Как найти частоту среза лачх

Перейти к содержимому

1. Построение лачх нескорректированной системы

Преобразованная
структурная схема системы электропривода
приведена на рис. 3.

В первую очередь
необходимо построить ЛАЧХ разомкнутой
нескорректированной системы L_{некор}
с местом размыкания на выходе звена
обратной связи, считая W(p)_ку=1.
Передаточная функция для этого случая
записывается в следующем виде

, (10)

где Т₁,
Т₂
— постоянные времени, определяемые из
характеристического

уравнения двигателя

Т_МТ_Яр²+Т_Мр+1=0,
,,

где

– корни характеристического уравнения^.

Суммарная ЛАЧХ
разомкнутой системы имеет асимптоты
0;-20; -40; -60
дБ/дек.
Передаточная функция замкнутой
нескорретированной системы имеет вид

(11)

для
комплексных корней ,

где
.

Замкнутую
нескорректированную систему следует
проверить на устойчивость по критерию
Гурвица.

2.4. Расчет частоты среза желаемой лачх и построение желаемой лачх и лфчх

В принятой системе
координат [L(),
()]
(Приложение
7) строится желаемая ЛАЧХ скорректированной
системы с наклонами 0;
-20; -40; -60 дБ/дек,
для которой частота среза вычисляется
из соотношения ,

где
t_пп
– время переходного процесса из
технических требований.

Низкочастотная
асимптота желаемой ЛАЧХ остается такой
же, как на ЛАЧХ нескорректированной
системы. Среднечастотная асимптота
ЛАЧХ скорректированной системы должна
проходить через точку с частотой _ср.ж
и иметь наклон —20дБ/дек,
а ее протяженность должна составить не
менее одной декады. Для высококачественных
систем регулирования желательно, чтобы
общая протяженность среднечастотной
асимптоты составляла примерно 1.5
декады. При этом протяженность правой
части этой асимптоты, т.е. справа от
частоты _ср.ж
должна составлять около одной декады.

Требуемый запас
по фазе на частоте среза _ср
=180-_ср
зависит от величины заданного
перегулирования _тз
в переходной функции при отработке
ступенчатого задающего воздействия.

Среднечастотная
асимптота желаемой ЛАЧХ продолжается
влево от _ср.ж
до пересечения с низкочастотной
асимптотой. Точка пересечения определяет
частоту сопряжения
.
Среднечастотная асимптота продолжается
также и вправо до частоты сопряжения.
Далее от частотывправо проводится асимптота с наклоном–40дБ/дек
до частоты сопряжения
.
Начиная с частоты,
вправо проводится асимптота с наклоном–60дБ/дек.
Эти асимптоты являются высокочастотными
в ЛАЧХ скорректированной системы.

Таким образом,
высокочастотные звенья с малыми
постоянными времени
иостаются неизменными в структуре
скорректированной системы. В результате
оказывается, что сформированная желаемая
ЛАЧХ скорректированной системы имеет
асимптоты с наклоном асимптот0;
-20; -40; -60 дБ/дек.

Такой ЛАЧХ
соответствует передаточная функция
разомкнутой скорректированной
системы , (12)

где — постоянная времени корректирующего
апериодического звена.

2.5. Определение передаточной функции корректирующего устройства и запаса по фазе на частоте среза

ЛАЧХ корректирующего
устройства находится как разность
построенных L_{некор}
нескорректированной системы и L_ж
скорректированной системы, т.е.

L_ку=L_
—L_ж

Для рассматриваемого
примера ЛАЧХ корректирующего устройства
имеет асимптоты 0;
-20; 0 дБ/дек.
Такая ЛАЧХ реализуется двумя последовательно
включенными динамическими звеньями –
апериодическим и форсирующим, т.е.

, (13)

где
Т_к
– постоянная
времени корректирующего апериодического
звена, находится из

желаемой ЛАЧХ по
частоте сопряжения низкочастотной и
среднечастотной асимптот;

Т_ф=Т₁
— постоянная времени корректирующего
форсирующего звена.

Следовательно,
форсирующее корректирующее звено
компенсирует действие апериодического
звена с такой же постоянной времени,
т.к.

.

ЛФЧХ разомкнутой
скорректированной системы строится по
передаточной функции W(р)_ж
раз из
соотношения

_()=-arсtgТ₁—
arсtgТ₂
—arсtgТ_ТП

в
диапазоне частот 1/Т_ТП
<
<1/Т₁.
Корректирующее устройство с передаточной
функцией (13) может быть реализовано как
на пассивных R,
C
элементах, так и на операционном усилителе
постоянного тока в виде активного
корректирующего звена, как это предлагается
в [4].

Примерный вид ЛАЧХ
и ЛФЧХ, которые должны быть построены
при выполнении курсовой работы, показан
на рис. 4 (Приложение 7).

Привет, Вы узнаете про логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика, лафчх, диаграмма боде , настоятельно рекомендую прочитать все из категории МЕТРОЛОГИЯ И ЭЛЕКТРОРАДИОИЗМЕРЕНИЯ.

Логарифми́ческая амплиту́дно-фа́зовая часто́тная характери́стика (распространенная аббревиатура —
лафчх , в иностранной литературе часто называют диаграммой Бо́де или графиком Боде) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазо-частотной характеристики, которые обычно располагают друг под другом.

ЛАЧХ

ЛАЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления (напряжения, тока или мощности) устройства, (, для мощности , от частоты в логарифмическом масштабе.

Масштаб по оси абсцисс ЛАЧХ

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения — безразмерная величина:

• декада (дек): 1 декада равна изменению частоты в 10 раз.
• октава(окт): 1 октава равна изменению частоты в 2 раза.

Масштаб по оси ординат ЛАЧХ

По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах:

• децибел (дБ) (десятая часть бела) — это отношение мощностей (20 децибел равно изменению мощности в 10 раз) .

• непер (Нп): 1 непер равен изменению амплитуды сигналов в е раз

ЛФЧX

ЛФЧХ — это зависимость разницы фаз выходного и входного сигналов от частоты в полулогарифмическом масштабе

• по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
• по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.

Неперы и октавы в настоящее время являются устаревшими и практически не используются.

Причины построения амплитудных и фазных характеристик в логарифмическом масштабе — возможность исследования характеристик в большом диапазоне.

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ

Собственно ЛАЧХ и ЛФЧХ мало используются на практике.

Для более наглядного анализа характеристик применяются их модифицированные варианты — асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (АЛАЧХ) и асимптотическая логарифмическая фазо-частотная характеристика (АЛФЧХ), при этом кривая заменяется отрезками ломаной прямой. Обычно слово «асимптотическая» опускают, но всегда надо помнить, что АЛАЧХ (АЛФЧХ) и ЛАЧХ (ЛФЧХ) — это разные характеристики.

Анализ систем с помощью АЛФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких, как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Названия

В западной литературе используется название диаграмма Бо́де или график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде (англ. Hendrik Wade Bode).

В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.

В пакете прикладных программ для инженерных вычислений GNU Octave и MATLAB для построения ЛАФЧХ используется функция bode.

Использование

Свойства и особенности

Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.

С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определенными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.

ЛАЧХ

На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.

Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма: .

ФЧХ[

На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах).

Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ.

Случай минимально-фазовых систем

Амплитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза, и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта — Уорренгтона.

Построение ЛАФЧХ

Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции

,

то:

После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.

Построение асимптотической ЛАЧХ (аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями)[править | править код]

При построении ЛАЧХ для оси ординат обычно используется масштаб , то есть значение АЧХ, равное 100, превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Если передаточная функция имеет вид:

где — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: , и — константы, а — передаточная функция . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда построить ЛАЧХ можно, используя следующие правила:

• Начальное значение графика можно найти простой подстановкой значения круговой частоты в передаточную функцию.

• Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.

Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ

Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями, надо:

• плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот

Построение асимптотической ЛФЧХ (аппроксимация)

Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложить их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задается уравнением:

Для того, чтобы нарисовать ФЧХ для каждого полюса или нуля, используют следующие правила:

Анализ устойчивости по ЛАФЧХ

Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице — комплексная переменная.

№	Звено	Передаточная функция	ЛАФЧХ	Примечания
1	пропорциональное
2	идеальное интегрирующее
3	идеальное дифференцирующее
4	апериодическое (реальное интегрирующее)
5	колебательное
6	неустойчивое апериодическое			неминимально- фазовое
7	дифференцирующее первого порядка (форсирующее первого порядка)
8	форсирующее второго порядка
9	чистого запаздывания

Обоснование

В основе определения устойчивости системы рассматривается модель в виде звена, охваченного отрицательной обратной связью и возможность ее вхождения в автоколебания (колебательная граница устойчивости). Условием автоколебаний является наличие положительной обратной связи при этом коэффициент усиления в прямой цепи должен быть не ниже единицы. Фаза выходного сигнала (описываемая фазо-частотной характеристикой) через цепь отрицательной обратной связи подается обратно на вход, при этом «запасом по фазе» называется дополнительный сдвиг по фазе, который должен быть на выходе, чтобы получилась положительная обратная связь. Коэффициент передачи в прямой ветви описывается амплитудно-частотной характеристикой, при этом частота, которой соответствует единичное усиление называется «частотой среза», на ЛАЧХ частота среза-это точка пересечения характеристики с осью абсцисс. Графически запас по фазе определяется как разность между фазой, равной π радиан (180°), и фазой на частоте среза (условие образования положительной обратной связи); «запас по амплитуде» — расстояние по оси амплитуд от точки частоты среза до амплитуды при угле π радиан (условие единичного коэффициента в прямой ветви).

Алгоритм вычисления

Для определения устойчивости замкнутой системы строится ЛАФЧХ разомкнутой системы (см. рис.). После этого необходимо найти частоту среза ω_ср, решив уравнение (здесь и далее ; если корней несколько, необходимо выбрать наибольший корень), и частоту ω_в — максимальную из частот, для которых . Тогда — запас устойчивости по амплитуде, — запас устойчивости по фазе. Если эти запасы отрицательны, то замкнутая система неустойчива; если равны нулю — находится на границе устойчивости.

Данный алгоритм применим только к минимально-фазовым системам ^]. В других случаях для определения устойчивости можно использовать критерии устойчивости Найквиста — Михайлова и Рауса — Гурвица.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Амплитудно-фазовая частотная характеристика
• Диаграмма Вольперта — Смита

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика. Работы в переди у тебя будет много. Смело пишикоментарии, развивайся и счастье окажется в ваших руках.
Надеюсь, что теперь ты понял что такое логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика, лафчх, диаграмма боде
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
МЕТРОЛОГИЯ И ЭЛЕКТРОРАДИОИЗМЕРЕНИЯ

Логарифми́ческая амплиту́дно-фа́зовая часто́тная характери́стика (распространённая аббревиатура — ЛАФЧХ, в иностранной литературе часто называют диаграммой Бо́де или графиком Боде) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

Введение

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазо-частотной характеристики, которые обычно располагают друг под другом.

ЛАЧХ

ЛАЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления (напряжения, тока или мощности) устройства, ([math]displaystyle{ 20cdot lg(|A_{out}|/|A_{in}|) }[/math], для мощности [math]displaystyle{ 10cdot lg (|P_{out}|/|P_{in}|) }[/math], от частоты в логарифмическом масштабе.

Масштаб по оси абсцисс ЛАЧХ

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения — безразмерная величина:

• декада (дек): 1 декада равна изменению частоты в 10 раз.
• октава(окт): 1 октава равна изменению частоты в 2 раза.

Масштаб по оси ординат ЛАЧХ

По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах:

• децибел (дБ) (десятая часть бела) — это отношение мощностей (20 децибел равно изменению мощности в 10 раз)^[1].

• непер (Нп): 1 непер равен изменению амплитуды сигналов в е раз

ЛФЧX

ЛФЧХ — это зависимость разницы фаз выходного и входного сигналов от частоты в полулогарифмическом масштабе

• по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
• по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.

Неперы и октавы в настоящее время являются устаревшими и практически не используются.

Причины построения амплитудных и фазных характеристик в логарифмическом масштабе — возможность исследования характеристик в большом диапазоне.

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ

Собственно ЛАЧХ и ЛФЧХ мало используются на практике.

Для более наглядного анализа характеристик применяются их модифицированные варианты — асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (АЛАЧХ) и асимптотическая логарифмическая фазо-частотная характеристика (АЛФЧХ), при этом кривая заменяется отрезками ломаной прямой. Обычно слово «асимптотическая» опускают, но всегда надо помнить, что АЛАЧХ (АЛФЧХ) и ЛАЧХ (ЛФЧХ) — это разные характеристики.

Анализ систем с помощью АЛФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких, как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Названия

В западной литературе используется название диаграмма Бо́де или график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде (англ. Hendrik Wade Bode).

В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.

В пакете прикладных программ для инженерных вычислений GNU Octave и MATLAB для построения ЛАФЧХ используется функция bode.

Использование

Свойства и особенности

Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.

С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.

ЛАЧХ

На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.

Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма:
[math]displaystyle{ lg(a cdot b) = lg(a) + lg(b) }[/math].

ФЧХ

На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах).

Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ.

Случай минимально-фазовых систем

Амплитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза, и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта — Уорренгтона.

Построение ЛАФЧХ

Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции

[math]displaystyle{ f(x) = A prod (x + c_n)^{a_n} }[/math],

то:

[math]displaystyle{ log(f(x)) = log(A) + sum a_n log(x + c_n) }[/math]

После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.

Построение асимптотической ЛАЧХ (аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями)

При построении ЛАЧХ для оси ординат обычно используется масштаб [math]displaystyle{ 20 cdot operatorname{lg}(X) }[/math], то есть значение АЧХ, равное 100, превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Если передаточная функция имеет вид:

[math]displaystyle{ H(s) = A cdot prod frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}} }[/math]

где [math]displaystyle{ s }[/math] — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: [math]displaystyle{ s = j omega }[/math], [math]displaystyle{ x_n }[/math] и [math]displaystyle{ y_n }[/math] — константы, а [math]displaystyle{ H }[/math] — передаточная функция. Тогда построить ЛАЧХ можно, используя следующие правила:

• в каждом [math]displaystyle{ s }[/math], где [math]displaystyle{ omega = x_n }[/math] (ноль), наклон линии увеличивается на [math]displaystyle{ (20 cdot a_n) }[/math] дБ на декаду.

• в каждом [math]displaystyle{ s }[/math], где [math]displaystyle{ omega = y_n }[/math] (полюс), наклон линии уменьшается на [math]displaystyle{ (20 cdot b_n) }[/math] дБ на декаду.

• Начальное значение графика можно найти простой подстановкой значения круговой частоты [math]displaystyle{ omega }[/math] в передаточную функцию.

• Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.

• В случае наличия комплексно-сопряжённых нулей или полюсов необходимо использовать звенья второго порядка, [math]displaystyle{ x^2+ax+b }[/math], наклон меняется в точке [math]displaystyle{ sqrt{b} }[/math] сразу на [math]displaystyle{ (40 cdot a_n) }[/math] дБ на декаду.

Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ

Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями, надо:

• в каждом нуле поставить точку на [math]displaystyle{ 3 cdot a_n }[/math] дБ выше линии ([math]displaystyle{ 6 cdot a_n }[/math] дБ для двух комплексно-сопряжённых нулей)

• в каждом полюсе поставить точку на [math]displaystyle{ 3 cdot a_n }[/math] дБ ниже линии ([math]displaystyle{ 6 cdot a_n }[/math] дБ для двух комплексно-сопряжённых полюсов)

• плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот

Построение асимптотической ЛФЧХ (аппроксимация)

Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

[math]displaystyle{ H(s) = A prod frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}. }[/math]

Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложить их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением:

[math]displaystyle{ varphi = operatorname{arctg} left( frac{Im(H(j omega))}{Re(H(j omega))} right ). }[/math]

Для того, чтобы нарисовать ФЧХ для каждого полюса или нуля, используют следующие правила:

• если [math]displaystyle{ A }[/math] положительно, начать линию (с нулевым наклоном) в 0 градусов,
• если [math]displaystyle{ A }[/math] отрицательно, начать линию (с нулевым наклоном) в 180 градусов,
• для нуля сделать наклон линии вверх на [math]displaystyle{ 45 cdot a_n }[/math] ([math]displaystyle{ 90 cdot a_n }[/math] для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с [math]displaystyle{ omega = frac{x_n}{10}, }[/math]
• для полюса наклонить линию вниз на [math]displaystyle{ 45 cdot b_n }[/math] ([math]displaystyle{ 90 cdot b_n }[/math] для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с [math]displaystyle{ omega = frac{y_n}{10}, }[/math]
• обнулить наклон снова когда фаза изменится на [math]displaystyle{ 90 cdot a_n }[/math] градусов для простого нуля или полюса и на [math]displaystyle{ 180 cdot a_n }[/math] градусов для комплексно-сопряжённого нуля или полюса,
• сложить все линии и нарисовать результирующую.

Анализ устойчивости по ЛАФЧХ

Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице [math]displaystyle{ s }[/math] — комплексная переменная.

№	Звено	Передаточная функция	ЛАФЧХ	Примечания
1	пропорциональное	[math]displaystyle{ K }[/math]		[math]displaystyle{ K = 100 }[/math]
2	идеальное интегрирующее	[math]displaystyle{ 1/s }[/math]
3	идеальное дифференцирующее	[math]displaystyle{ s }[/math]
4	апериодическое (реальное интегрирующее)	[math]displaystyle{ frac{1}{Ts+1} }[/math]		[math]displaystyle{ T = 0,01 }[/math]
5	колебательное	[math]displaystyle{ frac{1}{T^2s^2 + 2;xi T s + 1} }[/math]		[math]displaystyle{ T = 0,01 }[/math] [math]displaystyle{ xi = 0.1 }[/math]
6	неустойчивое апериодическое	[math]displaystyle{ frac{1}{Ts — 1} }[/math]		[math]displaystyle{ T = 0,01 }[/math] неминимально- фазовое
7	дифференцирующее первого порядка (форсирующее первого порядка)	[math]displaystyle{ Ts + 1 }[/math]		[math]displaystyle{ T = 0,01 }[/math]
8	форсирующее второго порядка	[math]displaystyle{ T^2s^2 + 2;xi T s+ 1 }[/math]		[math]displaystyle{ T = 0,01 }[/math] [math]displaystyle{ xi = 0.1 }[/math]
9	чистого запаздывания	[math]displaystyle{ e^{-sT} }[/math]		[math]displaystyle{ T = 0.0001 }[/math]

Обоснование

В основе определения устойчивости системы рассматривается модель в виде звена, охваченного отрицательной обратной связью и возможность её вхождения в автоколебания (колебательная граница устойчивости). Условием автоколебаний является наличие положительной обратной связи при этом коэффициент усиления в прямой цепи должен быть не ниже единицы. Фаза выходного сигнала (описываемая фазо-частотной характеристикой) через цепь отрицательной обратной связи подаётся обратно на вход, при этом «запасом по фазе» называется дополнительный сдвиг по фазе, который должен быть на выходе, чтобы получилась положительная обратная связь. Коэффициент передачи в прямой ветви описывается амплитудно-частотной характеристикой, при этом частота, которой соответствует единичное усиление называется «частотой среза», на ЛАЧХ частота среза-это точка пересечения характеристики с осью абсцисс. Графически запас по фазе определяется как разность между фазой, равной π радиан (180°), и фазой на частоте среза (условие образования положительной обратной связи); «запас по амплитуде» — расстояние по оси амплитуд от точки частоты среза до амплитуды при угле π радиан (условие единичного коэффициента в прямой ветви).

Алгоритм вычисления

Для определения устойчивости замкнутой системы строится ЛАФЧХ разомкнутой системы (см. рис.). После этого необходимо найти частоту среза ω_ср, решив уравнение [math]displaystyle{ A(omega_{cp})=0 }[/math] (здесь и далее [math]displaystyle{ A(omega)=20lg|W(jomega)| }[/math]; если корней несколько, необходимо выбрать наибольший корень), и частоту ω_в — максимальную из частот, для которых [math]displaystyle{ varphi(omega)=-180^circ }[/math]. Тогда [math]displaystyle{ Delta A=A(omega_B) }[/math] — запас устойчивости по амплитуде, [math]displaystyle{ Deltavarphi=varphi(omega_{cp})+180^circ }[/math] — запас устойчивости по фазе. Если эти запасы отрицательны, то замкнутая система неустойчива; если равны нулю — находится на границе устойчивости.

Данный алгоритм применим только к минимально-фазовым системам^[en]. В других случаях для определения устойчивости можно использовать критерии устойчивости Найквиста — Михайлова и Рауса — Гурвица.

См. также

• Амплитудно-фазовая частотная характеристика
• Диаграмма Вольперта — Смита

Примечания

Ссылки

• [1]

2.
Замкнутая система устойчива, если ЛФЧХ разомкнутой системы на частоте среза
имеет положительный запас по фазе, либо ЛАЧХ на частоте ω_s,  φ(ω_s)=180° имеет положительный запас по амплитуде.

ЛАЧХ устойчивой системы

ω_С – частота среза

ΔL – запас по амплитуде (расстояние между нулем и
значением ЛАЧХ)

Δφ – запас по фазе (расстояние между уровнем 180 и
ЛФЧХ)

Если
 направлена вверх, то положительный
запас по фазе,  должна быть отрицательной.

   
Рассмотрим пример неустойчивой системы

ЛАЧХ неустойчивой системы.

ω_S– частота, при которой φ(ω_S)=-180°

В режиме автоколебаний сигнал ошибки   можно считать синусоидальным

 —
если колебания возникают, то возникают на границе среза.

 Предположим, что разом система
находится в режиме автоколебаний, вносит фазовый сдвиг

   

Рассмотрим прохождение сигнала через разомкнутую
систему.

Рассмотрим
процесс суммирования сигналов на входе и выходе системы.

Инвертирующий сигнал y(t)
совпадает со сдвигом на 180

Положительная обратная связь.

          

При
суммировании обратная связь на этой частоте (ω_S)
оказывается положительной. Сигнал усиливается за счет обратной связи:

    

Устойчивость системы на частоте ω_s  в условиях положительной обратной связи зависит от коэффициента
усиления разомкнутой системы на частоте

  
Проследим выполнение критерия Найквиста на графиках ЛФЧХ и ЛАЧХ устойчивой
системы.

 На
частоте возмущения колебания  там, где
выполняется фазовых условиях самовозбуждения .

На
ЛАЧХ эти условия отражаются в виде запаса по амплитуде,    , поэтому колебания будут
затухающими.

На
уровне АФЧХ

  
Пограничные условия автоколебаний соответствует положению годографа на частоте     

 Рассматриваем
коэффициент передачи  . Если коэффициент > 1  годограф охватил эту точку  система неустойчивая. Если
коэффициент < 1  система
неустойчива, потому что коэффициент передаточной функции разомкнутой системы <
1.

Преимущества
критерия Найквиста по отношению к другим критериям.

1)
Возможность использования экспериментально-снятых частотных характеристик.

2)
Возможность оценки устойчивости для систем, содержащих трансагентные иррациональные
звенья.

Пример
– звено частотного запаздывания, передаточная функция которого имеет вид ; для этого звена нельзя указать
дробно-рациональное выражение, которое описывало бы это звено

      поэтому спираль сжимается    

                                 

Если
H охватывается
спиралью система – неустойчивая, если не захватывается – устойчивая.

4.5.Построение ЛАЧХ разомкнутых систем

Пусть система
состоит из прямого канала, в котором имеется последовательность звеньев. На
входе сумматор, который позволяет суммировать

x(t)                   
                    

                                  

                                            Система
разомкну

Чтобы
получить общую функцию, нужно перемножить входные функции

Передаточная
функция разомкнутой системы , но нас
интересует ЛАЧХ   

 — коэффициент передачи АЧХ

каждый
элемент представляет ЛАЧХ элементарного звена

Чтобы
найти ЛАЧХ разомкнутой системы нужно сложить ЛАЧХ каждого звена, входящего в
прямой канал.

Пример
1.

Пусть
прямой канал представляет

x(t)

форсирующее         
интегрирующее

 ПИ регулятора

тогда

+20

 — постоянная времени

Пример
2.

Построить
ЛАЧХ двигателя постоянного тока, считая обратную связь по  разомкнутой.

Структура
двигателя постоянного тока

  В общем случае звенья могут быть
большие

Домашнее
задание.

Пример
3.

Ссылка
на параграф 2.6 (построение оси частот)

Построение
результирующей фазо-частотной характеристики.

Каждое
из звеньев вносит запаздывание, результирующее запаздывание будет суммарным:

Природа
другая, не как у ЛАЧХ

Вид
ФЧХ не очень красивый, так как отрезки кривых

x

склеиваем
ФЧХ

фазовая
характеристика для последовательного соединения.

5.Точность
линейных автоматических систем.

5.1.Понятие
точности САУ. Постановка задачи исследования точности.

Имеем
автоматическую систему: прямой канал образован

                                                

 — характеристика точности

 получается как решение
дифференциального уравнения (*) в общем случае содержит 2 компоненты

 — вынужденная составляющая, будем
называть установившейся ошибкой, не обязательно в пределе = 0