Лабораторная
работа № 5
ИССЛЕДОВАНИЕ
ПРОСТЕЙШИХ ФИЛЬТРОВ
Цель
работы: изучение
свойств, приобретение практических
навыков по расчету и моделированию
простейших фильтров.
Работа выполняется
в системе моделирования MicroCAP.
В работе необходимо определить частотные
характеристики простейших пассивных
фильтров.
Теоретическая
часть
Простейшие электрические фильтры
Электрические
фильтры — это устройства, которые
пропускают на выход сигналы одних частот
и не пропускают сигналы других частот.
По виду АЧХ фильтры разделяются на
фильтры нижних частот (НЧ), верхних
частот (ВЧ), полосовые фильтры (ПЧ) и др.
Ф
ильтры
нижних частот (НЧ). Фильтр нижних
частот без изменения передает сигнал
нижних частот, включая и нулевую частоту
(постоянный сигнал), а на высоких частотах
обеспечивает затухание сигналов. На
рис.3,а изображена схема простого фильтра
НЧ. Сопротивление емкости С зависит от
частоты входного сигнала и равно ХС
= 1 / ωC . Емкость С вместе
с резистором R образуют
делитель напряжения. Для частоты ω = 0
сопротивление емкости равно бесконечности.
И весь сигнал со входа схемы поступает
на выход. С увеличением частоты
сопротивление емкости уменьшается и
все большая его часть будет замыкаться
на землю. И в пределе, когда ω = ∞,
сопротивление емкости будет равно 0,
напряжение на выходе также будет равно
0. Таким образом, схема обладает свойствами
фильтра НЧ.
Для расчета частотной характеристики
схемы воспользуемся методом комплексных
амплитуд. По схеме рис.3,б, используя
формулу для делителя напряжения, найдем
выходной сигнал
.
Отсюда найдем комплексный коэффициент
передачи
,
где Т = RC – постоянная
времени RC – цепочки.
АЧХ представляет
собой модуль комплексного коэффициента
передачи
,
а ФЧХ аргумент
комплексного коэффициента передачи
.
.
На рис.4 показаны
частотные характеристики ФНЧ для R
= 1 кОм, и С = 1 мкФ.
На
АЧХ фильтра можно выделить три области
частот: полосу пропускания, переходную
область, и полосу подавления сигнала.
В полосе пропускания допускается
снижение коэффициента передачи в
раза. На АЧХ такое уменьшение коэффициента
передачи происходит на частое 158,489 ≈
159 Гц. Частота, на которой коэффициент
передачи уменьшается в
раз, называется частотой
среза.
Частота среза разделяет область
пропускания фильтра от переходной
области. Полоса пропускания фильтра НЧ
лежит от 0 Гц до частоты среза fc.
Частота среза RC
–фильтра НЧ равна fc.=
1/ 2πRC
или круговая частота среза ωс
= 1/RC
= 1 / T.
В этом легко убедиться, если в формулу
АЧХ фильтра вместо ω подставить ωс
= 1/RC,
то получим
,
что означает, что на частоте ωс
= 1/RC
коэффициент передачи уменьшился в
раз.
Частота, которая
разделяет переходную область фильтра
от полосы подавления сигнала, не
нормируется. Она определяется в
зависимости от требований, предъявляемых
к АЧХ фильтра в конкретном применении.
Для сравнения различных фильтров эта
частота иногда определяется на уровне
0,01 от коэффициента передачи на нулевой
частоте.
Обычно АЧХ необходимо анализировать
в широком диапазоне частот, например
для операционного усилителя широкого
применения, от единиц Гц до десятков
МГц. В этом случае удобно ось частот
представлять в логарифмическом масштабе
lag f или
lag, как показано на графике
на рис. 4. Коэффициент передачи при этом
измеряется в обычном линейном масштабе.
Однако, если коэффициент передачи
(усиления) изменяется в очень широких
пределах, как, например, в операционном
усилителе, то его удобно выражать в
логарифмическом масштабе:
L(ω) =
20lg A.
Единицы измерения – децибелы (дБ),
десятая часть бела. Зависимость
коэффициента усиления от частоты
входного сигнала в логарифмическом
масштабе называется логарифмической
амплитудно-частотной характеристикой
(ЛАЧХ).
Что собой представляет единица измерения
бел, и почему коэффициент перед логарифмом
равен 20, а не 10 как следовало бы ожидать.
Единица измерения 1 бел соответствует
отношению мощностей в 10 раз:
1 Б = P2
/ P1 =
10.
Так как 1 Белл – это очень большая
величина, то на практике используют
более мелкие величины децибелы (в одном
беле содержится 10 дБ). Поэтому в
коэффициенте усиления по мощности
коэффициент пропорциональности равен
10:
Lap
= 10 lag P2 /
P1.
Но у нас
коэффициент усиления, это отношение
амплитуд токов или напряжений. А для
токов и напряжений мощность пропорциональна
квадрату токов или напряжений
P = UI = U2/R
= I2R.
При отношении амплитуд в 10 раз мощность
увеличивается в 100 раз, т.е. на 2 бела или
на 20 децибел:
U2/U1
= 10, P2/P1
= (U2/U1)2
= (10)2
= 100.
Поэтому в формуле для логарифмического
коэффициента усиления появился множитель
20 , а не 10.
Логарифмические единицы удобны еще
тем, что если известны коэффициенты
усиления отдельных каскадов или узлов
усилителя и общий коэффициент усиления
равен произведению этих коэффициентов,
то в логарифмическом масштабе коэффициент
усиления находят как алгебраическую
сумму логарифмических коэффициентов
усиления отдельных каскадов.
На рис.5 представлена ЛАЧХ RC
фильтра НЧ, которая была рассмотрена
ранее.
Частота
среза фильтра определяется на уровне
-3 дБ от максимального значения коэффициента
усиления в полосе пропускания. Это видно
из показаний слайдера правого курсора.
Величина – 3 дБ в логарифмическом
масштабе соответствует коэффициенту
усиления
в линейном масштабе, то есть L
= 20lg 0,707 = -3 дБ. Из ЛАЧХ
хорошо видно как подавляется сигнал на
высоких частотах. Так на частоте 10 кГц
логарифмический коэффициент усиления
почти равен – 40 дБ, что соответствует
значению 0,01 в линейном масштабе.
Попробуйте определить коэффициент
усиления на этой частоте по АЧХ на рис.4.
Фазочастотные
характеристики в обоих случаях строятся
в линейном масштабе. Из фазочастотных
характеристик видно, что наибольшее
изменение фазы происходит на частоте
среза фильтра.
Фильтры верхних частот (ВЧ). Фильтр
верхних частот без изменения передает
сигнал верхних частот, а на низких
частотах обеспечивает затухание сигнала.
Схема простого RC фильтра
верхних частот представлена на рис. 6.
Аналогично, как и для фильтра нижних
частот найдем выходной сигнал
.
Отсюда найдем комплексный коэффициент
передачи
,
где Т = RC – постоянная
времени RC – цепочки.
АЧХ представляет
собой модуль комплексного коэффициента
передачи
,
а ФЧХ аргумент
комплексного коэффициента передачи
.
На рис. 7. Показаны
частотные характеристики фильтра ВЧ (
R = 1 кОм, и С = 1 мкФ)в
логарифмическом масштабе.
Частота среза
фильтра определяется также, как и для
фильтра НЧ и равна
ωс = 1/RC
= 1 / T или fc.=
1/ 2πRC = 1/( 6,28 ּ1
кОм ּ1 мкФ ) = 159 Гц. На
графике АЧХ частота среза определяется
на уровне – 3 дБ от максимального значения
коэффициента усиления. Положение левого
курсора определяет частоту среза, так
как разность между показаниями
коэффициента усиления правого и левого
курсора равна 3,019 ≈ 3 дБ.
П
олосовой
фильтр. Соединяя последовательно
фильтр верхних и низких частот с
перекрывающимися амплитудно-частотными
характеристиками можно получить
полосовой фильтр. Полосовой фильтр
пропускает сигнал в некоторой полосе
частот и подавляет сигнал на низких и
высоких частотах. На рис 8. показана
схема полосового фильтра.
Найдем комплексный коэффициент усиления
схемы.
.
Введем обозначение
ωRC = Ω. Раскрывая скобки,
получим
Комплексный
коэффициент усиления равен
.
АЧХ представляет
собой модуль комплексного коэффициента
передачи
,
ФЧХ определяется из
выражения
.
Коэффициент
максимальный при Ω = 1. Следовательно,
резонансная частота f0
= 1/ 2πRC. Коэффициент усиления
на резонансной частоте равен A(f0)
= 1/3, а фазовый сдвиг равен 0.
На рис.9 приведены
частотные характеристики полосового
фильтра при R=1 кОм и С = 1
мкФ.
Резонансная
частота фильтра равна 159,591 Гц. АЧХ
полосового фильтра имеет две частоты
среза, которые располагаются слева и
справа от резонансной частоты f0,
и также определяются на уровне – 3 дБ
относительно максимального значения
коэффициента усиления.
2. Задание
и порядок выполнения
Согласно вашего
варианта, рассчитайте фильтры нижних,
верхних частот и полосовой фильтр.
Расчет заключается в определении величин
конденсаторов и сопротивлений при
заданной частоте среза для фильтров
нижних и верхних частот и центральной
частоты для полосового фильтра. При
расчете необходимо задаться величиной
емкости конденсатора и из соответствующих
формул для частот среза и центральной
частоты найти величины сопротивлений.
Величины емкостей и сопротивлений
должны быть физически реализуемыми.
Для расчета
фильтров нижних и верхних частот
используйте формулу fc.=
1/ 2πRC, а для полосового
фильтра f0 = 1/ 2πRC.
Варианты заданий возьмите из таблицы.
В системе
моделирования MicroCAP
определите частотные характеристики
фильтров.
В режиме Scope
определите частоты среза фильтров
верхних и нижних частот, для полосового
фильтра определите центральную частоту,
частоты среза и добротность. Сравните
полученные частоты среза и центральную
частоту фильтров с заданными значениями
и сделайте выводы о правильности расчета.
|
Таблица |
||
|
№ варианта |
fc, |
f0, |
|
1 |
1 |
25 |
|
2 |
2 |
24 |
|
3 |
3 |
23 |
|
4 |
4 |
22 |
|
5 |
5 |
21 |
|
6 |
6 |
20 |
|
7 |
7 |
19 |
|
8 |
8 |
18 |
|
9 |
9 |
17 |
|
10 |
10 |
16 |
|
11 |
11 |
15 |
|
12 |
12 |
14 |
|
13 |
13 |
13 |
|
14 |
14 |
12 |
|
15 |
15 |
11 |
|
16 |
16 |
10 |
|
17 |
17 |
9 |
|
18 |
18 |
8 |
|
19 |
19 |
7 |
|
20 |
20 |
6 |
|
21 |
21 |
5 |
|
22 |
22 |
4 |
|
23 |
23 |
3 |
|
24 |
24 |
2 |
|
25 |
25 |
1 |
-
Содержание
отчета
-
привести
схемы проведения экспериментов; -
привести
формулы и результаты расчетов; -
привести
необходимые графики, полученные при
моделировании; -
ответить
на поставленные вопросы; -
сделать
выводы.
-
Контрольные
вопросы
-
Что такое
электрический фильтр? -
Что такое
комплексный коэффициент усиления и
как его получить -
Нарисуйте
схему простейшего фильтра нижних
частот. -
Как определить
частоту среза фильтра? -
Нарисуйте
АЧХ фильтра ВЧ. -
Нарисуйте
схему простейшего фильтра верхних
частот. -
Как определить
частоту среза фильтра? -
Нарисуйте
АЧХ фильтра ВЧ. -
Приведите
формулы для определения частоты среза
фильтров НЧ и ВЧ. -
Нарисуйте
схему простейшего полосового фильтра. -
Как определить
частоту среза полосового фильтра? -
Нарисуйте
АЧХ полосового фильтра. Чему равен
коэффициент передачи полосового фильтра
на частоте f0? -
Приведите
формулы для определения центральной
частоты полосового фильтра. -
Что такое
добротность полосового фильтра и как
ее определить? -
Что такое
полоса пропускания, переходная область
и полоса подавления фильтра? -
Как выражается
амплитудночастотная характеристика
в логарифмическом масштабе? -
Нарисуйте
ЛАЧХ фильтров НЧ, ВЧ и полосового
фильтра. -
Как определить
частоту среза фильтров по АЧХ в
логарифмическом масштабе?
Соседние файлы в папке Lab_rab_12_13
- #
- #
- #
- #
- #
Перейти к содержимому
Частота среза — частота, на которой частотная характеристика пересекает 0 дБ.
Частота сопряжения — частота, на которой частотная характеристика меняет наклон.
Эти понятия относятся к теории автоматического управления. Частота среза используется при анализе устойчивости системы управления. Чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы фаза разомкнутой системы не достигала −180° на частоте среза.
Частота среза имеет другое определение в обработке сигналов. Там под частотой среза подразумевают частоту сопряжения, а понятием частота сопряжения не пользуются. В обработке сигналов нет необходимости анализировать устойчивость системы.
Понятия раскрываются в книге Бесекерского и Попова «Теория систем автоматического регулирования» 2003 года. Приведу пару цитат, где вводятся эти понятия.
Первая цитата со страницы 59:
Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (осью частот) можно найти, положив L(ω)=0 или, соответственно, A(ω)=1. Отсюда получаем так называемую частоту среза л. а. х.,
При этом в книге частота среза обозначается как ωср.
На странице 66 описывается апериодическое звено первого порядка:
Наиболее просто, практически без вычислительной работы, строится так называемая асимптотическая л. а. х. На стандартной сетке проводится вертикальная прямая через точку с частотой, называемой сопрягающей частотой ω=1/T.
При чем эта «вертикальная прямая» проводится в точке изменения наклона частотной характеристики.
Скриншот этой страницы с полным описанием:
Фильтры нижних и высших частот
Фильтр нижних частот (ФНЧ) — электрическая цепь, эффективно пропускающая частотный спектр сигнала ниже определённой частоты, называемой частотой среза, и подавляющая сигнал выше этой частоты.
Фильтр высших частот (ФВЧ) — электрическая цепь, эффективно пропускающая частотный спектр сигнала выше частоты среза, и подавляющая сигнал ниже этой частоты.
Рассмотрим в качестве фильтра простейшую цепь RC, принцип работы которой основан на зависимости реактивного сопротивления конденсатора от частоты сигнала.
Если к источнику переменного синусоидального напряжения U частотой f подключить последовательно резистор сопротивлением
R и конденсатор ёмкостью C, падение напряжения на каждом из элементов можно вычислить
исходя из коэффициента деления с импедансом Z.
Импеданс — комплексное (полное) сопротивление цепи для гармонического сигнала.
Z² = R² + X² ; Z = √(R² + X²) , где Х — реактивное сопротивление.
Тогда на выводах резистора напряжение UR будет составлять:
XC – реактивное сопротивление конденсатора, равное 1/2πfC
При равенстве R = XC на частоте f, выражение упростится сокращением R и примет вид:
Следовательно, на частоте f равенство активного и реактивного сопротивлений цепочки RC обеспечит
одинаковую амплитуду переменного синусоидального напряжения на каждом из элементов в √2 раз меньше входного напряжения,
что составляет приблизительно 0.7 от его значения.
В этом случае частота f определится исходя из сопротивления R и ёмкости С выражением:
τ — постоянная времени цепи RC равна произведению RC
Повышение частоты уменьшит реактивное сопротивление конденсатора и падение напряжение на нём, тогда напряжение на выводах резистора возрастёт.
Соответственно, понижение частоты увеличит напряжение на конденсаторе и уменьшит на резисторе.
Зависимость амплитуды переменного напряжения от его частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).
Если рассмотреть АЧХ напряжения на выводах конденсатора или резистора в RC цепи, можно наблюдать на частоте f = 1/(2π τ)
спад уровня до значения 0.7, что соответствует -3db по логарифмической шкале.
Следовательно, цепь RC может быть использована как фильтр нижних частот (ФНЧ) — красная линия на рисунке, или фильтр высших частот (ФВЧ) — синяя линия.
Ниже представлены схемы включения RC-цепочек в качестве фильтров соответственно ФНЧ и ФВЧ.
Частоту f = 1/(2π τ) называют граничной частотой fгр или частотой среза fср фильтра.
Частоту среза фильтра можно посчитать с помощью онлайн калькулятора
Достаточно вписать значения и кликнуть мышкой в таблице.
При переключении множителей автоматически происходит пересчёт результата.
Пост. времени τ RC и частота среза RC-фильтра
τ = RC ; fср = 1/(2πτ)
Замечания и предложения принимаются и приветствуются!
Частота среза на диаграмме Найквиста
Добавлено 22 февраля 2020 в 23:21
Данная статья продолжает наше исследование диаграммы Найквиста, рассматривая взаимосвязь между кривой графика и частотой среза фильтра.
В предыдущей статье мы видели, что частотная характеристика системы может быть представлена графиком в полярной системе координат, на котором кривая показывает амплитуду и фазу при изменении частоты от нуля до бесконечности. Мы называем его графиком Найквиста (или диаграммой Найквиста), и это интересная альтернатива гораздо более распространенному графику Боде (логарифмическим амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристикам).
Следующая диаграмма была представлена в конце предыдущей статьи и дает хороший визуальный обзор основной информации, которую мы можем извлечь из графика Найквиста для фильтра первого порядка.
Важность частоты среза
Приведенная выше диаграмма не включает в себя одну очень важную деталь, а именно, частоту среза фильтра. Передаточная функция в s-области для фильтра нижних частот первого порядка может быть выражена следующим образом:
[T(s)=frac{K}{1+left(frac{s}{omega _{0}}right)}]
Эта формула говорит нам, что единственными отличительными характеристиками данного фильтра нижних частот являются K и ω0. Параметр K – это коэффициент усиления фильтра при постоянном напряжении. Пассивные компоненты не способны усиливать сигнал, поэтому, если мы имеем дело только с RC фильтрами нижних частот первого порядка, мы можем игнорировать K, потому что он всегда будет равен 1. Оставшийся параметр ω0 – это частота среза. Таким образом, мы можем полностью описать RC фильтр нижних частот, просто указав частоту среза.
Определение частоты среза
Кривая на диаграмме Найквиста, конечно, не имеет типового спада характеристики, который мы хорошо знаем из графиков амплитудно-частотных характеристик, и фактически график Найквиста не дает нам конкретной информации о частоте среза схемы фильтра. Однако изучение взаимосвязи между частотой среза и кривой Найквиста является хорошим способом укрепить понимание концепции частоты среза в целом, а также даст нам некоторое представление об ограничениях подхода Найквиста для визуального изображения частотной характеристики.
Во-первых, нам нужно подумать о том, что на самом деле происходит на частоте среза, с точки зрения как амплитудно-частотной, так и фазо-частотной характеристики.
Частота среза относительно амплитуды
Вы, вероятно, знаете, что другое название для частоты среза – это «частота 3 дБ» (или –3 дБ), и это напоминает нам о том, что фильтр нижних частот первого порядка обеспечивает ослабление на 3 дБ (или, что эквивалентно, усилению –3 дБ), когда входная частота равна ω0. Мы не используем децибелы на графике Найквиста, поэтому вместо –3 дБ мы используем соответствующий коэффициент передачи в разах, который равен (frac{1}{sqrt{2}})
Когда мы работаем с графиком в полярной системе координат, мы всегда должны помнить о треугольниках; например, амплитуда (модуль) комплексного числа определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, два катета которого являются действительной и мнимой частями; а для вычисления фазы (угла) комплексного числа мы используем тригонометрические функции. Теперь, когда вы думаете с точки зрения треугольников, коэффициент (frac{1}{sqrt{2}}) дает вам какие-нибудь идеи?
Как показано выше, коэффициент (sqrt{2}) вступает в игру всякий раз, когда у прямоугольного треугольника два катета равной длины. Если уменьшить длину катетов до 0,5, длина гипотенузы будет равна (sqrt{2} times 0,5), что то же самое, что (frac{1}{sqrt{2}}).
Итак, что же всё это значит? Рассмотрим следующий график Найквиста:
Как видите, в самой нижней точке кривой коэффициент усиления фильтра равен (frac{1}{sqrt{2}}), где абсолютное значение действительной части равно абсолютному значению мнимой части; это и есть местоположение частоты среза на графике Найквиста для фильтра нижних частот первого порядка. То же самое отношение применяется к фильтру верхних частот первого порядка, за исключением того, что в этом случае частота среза находится в самой высокой точке кривой:
Разница заключается в том, что сдвиг фазы фильтра верхних частот с увеличением частоты изменяется от +90° до 0°, тогда как фаза фильтра нижних частот изменяется от 0° до –90°. Поскольку угол измеряется против часовой стрелки от положительной действительной оси, положительный сдвиг фазы отображается над действительной осью, а отрицательный сдвиг фазы отображается ниже действительной оси.
Также обратите внимание, что на этих двух графиках есть стрелки, указывающие в противоположных направлениях: на графике фильтра нижних частот стрелка указывает на начало координат, поскольку с увеличением частоты коэффициент усиления уменьшается; на графике фильтра верхних частот она указывает в сторону от начала координат, поскольку с увеличением частоты коэффициент усиления увеличивается.
Частота среза относительно сдвига фазы
Мы также можем найти частоту среза на графике Найквиста, если вспомнить, что сдвиг фазы на 90°, создаваемый фильтром первого порядка, центрирован относительно частоты среза. Другими словами, фазовый сдвиг при ω0 составляет +45° или –45°. Вектор, нарисованный в комплексной плоскости, будет иметь угол +45° или –45°, если его действительная и мнимая части имеют одинаковые абсолютные значения, и это приводит нас к тем же геометрическим соотношениям, которые мы обнаружили при рассмотрении частоты среза с точки зрения амплитуды отклика.
Заключение
Возможно, вы заметили, что расположение частоты среза на этих графиках Найквиста является чисто геометрическим. Вы не можете прикрепить фиксированное значение частоты к этому местоположению, так как это местоположение одинаково для каждого фильтра нижних частот первого порядка или для каждого фильтра верхних частот первого порядка. Диаграмма Найквиста явно не является заменой для обычных логарифмических амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик. Но тем не менее, она дает более прямой способ передачи информации о передаточной функции системы, и, как мы увидим в следующей статье, это удобный инструмент для анализа устойчивости (стабильности).
Теги
RC фильтрАнализ цепейДиаграмма Найквиста / Nyquist PlotНайквистФВЧ (фильтр верхних частот)ФНЧ (фильтр нижних частот)Частота среза
Содержание
- Частотные фильтры характеризуются показателями
- Одноэлементные фильтры высоких и низких частот
- Г- образные фильтры
- Г-образные частотные фильтры на конденсаторе и резисторе
- Г-образные частотные фильтры на катушке индуктивности и резисторе
- Г-образные частотные фильтры на конденсаторе и дросселе
- Т — образные фильтры высоких и низких частот
- П — образные фильтры высоких и низких частот
- Полосовые резонансные фильтры
Фильтры высоких и низких частот — это электрические цепи, состоящие из элементов, обладающих нелинейной АЧХ — имеющих разное сопротивление на разных частотах.
Частотные фильтры можно поделить на фильтры верхних (высоких) частот и фильтры нижних (низких) частот. Почему чаще говорят «верхних», а не «высоких» частот? Потому, что в звукотехнике низкие частоты заканчиваются 2 килогерцами и начинаются высокие частоты. А в радиотехнике 2 килогерца это другая категория – частота звука, а значит «низкая частота»! В звукотехнике есть ещё понятие — средние частоты. Так вот, фильтры средних частот, это, как правило, либо комбинация двух фильтров нижних и верхних частот, либо другого рода полосовой фильтр.
Повторимся ещё раз:
Для характеристики фильтров низких и высоких частот, да и не только фильтров, а любых элементов радиосхем, существует понятие – амплитудно-частотная характеристика, или АЧХ
Частотные фильтры характеризуются показателями
Частота среза – это частота, на которой происходит спад амплитуды выходного сигнала фильтра до значения 0,7 от входного сигнала.
Крутизна частотной характеристики фильтра – это характеристика фильтра, показывающая, насколько резко происходит уменьшение амплитуды выходного сигнала фильтра при изменении частоты входного сигнала. В идеале нужно стремиться к максимальному (вертикальному) спаду АЧХ.
Частотные фильтры изготавливаются из элементов, обладающих реактивными сопротивлениями – конденсаторов и катушек индуктивности. Реактивные сопротивления, используемых в фильтрах конденсаторов (ХC) и катушек индуктивности (XL) связаны с частотой ниже приведёнными формулами:
Расчёт фильтров до проведения экспериментов с использованием специального оборудования (генераторов, спектр-анализаторов и других приборов), в домашних условиях проще сделать в программе Microsoft Excel, сделав простейшую автоматическую расчётную табличку (надо уметь работать с формулами в Excel). Я пользуюсь таким способом, для расчёта любых цепей. Сначала делаю табличку, подставляю данные, получаю расчёт, который переношу на бумагу в виде графика АЧХ, меняю параметры, и снова рисую точки АЧХ. В таком способе, не надо разворачивать «лабораторию измерительных приборов», расчёт и рисование АЧХ производится быстро.
Следует добавить, что расчёт фильтра тогда будет верен, когда будет выполняться правило:
Для обеспечения точности фильтра, необходимо чтобы значение сопротивления элементов фильтра было приблизительно на два порядка меньше (в 100 раз) сопротивления нагрузки подключаемой к выходу фильтра. С уменьшением этой разницы, качество фильтра ухудшается. Связано это с тем, что сопротивление нагрузки влияет на качество частотного фильтра. Если Вам не нужна высокая точность, то эту разницу можно снизить до 10 раз.
Частотные фильтры бывают:
1. Одноэлементные (конденсатор – как фильтр высоких частот, или дроссель – как фильтр низких частот);
2. Г-образные – по внешнему виду напоминают букву Г, обращённую в другую сторону;
3. Т-образные – по внешнему виду напоминают букву Т;
4. П-образные – по внешнему виду напоминают букву П;
5. Многозвенные – те же Г-образные фильтры соединённые последовательно.
Одноэлементные фильтры высоких и низких частот
Как правило, одноэлементные фильтры высоких и низких частот применяют непосредственно в акустических системах мощных усилителей звуковой частоты, для улучшения звучания самих звуковых «колонок».
Они подключаются последовательно с динамическими головками. Во первых, они берегут как динамические головки от мощного электрического сигнала, так и усилитель от низкого сопротивления нагрузки не нагружая его лишними динамиками, на той частоте, которую эти динамики не воспроизводят. Во вторых, они делают воспроизведение приятнее на слух.
Чтобы рассчитать одноэлементный фильтр, необходимо знать реактивное сопротивление катушки динамической головки. Расчёт производится по формулам делителя напряжения, что так же справедливо для Г-образного фильтра. Чаще всего, одноэлементные фильтры подбирают «на слух». Для выделения высоких частот на «пищалке» последовательно с ней устанавливается конденсатор, а для выделения низких частот на низкочастотном динамике (или сабвуфере), последовательно с ним подключается дроссель (катушка индуктивности). Например, при мощностях порядка 20…50 Ватт, на пищалки оптимально использовать конденсатор на 5…20 мкФ, а в качестве дросселя низкочастотного динамика использовать катушку, намотанную медным эмалированным проводом, диаметром 0,3…1,0 мм на бобину от видеокассеты VHS, и содержащую 200…1000 витков. Указаны широкие пределы, потому, как подбор – дело индивидуальное.
Г- образные фильтры
Г- образный фильтр высоких, или низких частот — делитель напряжения, состоящий из двух элементов с нелинейной АЧХ. Для Г-образного фильтра действует схема и все формулы, делителя напряжения.
Г-образные частотные фильтры на конденсаторе и резисторе
Фильтр высоких частот получается путём замены резистора R1 делителя напряжения на конденсатор С, обладающий своим реактивным сопротивлением ХC.
Принцип действия такого фильтра: конденсатор, обладая малым реактивным сопротивлением на высоких частотах, пропускает ток беспрепятственно, а на низких частотах его реактивное сопротивление максимально, поэтому ток через него не проходит.
Из статьи «Делитель напряжения» мы знаем, что значения резисторов можно описать формулами:
или 
Принимая входное напряжение за 1 (единицу), а выходное напряжение за 0,7 (значение соответствующее срезу), зная, реактивное сопротивление конденсатора, которое равно:
Подставив значения напряжений, мы найдём ХC и частоту среза.
Можно делать расчёты и в обратном порядке. С учётом того, что амплитуда выходного напряжения фильтра (как делителя напряжения) на частоте среза АЧХ должна быть равна 0,7 от входного напряжения, следует, что отношение сопротивления резистора R2 к сопротивлению резистора R1 (ХC) соответствует: R2 / R1 = 0,7/0,3 = 2,33. Отсюда следует: С = 1,16 / R2πf, где f – частота среза АЧХ фильтра.
Фильтр низких частот получается путём замены резистора R2 делителя напряжения на конденсатор С, обладающий своим реактивным сопротивлением ХC.
Принцип действия такого фильтра: конденсатор, обладая малым реактивным сопротивлением на высоких частотах, шунтирует токи высоких частот на корпус, а на низких частотах его реактивное сопротивление максимально, поэтому ток через него не проходит.
Из статьи «Делитель напряжения» мы используем те же формулы:
или
Принимая входное напряжение за 1 (единицу), а выходное напряжение за 0,7 (значение соответствующее срезу), зная, реактивное сопротивление конденсатора, которое равно:
Подставив значения напряжений, мы найдём ХC и частоту среза.
Как и в случае с фильтром высоких частот, расчёты можно делать и в обратном порядке. С учётом того, что амплитуда выходного напряжения фильтра (как делителя напряжения) на частоте среза АЧХ должна быть равна 0,7 от входного напряжения, следует, что отношение сопротивления резистора R2 (ХC) к сопротивлению резистора R1 соответствует: R2 / R1 = 0,7/0,3 = 2,33. Отсюда следует: С = 1 / (4.66 x R1πf) , где f – частота среза АЧХ фильтра.
Г-образные частотные фильтры на катушке индуктивности и резисторе
Фильтр высоких частот получается путём замены резистора R2 делителя напряжения на катушку индуктивности L, обладающую своим реактивным сопротивлением XL.
Принцип действия такого фильтра: индуктивность, обладая малым реактивным сопротивлением на низких частотах, шунтирует их на корпус, а на высоких частотах её реактивное сопротивление максимально, поэтому ток через неё не проходит.
Используя те же формулы из статьи «Делитель напряжения» и принимая входное напряжение за 1 (единицу), а выходное напряжение за 0,7 (значение соответствующее срезу), зная, реактивное сопротивление катушки индуктивности, которое равно:
Подставив значения напряжений, мы найдём XL и частоту среза.
Как и в случае с фильтром высоких частот, расчёты можно делать и в обратном порядке. С учётом того, что амплитуда выходного напряжения фильтра (как делителя напряжения) на частоте среза АЧХ должна быть равна 0,7 от входного напряжения, следует, что отношение сопротивления резистора R2 (XL) к сопротивлению резистора R1 соответствует: R2 / R1 = 0,7/0,3 = 2,33. Отсюда следует: L = 1.16 R1 / (πf).
Фильтр низких частот получается путём замены резистора R1 делителя напряжения на катушку индуктивности L, обладающую своим реактивным сопротивлением XL.
Принцип действия такого фильтра: катушка индуктивности, обладая малым реактивным сопротивлением на низких частотах, пропускает ток беспрепятственно, а на высоких частотах её реактивное сопротивление максимально, поэтому ток через неё не проходит.
Используя те же формулы из статьи «Делитель напряжения» и принимая входное напряжение за 1 (единицу), а выходное напряжение за 0,7 (значение соответствующее срезу), зная, реактивное сопротивление катушки индуктивности, которое равно:
Подставив значения напряжений, мы найдём XL и частоту среза.
Можно делать расчёты и в обратном порядке. С учётом того, что амплитуда выходного напряжения фильтра (как делителя напряжения) на частоте среза АЧХ должна быть равна 0,7 от входного напряжения, следует, что отношение сопротивления резистора R2 к сопротивлению резистора R1 (XL) соответствует: R2 / R1 = 0,7/0,3 = 2,33. Отсюда следует: L = R2 / (4,66 πf)
Г-образные частотные фильтры на конденсаторе и дросселе
Фильтр высоких частот получается из обыкновенного делителя напряжения путём замены не только резистора R1 на конденсатор С, а так же резистора R2 на дроссель L. Такой фильтр имеет более значительный срез частот (более крутой спад) АЧХ, чем указанные выше фильтры на RC или RL цепях.
Как производилось ранее, используем те же способы расчёта. Конденсатор С, обладает своим реактивным сопротивлением ХC , а дроссель L — реактивным сопротивлением XL:
Подставляя значения различных величин — напряжений, входных или выходных сопротивлений фильтров, мы можем найти С и L, частоту среза АЧХ. Можно так же делать расчёты и в обратном порядке. Так, как переменных величин две – индуктивность и ёмкость, то чаще всего задают значение входного или выходного сопротивления фильтра как делителя напряжения на частоте среза АЧХ, а исходя из этого значения, находят остальные параметры.
Фильтр низких частот получается путём замены резистора R1 делителя напряжения на катушку индуктивности L, а резистора R2 на конденсатор С.
Как было описано ранее, используются те же способы расчёта, через формулы делителя напряжения и реактивные сопротивления элементов фильтров. При этом, приравниваем значение резистора R1 к реактивному сопротивлению дросселя XL , а R2 к реактивному сопротивлению конденсатора ХC .
Т — образные фильтры высоких и низких частот
Т- образные фильтры высоких и низких частот, это те же Г- образные фильтры, к которым добавляется ещё один элемент. Таким образом, они рассчитываются так же как делитель напряжения, состоящий из двух элементов с нелинейной АЧХ. А после, к расчётному значению суммируется значение реактивного сопротивления третьего элемента. Другой, менее точный способ расчёта Т-образного фильтра начинается с расчёта Г-образного фильтра, после чего, значение «первого» рассчитанного элемента Г-образного фильтра увеличивается, или уменьшается в два раза – «распределяется» на два элемента Т-образного фильтра. Если это конденсатор, то значение ёмкости конденсаторов в Т-фильтре увеличивается в два раза, а если это резистор или дроссель, то значение сопротивления, или индуктивности катушек уменьшается в два раза. Преобразование фильтров показано на рисунках. Особенность Т-образных фильтров заключается в том, что они по сравнению с Г-образными, своим выходным сопротивлением оказывают меньшее шунтирующее действие на радио цепи, стоящие за фильтром.
Преобразование Г-образного RC фильтра высоких частот, в Т-образный RC фильтр высоких частот
Преобразование Г-образного RC фильтра низких частот, в Т-образный RC фильтр низких частот
Преобразование Г-образного RL фильтра высоких частот, в Т-образный RL фильтр высоких частот
Преобразование Г-образного RL фильтра низких частот, в Т-образный RL фильтр низких частот
Преобразование Г-образного LС фильтра высоких частот, в Т-образный LС фильтр высоких частот
Преобразование Г-образного LС фильтра низких частот, в Т-образный LС фильтр низких частот
П — образные фильтры высоких и низких частот
П-образные фильтры, это те же Г- образные фильтры, к которым добавляется ещё один элемент впереди фильтра. Всё, что было написано для Т-образных фильтров справедливо для П-образных, разница лишь в том, что они по сравнению с Г-образными, несколько увеличивают шунтирующее действие на радио цепи, стоящие перед фильтром.
Как и в случае с Т-образными фильтрами, для расчёта П-образных используют формулы делителя напряжения, с добавлением дополнительного шунтирующего сопротивления первого элемента фильтра. Другой, менее точный способ расчёта П-образного фильтра начинается с расчёта Г-образного фильтра, после чего, значение «последнего» рассчитанного элемента Г-образного фильтра увеличивается, или уменьшается в два раза – «распределяется» на два элемента П-образного фильтра. В противоположность Т-образному фильтру, если это конденсатор, то значение ёмкости конденсаторов в П-фильтре уменьшается в два раза, а если это резистор или дроссель, то значение сопротивления, или индуктивности катушек увеличивается в два раза.
Преобразование Г-образного RC фильтра высоких частот, в П-образный RC фильтр высоких частот
Преобразование Г-образного RC фильтра низких частот, в П-образный RC фильтр низких частот
Преобразование Г-образного RL фильтра высоких частот, в П-образный RL фильтр высоких частот
Преобразование Г-образного RL фильтра низких частот, в П-образный RL фильтр низких частот
Преобразование Г-образного LС фильтра высоких частот, в П-образный LС фильтр высоких частот
Преобразование Г-образного LС фильтра низких частот, в П-образный LС фильтр низких частот
В связи с тем, что изготовление катушек индуктивности (дросселей) требует определённых усилий, а иногда и дополнительного места для их размещения, то более выгодным бывает изготовление фильтров из конденсаторов и резисторов, без применения катушек индуктивности. Это особенно актуально на звуковых частотах. Так, фильтры верхних частот обычно делают Т-образными, а нижних частот делают П-образными. Есть ещё фильтры средних частот, которые, как правило, делают Г-образными (из двух конденсаторов).
Полосовые резонансные фильтры
Полосовые резонансные частотные фильтры – предназначены для выделения, или режекции (вырезания) определённой полосы частот. Резонансные частотные фильтры могут состоять из одного, двух, или трех колебательных контуров, настроенных на определённую частоту. Резонансные фильтры обладают наиболее крутым подъёмом (или спадом) АЧХ, по сравнению с другими (не резонансными) фильтрами. Полосовые резонансные частотные фильтры могут быть одноэлементными — с одним контуром, Г-образными – с двумя контурами, Т и П-образными – с тремя контурами, многозвенными – с четырьмя и более контурами.
На рисунке представлена схема Т-образного полосового резонансного фильтра, предназначенного для выделения определённой частоты. Состоит он из трёх колебательных контуров. C1L1 и C3L3 – последовательные колебательные контуры, на резонансной частоте имеют малое сопротивление протекающему току, а на других частотах наоборот – большое. Параллельный контур C2L2 наоборот, имеет большое сопротивление на резонансной частоте, обладая малым сопротивлением на других частотах. Для расширения ширины полосы пропускания такого фильтра, уменьшают добротность контуров, изменяя конструкцию катушек индуктивности, расстраивая контура «вправо, влево» на частоту, немного отличающуюся от центральной резонансной, параллельно контуру C2L2 подключают резистор.
На следующем рисунке представлена схема Т-образного режекторного резонансного фильтра, предназначенного для подавления определённой частоты. Он, как и предыдущий фильтр состоит из трёх колебательных контуров, но принцип выделения частот у такого фильтра другой. C1L1 и C3L3 – параллельные колебательные контуры, на резонансной частоте имеют большое сопротивление протекающему току, а на других частотах – маленькое. Параллельный контур C2L2 наоборот, имеет малое сопротивление на резонансной частоте, обладая большим сопротивлением на других частотах. Таким образом, если предыдущий фильтр резонансную частоту выделяет, а остальные частоты подавляет, то этот фильтр, беспрепятственно пропускает все частоты, кроме резонансной частоты.
Порядок расчёта полосовых резонансных фильтров основан всё на том же делителе напряжения, где в качестве единичного элемента выступает LC контур с его характеристическим сопротивлением. Как рассчитывается колебательный контур, определяются его резонансная частота, добротность и характеристическое (волновое) сопротивление вы можете найти в статье Колебательный контур.