Режим
при котором в цепи, содержащей реактивные
элементы, ток и напряжение совпадают
по фазе, называется резонансным, т.е.
эквивалентное сопротивление цепи
является чисто активным.
2.10.3.1. Резонанс напряжений
Резонанс
напряжений возможен при (Рис.8)
последовательном соединении R,L,Cэлементов.
Условие
резонанса напряжений:
Угловая
резонансная частота
.
При
резонансе напряжений ток в контуре
.
Коэффициент
мощности
.
Напряжение
на емкости и на индуктивности одинаковы:
.
При
резонансе напряжений применяются
следующие соотношения и формулы:
характеристическое
сопротивление контура – сопротивление
каждого из реактивных элементов при
резонансе
;
-
добротность
контура
; -
затухание
контура
; -
абсолютная
расстройка
; -
относительная
расстройка
.
;
;
;
.2.10.3.2. Резонанс токов
Резонанс
токов возможен в цепи, содержащей
параллельно соединенные индуктивности
и емкости (Рис. 9)
Условие
резонанса токов:
Угловая
резонансная частота:
,
где
характеристическое сопротивление
;
добротность
контура
;
сопротивление
контура при резонансе токов
;
ток
неразветвленной части цепи при резонансе
;
полоса
пропускания определяется из условия,
что ток на частотах f1иf2,
соответствующих границы полосы
пропускания, уменьшается в
;
абсолютное
значение полосы пропускания:
;
относительное
значение полосы пропускания:
.
Пример
3.1
Электрическая
цепь состоит из последовательно
соединенных активного сопротивления
Ом,
катушки индуктивностью
мкГн
и конденсатора емкостью
пФ.
Определить
резонансную частоту
,
характеристическое сопротивление,
затухание и добротность контура. Чему
равны ток, расходуемая в цепи мощность,
напряжение на индуктивности и емкости,
если контур включен на напряжении 1 В?
Вычислить абсолютное значение полос
пропускания контура.
Решение:
Пример 3.2
На
зажимах цепи поддерживается постоянное
по действующему значению напряжение
В,
Ом,
Ом,
Ом.
Определить
,
при котором цепь будет находиться в
резонансе.
Решение:
Условие
резонанса напряжений
,
;
Ток
при резонансе
Пример
3.3
В схеме
без емкости приборы показывают
Вт,
А,
В,
Гц.
Определить
величину емкости, необходимую для
повышения коэффициента мощности (
)
до 1.
Решение:
Определим
параметры катушки по схеме без емкости
Ом;
при резонансе.
Условия
резонанса токов:
;
§2.11. Вопросы для самопроверки
1. Какой
ток называется переменным? Дайте
определение синусоидального тока.
2. Что
такое максимальное, действующее и
среднее значения синусоидальных величин
тока, напряжения, ЭДС. Запишите формулы,
связывающие действующие значения с
максимальными, средние значения с
максимальными?
3.
Назовите известные вам способы выражения
синусоидальных величин.
4. Дайте
определение векторной диаграмме.
5. Как
определяются знаки углов на векторной
диаграмме?
6. Дайте
определение индуктивности, емкости,
запишите выражения индуктивного,
емкостного сопротивления.
7. Чем
отличается реальная катушка индуктивности
от идеальной?
8.
Изобразите схему замещения реальной
катушки индуктивности и начертите для
нее векторную диаграмму.
9.
Начертите векторную диаграмму для цепи
с резистивным и емкостным элементом.
10.
Запишите закон Ома в комплексной форме
для резистивного, индуктивного и
емкостного элементов.
11. Как
определить угол сдвига фаз
по треугольнику напряжений, сопротивлений,
мощностей.
12. В
чем смысл символического метода расчета
цепей синусоидального тока?
13. В
каких электрических цепях и при каком
условии возникает резонанс напряжений?
14.
Запишите условие возникновения резонанса
токов.
Задачи
для самостоятельного решения:
Задачи
1.1. Ток
изменяется по синусоидальному закону.
Период
c,
амплитуда
A,начальная фаза
.
Ток
изменяется по синусоидальному закону
с той же частотой и амплитудой.
Записать
выражения
и
для случаев:
опережает ток
на угол
;
отстает от тока
на угол
;
находится в противофазе с током
;
совпадает по фазе с током
.
1.2. Ток
изменяется по синусоидальному закону.
Частота
Гц,
амплитуда
А,
начальная фаза
.
Ток
изменяется по синусоидальному закону
с той же частотой и амплитудой.
Записать
выражения
и
для случаев:
совпадает по фазе с током
;
отстает от тока
на угол
;
опережает ток
на угол
;
находится в противофазе с током
.
Построить
графики
.
1.3. Ток
изменяется по синусоидальному закону.
Период
мс,
амплитуда
A,
начальная фаза
.
Ток
изменяется по синусоидальному закону
с той же частотой, но амплитуда в два
раза больше.
Записать
выражения
и
для случаев:
опережает ток
а угол
;
отстает от тока
на угол
;
находится в противофазе с током
;
совпадает по фазе с током
.
Построить
графики
.
1.4. Ток
изменяется по синусоидальному закону.
Период
мс,
амплитудаIm1
= 2,8A,начальная фаза
.
Ток
изменяется по синусоидальному закону
с той же частотой и амплитудой.
Записать
выражения
и
для случаев:
опережает ток
на угол
;
отстает от тока
на угол
;
находится в противофазе с током
;
совпадает по фазе с током
.
Построить
графики
.
1.5.
Заданы мгновенные значения токов:
,
,
,
,
.
Записать
комплексные мгновенные, амплитудные и
действующие значения токов в алгебраической
и показательной формах.
Построить
векторы комплексных действующих значений
токов на комплексной плоскости.
1.6.
Заданы мгновенные значения токов:
,
,
,
,
.
Записать
комплексные мгновенные, амплитудные и
действующие значения токов в алгебраической
и показательной формах.
Построить
векторы комплексных действующих значений
токов на комплексной плоскости.
1.7.
Заданы мгновенные значения токов:
,
,
,
,
.
Записать
комплексные мгновенные, амплитудные и
действующие значения токов в алгебраической
и показательной формах.
Построить
векторы комплексных действующих значений
токов на комплексной плоскости.
1.8.
Заданы мгновенные значения токов:
,
,
,
,
.
Записать
комплексные мгновенные, амплитудные и
действующие значения токов в алгебраической
и показательной формах.
Построить
векторы комплексных действующих значений
токов на комплексной плоскости.
1.9.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.10.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.11.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.12.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.13.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.14.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
Задачи
|
2.1. |
|
|
Построить |
В,
В.
|
2.2. |
|
|
Построить |
,
В,
В.
|
2.3. |
|
|
Построить |
В,
В,
В.
|
2.4.
|
|
|
Определить |
Ом,
мГн,
Ом,
.
,
,
,
.|
2.5.
|
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
мкФ,
В,
.
,
,
.|
2.6.
|
|
|
Определить |
мГн,
Ом,
мГн,
Ом,
В,
Гц.
,
,
,
.|
2.7.
|
|
|
Определить |
А,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
.|
2.8. |
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
В.
,
.|
2.9. |
|
|
Определить |
Ом,
мГн,
Ом,
мГн,
Ом,
В,
Гц.
,
и мощность, расходуемую в цепи. Построить|
2.10. |
|
|
Определить |
Ом,
МкФ,
Ом,
мкФ,
,
В.
.|
2.11.
|
|
|
Определить |
,
.
|
2.12. При
|
|
|
Определить |
и
.
|
2.13.
|
|
|
Вычислить, |
В,
Гц,
В,
В.
и
.|
2.14.
|
|
|
Определить Найти |
,
Ом,
Ом.
,
.|
2.15. При
а при
|
|
|
Вычислить |
Гц,
В,
А,
Гц,
В,
А.
,
.|
2.16.
При |
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
мГн,
Гц.
цепи.|
2.17. |
|
|
Определить |
|
|
2.18. |
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
В.
,
,
,
.
|
2.19. |
|
|
Найти |
,
,
Ом,
Ом.
методом эквивалентного генератора.|
2.20. |
|
|
Определить |
А,
А,
А.
|
2.21. |
|
|
Найти |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
В.
|
2.22.
|
|
|
Найти |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
В.
|
2.23.
|
|
|
Определить |
,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
и
.|
2.24.
|
|
|
Определить |
В,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
|
2.25.
|
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
А.
и
.|
2.26.
|
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
Ом,
В.
|
2.27. |
|
|
Определить |
,
Гн,
мкФ,
Ом.
3.1. При
резонансе:
В,
В,
В,
А,
Гц.
Определить
.
3.2.
Ом,
Ом,
Ом,
Гц.
При
каком значении L наступит резонанс
.
3.3. При
резонансе:
В,
В,
Ом,
Гц.
Определить
показания приборов, значения L и С.
3.4.
Ом,
Ом,
Ом.
Определить значение
при котором наступает резонанс токов.
3.5.
,
Ом.
Определить показания приборов.
3.6. При
резонансе:
Вт,
В,
Ом.
Определить
r и
.
3.7. При
резонансе:
В,
Гц,
Ом,
В.
Определить
показания
,
и добротность цепи.
3.8.
В,
мкФ,
мГн,
Дж.
Определить
ток при резонансе, добротность цепи и
сопротивление.
3.9.
мкГн,
,
Ом,
пФ.
Определить
добротность контура и резонансную
частоту
и
.
3.10.
Ом,
Ом.
При
каком значении
в цепи наступит резонанс.
3.11.
Определить r и L контура, если при
резонансной частоте
кГц
отношение напряжения на конденсаторе
к напряжению на входе равно 50. Емкость
конденсатора
мкФ.
3.12.
Гн,
Ом,
мкФ.
Определить
частоту
при которой в цепи наступит резонанс
токов.
3.13.
Ом,
мГн,
мкФ,
.
Определить
резонансную частоту, волновое сопротивление
и затухание контура, напряжения
и
.
3.14.
Ом,
В,
Ом.
Определить
сопротивление
и все токи при резонансе.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Содержание:
Резонанс токов:
При рассмотрении параллельного соединения катушки и конденсатора был отмечен случай равенства активной и реактивной проводимостей 
Условия возникновения резонанса
Так же как и резонанс напряжений, резонанс токов возникает, когда частота источника энергии равна резонансной частоте ωр, а
Режим электрической цепи при параллельном соединении участков с индуктивностью и емкостью, характеризующийся равенством индуктивной и емкостной проводимостей, называют резонансом токов.
Сначала рассмотрим этот режим для схемы идеализированной цепи (рис. 17.6, а). В этой схеме параллельно резистору R включены идеальные катушки L и конденсатор С, потери энергии в которых не учитываются.
Рис. 17.6. К вопросу о резонансе токов
Реактивные проводимости зависят от частоты вынужденных колебаний. Для рассматриваемой схемы:
активная проводимость
реактивные проводимости
При резонансе токов
Отсюда определяют резонансную частоту:
Выражение для резонансной частоты в данном случае такое же, какое было получено при рассмотрении резонанса напряжений [см. формулу (17.8)] и для частоты собственных колебаний в контуре без потерь.
Резонанс токов, так же как и резонанс напряжений, можно получить изменением параметров L и С или изменением частоты источника энергии.
Резонансные кривые
На рис. 17.6, б показаны зависимости проводимостей от частоты. Полная проводимость цепи Y при резонансной частоте ωр оказывается наименьшей, равной активной проводимости G. При изменении частоты в обе стороны от резонансной полная проводимость увеличивается.
При заданном напряжении источника энергии ток в цепи пропорционален проводимости (рис. 17.6, в): 
, поэтому кривая I(ω) по форме повторяет кривую Y(ω). Состояние резонанса токов характеризуется наименьшей величиной тока в цепи и равенством нулю угла сдвига фаз между напряжением и током (φр = 0).
При резонансе токов отношение тока индуктивного или емкостного к току в неразветвленной части цепи равно отношению волновой проводимости 
к активной проводимости цепи G.
Реактивные проводимости при резонансе
Поэтому
Добротность контура
При параллельном соединении элементов качество резонансной цепи считается тем выше, чем больше отношение 
, которое и в этом случае называется добротностью:
Чем меньше потери энергии в цепи (этому соответствует большая величина R), тем больше добротность.
Параметры реальных катушек и конденсаторов (R, L, С) измеряются и задаются в справочниках применительно к их схемам замещения с последовательным соединением активных и реактивных элементов (см. рис. 14.11, б).
Условие резонанса токов — равенство реактивных проводимостей обеих ветвей 
— остается справедливым, и в этом случае
,
где R1 и R2 — активные сопротивления катушки и конденсатора с потерями.
Приравнивая реактивные проводимости, получим исходное уравнение для определения резонансной частоты
или
откуда
Из «того выражения видно, что резонансная частота зависит от активных сопротивлений катушки и конденсатора. Если потери энергии в катушке и конденсаторе малы (R1 и R2 малы) и ими можно пренебречь, для резонансной частоты получается выражение, найденное раньше для идеализированной цепи.
Компенсация реактивной мощности в электрических сетях с помощью конденсаторов
Было отмечено, что в электрической цепи переменного тока, в которой имеются катушка индуктивности и конденсатор, включенные последовательно или параллельно, общая реактивная мощность цепи всегда меньше, чем реактивная мощность каждого из элементов.
Благодаря взаимному обмену энергией между катушкой и конденсатором и рис. 14.5 источник частично или полностью освобождается от поставки реактивной энергии в цепь.
В этом случае говорят о компенсации реактивной мощности катушки реактивной мощностью конденсатора и наоборот (реактивные мощности QL и QС имеют противоположные знаки). Полная компенсация реактивной мощности имеет место при резонансе.
Компенсация реактивной мощности в электрических сетях имеет большое технико-экономическое значение. Далее кратко рассмотрены общие сведения по этому вопросу и принцип применения конденсаторов для компенсации реактивной мощности.
Реактивная мощность электрических установок
Энергетический процесс в катушке индуктивности, включенной в цепь переменного тока, характеризуется активной мощностью 
и реактивной мощностью 
.
В электрической схеме замещения такая катушка представлена активным сопротивлением R и индуктивностью L, или активной проводимостью G и реактивной проводимостью Y.
В этом отношении катушке индуктивности подобны многочисленные устройства переменного тока: асинхронные двигатели, индукционные нагревательные установки, трансформаторы, воздушные линии и др.
Получая от генераторов электрическую энергию, эти устройства передают или преобразуют ее в другие виды энергии (активная мощность Р), т. е. выполняют те функции, для которых созданы.
Одновременно они обмениваются энергией с источниками (реактивная мощность Q), что является процессом хотя и нежелательным, но неизбежным, так как без магнитного поля и периодического накопления энергии в нем перечисленные устройства работать не могут.
Если реактивная мощность устройства не равна нулю, то отношение 
, а коэффициент мощности 
.
На каждом предприятии одновременно работают электродвигатели (их может быть десятки и сотни), трансформаторы и другие устройства. Чем больше их число и чем меньше их коэффициент мощности, тем больше общая реактивная мощность электрооборудования производственного участка, цеха, всего предприятия.
Величина общей реактивной мощности электрической установки или электрооборудования предприятия в целом зависит еще и от правильного выбора, степени загрузки электродвигателей, трансформаторов, от соблюдения правил эксплуатации электрооборудования.
Далее будет показано, что за счет реактивной мощности потребителей электрический ток в сетях оказывается больше, чем требуется по величине активной нагрузки. С этим связана одна из проблем проектирования и эксплуатации электрических сетей. При передаче электрической энергии, особенно на большие расстояния, из-за наличия индуктивных и емкостных сопротивлений в элементах сети переменного тока возникает также проблема поддержания заданного уровня напряжения на всех приемниках.
Для обеспечения оптимальной величины тока и требуемых величин напряжения в сети необходимо иметь оптимальный баланс реактивных мощностей (индуктивной и емкостной).
Влияние величины реактивной мощности на технико-экономические показатели электроустановок
Для выяснения влияния величины реактивной мощности на экономические показатели электротехнических установок рассмотрим приемник энергии (например, асинхронный электродвигатель), работающий с постоянной активной мощностью при постоянном напряжении в сети.
Ток в приемнике, а следовательно, и в проводах, соединяющих его с источником энергии, при этих условиях зависит от величины реактивной мощности Q:
Чем больше реактивная мощность приемника, тем больший ток должен быть в самом приемнике, в генераторе, соединительных проводах, трансформаторе и других элементах сети электроснабжения.
Мощность тепловых потерь, согласно закону Ленца — Джоуля, пропорциональна квадрату тока и сопротивлению проводов:
Очевидно, чем больше ток приемника, тем больше потери энергии во всех элементах электрической цепи.
Стоимость потерянной энергии входит в эксплуатационные расходы. Уменьшение реактивной мощности приемников ведет к уменьшению их токов, сокращению потерь энергии и эксплуатационных расходов.
Если электрическая установка спроектирована с относительно большей величиной реактивной мощности, то оборудование (коммутационная аппаратура, приборы контроля и т. д.) и провода необходимо выбрать на большие токи, чем при меньшей величине реактивной мощности.
Это значит, что оборудование должно быть установлено относительно больших размеров, а провода — большего сечения. Последнее повлечет за собой увеличение объема зданий, утяжеление фундаментов и опор и т. п.
Уменьшение реактивной мощности приемников энергии сокращает капитальные затраты.
Генераторы электрической энергии и трансформаторы характеризуются номинальной мощностью — произведением номинальных величин напряжения и тока: 
Наиболее полное использование генераторов и трансформаторов соответствует режиму работы с номинальным током при номинальном напряжении (особые случаи, когда допускается некоторая перегрузка оборудования при эксплуатации, здесь не учитываются).
Величина активной мощности генератора равна активной мощности питающихся от него приемников.
Если реактивная мощность приемников равна нулю, то генератор может развивать активную мощность, равную его номинальной мощности , т. е. основная функция генератора — преобразование энергии — может быть выполнена наиболее полно, а первичный двигатель (например, турбина), также рассчитанный на номинальную мощность, будет работать с полной нагрузкой.
При наличии у приемников реактивной мощности активная мощность генератора меньше номинальной, хотя он работает при номинальных напряжении и токе. Таким образом, генератор и первичный двигатель по мощности недогружены, что приводит к снижению их коэффициента полезного действия.
Компенсация реактивной мощности
Из приведенных рассуждений следует, что реактивную мощность установок, потребляющих электрическую энергию, надо по возможности сокращать.
На практике это достигается путем правильного выбора мощности электродвигателей переменного токаи трансформаторов, рациональной эксплуатации их без недогрузки и работы вхолостую. Эти и некоторые другие меры уменьшения реактивной мощности, связанные с выбором и эксплуатацией электрооборудования, называют естественными.
В тех случаях, когда естественные меры не могут обеспечить оптимальной величины реактивной мощности установки, принимают искусственные меры для ее компенсации.
Одной из таких мер является включение параллельно к приемникам батареи конденсаторов.
Для определения мощности и емкости батареи конденсаторов должны быть известны величины напряжения сети U, реактивной мощности установки до компенсации (Q1) и после компенсации (Q2).
Можно установить батарею конденсаторов мощностью QC = Q1, тогда Q2 = 0. Полная компенсация реактивной мощности освобождает полностью сеть от реактивного тока.
Однако технико-экономические расчеты показывают, что полная компенсация в большинстве случаев не является оптимальным решением вопроса, так как компенсационное устройство оказывается более сложным и дорогим, чем при некоторой оптимальной величине реактивной мощности Q2, которую определяют на основе технико-экономического сопоставления вариантов (Определение оптимальной величины Q2, выбор вида компенсирующего устройства и места его установки в сети рассматриваются в специальных курсах).
Мощность батареи конденсаторов
а емкость
Рис. 17.7. К вопросу о компенсации реактивной мощности
Сущность компенсации реактивной мощности с помощью конденсаторов видна из векторной диаграммы (рис. 17.7, б), построенной для схемы (рис. 17.7, а), на которой параллельно приемнику, например асинхронному двигателю (группе двигателей), может быть включена конденсаторная батарея. До включения конденсаторов ток в подводящих проводах Iд отстает по фазе от напряжения на угол φ1. После включения батареи реактивная составляющая I1р тока двигателя частично компенсируется емкостным током IC, в связи с чем ток в подводящих проводах уменьшается до I, а угол сдвига фаз — до φ2 (в обменном энергетическом процессе между генератором и приемником участвует меньшее количество электромагнитной энергии).
Активная составляющая тока в проводах не изменяется, следовательно, по активной мощности режим цепи остается прежним:
Ток батареи конденсаторов имеет величину
где Р — активная мощность приемника (в данном случае двигателя);
Емкость батареи конденсаторов
Мощность батареи конденсаторов
Нетрудно заметить, что мощность конденсаторов можно найти, не подсчитывая тока IC:
Задача 17.7.
К трансформатору номинальной мощностью 
и номинальным напряжением 220 В подключена группа электродвигателей, общая активная мощность которых 
при частоте 
(рис. 17.8, а). Если параллельно группе двигателей включить батарею конденсаторов, реактивная мощность установки (двигатели — батарея конденсаторов) уменьшится и соответственно уменьшится нагрузка трансформатора.
Определить емкость и мощность батареи конденсаторов и дополнительную осветительную нагрузку, которые нужно подключить к трансформатору так, чтобы реактивная мощность установки уменьшилась до величины, при которой коэффициент мощности 
при полной загрузке трансформатора.
Определить емкость и мощность батареи конденсаторов в том случае, когда 
при отсутствии дополнительной осветительной нагрузки.
Решение. 1. В первоначальном режиме трансформатор был загружен до номинальной мощности
Дополнительную осветительную нагрузку можно присоединить только за счет разгрузки трансформатора от части реактивной мощности путем включения батареи конденсаторов.
Согласно условию задачи, трансформатор после компенсации части реактивной мощности остается полностью загруженным, следовательно, при неизменном напряжении ток трансформатора должен остаться прежним: 
Рис. 17.8. К задаче 17.7
Из векторной диаграммы (рис. 17.8, б) следует выражение для тока конденсатора:
при 
при 
Ток установки до компенсации реактивной мощности
Ток батареи конденсаторов
Емкость батареи конденсаторов
Мощность батареи конденсаторов
Активный ток дополнительной осветительной нагрузки
Мощность осветительной нагрузки
2. При отсутствии дополнительной осветительной нагрузки необходимый ток в батарее конденсаторов (рис. 17.8, в)
Емкость батареи конденсаторов
Мощность батареи конденсаторов
- Трехфазные симметричные цепи
- Трехфазные несимметричные цепи
- Вращающееся магнитное поле
- Электрические цепи синусоидального тока
- Соединение звездой и треугольником в трехфазных цепях
- Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
- Метод симметричных составляющих
- Цепи периодического несинусоидального тока
Что такое резонанс токов и как он возникает
Содержание
- 1 Суть процессов, происходящих при резонансе
- 2 Частотное условие для возникновения РТ
- 3 Расчёт месторасположения частотной точки при РТ
- 4 Как влияет напряжение
- 5 Изменения тока, протекающего в последовательном контуре
- 6 Видео по теме
Следует отметить, что такое явление, как резонанс токов наблюдается только в электрических цепях, которые работают с переменным током. В ней обязательно должны присутствовать элементы индуктивности и ёмкости. В сильноточных электрических контурах режим резонанса распространения не получил, но он активно реализуется в системах современной звукозаписывающей и звуковоспроизводящей техники, поскольку позволяет значительно улучшить частотные характеристики выходного аудиосигнала, не увеличивая мощность исходных компонентов.
Суть процессов, происходящих при резонансе
Резонанс токов и напряжений — процесс, в результате которого происходит усиление амплитуды сигнала. При этом резонанс токов (РТ) является более действенный способом управления, поскольку даже при незначительном росте данного параметра электроцепи амплитуда сигнала существенно увеличивается. Резонанс напряжений подобного эффекта вызвать не может, даже после заметного усложнения схемы устройства.
Резонанс токов возникает в электрической цепи переменного тока, для которой частота электропитания обеспечивает одинаковое значение напряжения на основных элементах схемы — катушке индуктивности L, конденсаторе C и резисторе R. При этом фазы напряжений противоположны. Показатели частотности контура варьируются вследствие изменения абсолютных значений частоты. Таким образом, резонансом тока пользуются, если возникает необходимость создания определённой частотной характеристики конкретного участка цепи.
Условия возникновения резонанса электротоков могут быть реализованы лишь при параллельном соединении катушки индуктивности, конденсатора и резистора. Основные признаки резонанса — это равенство резонансной частоты и частоты источника электротока или индуктивной и емкостной проводимости BL=BC.
Изучая, что такое резонанс токов, следует понимать, что общий ток в электроцепи представляет собой сумму токов в ее разветвлениях. В индуктивной ветви электроток отстает от электронапряжения на ¼ периода, а в емкостной ветви, наоборот, электроток опережает электронапряжение на ¼ периода. Следовательно, электротоки в ветвях сдвинуты по фазе относительно друг друга на ½ периода, то есть пребывают в противофазе. Вектор общего электротока в колебательном контуре равен геометрической сумме векторов элетротоков в каждой из ветвей.
Следовательно, значение модуля электротока определяется так:
Частотное условие для возникновения РТ
В цепи синусоидального тока, которая содержит R, L и C компоненты, можно получить режим, когда показатель индуктивного сопротивления оказывается идентичным по своему значению показателю емкостного сопротивления. Другими словами, XL=XC . Место, где это происходит, называется точкой формирования резонансной частоты (ƒr) электроцепи. Наличие такой точки — это непременное условие резонанса токов.
Резонанс может быть двух видов:
- последовательный;
- параллельный.
Последовательный тип резонанса отличается минимальным сопротивлением при нулевой фазе. Параллельный резонанс появляется при равных по величине сопротивлениях на индуктивности и емкости, но компенсирующих друг друга, поскольку являются противоположно направленными. Параллельный тип более распространён и часто встречается в различных электрических, радиотехнических и электронных устройствах, например, в:
- фильтрующих узлах систем переменного электротока;
- фильтрах, предназначенных для целей шумоподавления;
- настроечных системах радиотелевизионных передающих центров.
Параллельный колебательный контур называют также RLC-контуром. Это связано с аббревиатурой физических величин, свойственных элементам, составляющих данный контур — сопротивления, индуктивности и емкости. Он характеризуется следующими особенностями.
При росте показателей индуктивности или частотных характеристик сигнала суммарное значение индуктивного сопротивления увеличивается. В том случае, когда показатель частоты стремится к бесконечности, реактивное сопротивление индукторов резко возрастает, а участок схемы, где это происходит, ведёт себя как разомкнутая цепь. Однако в противоположном случае может возникнуть обратный эффект, проявляющийся в форме короткого замыкания при нулевом сопротивлении. Это происходит, если катушка индуктивности имеет сопротивление:
- Пропорциональное изменению частотной характеристики.
- Слабо реагирующее на изменения в области низких частот.
- Сильно реагирующее на изменения в области высоких частот.
В таких случаях значение индуктивного (реактивного) сопротивления катушки увеличивается прямо пропорционально росту частотной характеристики. Подобный же эффект наблюдается и на конденсаторе, но в обратной последовательности. Если требуется изменить (увеличить) параметры контура, тогда уменьшают значение емкостного сопротивления.
Если частота электроцепи приближается к бесконечности, то сопротивление на конденсаторах практически принимает нулевое значение. В результате данные компоненты устройства превращаются в стопроцентные проводники переменного тока с сопротивлением равным нулю. Однако при этом происходит мгновенный рост реактивной составляющей сопротивления, и контур становится разомкнутым.
Суммируя, можно придти к заключению, что реактивное сопротивление конденсатора изменяется обратно изменению частоты, причём номинальная ёмкость компонента значения не имеет.
Зависимость значений сопротивления конденсатора от частоты электроцепи представляет собой гиперболическую функцию. При низких значениях частот реактивное сопротивление конденсатора велико, но в случае роста частотной характеристики оно стремительно снижается. Отсюда можно сделать вывод, что значение сопротивления конденсатора зависит от частоты обратно пропорционально.
На выше приведенных графиках видно, что при более высокой частоте наблюдается максимум XL, а при низкой — максимум XC. Следовательно, резонанс появляется при условии, что изменения двух противоположных, но равных по своему значению реактивных сопротивлений, накладываясь друг на друга, нивелируют возникающие особенности прохождения переменного тока слабой мощности, т. е. наблюдается условие XL=XC.
Расчёт месторасположения частотной точки при РТ
Последовательность вычислений приведена ниже:
В случае появления РТ происходит математическое уравновешивание значений реактивных сопротивлений, т. е. справедливым является равенство XL–X C=0. Комбинируя индуктивное и емкостное сопротивление, в цепи можно вызвать короткое замыкание (из-за малой мощности тока разрушения контура обычно не происходит). Сдерживающим фактором считается наличие ненулевого общего сопротивления R электрической цепи, которое называют импедансом.
Для контуров переменного электрического тока сопротивление рассматривают в комплексной форме. В этом случае полное сопротивление цепи, которая содержит активное сопротивление, емкость и индуктивность, представляет собой действительную, а не мнимую часть. Приняв это допущение, импеданс электрической цепи в случае резонансной частоты равен величине активного сопротивления: Z=R.
При РТ импеданс минимален, поэтому понятие полного сопротивления цепи иногда называют динамическим. С преобладанием высоких частот импеданс зависит преимущественно от XC, а при низких — от XL.
Важно, что в ситуации, когда контур содержит компоненты, имеющие емкостное сопротивление, кривая зависимости полного сопротивления от частоты переменного тока всегда отображается в форме гиперболы. Функция может быть несимметричной относительно fr, если влияние индуктивности велико.
В том случае, когда полное сопротивление цепи имеет минимальное значение (а это часто отмечается именно при резонансе токов), проводимость участка приобретает своё наибольшее значение. На практике возникновение подобных ситуаций может привести к опасному явлению, когда РТ многократно увеличивает ток. Устройство при этом, скорее всего, выйдет из строя.
Как влияет напряжение
В последовательном контуре цепи переменного тока напряжение определяется в результате векторного суммирования значений VR, VL и VC. При этом сумма каждых двух из определяемых значений напряжения представляется с поворотом осей на 90 градусов, причём по и против часовой стрелки. Если справедливо равенство VL=–VC, то конечные значения реактивных напряжений снимаются, поэтому напряжение от источника питания поступает исключительно на активное сопротивление. Другие изменения, когда короткое замыкание присутствует (справа) и отсутствует (слева), ясны из рисунка, приведенного ниже.
Ток, который проходит в работающем последовательном контуре, определяется как сумма произведений напряжения, отнесённого к значениям импеданса. В случае резонанса токов значение импеданса минимально. Поэтому РТ в отличие от резонанса электронапряжений является безопасным для электроустановок. Электротоки большой величины возможны в ветвях лишь при наличии больших реактивных проводимостей, то есть, в случае использования больших батарей конденсаторов, мощных реактивных катушек. Ничего необычного в этом нет, поскольку электротоки в ветвях взаимно независимы, их определение основывается на законе Ома.
Изменения тока, протекающего в последовательном контуре
Амплитуда силы тока при резонансе в последовательном контуре является максимальной.
Рассматривая частотную характеристику последовательного резонансного контура, становится ясно, что фактическая величина тока в условиях РТ функционально зависит от ƒr. Вначале ток минимален, при IMAX =IR достигает наибольшего значения, а далее, когда значение ƒr стремится к своему максимальному показателю, вновь уменьшается.
Как следствие, фактическое значение напряжения на обмотках катушки индуктивности L и на пластинах конденсатора C может быть во много раз выше, чем напряжение, которое вырабатывается источником питания. Но при резонансе эти напряжения равны и направлены противоположно друг другу. Поэтому происходит суперпозиция напряжений, что обуславливает возможность практического применения резонанса токов в радиоэлектронных устройствах. Вместе с тем надо помнить, что последовательный резонансный контур действителен лишь для определённых значений ƒr.
Значение наибольшего напряжения в последовательной цепи переменного тока обязательно должно согласовываться с током по фазе. Фазовый угол между напряжением зависит от частоты, если напряжение питания неизменно, а для точки ƒr вообще равен нулю. Соответственно, мощность устройства будет наибольшей.
Определить направление фазового угла можно по текущему значению частоты: если ƒ>ƒr, то фазовый угол следует отсчитывать против часовой стрелки, в противном случае (ƒ<ƒr) — по часовой стрелке.
Когда RLC-цепь управляется от источника с постоянным напряжением, то фактическое значение тока линейно зависит только от полного сопротивления цепи. Таким образом, важным следствием резонанса токов является наибольшее значение мощности, которая требуется для работы устройства. При этом образуются две точки, которые называются точками половинной мощности. Для устройств, занимающихся формированием и обработкой аудиосигналов, эти точки располагаются в зонах, отстоящих на 3 дБ от наибольших частотных границ. При этом в качестве оси симметрии принимают линию, соответствующую 0 дБ.
Для половинной мощности параметр ƒL носит название нижней границы, а ƒН — верхней. Диапазон между этими точками представляет так называемую полосу пропускания (BW). Практически полоса пропускания — это интервал, где реализуется не менее 50% от наибольшей мощности устройства.
Видео по теме
Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные
и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость)
вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи
с входным напряжением.
Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)
Для цепи на рис.1 имеет место
где
 ; |
(1) |
 . |
(2) |
В зависимости от соотношения величин 
и 
возможны три различных случая.
1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. 
, а следовательно,
. Этому режиму соответствует векторная
диаграмма на рис. 2,а.
2.В цепи преобладает емкость, т.е. 
, а значит, 
. Этот случай отражает векторная
диаграмма на рис. 2,б.
3. 
— случай резонанса напряжений
(рис. 2,в).
Условие резонанса напряжений
 . |
(3) |
При этом, как следует из (1) и (2), 
.
При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает.
В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно
возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах,
которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.
Пусть, например, в цепи на рис. 1 
. Тогда 
, и, соответственно, 
.
Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике.
Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие
появления больших перенапряжений и сверхтоков.
Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между
магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем
сумма энергий полей остается постоянной.
Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных
элементов. Действительно, в этом случае 
, и соотношение (3) выполняется
для эквивалентных значений LЭ и CЭ .
Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем
изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной
частоты можно записать
 . |
(4) |
Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты.
В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); 
и 
для цепи на рис. 1 при U=const.
Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q,
определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному
напряжению:
 , |
(5) |
— и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности
его полосу пропускания 
.
Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление,
связанное с добротностью соотношением
 , |
(6) |
или с учетом (4) и (5) для 
можно записать:
 . |
(7) |
Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)
Для цепи рис. 4 имеем
,
где
 ; |
(8) |
 . |
(9) |
В зависимости от соотношения величин 
и 
, как и в рассмотренном выше случае
последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.
В цепи преобладает индуктивность, т.е. 
, а следовательно, 
. Этому режиму соответствует векторная
диаграмма на рис. 5,а.
В цепи преобладает емкость, т.е. 
, а значит, 
. Этот случай иллюстрирует векторная
диаграмма на рис. 5,б.
— случай резонанса токов (рис.
5,в).
Условие резонанса токов 
или
 . |
(10) |
При этом, как следует из (8) и (9), 
. Таким образом, при резонансе
токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот,
максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное
сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе
токов ток на входе цепи минимален.
Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная
частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение
(4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с
последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.
При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в
общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить
из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.
Например, для цепи на рис. 6 имеем
Поскольку в режиме резонанса мнимая часть 
должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет
вид
,
откуда, в частности, находится резонансная частота.
Резонанс в сложной цепи
Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных
и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного
сопротивления 
или входной проводимости 
, определяет наличие у соответствующих
этому условию уравнений относительно 
нескольких вещественных корней,
т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.
При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое
выражение его входного реактивного сопротивления 
или входной реактивной проводимости
следует представить в виде отношения
двух полиномов по степеням 
, т.е. 
или 
. Тогда корни уравнения 
дадут значения частот, которые
соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения 
— значения частот, при которых
возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу
меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной
путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным
числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов
напряжений и токов чередуются.
В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение
входного сопротивления данной цепи имеет вид
Из решения уравнения 
получаем частоту 
, соответствующую резонансу напряжений,
а из решения уравнения 
— частоту 
, соответствующую резонансу токов.
Литература
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. - Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические
цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных
специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
- Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?
- Что такое резонанс токов, чем он характеризуется?
- В чем физическая сущность резонансных режимов?
- На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?
- В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту
и добротность контура. - Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось
соотношение
? - Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор
С3 заменен на резистор R3.
Ответ: 
.
?Ответ: 
.
Резонансные явления наблюдаются в колебательных системах, когда частота собственных колебаний элементов системы совпадает с частотой внешних (вынужденных) колебательных процессов. Данное утверждение справедливо и для цепей с циркулирующим переменным током. В таких электрических цепях при наличии определённых условий возникает резонанс напряжений, что влияет на параметры тока. Явление резонанса в электротехнике может быть полезным или вредным, в зависимости от ситуации, в которой происходит процесс.
Описание явления
Если в некой электрической цепи (см. рис. 1) имеются ёмкостные и индуктивные элементы, которые обладают собственными резонансными частотами, то при совпадении этих частот амплитуда колебаний резко возрастёт. То есть происходит резкий всплеск напряжений на этих элементах. Это может вызвать разрушение элементов электрической цепи.
Давайте рассмотрим на этом примере, какие явления будут происходить при подключении генератора переменного тока к контактам схемы. Заметим, что катушки и конденсаторы обладают свойствами, которые можно сравнить с аналогом реактивного резистора. В частности, дроссель в электрической цепи создаёт индуктивное сопротивление. Конденсатор является причиной ёмкостного сопротивления.
Индуктивный элемент вызывает сдвиг фаз, характеризующийся отставанием тока от напряжения на ¼ периода. Под действием конденсатора ток, наоборот, на ¼ периода опережает напряжение.
Другими словами, действие индуктивности противоположно действию на сдвиг фаз ёмкостного сопротивления. То есть катушки индуктивности и ёмкостные элементы по-разному воздействуют на генератор и по-своему корректируют фазовые соотношения между электрическим током и напряжением.
Формула
Общее реактивное сопротивление рассматриваемых нами элементов равно сумме сопротивлений каждого из них. С учётом противоположности действий можно записать: Xобщ = XL — Xc , где XL = ωL — индуктивное реактивное сопротивление, выражение Xc = 1/ωC — это ёмкостное реактивное сопротивление.
На рисунке 2 изображены графики зависимости полного сопротивления цепи и связанной с ним силы тока, от реактивного сопротивления индуктивного элемента. Обратите внимание на то, как падает полное сопротивление при уменьшении реактивной сопротивляемости RL (график б) и как при этом возрастает ток (график в).
Электрические цепи, состоящие из последовательно соединённых конденсаторов, пассивный резисторов и катушек индуктивности называют последовательными резонансными (колебательными) контурами (см. рис. 2). Существуют также параллельные контуры, в которых R, L, C элементы подключены параллельно (рис. 3).
В режиме резонанса мощность источника питания будет рассеиваться только на активных сопротивлениях (в том числе на активном сопротивлении катушки). Для резонансных контуров характерны потери только активной мощности, которая израсходуется на поддержание колебательного процесса. Реактивная мощность на L C — элементах при этом не расходуется. Ток в резонансном режиме принимает максимальное значение:
Величину Q принято называть термином «Добротность контура». Данный параметр показывает, во сколько раз напряжение, возникшее на контактах реактивных элементов, превышает входное напряжение U электрической сети. Для описания соотношения выходного и входного напряжений часто применяют коэффициент K. При резонансе:
K = Uвых / Uвх = UC0 / U = Q
Формулировка
На основании вышеописанных явлений, сформулируем определение резонансного напряжения: «Если общее падение напряжения на ёмкостно-индуктивных элементах равно нулю, а амплитуда тока – максимальна, то такое особое состояние системы называется резонансом напряжений». Для лучшего понимания явления, немного перефразируем определение: резонансом напряжений является состояние, когда напряжение на CL — цепочке больше чем на входе электрической цепи.
Описанное явление довольно распространено в электротехнике. Иногда с ним борются, а иногда специально создают условия для образования резонанса. Основными характеристиками всякого резонансного контура являются параметры добротности и частоты [ 1 ].
В случае, если XL = Xc – справедливо равенство: ωL = 1/ωC , отсюда получаем:
Если ω = ω0 – возникает резонанс напряжений. Частоты совпадают в том случае, когда индуктивное сопротивление сравняется с ёмкостным сопротивлением конденсатора. В таких случаях в цепи будет действовать только активное сопротивление R. Наличие реактивных элементов в схеме приводит к увеличению полного сопротивления цепи (Z):
где R – общее активное сопротивление.
Учитывая, что по закону Ома U = I/Z, можно утверждать, что общее напряжение в цепи зависит, в том числе, и от слагаемых индуктивного и ёмкостного сопротивлений.
Если бы в рассматриваемой схеме (рис. 1) отсутствовало активное сопротивление R, то значение полного сопротивления Z стремилось бы к 0. Следовательно, напряжение на реактивных элементах при этом возрастает до критического уровня.
Поскольку XL и Xc зависят от частоты входного напряжения, то для возникновения резонанса следует подобрать соответствующую частоту сети, или изменять параметры катушки, либо конденсатора до тех пор, пока резонансные частоты не совпадут. Любое нарушение условий резонанса немедленно приводит к выходу системы из резонансного режима с последующим падением напряжения.
Условия наступления
Резонансные явления наступают только при наличии следующих условий:
- Наличие минимального активного сопротивления на участке электрической цепи.
- Равенство реактивных сопротивлений, возникших на цепочке LC.
- Совпадение входной частоты источника питания с резонансной частотой колебательного контура.
При резонансе в контуре напряжения на его элементах могут повышаться на порядок и больше.
Примеры применения на практике
Классическим примером применения резонанса колебательных контуров является настройка радиоприёмника на частоту соответствующей радиостанции. В качестве рабочего элемента настроечного узла используется конденсатор с регулируемой ёмкостью. Вращение ручки настройки изменяет ёмкость конденсатора, а значит и резонансную частоту контура.
В момент совпадения резонансной частоты с рабочей частотой какой-либо радиостанции возникает резонанс напряжений, в результате которого резко возрастает амплитуда колебаний принятой радиоприёмником частоты. Специальные фильтры отделяют эти колебания от несущих радиочастот, а усилители усиливают полученные сигналы. В динамике появляются звуки, генерируемые передатчиком радиостанции.
Колебательные контуры, построенные на принципе последовательного соединения LC-элементов, применяются в цепях питания высокоомных нагрузок, потребляющих токи повышенного напряжения. Такие же устройства применяют в полосовых фильтрах.
Последовательный резонанс применяют при пониженных напряжениях сети. В этом случае используют реактивную энергию обмоток трансформатора, соединённых последовательно.
Конденсаторы и различные катушки индуктивности (рис. 5) входят в конструкцию практически всех аналоговых устройств. Они используются для настройки фильтров или для управления токами в отдельных узлах.
Важно знать, что резонансные контуры не увеличивают количество электрической энергии в цепях. Они лишь могут повышать напряжения, иногда до опасных значений. Постоянный ток не причиной резонансных явлений.
Наряду с полезными свойствами резонансных явлений, в практической электротехнике часто возникают ситуации, когда резонанс напряжений приносит вред. В основном это связано с нежелательным повышением параметров тока на участках цепей. Примером могут служить опасное резонансные явления в кабельных линиях без нагрузки, что может привести к пробоям изоляции. Чтобы этого не случилось, на концевых участках таких линий устанавливают балластные нагрузочные элементы.