнение 1-го порядка относительно комплексной переменной :

При этом, несмотря на переход к комплексной переменной, сила F (t) как и прежде остается вещественной функций времени (это важно для дальнейших преобразований).

Если бы правая часть этого неоднородного уравнения была равна нулю, то общее решение получившегося в результате однородного уравнения имело бы вид (t) = Ae{!t, где A

– некоторая постоянная. Общее решение неоднородного уравнения можно получить варьированием этой произвольной постоянной, полагая (t) = A(t)e{!t. Подставляя это пробное решение в уравнение (27), находим для функции A(t) уравнение с разделяющимися пере-

менными						1
			A_(t) =	F (t)e {!t:

						m
		t	1
Интегрируя его, получаем A(t) = Z0			F ( )e {! d + 0	, где – переменная интегрирования,
	m
а 0 – произвольная постоянная.
Таким образом, решение уравнения (27) имеет вид
t	1
(t) = e{!t(Z0		F ( )e {! d + 0):			(28)
m

Положив в этом решении t = 0, находим (0) = 0, что оправдывает принятое обозначение для постоянной интегрирования – она полностью определяется начальным положением и начальной скоростью системы.

Полученное решение позволяет в принципе найти закон движения при любой зависимости вынуждающей силы F (t) от времени (если удастся вычислить интеграл!). Если вынуждающая сила действует в течение промежутка времени 0 < t < T , а движение рассматрива-

ется после окончания ее действия, как это имеет место в нашей задаче, то

T	1
(t) = e{!t(Z0		F ( )e {! d + 0):	(29)
m

В данном случае выражение в скобках представляет собой некоторую комплексную постоянную

T 1
B Z0 mF ( )e {! d + 0	:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Механические колебания.

Гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний.
Пружинный маятник.
Математический маятник.
Свободные и вынужденные колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: nu =1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение x=0 . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t) , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на pi /2 , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина alpha , равная значению фазы при t=0 , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: $x_{0}=Acos alpha$ .

Величина называется omega циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2 pi радиан: , откуда

$omega = frac{displaystyle 2pi }{displaystyle T}$ (2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

$x=Acos(frac{displaystyle 2pi t }{displaystyle T}+ alpha), x=Acos(2 pi nu t + alpha)$ .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину $x_{0}$ и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае $x_{0}=A$ , поэтому можно положить alpha=0 . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае $x_{0}=0$ , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

$v_{x}=dot{x}=-Aomega sin(omega t+alpha )$ . (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

$a_{x}=ddot{x}=-Aomega^{2} cos(omega t+alpha )$ . (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем $-omega^{2}$ :

$a_{x}=-omega^{2}x$ . (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

$ddot{x}+omega^{2}x=0$ . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой omega и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате x=0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости vec F со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

$ma_{x}=F_{x}$ . (8)

Если x>0 (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и $F_{x}<0$ . Наоборот, если x<0 , то $F_{x}>0$ . Знаки и $F_{x}$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

$F_{x}=-kx$

Тогда соотношение (8) принимает вид:

$ma_{x}=-kx$

или

$a_{x}=-frac{displaystyle k}{displaystyle m}x$ .

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle k}{displaystyle m}$ .

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle k}{displaystyle m}}$ . (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

$T=2 pi sqrt{frac{displaystyle m}{displaystyle k}}$ . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

$ma_{x}=T_{x}$ .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x>0 ), то:

$T_{x}=-Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x<0 ), то:

$T_{x}=Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Итак, при любом положении маятника имеем:

$ma_{x}=-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T=mg . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

$ma_{x}=-mgfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ ,

или

$a_{x}=-frac{displaystyle g}{displaystyle l}x$ .

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle g}{displaystyle l}$ .

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle g}{displaystyle l}}$ . (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

$T=2pi sqrt{frac{displaystyle l}{displaystyle g}}$ . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы F(t) , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна $omega_{0}$ , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

$F(t)=F_{0}cos omega t$ .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
omega вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты $omega=omega_{r}$ наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: $omega_{r} approx omega_{0}$ , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, $omega_{r} = omega_{0}$ , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при $omega Rightarrow omega_{0}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Механические колебания.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник