Углы правильного многоугольника делятся на :
- центральный угол;
- внутренний угол;
- внешний угол.
Сумма внутреннего и внешнего угла равна (180°).
Сумма внутренних углов правильного многоугольника с (n) сторонами равна:
((n — 2)180°)
Для нахождения внутреннего угла используют формулу:
(alpha = frac{{{{180}^o}(n — 2)}}{n})
(n)— число сторон
Для нахождения внешнего угла используют формулу:
(varphi = frac{{{{360}^o}}}{n})
(n)— число сторон
Для нахождения центрального угла используют формулу:
(beta = frac{{{{360}^o}}}{n})
(n)— число сторон
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Углы многоугольника
- Сумма внутренних углов
- Сумма внешних углов
Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.
Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.
Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.
Сумма внутренних углов
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.
s = 2d(n — 2),
где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.
Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:
Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:
s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.
Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.
Сумма внешних углов
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).
s = 4d,
где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).
Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:
Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n — 2):
s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Многоугольник – это любая замкнутая фигура с тремя и более сторонами, которые представляют собой прямые отрезки. Каждая вершина многоугольника содержит как внутренний, так и внешний угол (изнутри и снаружи фигуры, соответственно). Для решения разных геометрических задач полезно знать, как соотносятся эти углы. В частности, необходимо уметь вычислять сумму внутренних углов многоугольника. Это можно сделать по формуле или через разбиение многоугольника на треугольники.
-
1
-
2
Найдите число сторон многоугольника. Помните, что у многоугольника должно быть не менее трех сторон.
- Например, если дан шестиугольник, то число сторон равно 6.
-
3
Подставьте число сторон в формулу. Найденное значение подставьте в формулу вместо
. Помните, что – это число сторон многоугольника.
-
4
Вычислите сумму углов. Для этого из числа сторон вычтите 2, а затем результат умножьте на 180. Вы получите суммe внутренних углов многоугольника (в градусах).
Реклама
-
1
Нарисуйте многоугольник, сумму углов которого нужно вычислить. У многоугольника может быть сколько угодно сторон (но не менее трех), и он может быть правильной или неправильной формы.
- Например, нужно вычислить сумму внутренних углов шестиугольника. Нарисуйте шестиугольник.
-
2
Выберите любую вершину. Обозначьте ее как A.
- Вершина – это точка, в которой сходятся две стороны многоугольника.
-
3
Соедините точку А с определенными вершинами многоугольника. Линии, соединяющие вершины, не должны пересекаться. Так вы разобьете многоугольник на треугольники.
- Выбранную вершину не нужно соединять со смежными ей вершинами, так как они соединены сторонами многоугольника.
- Например, в случае шестиугольника выбранную вершину нужно соединить с тремя другими вершинами, чтобы получить 4 треугольника.
-
4
Умножьте число треугольников на 180. Так как сумма углов треугольника равна 180, умножив количество треугольников на 180, вы найдете сумму внутренних углов многоугольника.
- В нашем примере шестигранник разбивается на 4 треугольника. Таким образом, , то есть сумма внутренних углов шестиугольника равна 720 градусов.
Реклама
- В нашем примере шестигранник разбивается на 4 треугольника. Таким образом,
Советы
- Проверьте ответ при помощи транспортира, измерив каждый угол вручную. Для этого аккуратно нарисуйте прямые стороны многоугольника.
Реклама
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Транспортир (по желанию)
- Ручка
- Ластик
- Линейка
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 38 537 раз.
Была ли эта статья полезной?
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Понятие угла
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Стороны угла – лучи, которые образуют угол.
Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.
Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.
Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .
Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .
Виды углов:
Биссектриса угла
Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.
Или
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.
∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2
Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .
Углы, образованные при пересечении двух прямых
Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.
Свойство: вертикальные углы равны.
Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.
Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .
Пример:
Пары углов
( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )
называются вертикальными.
По свойству вертикальных углов:
∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C
Пары углов
( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )
называются смежными.
По свойству смежных углов:
∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей
Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.
Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
Пары углов:
( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )
называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).
Пары углов:
( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )
называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).
Пары углов:
( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )
называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).
Пары углов:
( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )
называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).
Пары углов:
( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )
называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).
Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:
- Соответственные углы равны.
- Внутренние накрест лежащие углы равны.
- Внешние накрест лежащие углы равны.
- Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
- Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .
Сумма углов многоугольника
Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:
S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )
где n – это количество углов в n -угольнике.
Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.
Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °
Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °
Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °
Так можно продолжать до бесконечности.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:
Чтобы найти величину угла правильного n -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.
α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с углами
Скачать домашнее задание к уроку 2.