Как найти частоту значений 7 класс

Цели урока:

• Сформировать
  понятия эксперимента со случайными исходами, абсолютной и относительной
  частоты.
• Формировать
  основы исследовательской деятельности, повышать интерес к учению, развивать
  умение анализировать, обобщать и систематизировать знания.
• Воспитывать
  ответственное отношение к учебному труду, дисциплинированность и собранность,
  коммуникативные качества личности.

Оборудование: компьютер, проектор,
экран.

Ход
урока

I. Самоопределение к
учебной деятельности

Цель этапа:

1. включить учащихся в
   учебную деятельность: «Что такое теория вероятностей»;
2. определить
   содержательные рамки урока: начинаем работать над темой «Частота и
   вероятность».

— Здравствуйте ребята!

— На прошлом уроке вы
получили задание подготовить сообщение по теме «Что такое теория вероятностей».
Давайте заслушаем сообщение.

Сообщение ученика

«Что такое теория
вероятностей»

В повседневной жизни в
разговоре часто используется слово «вероятность», например: «это невероятный
случай», «вероятнее всего он опоздает» и т.д. Здесь интуитивно оценивается
возможность того или иного события, исходя из здравого смысла, интуиции.
Например, мы заранее знаем, что на детский сеанс пойдет больше школьников, чем
взрослых, или, что при выполнении многих видов работ вредна торопливость, т.к.
в спешке можно сделать брак.

В задачах, которые мы
решаем на уроках математики у всех получается один и тот же ответ. И этот ответ
не зависит от способа решения задачи, а зависит только от правильности
выполнения вычислений. В реальной же жизни не все так просто. Многие события
нельзя предсказать заранее. Мы не можем знать, какая погода будет в первый день
весны, когда будет первая гроза. Нельзя наверняка сказать, сколько человек
решат позвонить по телефону в ближайший час. Кто может гарантировать, что если
я сейчас пойду в магазин, то обязательно встречу там свою одноклассницу. Все
эти события могут произойти, а могут не и не произойти. Поэтому эти события
называются случайными.

Оказывается, что
случайные события тоже имеют свои закономерности, которые изучает раздел
математики – Теория вероятностей.

Теория вероятностей
неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Она помогает оценить свои шансы
на успех, принимать оптимальные решения.

— Сегодня мы начинаем
знакомство с очень интересным разделом математики – теорией вероятностей.

II. Повторение

Цель этапа:

1. актуализировать учебное
   содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала:
   отношение двух чисел;
2. зафиксировать
   индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно
   значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: определение частоты.

1. Устная работа (задания проецируются на
экран)

1. Что
называется отношением двух чисел? (Отношением двух чисел называется их
частное).

2. Найдите
отношение чисел:

а) 4 к 8;  б) 2 к ; в) 0,5 к 0,125.

Ответ: а) 0,5; б) 3; в) 4.

3. Из
25 студентов группы 7 отличников. Какой процент всех студентов группы
составляют отличники?

Ответ: 28%.

4. Из
2000 зерен гороха 1800 оказались всхожими. Определите процент всхожести зерен.

Ответ: 90%.

5. Определите
процент содержания соли в растворе, если в 300 г раствора содержится 15 г соли.

Ответ: 5%.

2. Индивидуальное
задание:

За четверть домашнее
задание по алгебре было задано 16 раз.

а) Света два раза не
сделала домашнее задание. Какова частота невыполнения домашнего задания у Светы
за четверть?

б) Женя не сделал
домашнее задание девять раз. Какова частота выполнения домашнего задания у Жени
за четверть?

III. Выявление причины
затруднения и постановка цели деятельности

Цель этапа:

1. организовать коммуникативное
   взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство
   задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;
2. согласовать цель и тему
   урока.

— В чем причина
затруднения? (Не знаем, как определить частоту события).

— Какова цель урока? 
(Научиться находить частоту события).

— Запишите тему урока:
«Относительная частота случайного события».

IV. Изучение нового материала

Цель этапа:

1. организовать работу в
   малых группах для определения абсолютной и относительной частот случайного
   события.
2. актуализировать
   мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового
   материала: сравнение, анализ, обобщение;
3. зафиксировать новый
   способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

1. Теоретический
материал.

Частота случайного
события

Теория вероятностей
имеет дело с экспериментами, исходы которых непредсказуемы: они зависят от
случая. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно
вычислить, как часто оно происходит. Для этого используют важные величины:
абсолютную и относительную частоту.

Абсолютная частота показывает, сколько раз
в серии экспериментов наблюдалось данное событие.

Относительная частота показывает, какая доля
экспериментов завершилась наступлением данного исхода.

Определение. Относительной частотой
события А называют отношение абсолютной частоты к общему числу
n фактически проведенных
испытаний, т.е.

Поскольку 0 ≤ ≤ n, то относительная
частота выражается числом от 0 до 1. Относительную частоту принято выражать в
процентах.

При определении
относительной частоты случайного события результаты удобно сводить в таблицу.

2. Практическая часть

1) Проведем лабораторную
работу (работа в группах по 2 человека.)

Цель работы: определить
абсолютную и относительную частоту каждого исхода; выяснить, чему равна сумма
абсолютных частот и сумма относительных частот.

Оборудование: игральные кубики,
пластмассовые стаканчики.

Ход работы:

1. Провести
50 экспериментов по выбрасыванию игрального кубика из закрытого сосуда –
стаканчика.

2. Полученные
результаты оформить в виде таблицы.

3. Найдите
абсолютную и относительную частоты для каждого исхода.

4. Подсчитайте,
чему равна сумма абсолютных частот и чему равна сумма относительных частот.

5. Сделайте
вывод.

Протокол
экспериментального исследования частоты выпадения различных очков игрального
кубика.

События	Подсчеты	Абсолютная частота
А     1
В     2
С     3
D     4
E     5
F     6
		n  =

Дата_________        Подпись____________

2) Сведите все
результаты, полученные в классе, в одну общую таблицу.

3) Двое учеников
обрабатывают протокол и представляют информацию в виде сводной таблицы:

Сводная таблица
подготовлена в формате Excel, что позволяет быстро подвести итоги и вывести
результат на экран.

4) Проанализируйте, чему
равна сумма абсолютных частот и сумма относительных частот, в случае большого
числа экспериментов.

5) Сделайте вывод.

6) Как вы считаете,
справедливо ли использование кубика в настольных играх?

V. Самостоятельная работа
с последующей проверкой

Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в
типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для
самопроверки.

— Вернемся к заданию,
которое вызвало затруднение в начале урока.

За четверть домашнее
задание по алгебре было задано 16 раз.

а) Света два раза не
сделала домашнее задание. Какова частота невыполнения домашнего задания у Светы
за четверть?

б) Женя не сделал
домашнее задание девять раз. Какова частота выполнения домашнего задания у Жени
за четверть?

— После выполнения
задания, выполняется проверка. Правильное решение проецируется на экран.

А = {невыполненное
задание};

 = {выполненное задание}.

а) Найдем частоту
невыполнения домашнего задания Светой.

б) Найдем частоту
выполнения домашнего задания Женей.

0,4375

VI. Включение в систему
знаний и повторение.

Цель этапа:

1. тренировать навыки
   использования нового содержания совместно с ранее изученным: решение задач на
   определение среднего арифметического, размаха и моды ряда;
2. повторить учебное
   содержание, которое потребуется на следующих уроках: графики зависимостей.

— Вероятность тесно
связана со статистикой. Давайте вспомним основные статистические
характеристики.

— Найдите среднее
арифметическое ряда чисел, его моду и размах:

13; 15; 13; 12; 12; 12;
13;14; 13; 15; 13.

— Найдите абсолютную и
относительную частоту для значений, входящих в этот ряд.

— Чем являются графики
зависимостей? (Выражением на геометрическом языке различных зависимостей).

— Можно ли представить
величины, с которыми мы познакомились на уроке, графически? (Можно представит
графически зависимость частоты появления какого-либо события от числа
проведенных экспериментов).

— Вот этим мы и займемся
на следующем уроке.

VII. Рефлексия деятельности
на уроке.

Цель этапа:

1. зафиксировать новое
   содержание, изученное на уроке;
2. оценить собственную
   деятельность на уроке;
3. обсудить и записать
   домашнее задание.

– Что мы сегодня узнали?

– Что мы использовали
для определения частоты события?

– Это понятие
используется в практической деятельности человека? Где?

– Оцените свою работу на
уроке.

Домашнее задание: п 9.1, № 943.

Творческое задание: «Вероятность вокруг
нас» – подобрать задачи, содержащие сведения из повседневной жизни.

Частота и относительная частота

Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.

То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.

Разберемся на нашем примере с девушками:

Малая выборка. В таблице 2 приведены результаты исследования – измерения роста двадцати случайно выбранных девушек, живущих в Москве.

Табл. 2 Рост девушек, см (малая выборка)
164	170	160	163	170	171	166	169	166	165
167	164	168	164	167	165	164	158	159	167

В выборке размах значений равен 13: рост колеблется между 158 и 171 см. Среднее значение роста равно 165,35, медиана – 165,5.

Частота – это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько девушек с ростом 169 см? ?

Все верно, одна. Таким образом, частота встречи девушки с ростом 169 в нашей выборке равна 1.

Сколько девушек имеет рост 163? Да, опять же одна. Частота встречи девушки с ростом 163 в нашей выборке равна 1.

Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:

		Табл. 3 Группировка данных и нахождение частот (малая выборка)
158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171
1	1	1	0	0	1	4	2	2	3	1	1	2	1

Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки).

То есть в нашем примере: 1+1+1+0+0+1+4+2+2+3+1+1+2+1 =20

Перейдем к следующей характеристике – относительная частота.

Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду. Как правило, относительная частота выражается в процентах.

Обратимся опять к нашему примеру с девушками. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем (n=20) .

Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:

		Табл. 3 Группировка данных и нахождение относительных частот(малая выборка)
158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171
1	1	1	0	0	1	4	2	2	3	1	1	2	1
0,05	0,05	0,05	0	0	0,05	0,2	0,1	0,1	0,15	0,05	0,05	0,1	0,05

А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера средней выборки

Средняя выборка. Пополним наблюдения. К двадцати значениям
добавим ещё тридцать (см. таблицу 4). Среднее значение роста в этой выборке равно 165,3 см, а медиана – 165 см. Эти значения мало отличаются от тех, что были получены на малой выборке.

Табл. 4 Рост девушек, см (средняявыборка)
164	170	160	163	170	171	166	169	166	165
167	164	168	164	167	165	164	158	159	167
161	169	162	170	168	165	165	166	164	173
158	166	168	167	161	167	165	168	165	164
163	169	161	162	163	160	166	169	172	160

А размах вырос до 15 см. Это естественно: чем больше выборка, тем выше шансы, что в нее попадут очень высокие и очень низкие люди. Поэтому размах увеличивается, а среднее значение устойчиво.

n=50

Табл. 3 Группировка данных и нахождение частот (малая выборка)

158	159	160	161	162	163	164	165	166	167
2	1	3	3	1	4	6	6	5	5
0.04	0.02	0.06	0.06	0.02	0.08	0.12	0.12	0.1	0.1

168	169	170	171	172	173
4	4	3	1	1	1
0.08	0.08	0.06	0.02	0.02	0.02

Найдем сумму всех относительных частот в каждом случае. Она равна 1. Это и есть свойство относительных частот.

Дома. (Учебник 2022 г. стр.88 № 146- первые два фрагмента)

Частоту букв в русском языке можно приблизительно оценивать с помощью художественных текстов. Прочитайте отрывки из произведений

А.С.Пушкина.

« Дубровский»

По этим приметам немудрено вам отыскать Дубровского. Да кто же не с среднего роста, у кого не русые волосы, не прямой нос, да не карие глаза? Бьюсь об заклад, три часа будешь говорить с самим Дубровским, а не догадаешься, с кем бог тебя свёл. Нечего сказать, умные головушки приказные!

«Выстрел»

Рассеянные жители столицы не имеют понятия о многих впечатлениях, столь известных жителям деревень или городков, например, об ожидании почтового дня: во вторник и пятницу полковая наша канцелярия бывала полна офицерами: кто ждал денег, кто письма, кто газет

А) Посчитайте буквы «а», «о» и «и» в этих отрывках т составьте таблицу частот.

Б) Посчитайте буквы «и» и «т» и составьте таблицу частот. Можно ли по полученным данным судить , какая из букв «и» или «т»- используется чаще в русском языке?

План урока:

Частота и вероятность

Элементарные события

Противоположные события

Сложение вероятностей

Умножение вероятностей

Условная вероятность

Вероятность и геометрия

Частота и вероятность

В мире происходят события, которые можно предсказать. Например, можно предсказать приезд лифта после того, как человек нажмет кнопку его вызова. Астрономы могут заранее предсказывать солнечные и лунные затмения.

Однако нередко нам приходится иметь дело с событиями, результат которых заранее предсказать невозможно. Не получается заранее сказать, упадет ли монетка при подбрасывании орлом вверх, также как нельзя заранее предсказать поломку прибора. Такие события называются случайными.

Случайные события обычно могут произойти только в определенной ситуации. Так, событие «выпадение решки» может произойти только при броске монеты. В математике подбрасывание монетки будет называться испытанием или экспериментом.

Здесь не следует воспринимать термин «эксперимент» как некое научное исследование. Испытанием может оказаться любая жизненная ситуация. Приведем несколько примеров опытов и соответствующих им случайных событий:

• Бросок кубика с 6 гранями – это эксперимент, а выпадение или невыпадение шестерки на нем – это случайное событие.
• Полет самолета – испытание, а отказ двигателя в полете – это случайное событие.
• Ожидание автобуса на остановке в течение 10 минут – эксперимент, а появление или непоявление автобуса в этот промежуток времени – случайное событие.
• Футбольный матч – опыт, а победа в нем команды хозяев или травма одного из игроков – случайное событие.
• Выстрел из винтовки – испытание, а попадание в мишень – случайное событие.
• Изготовление рабочим детали – эксперимент, а получение бракованной детали – случайное событие.

Здесь важно отметить, что для математики не важно, является ли событие по-настоящему случайным. Возможно, что автобус ходит строго по расписанию, и человек, знающий его, точно может определить, через сколько минут он приедет. Но если рядом стоит другой человек, не знающий этой информации, то для него приезд автобуса будет случайным событием.

Предположим, что есть возможность провести какой-то эксперимент множество раз. Например, кубик можно бросить 500 раз. Обозначим это число, количество экспериментов, как n. В ходе серии этих бросков шестерка выпала, например, 85 раз. Обозначим эту величину, количество произошедших случайных событий, как m. Само событие «выпадение шестерки» обозначим как А. Тогда отношение m/n будет называться частотой случайного события А. В данном случае частота события А равна

85/500 = 0,17

Наблюдения показывают, что если условия экспериментов примерно одинаковы, а их число велико, то частота одного и того же события будет примерно одинаковой. Чем больше число испытаний, тем обычно ближе частота события к некоторому постоянному числу. Это число и называют вероятностью случайного события А.

Грубо говоря, частота и вероятность событий – это примерно одно и то же. Частоту определяют на практике, входе эксперимента, а вероятность можно рассчитать аналитически.

Вероятность – это величина, которая характеризует возможность события произойти. Если она близка к единице, то событие, скорее всего, произойдет. Если она близка к нулю, то событие, скорее всего, не случится. Для обозначения вероятности используется буква Р. Если надо указать вероятность конкретного события А, то его записывают как Р(А).

Вероятность – это безразмерная величина, то есть для нее нет никакой единицы измерения. Она может принимать значение от 0 до 1. Иногда на практике ее указывают в процентах. Например, вероятность 0,5 означает 50%. Чтобы перевести вероятность в проценты, ее надо просто умножить на 100.

Элементарные события

Часто одно случайное событие можно представить как результат нескольких случайных событий. Например, событие «выпадение на кубике четного числа» произойдет в том случае, если случится хотя бы одно из следующих событий:

• выпадет двойка;
• выпадет четверка;
• выпадет шестерка.

Если событие нельзя «разбить» на более простые события, то его называют элементарным событием. Считается, что в ходе испытания может произойти только одно элементарное событие. Так, при броске кубика произойдет одно из 6 элементарных событий:

• выпадет единица;
• выпадет двойка;
• выпадет тройка;
• выпадет четверка;
• выпадет пятерка;
• выпадет шестерка.

В большинстве случаев вероятность элементарных событий одинакова. Действительно, нет причин полагать, что при броске кубика шестерка будет выпадать чаще двойки. Если у двух элементарных событий одинаковая вероятность, то их называют равновозможными событиями.

Если в результате эксперимента происходит одно из равновозможных событий, число которых равно n, то вероятность каждого из них принимается равной дроби 1/n.

Например, при броске кубика может произойти 6 равновозможных событий. Значит, вероятность каждого из них равна 1/6. При броске монетки она может выпасть либо орел, либо решка. Этих событий два, и они равновозможны, поэтому их вероятность равна 1/2, то есть 0,5.

Пример. В урне 20 шариков, один из которых окрашен в желтый цвет. Какова вероятность, что человек, вытаскивающий вслепую один из шариков, вынет именно желтый шар?

Решение. Так как шаров 20, то возможны 20 равновозможных событий, одно из которых – вытаскивание желтого шара. Его вероятность равна 1/20 = 0,05

Ответ: 0,05

Пример. Вася составил произвольную последовательность из букв А, Б, В, Г, Д, и записал ее на бумаге. Каждую букву Вася использовал один раз. Аналогично свою последовательность записал и Петя. Какова вероятность, что они оба загадали одну и ту же последовательность.

Решение. Вася записал перестановку 5 букв. Общее количество таких перестановок равно 5! = 1•2•3•4•5 = 120. Все последовательности равновероятны. Значит, вероятность того, что они совпали, равна 1/120.

Ответ: 1/120

Противоположные события

Заметим, что если сложить вероятности всех элементарных событий, которые возможны в ходе эксперимента, то получится единица. Действительно, при броске монеты возможны два события с вероятностью 1/2. Сумма их вероятностей составляет 1/2 + 1/2 = 1.

Это правило действует и в том случае, когда речь идет о не равновозможных событиях. Так, при выстреле по мишени возможны два варианта развития событий – попадание в цель или промах. Пусть вероятность попадания в цель равна 0,3. Это значит, что вероятность промаха составляет 0,7, так как только в этом случае сумма этих вероятностей будет равна единице:

0,7 + 0,3 = 1

Заметим, что при стрельбе стрелок либо попадет в цель, либо промажет. То есть одно из двух этих событий обязательно произойдет, но только оно одно. Подобные события называют противоположными.

Противоположными являются такие события, как:

• падение монеты либо одной стороной вверх (орлом), либо другой (решкой);
• выпадение четного или нечетного числа на шестигранном кубике;
• изготовление рабочим годной или получение бракованной детали.

Стоит отметить, что победа одной и победа другой команды в футбольном матче – это не противоположные события, так как возможен третий исход – ничья. Однако в ряде спортивных состязаний ничья невозможна, и тогда победы команд – это противоположные события.

Очевидно, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример. Вероятность того, что рабочий изготовит годную деталь, оценивается в 0,97. Чему равна вероятность изготовления бракованной детали?

Решение. Изготовление бракованной детали (обозначим это событие как А) и получение годного изделие (событие Б) – это два противоположных события. Их сумма равна единице

Р(А) + Р(B) = 1

По условию Р(А) = 0,97. Тогда

0,97 + Р(В) = 1

Перенесем в равенстве слагаемое 0,97 в правую часть и получим:

Р(B) = 1 – 0,97

Р(В) = 0,03

Ответ: 0,03

Сложение вероятностей

До этого мы рассматривали элементарные события. Однако значительно чаще нас интересуют более сложные события, которые состоят из элементарных. Как рассчитать их вероятность?

Введем понятие несовместных событий.

Так, при броске кубика не может сразу выпасть пятерка и четное число (потому что 5 – это нечетное число). Хоккейный матч не может одновременно окончиться и ничьей, и победой одной из команд.

Заметим, что любые два элементарных события несовместны, также как и любые два противоположных события.

Для несовместных событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Пример. В забеге на 1500 метров участвуют два китайца. Эксперты полагают, что вероятность победы Мао Луня составляет 0,16, а шансы Ван Юнпо оцениваются в 0,14. Если эти оценки справедливы, то каковы шансы того, что чемпионом станет китаец?

Решение. Обозначим победу Мао Луня как событие А, а победу Ван Юнпо – как Б. Очевидно, что события несовместны, так как победитель будет лишь один. По Условию Р(А) = 0,16, а Р(В) = 0,14.

Событие «победа китайца» произойдет, если выиграет хоть один из этих спортсменов, поэтому произведем сложение вероятностей:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 0,16 + 0,14 = 0,3

Ответ: 0,3

Заметим, что выполнять сложение вероятностей событий можно и в случае, когда несовместных событий больше двух.

Пример. При стрельбе по мишени стрелок выбьет 10 баллов (максимальный результат) с вероятностью 0,2, 9 баллов с вероятностью 0,25, 8 баллов с вероятностью 0,15. Какова вероятность, что стрелок НЕ наберет даже 8 баллов одним выстрелом?

Решение. Здесь несовместные события – это выбивание 10 (событие А), 9 (В) и 8 (С) баллов. Действительно, в ходе одного выстрела стрелок покажет только один результат. Если одно из этих событий случится, то спортсмен получит не менее 8 баллов. Вероятность этого события равна:

Р(А или В или С) = 0,2 + 0,25 + 0,15 = 0,6

Но нас спрашивают о другом, о вероятности того, что стрелок НЕ наберет 8 очков. Очевидно, что он их либо наберет, либо нет. Значит, это противоположные события, поэтому сумма равняется 1. Мы посчитали, что стрелок наберет 8 баллов с вероятностью 0,6. Значит, он не наберет их с вероятностью

1 – 0,6 = 0,4

Ответ: 0,4

Пример. В урне лежит 500 шариков, из которых 120 являются черными. Человек вслепую вытаскивает из урны один шар. Какова вероятность, что он будет черным.

Решение. Присвоим каждому шару номер от 1 до 500, причем первые 120 номеров получат черные шары. Обозначим вероятность того, что вытащат шар с номером n, как Р(n). Очевидно, что события «выбран шар 1», «выбран шар 2», … «выбран шар 500» – это элементарные и равновозможные события. Их вероятность равна 1/500:

Р(1) = Р(2) = Р(3) =…..=Р(500) = 1/500

Эти события несовместны, как и любые элементарные события. Значит, вероятность того, что вытащат черный шар, равна сумме вероятностей:

Р(выбран черный шар) = Р(1) + Р(2) + … + Р(120)

В этой сумме 120 слагаемых, каждое из которых равно 1/500. Следовательно, вся сумма равна произведению 120 и 500

Р(выбран черный шар) = 120•(1/500) = 120/500 = 0,24

Ответ: 0,24

В этом примере рассматривался особый случай, когда все элементарные события (вытаскивание конкретного шарика) равновозможны, и несколько из них приводили к одному событию (вытаскиванию черного шара). В итоге мы получили, что вероятность этого события равна отношению числа «благоприятных» для него равновозможных событий (120) к общему числу этих событий (500). Такой же результат мы получим при рассмотрении любой схожей задачи.

В результате мы получили одну из основных формул теории вероятности.

Пример. Компьютер случайным образом генерирует число от 1 до 200. Вероятность появления каждого числа одинакова. Какова вероятность того, что он сгенерирует число от 51 до 75 (включительно)?

Решение. Задача предполагает 200 равновозможных исходов события. Из них 25 (между 51 и 75 находится 25 чисел) являются «благоприятными». Тогда вероятность описанного события равна отношению 25 к 200:

Р = 25/200 = 1/8 = 0,125

Ответ: 0,125

Ещё раз напомним принципиальный момент. Такой метод решения задач может быть применен только в том случае, когда все элементарные события равновероятны!

Пример. Изготовлено 10 велосипедов, но из них 3 – с дефектом. Необходимо выбрать 4 велосипеда. Каков шанс, что они все будут без дефекта?

Решение. Выбирая 4 велосипеда из 10, мы составляем, с точки зрения комбинаторики сочетание из 10 по 4. Подсчитаем количество возможных сочетаний:

Теперь подсчитаем, сколько можно составить сочетаний, не содержащих дефектный велосипед. Годных велосипедов 10 – 3 = 7, из них надо выбрать 4. Имеем сочетания из 7 по 4:

Вероятность выбора качественных велосипедов равна отношению количества «благоприятных» исходов (их 35) к общему числу возможных исходов:

Р = 35/210 = 1/6

Ответ: 1/6

Пример. В турнире по футболу участвуют команды «Барселона», «Реал», «Атлетико» и «Валенсия». Эксперты полагают, что:

1. шансы «Атлетико» выиграть чемпионат 1,5 раза выше шансов «Валенсии»;
2. шансы «Реала» и «Атлетико» равны;
3. шансы «Барселоны» на победу в 4 раз больше шансов «Реала».

Определите вероятность победы каждой команды в турнире.

Решение.

Обозначим за х вероятность победы «Валенсии». Шансы «Реала» и «Атлетико» в 1,5 раза выше, а потому составляют по 1,5х. Вероятность триумфа «Барселоны» в 4 раза выше, чем у «Реала», а потому составляют 4•1,5х = 6х.

Ясно, что турнир выиграет лишь одна команда, то есть речь идет о несовместных событиях. С другой стороны, какая-то команда обязательно его выиграет, а потому в вероятности побед команд дадут единицу. В результате, используя формулу сложения вероятностей, можно записать уравнение:

х + 1,5х + 1,5х + 6х = 1

10х = 1

х = 0,1

Решив уравнение, мы нашли, что шансы триумфа «Валенсии» составляют всего 0,1. Шансы «Реала» и «Атлетико» равны

1,5х = 1,5•0,1 = 0,15

Вероятность успеха «Барселоны» составляет

6х = 6•0,1 = 0,6

Ответ. «Барселона» – 0,6, «Реал» и «Атлетико» – по 0,15, «Валенсия» – 0,1.

Умножение вероятностей

До этого мы рассматривали сложные события, которые происходили тогда, когда происходило одно из элементарных событий. Например, в забеге, где участвовали два китайца, представитель Поднебесной побеждал, если выигрывал ИЛИ 1-ый китаец, ИЛИ 2-ой. Ключевое слово здесь – ИЛИ.

Однако в некоторых случаях событие происходит лишь тогда, когда происходят одновременно сразу два более простых события. Пусть надо вычислить вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты они оба раза упадет на орлом вверх. Возможны 4 случая:

• сначала выпадет орел, потом еще раз орел (назовем этот случай ОО);
• сначала падает орел, а потом решка (ОР);
• первым выпадет решка, а потом орел (РО);
• оба раза выпадет решка (РР).

Все 4 исхода удобно представить в виде таблицы. По вертикали запишем результат 1-ого броска монеты, а по горизонтали – второго:

Видно, что лишь в одном из 4 случаев орел выпадет оба раза. Поэтому вероятность будет равна 1/4, или 0,25.

Этот результат можно было получить иначе. Событие ОО случится, только если случатся два события: Орел выпадет при первом броске,и он же выпадет во второй раз. Вероятность каждого из них равна 1/2, или 0,5. Если перемножить эти две вероятности, то снова получим 0,5•0,5.

Рассмотрим более сложный случай с броском двух шестигранных кубиков. Какова вероятность, что в сумме выпадет ровно 12 очков. Снова построим таблицу, по вертикали укажем результат первого броска, по горизонтали – второго, а в ячейках – выпавшую сумму:

Всего получилась табличка с 36 ячейками. Лишь в одной из них стоит число 12. Эта сумма на кубиках будет лишь тогда, когда на обоих кубиках выпадет по шестерке. Так как ячеек 36, а каждая комбинация равновозможна, то вероятность выпадения 12 равна 1/36. Обратите особое внимание, что, например, семерка записана сразу в 6 ячейках (по диагонали, начиная с нижнего левого угла). Значит, вероятность выпадения семерки за 2 броска равна 6/36 = 1/6. И действительно, на практике 7 очков выпадет у игроков в 6 раз чаще, чем 12. Посчитайте с помощью таблицы самостоятельно, какого вероятность выпадения 10 очков.

Как и в случае с монеткой, число вероятность 1/36 можно получив, перемножив вероятность того, что в первой кости выпадет шестерка (1/6), и того, что на второй кости выпадет она же (1/6):

(1/6)•(1/6) = 1/36

Введем одно важное понятие – независимые события.

Так, какое бы число не выпало на 1-ой кости, вероятность выпадения на второй, например, четверки останется равной 1/6. Как бы ни падала монетка при первом броске, при 2-ом шанс выпадения орла останется равным 1/2.

Для наглядности приведем пример зависимых событий. Пусть А – вероятность победы в забеге одного бегуна, и Р(А) = 0,1. В – вероятность победы второго бегуна, и Р(В) = 0,1. Но очевидно, что победить может лишь один спортсмен. Поэтому, если случится событие А, то вероятность события В изменится – она опустится до нуля.

Таблички, которые мы строили для игры в кости, не всегда удобно использовать, поэтому на практике используют теорему умножения вероятностей.

Ещё раз обратим внимание, что оно действует только для независимых случайных событий.

Пример. Рабочий изготавливает две детали. Вероятность изготовления первой детали с браком составляет 0,05, а второй детали – 0,02. Рабочего оштрафуют, если обе детали будут сделаны с браком. Какова вероятность штрафа для рабочего?

Решение. Штраф выпишут, если одновременно произойдет два независимых события – будет допущен брак при изготовлении И 1-ой, И 2-ой детали. Ключевое слово – И, а не ИЛИ, как в случае со сложением вероятностей. Вероятность такого развития событий найдем, произведя умножение вероятностей:

0,05•0,02 = 0,001

Ответ: 0,001

Умножение вероятностей событий возможно и тогда, когда их больше двух.

Пример. Для победы команды в турнире ей надо выиграть все 4 оставшиеся встречи. Вероятность победы в каждой игре составляет 80%. Какова вероятность победы в турнире?

Решение. Обозначим вероятности победы в отдельных матчах как Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. По условию они все равны 0,8. Команда станет чемпионом, только если случатся все события. Вероятность этого можно найти, применив формулу умножения вероятностей:

Р₁ • Р₂ • Р₃ • Р₄ = (0,8)⁴ = 0,4096

Ответ: 0,4096

Пример. В первой партии 4% лампочек бракованы, а во второй – 5%. Из каждой партии берут по лампочке. Какова вероятность того, что обе выбранных лампочки окажутся бракованными? Какова вероятность, что они обе окажутся исправными? Какова вероятность, что ровно одна лампа будет бракованной?

Решение. Обозначим выбор бракованной детали из 1-ой партии как событие «брак-1», а выбор годной детали (годная-1). Эти события противоположны, то есть сумма их вероятностей равна единице.

Р(брак-1) + Р(годная-1) = 1

Р(годная-1) = 1 – Р(брак-1)

По условию Р(брак-1) = 0,04. Следовательно, Р(годная-1) = 1 – 0,04 = 0,96.

Аналогично для второй партии можно записать, что Р(брак-2) = 0,05, Р(годная-2) = 0,95.

Будут выбраны две бракованные детали только в том случае, когда произойдут события Р(брак-1) и Р(брак-2). Вероятность этого, по правилу умножения вероятностей, равна:

0,05•0,04 = 0,002

Две годные детали бут выбраны, если одновременно случатся события Р(годная-1) и Р(годная-2). Это случится с вероятностью

0,95•0,96 = 0,912

Ответ: 0,002; 0,912

Пример. По мишени стреляют из двух орудий. Вероятность попадания из первого орудия составляет 0,3, а из второго – 0,4. С какой вероятностью по мишени попадет ровно одно орудие?

Решение. Пусть событие «попал-1» означает попадание из 1-ого орудия, а «попал-2» – попадание из 2-ого орудия. Казалось бы, нам надо найти вероятность попадания ИЛИ 1-ого, ИЛИ 2-ого орудия. Однако слово ИЛИ здесь не означает, что вероятности можно просто сложить! Вспомним, что закон сложения вероятностей действует только для несовместных событий. Но выстрелы из орудий таковыми не являются, так как возможно одновременное попадание двух снарядов в мишень.

Введем события «промах-1» и «промах-2», означающие промах из 1-ого или второго орудия. Их вероятности составляют

Р(«промах-1») = 1 – Р(«попал-1») = 1 – 0,3 = 0,7

Р(«промах-2») = 1 – Р(«попал-2») = 1 – 0,4 = 0,6

Одно попадание случится в случае, если произойдет одно из двух «сложных» событий:

• событие А – первая пушка стреляет точно, а вторая мажет;
• событие Б – первая пушка мажет, а вторая попадает в цель.

Вероятность события А можно рассчитать так:

Р(А) = Р(«попал-1») •Р(«промах-2») = 0,3•0,6 = 0,18

Аналогично рассчитаем и вероятность Б:

Р(Б) = Р(«попал-2») •Р(«промах-1») = 0,4•0,7 = 0,28

События А и Б несовместны, а потому их вероятности можно сложить

Р(А) + Р(Б) = 0,18 + 0,28 = 0,46

Ответ: 0,46

Условная вероятность

Иногда можно перемножать вероятности событий, не являющихся в полном смысле слова независимыми. Пусть для того, чтобы произошло событие А, необходимо, чтобы последовательно произошли В и С. В зависимости от того, произошло ли В, вероятность С может отличаться. Например, в урне лежат 4 шарика – 2 красных и 2 желтых. Предположим, что произошло событие В – был вытащен красный шар. Его вероятность равна 0,5. Чему тогда равна вероятность события С – вытаскивания желтого шарика? В урне осталось 3 шара, из них 2 желтых, поэтому Р(С) = 2/3.

С другой стороны, пусть В не произошло, то есть первым был вынут желтый шар. Чему тогда равна вероятность С? В урне снова 3 шарика, но лишь 1 из них желтый. Следовательно, Р(С) = 1/3. Получается, что в зависимости от того, случилось ли В, вероятность Р(С) принимает разные значения. В математике такую вероятность называют условной.

Обозначается она так:

Р(С|B).

Первая буква в скобках соответствует событию, для которого указываем вероятность, а вторая буква – событию, которое является условием для С.

Если событие А произойдет тогда, когда свершится сначала В, а потом С, то вероятность А также можно найти с помощью умножения

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

Пример. В урне находится 52 шара, из них на 4 написана буква Т. Из урны последовательно вынимаются два шара. Какова вероятность, что на обоих вытащенных шарах будет буква Т?

Решение. Так как в урне 52 шара, и лишь на 4 есть буква Т, то шанс на то, что первым вытащат именно шар с буквой Т, равен 4/52 = 1/13. Если это событие произошло, то в урне остался 51 шар, и лишь на трех будет находиться нужный символ. Тогда вероятность появления шара с буквой Т составит 3/51 = 1/17. Общая же вероятность появления 2 таких шаров подряд найдется как произведение этих вероятностей:

Р = (1/13)•(1/17) = 1/221 ≈ 0,004525

Эту вероятность можно рассчитать и иначе, по аналогии с задачей про бракованные велосипеды, которая приведена выше. Подсчитаем, сколькими способами можно выбрать 2 шара из 52:

Но всего 6 способами можно выбрать 2 шара из 4:

Поделив число благоприятных исходов на их общее количество, получим искомую вероятность:

Р = 6/1326 = 1/221.

Ответ: 1/221

Пример. Известно, что вероятность мужчины дожить до 90 лет составляет 5,126%, а до 95 лет – 1,326%. С какой вероятностью мужчина, которому уже сейчас 90 лет, доживет до 95 лет?

Решение. Пусть А – это дожитие до 95 лет, С – дожитие 90-летнего мужчины до 95 лет, В – дожитие до 90 лет. Чтобы отпраздновать 95-летие, человек сначала должен отметить 90-летний юбилей, а потом ещё прожить 5 лет. Другими словами, чтобы случилось А, сначала должно случиться В, а потом событие С при условии В. То есть можно записать

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

По условию Р(А) = 0,01326, а Р(В) = 0,05126. Зная это, легко найдем Р(С|B):

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

0,01326 = 0,05126•Р(С|B)

Р(С|B) = 0,01326/0,05126 ≈ 0,2587

Это и есть вероятность мужчины, отметившего 90-ый день рождения, дожить до 95 лет.

Ответ: 0,2587

Вероятность и геометрия

Теория вероятности затрагивает и геометрию. Пусть есть отрезок АВ, в середине которого располагается точка С.

Теперь мы ставим на отрезке АВ случайную точку D. С какой вероятностью она попадет наАС, а с какой на ВС? Так как эти отрезки ничем не отличаются, то можно предположить, что события «попадание точки на АС» и «попадание точки на ВС» являются равновероятными событиями. Так и есть. Их вероятность обоих событий составляет 0,5.

Теперь предположим, что точка С выбрана так, что отрезок АС вдвое короче, чем ВС, то есть ВС = 2 АС:

Чему в этом случае равны вероятности попадания случайной точки D на отрезки АС и ВС? Для ответа на этот вопрос раздели ВС надвое с помощью ещё одной точки K:

Получили три одинаковых отрезка АС, СК и КВ. Раз они одинаковы, то и вероятности случайной точки оказаться на каждом из этих отрезков равны:

Р(АС) = Р(СК) = Р(КВ) = 1/3

Отсюда вероятность попадания точки на ВС равна 2/3:

Р(ВС) = Р(СК) + Р(КВ) = 1/3 + 1/3 =2/3

Получили, что вероятность попадания точки на ВС вдвое выше, чем на АС. И при этом ВС вдвое длиннее. И это не случайно. В общем случае верно следующее правило:

Данное свойство может пригодиться не только в геометрии, но и при решении задач.

Пример. Прохожий пришел на остановку автобуса в случайный момент времени. Он знает, что автобус ходит с интервалом в 40 минут, но не знает, когда отъехал предыдущий автобус. С какой вероятностью автобус придется ждать менее 10 минут?

Решение. Построим схему. На ней время будем откладывать по горизонтальной оси. Отметим точки, соответствующие приезду автобуса (А₁, А₂, А₃, А₄), и точку, соответствующую приходу прохожего (D):

Ясно, что точка D окажется между какими-то двумя точками, которым соответствуют последовательные прибытия поезда.На рисунке это А₂ и А₃. В каком случае время ожидания составить менее 10 минут? В том случае, если точка D окажется на «расстоянии» менее 10 минут от точки А₃, то есть попадет в отрезок ВА₃:

Отрезок ВА₃ вчетверо короче отрезка А₂А₃, поэтому вероятность точку D попасть на него составляет 1/4. Именно такова вероятность, что прохожему придется ждать автобус менее 10 минут.

Ответ: 1/4

В случае, когда точка случайным образом ставится не на отрезке, а на плоской фигуре, то справедливо следующее правило:

Пример. В треугольнике АВС проведена средняя линия NM. С какой вероятностью случайная точка, отмеченная на треугольнике АВС, попадет и на треугольник ANM?

Решение. Средняя линия NM параллельна стороне ВС (это свойство средней линии), а потому равны углы АNM и АВС (соответственные углы при параллельных прямых). Это значит, что треугольники АВС и ANM подобны по двум равным углам. Коэффициент подобия равен 1/2, так как AN/АВ = 1/2. Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия, поэтому площадь АMN в 4 раза меньше площади АВМ. По условию точка гарантированно попадает в АВС, то есть вероятность этого события равна 1. Тогда вероятность попадания точки в АNM будет в 4 раза меньше и составит 1/4 .

Ответ:1/4.