Как найти через какую точку проходит прямая

Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.

Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:

  • каноническое уравнение,
  • параметрическое уравнение,
  • общее уравнение прямой,
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом,
  • уравнение прямой в полярных координатах и другие.

Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

xa и ya — координаты первой точки A,

xb и yb — координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}

xa, ya — координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m} — координаты направляющего вектора прямой,

t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}

xa, ya и za — координаты первой точки A,

xb, yb и zb — координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }

xa, ya и za — координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m;n} — координаты направляющего вектора прямой,

t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}

Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}

Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }

где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.

Найдем координаты направляющего вектора:

overline{AB} = {x_b — x_a; y_b — y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}

Получаем параметрическое уравнение:

begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Источник

Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.

Здесь будет калькулятор

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kx+by=kx+b,

где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.

Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Задача 1

Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.

Решение

Подставляем значения в формулу:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)

y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)

Приводим подобные слагаемые:

y=x+1y=x+1

Ответ

y=x+1y=x+1

Общее уравнение прямой

Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:

y−x−1=0y-x-1=0

Уравнение прямой по двум точкам

Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:

Уравнение прямой по двум точкам

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},

где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.

Задача 2

Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).

Решение

x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}

x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}

x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}

x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}

y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)

y=8−2x−1y=8-2x-1

y=−2x+7y=-2x+7

Ответ

y=−2x+7y=-2x+7

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Уравнение прямой по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.

Задача 3

Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).

Решение

x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,

x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0

x−5y=−40+7x-5y=-40+7

x−5y=−33x-5y=-33

5y=x+335y=x+33

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Проверка

Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.

8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}

8=88=8 — верно, ответ правильный.

Ответ

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:

Уравнение прямой в пространстве

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.

Задача 4

Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).

Решение

x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:

1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.

Такой вид уравнения прямой называется каноническим.

Ответ

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Тест по теме “Составление уравнения прямой”

Источник

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямых, параллельных осям координат

Возьмем прямую линию, параллельную оси Оу и проходящую на расстоянии а от нее (рис. 10).

Прямая линия

Все точки этой прямой одинаково удалены от оси ординат на расстояние, равное а. Следовательно, для каждой точки прямой АМ абсцисса одна и та же, а именно:

х = а, (1)

ордината же различна. Таким образом, уравнение (1) вполне определяет прямую, параллельную оси Оу, а потому оно является ее уравнением. Возьмем прямую, параллельную оси Ох, на расстоянии.

Прямая линия

равном b от нее (рис. 11). Все точки этой прямой одинаково удалены от оси Ох на расстояние, равное b , т. е. любая точка прямой ВМ имеет постоянную ординату, а именно:

Прямая линия

абсциссу же различную. Как видно, уравнение (2) вполне определяет прямую, параллельную оси Ох, а потому оно является ее уравнением.

По уравнениям (1) и (2) можно построить соответствующие им прямые. Пусть, например, дана прямая х = — 4. Отложив на оси Ох отрезок ОА = — 4 (рис. 12) и проведя через точку А прямую, параллельную оси Оу, получим искомую прямую.

Прямая линия

Уравнения осей координат

Возьмем уравнение прямой, параллельной оси Оу:

х = а

и станем в нем уменьшать абсолютную величину а, тогда прямая, определяемая этим уравнением, будет приближаться к оси Оу, оставаясь все время ей параллельной, и при а = 0 сольется с ней. Уравнение х = 0 является уравнением оси Оу.

Если же в уравнении у = b прямой, параллельной оси Ох, будем уменьшать абсолютную величину b то эта прямая станет приближаться к оси Ох, оставаясь ей параллельной, и при b = 0 с ней совпадет. Таким образом, уравнение у = 0 будет уравнением оси Ох.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат

Проведем прямую через начало координат под угломПрямая линия

к оси Ох (рис. 13). Принято положительный угол а отсчитывать от положительного направления оси абсцисс в сторону, противоположную движению часовой стрелки (рис. 13), а отрицательный — по часовой стрелке.

Прямая линия

Возьмем на проведенной прямой произвольную точку М (х; у). Опустив перпендикуляр МР на ось Ох, получим прямоугольный треугольник ОМР, из которого найдем:

Прямая линия

Но

Прямая линия

Прямая линия

Координаты любой точки прямой ОМ удовлетворяют полученному уравнению; можно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой ОМ, не удовлетворяют ему; поэтому оно является уравнением прямой ОМ. Итак,

Прямая линия

есть уравнение прямой, проходящей через начало координат. В нем х и у — текущие координаты, а Прямая линия — угловой коэффициент.

Определение:

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси Ох.

Величина Прямая линия может быть как положительной, так и отрицательной. Если угол а острый, то тангенс его имеет положительное значение; если же угол а тупой, —то отрицательное. Поэтому величина Прямая линия в уравнении прямой будет положительной, если а — острый угол, и отрицательной, если тупой.

Заметим, что при а = 90° углового коэффициента не существует, так как 90° не имеет числового значения.

Зная угловой коэффициент прямой у = Прямая линиях, можно определить ее положение.

Пусть требуется построить прямую у= 2х.

Для этого найдем угол а из условия

откуда:

Прямая линия

Построив при точке О найденный угол, мы и получим искомую прямую (рис. 14).

Прямая линия

Построение этой прямой можно провести и проще.

Известно, что положение прямой определяется двумя точками, поэтому для решения задачи нужно знать их координаты. В нашем же случае достаточно определить координаты одной точки, так как вторая (начало координат) нам известна. Для этого дадим х произвольное значение, например х = 2, тогда из уравнения прямой найдем:

Прямая линия

Значения х = 2 и у = 4 и будут координатами точки, лежащей на данной прямой. Построив эту точку, проведем через нее и начало координат прямую линию (рис. 14).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой

Пусть дана прямая ОС, проходящая через начало координат под углом а к положительному направлению оси Ох (рис. 15)

Прямая линия

Ее уравнение имеет вид

Прямая линия

где Прямая линия .

Проведем прямую Прямая линия отсекающую на оси Оу отрезок ОВ = b. Прямая АВ составляет с положительным направлением оси Ох тот же угол а. Пусть М(х; у)— произвольная точка прямой АВ. Из рис. 15 найдем:

Но

Прямая линия

Подставив значение РМ1 в равенство (1), получим уравнение прямой АВ в виде:

Прямая линия

где Прямая линия — угловой коэффициент, а b называется начальной ординатой.

Заметим что прямая Прямая линия получается смещением всех точек прямой Прямая линия (рис. 15) на отрезок b вверх (при положительном b) и вниз при отрицательном b .

Прямая линия

Уравнение Прямая линия определяющее прямую проходящую через начало координат, является частным случаем уравнения (2) при b = 0.

Зная угловой коэффициент Прямая линия и начальную ординату b можно определить положение прямой. Пусть, например, требуется построить прямую Прямая линия

Из данного уравнения имеем:

откуда

Прямая линия

Проведем через начало координат прямую МN под углом в 45 градусов к положительному направлению оси Ох (рис. 16). На прямуюПрямая линия

Как видно из уравнения ее пересекает ось Оу на расстоянии ОС, равном 4 единицам масштаба от начала координат.

Поэтому прямая АВ, проведенная через точку С параллельно прямой МN, и будет искомой.

Однако проще построить указанную прямую по двум ее точкам. Удобнее для этого брать точки пересечения прямой с осями координат. Одна из них — точка С пересечения прямой с осью Оу— дается самим уравнением, а именно С(0; 4). Для нахождения точки D пересечения этой прямой с осью Ох положим в данном уравнении y = 0, получим х = — 4; значит, прямая пересекает ось Ох в точке D (-4; 0). Строим точки С и D и проводим через них искомую прямую.

Прямая линия

Пример:

Найти уравнения прямых АВ, СD и ЕF, изображенных на рис. 17.

Решение:

Чтобы написать уравнения данных прямых, нужно определить величины Прямая линия и b, а затем подставить их значения в уравнение Прямая линия

Для прямой АВ

Прямая линия

Прямая линия

Следовательно, уравнения данных прямых будут:

Прямая линия

Общее уравнение прямой

В предыдущей лекции были выведены следующие виды уравнения прямой: уравнение прямой, параллельной оси Оу:

Прямая линия

уравнение прямой, параллельной оси Ох:

Прямая линия

уравнение оси Оу:

Прямая линия

уравнение оси Ох:

Прямая линия

уравнение прямой, проходящей через начало координат:

Прямая линия

уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:

Прямая линия

Уравнения (1) — (6) исчерпывают все возможные положения прямой, поэтому можно сказать, что

всякая прямая линия определяется уравнением первой степени относительно текущих координат.

Покажем теперь, что указанные виды уравнения прямой можно получить из уравнения

Прямая линия

при некоторых частных значениях коэффициентов А, В и С.

I. Если В = 0, то уравнение (7) обратится в следующее:

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Положив

Прямая линия

получим

Прямая линия

Уравнение Прямая линия есть уравнение прямой, параллельной оси Оу.

II. Если А = 0, то

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

Положив

Прямая линия

получим

Прямая линия

Уравнение Прямая линия определяет прямую, параллельную оси Ох.

III. Если В = 0 и С = 0, то

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

IV. Если А = 0 и С = 0, то

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

V. Если С = 0, то

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

Положим

Прямая линия

тогда

Прямая линия

Уравнение Прямая линия определяет прямую, проходящую через начало координат.

VI. Если ни один из коэффициентов уравнения (7) не равен нулю, то и в этом случае его можно преобразовать в знакомую нам форму уравнения прямой. Найдем из уравнения (7) значение у:

Прямая линия

Положив

Прямая линия

и

Прямая линия

можем написать

Прямая линия

Следовательно, уравнение

Прямая линия

включает в себя все рассмотренные нами ранее уравнения прямой; поэтому оно называется общим уравнением прямой. Итак, всякое уравнение первой степени

Прямая линия

при любых значениях коэффициентов А, В и С, исключая одновременное равенство А и В нулю, определяет прямую линию.

Пример:

Построить прямую Прямая линия

Решение:

Проще всего построить прямую по двум ее точкам пересечения с осями координат. Положив в данном уравнении у = 0, получим х =- 5; координаты (-5; 0) и будут определять положение точки пересечения прямой с осью Ох. Для нахождения точки пересечения прямой с осью Оу положим в том же уравнении х = 0 тогда найдем у = 2; координаты искомой точки будут (0; 2).

Построив эти точки, проводим через них прямую 2х— 5у —10 = 0 (рис. 18).

Пример:

Найти угловой коэффициент и начальную ординату прямой 4х+ 6у — 3 = 0.

Решение:

Преобразуем это уравнение к виду Прямая линия

для этого находим:

6у = — 4х + 3,

отсюда

Прямая линия

Сравнив полученное уравнение с уравнением Прямая линия найдем:

Прямая линия

Угловой коэффициент можно найти и из равенства (8). Для этого, как видно, нужно коэффициент при х общего уравнения прямой разделить на коэффициент при у и частное

Прямая линия

взять с противоположным знаком. Таким образом, в данном примере

Прямая линия

Уравнение прямой в отрезках

Как мы уже знаем, положение прямой определяется или двумя точками или одной точкой и углом наклона прямой к оси Ох. Если прямая не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит

Прямая линия

через начало координат, то ее положение может быть определено и другими данными, например отрезками, которые она отсекает на осях. Выведем уравнение прямой для этого случая.

Пусть дана прямая, отсекающая на координатных осях отрезки ОА = а и ОВ = b (рис. 19).

Возьмем на этой прямой произвольную точку M (х; у) и проведем

МР Прямая линия Ох. Из подобия треугольников РМА и ОВА имеем:

Прямая линия

или

Прямая линия

Разделив а — х почленно на а, будем иметь:

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Можно показать, что координаты любой точки нашей прямой будут удовлетворять этому равенству, а потому его нужно рассматривать как уравнение прямой АВ.

В уравнение (1) входят отрезки а и b , отсекаемые прямой на осях; поэтому оно называется уравнением прямой в отрезках.

Величины а и b могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от того, в какую сторону от начала координат откладываются отрезки а и b .

Пусть, например, дана прямая АВ (рис. 20). Здесь а = — 2, b = — 3; следовательно, уравнение прямой АВ запишется в таком виде:

Прямая линия

По уравнению вида (1) Очень просто строится прямая. Для этого нужно только отложить на осях отрезки а и b взятые из уравнения, и через их концы провести прямую.

Заметим, что уравнение в отрезках легко получается из общего уравнения прямой: Ах + Ву + С= 0, если все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля (иначе уравнение в отрезках не имеет смысла).

Уравнение пучка прямых

Пусть прямая АВ проходит через точку М(х1; у1) и образует угол а с положительным направлением оси Ох (рис. 21). Составим для прямой АВ уравнение вида

Прямая линия

Для этого нужно найти величины Прямая линия и b определяющие прямую АВ, а затем подставить в уравнение (1) их значения. Так как угол а дан, то величина Прямая линияопределится из равенства

Прямая линия

Для нахождения b воспользуемся тем, что точка М лежит на прямой (1) и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой.

Подставив в уравнение (1) вместо х и у их значения х1 и у1, а величину Прямая линия полагая известной, получим

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Уравнение (1) можем теперь записать в виде

Прямая линия

или

Прямая линия

Таково искомое уравнение прямой АВ; в нем Прямая линия имеет одно, вполне определенное значение.

Допустим, что через ту же точку M(х1; у1) проходит несколько прямых; тогда угол а наклона этих прямых к оси Ох, и также множитель Прямая линия в уравнении (2) будут иметь различные значения.

В таком случае уравнение (2) будет определять уже не одну прямую, проходящую через данную точку M, а множество прямых, пересекающихся в эточке.

Совокупность всех прямых, проходящих через одну точку М, называется пучком прямых с центром в точке М. Таким образом, уравнение (2) с переменным Прямая линияможно рассматривать как уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку, исключая прямую, параллельную оси ординат (так как tg 90° не имеет числового значения) (рис. 21).

Чтобы выделить из этого пучка прямую, образующую заданный угол с осью Ох, нужно в уравнении (2) вместо Прямая линия подставить его числовое значение. Пусть, например, пучок прямых проходит через точку М(2;—5), тогда его уравнение будет:

Прямая линия

Выделим из этого пучка одну прямую, которая наклонена к положительному направлению оси Ох под углом а = 45°;

тогда

Прямая линия

и уравнение (3) обратится в следующее:

Прямая линия

или

Прямая линия

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки A(х1; у1) и В(х2; у2); требуется найти уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Если взять одну точку, например А, то через нее можно провести пучок прямых, уравнение которого будет:

Прямая линия

где каждому значению Прямая линия отвечает одна прямая.

Выделим из этого пучка прямую, которая проходит и через вторую точку В (рис. 22). Чтобы найти ее уравнение, необходимо определить угловой коэффициент. Для этого примем во внимание, что точка В лежит на искомой прямой, и потому ее координаты должны обращать уравнение (1)

Прямая линия

в тождество при Прямая линия равном угловому коэффициенту этой прямой. Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат х и у координаты точки В, получим:

Прямая линия

отсюда находим угловой коэффициент искомой прямой:

Прямая линия

Уравнение (1) можно переписать так:

Прямая линия

Преобразуем это уравнение, разделив обе части его на у2 — у1 получим:

Прямая линия

гле х и у — текущие координаты. Равенство (2) является уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Это, как и уравнение в отрезках, частный случай общего уравнения прямой.

Если х1 = х2 или у1 = у2, то формула (2) теряет смысл, так как делить на нуль нельзя. В этих случаях точки А и В лежат либо на прямой, параллельной оси Оу, либо на прямой, параллельной оси Ох. В первом случае уравнение прямой запишется в виде

х = х1

а во втором — в виде

у = у1

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через две точки: А(—4; 6) и В(2; —3).

Решение:

Имеем:

х1 = —- 4, х2 = 2

и

у1 = 6, у2 = — 3.

Подставим эти значения в уравнение (2); получим:

Прямая линия

или

Прямая линия

Умножив обе части последнего уравнения на —18, будем иметь:

2у— 12 = — 3х— 12,

откуда

Зх + 2у = 0.

Пример:

Через две точки А( 3; 2) и В (5; 2) проходит прямая. Написать ее уравнение.

Решение:

Так как ординаты данных точек равны, то заключаем, что искомая прямая параллельна оси Ох, а потому ее уравнение будет

у = 2.

Угол между двумя прямыми

Пусть даны уравнения двух прямых:

y=klx+blt

Прямая линия

где Прямая линия имеют вполне определенные значения. Выведем формулу для определения угла между этими прямыми.

Обозначим углы, образуемые данными прямыми с положительным направлением оси Ох, через а1 и а2, а угол между этими прямыми через Прямая линия (рис. 23).

Угол а2, как внешний угол треугольника ABC, будет равен сумме внутренних, с ним не смежных, т. е.

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Если углы равны между собой, то и тангенсы их равны друг другу, поэтому

Прямая линия

Применяя формулу для тангенса разности двух углов, получим:

Прямая линия

Но

Прямая линия

Поэтому

Прямая линия

Определив tg Прямая линия по формуле (1), можно найти и самый угол Прямая линия.

Прямая линия

Пример:

Определить угол между прямыми:

2х — 3у + 6 =0

и

х + 5у — 2=0.

Решение:

Из данных уравнений найдем угловые коэффициенты этих прямых :

Прямая линия

Согласно формуле (1) имеем:

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Полученный угол между прямыми тупой. Но если принять

Прямая линия

то вычисляя Прямая линия по той же формуле (1), получим:

Прямая линия

откуда Прямая линия = 45°. Получился угол острый, смежный с ранее

Прямая линия

найденным тупым углом (рис. 24). Первое и второе значение угла будет ответом на вопрос задачи.

Условие параллельности прямых

Если прямые параллельны между собой, то они образуют одинаковые углы а1 и а2 с положительным направлением оси Ох (рис. 25).

Прямая линия

Из равенства углов а1 и а2 следует

Прямая линия

или

Прямая линия

Обратно, если Прямая линия т.е. Прямая линиято а1 = а2, а это значит, что данные прямые параллельны.

Итак, если прямые параллельны между собой, то их угловые коэффициенты равны (и наоборот).

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (—2; 6) и параллельной прямой 5х—3у — 7 = 0.

Решение:

Через точку А проходит пучок прямых, среди которых находится искомая прямая. Следовательно, прежде всего пишем уравнение пучка прямых , проходящих через точку А:

Прямая линия

Затем находим из данного в задаче уравнения прямой ее угловой коэффициент; применяя равенство (8) , получим:

Прямая линия

Согласно условию параллельности угловой коэффициент искомой прямой тоже равен Прямая линия

Подставим найденное значение Прямая линия в уравнение

пучка:

Прямая линия

Выполнив необходимые преобразования, получим искомое уравнение прямой:

Прямая линия

Условие перпендикулярности прямых

Пусть две прямые взаимно перпендикулярны и образуют с положительным направлением оси Ох углы а1 и а2 (рис. 26). В этом случае

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

Но

Прямая линия

Следовательно,

Прямая линия

или

Прямая линия

Обратно, если

Прямая линия

то

Прямая линия

Отсюда

Прямая линия

т. е. данные прямые взаимно перпендикулярны.

Таким образом, если прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку (и наоборот).

Прямая линия

Так, например, если у одной прямой угловой коэффициент

равен Прямая линия то у перпендикулярной ей прямой он равен Прямая линия .

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(—3; 5) и перпендикулярной прямой 4х — Зу—10 = 0.

Решение:

Через точку А проходит пучок прямых, среди которых находится и искомая прямая. Поэтому напишем сначала уравнение этого пучка

Прямая линия

Чтобы выделить из него нашу прямую, нужно найти ее угловой коэффициент Прямая линия связанный с угловым коэффициентом

данной прямой равенством (1). Но Прямая линия следовательно,

Прямая линия

Подставив в уравнение (2) вместо Прямая линия найденное его значение Прямая линия

получим:

Прямая линия

Это и есть искомое уравнение прямой. Преобразовав его, найдем:

Прямая линия

или

Прямая линия

Пересечение прямых

Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями:

Прямая линия

Требуется найти точку их пересечения.

Так как точка пересечения данных прямых есть их общая точка, то ее координаты должны удовлетворять как первому, так и второму уравнению, т. е. эти координаты должны быть общими корнями данных уравнений.

Чтобы найти эти корни, нужно, как известно из алгебры, решить совместно данные уравнения, рассматривая их как систему уравнений.

Пример:

Найти точку пересечения прямых

Прямая линия

Решение:

Решим данные уравнения как систему. Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, получим:

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Зная х, находим у, например, из второго уравнения:

Прямая линия

Пример:

Найти точку пересечения прямых

Прямая линия

Решение:

Умножив все члены первого уравнения на —2 и сложив полученное уравнение со вторым, найдем:

Прямая линия

что невозможно. Значит, данная система уравнений решений не имеет, а потому прямые, определяемые этими уравнениями, не имеют общих точек, т. е. данные прямые параллельны.

К этому же заключению можно прийти, сравнивая угловые коэффициенты данных прямых.

Дополнение к прямой линии

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

В тригонометрии есть задачи, в которых нужно найти уравнение прямой. При этом даны либо координаты одной точки и угловой коэффициент, либо координаты двух точек, которые лежат на прямой. В любом случае найти уравнение прямой довольно легко, если использовать соответствующие формулы.

  1. Изображение с названием Find the Equation of a Line Step 6

    1

    Подставьте значение углового коэффициента «k» в альтернативное уравнение прямой y-y1 = k(x-x1). С помощью этого уравнения, в котором присутствуют координаты точки, которая лежит на прямой, можно найти координаты точки пересечения прямой с осью Oy. Данное значение углового коэффициента «k» подставьте вместо «k» в уравнении y-y1= k(x-x1).[1]

    • Например, угловой коэффициент k = 2, тогда уравнение запишется так: y-y1= 2 (x-x1).

  2. Изображение с названием Find the Equation of a Line Step 7

    2

    Вместо x1 и y1 подставьте координаты данной точки, чтобы записать окончательное уравнение прямой.[2]

    • Например, если дана точка с координатами (4,3), уравнение запишется так: y-3 = 2(x-4).

  3. Изображение с названием Find the Equation of a Line Step 8

    3

    Изолируйте «y», чтобы записать уравнение прямой в конечном виде. Чтобы раскрыть скобки, примените свойство дистрибутивности, а затем следуйте определенному порядку выполнения математических операций.

    • Раскрыв скобки, вы получите: y-3 = 2x-8.
    • Теперь прибавьте 3 к каждой стороне уравнения, чтобы изолировать «y».
    • Окончательное уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами (4, 3) и имеет угловой коэффициент 2, запишется так: y = 2x-5.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Equation of a Line Step 1

    1

    Вычислите угловой коэффициент по формуле k = (y2-y1)/(x2-x1). Вам будут даны две пары координат; каждая пара координат записывается так: (x, y). Первую пару координат обозначьте как (x1, y1), а вторую как (x2, y2). Подставьте числа в формулу k = (y2-y1)/(x2-x1) и вычислите угловой коэффициент k.[3]

    • Например, даны две точки с координатами (3, 8) и (7, 12). Тогда формула запишется так: k = (12-8)/(7-3) = 4/4 = 1. В этом примере угловой коэффициент k = 1.

  2. Изображение с названием Find the Equation of a Line Step 5

    2

    Подставьте найденное значение углового коэффициента k в стандартное уравнение прямой. Уравнение прямой имеет следующий вид: y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — координата «y» точки пересечения прямой с осью Oy. В уравнение прямой подставьте найденное значение углового коэффициента вместо «k».[4]

    • В нашем примере уравнение прямой запишется так: y = 1x + b или y = x + b.

  3. Изображение с названием Find the Equation of a Line Step 3

    3

    Вместо «x» и «y» подставьте координаты одной из данных точек, чтобы найти «b». Координаты подставьте в уравнение прямой — вместо «х» подставьте координату «х», а вместо «y» координату «y».[5]

    • В нашем примере возьмем точку с координатами (3, 8). Тогда уравнение прямой запишется так: 8 = 1(3) + b.
    • Используйте координаты одной из двух данных точек, но никогда не смешивайте координаты сразу двух точек.

  4. Изображение с названием Find the Equation of a Line Step 4

    4

    Вычислите «b». Сделайте это, когда в уравнение прямой подставите значения «k», «х» и «у». Изолируйте «b» на одной стороне уравнения, следуя определенному порядку выполнения математических операций.[6]

    • В нашем примере уравнение приняло вид 8 = 1(3) + b. Умножьте 1 на 3 и получите 8 = 3 + b. Теперь вычтите 3 из каждой стороны уравнения, чтобы изолировать «b». Вы получите 5 = b, или b = 5.

  5. Изображение с названием Find the Equation of a Line Step 5

    5

    Подставьте найденные значения «k» и «b» в уравнение прямой, чтобы записать его в окончательном виде.

    • В нашем примере уравнение прямой, которая проходит через точки с координатами (3, 8) и (7, 12), запишется так: y = 1x + 5 или просто y = x + 5.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 31 354 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

  1. Общее уравнение
    прямой

Если на плоскости
введена ПДСК, то всякое уравнение первой
степени относительно текущих координат
и

, (5)

где
иодновременно не равны нулю, определяет
прямую.

Верно и обратное
утверждение: в ПДСК любая прямая может
быть задана уравнением первой степени
вида (5).

Уравнение вида
(5) называется общим
уравнением прямой.

Частные случаи
уравнения (5) приведены в следующей
таблице.

Значении
коэффициентов

Уравнение прямой

Положение прямой

1

Прямая
проходит через начало координат

2

Прямая
параллельна оси

3

Прямая
параллельна оси

4

Прямая
совпадает с осью

5

Прямая
совпадает с осью

  1. Уравнение прямой
    с угловым коэффициентом и начальной
    ординатой.

Углом
наклона прямой к оси
называется наименьший угол
,
на который нужно повернуть против
часовой стрелки ось абсцисс до её
совпадения с данной прямой (Рис.6).
Направление любой прямой характеризуется
еёугловым
коэффициентом
,
который определяется как тангенс угла
наклонаэтой прямой, т. е.

.

Исключение
составляет только прямая, перпендикулярная
оси
,
которая не имеет углового коэффициента.

Уравнение
прямой, имеющей угловой коэффициент
и пересекающей осьв точке, ордината которой равна(начальная ордината),
записывается в виде

.

  1. Уравнение прямой
    в отрезках

Уравнением
прямой в отрезках
называется уравнение вида

, (6)

где
исоответственно
длины отрезков, отсекаемых прямой на
координатных осях, взятые с определёнными
знаками.

  1. Уравнение прямой,
    проходящей через данную точку в данном
    направлении. Пучок прямых

Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
и имеющей угловой коэффициент
записывается в виде

. (7)

Пучком прямых
называется совокупность прямых плоскости,
проходящих через одну и точку
центр
пучка. Если известны координаты центра
пучка, то уравнение (8) можно рассматривать
как уравнение пучка, поскольку любая
прямая пучка может быть получена из
уравнения (8) при соответствующем значении
углового коэффициента(исключение составляет прямая, которая
параллельна осиеё
уравнение).

Если известны
общие уравнения двух прямых, принадлежащих
пучку
и(образующих пучка), то уравнении любой
прямой из этого пучка можно записать в
виде

. (8)

  1. Уравнение прямой,
    проходящей через две точки

Уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки
и,
имеет вид

.

Если точки
иопределяют прямую, параллельную осиили оси,
то уравнение такой прямой записывается
соответственно в виде

или .

  1. Взаимное
    расположение двух прямых. Угол между
    прямыми. Условие параллельности. Условие
    перпендикулярности

Взаимное расположение
двух прямых, заданных общими уравнениями

и ,

представлено в
следующей таблице.

Взаимное
расположение прямых

Условие

Пересечение

Параллельность

Совпадение

Под углом
между двумя прямыми
понимается один из смежных углов,
образованных при их пересечении. Острый
угол между прямыми
м,
определяется формулой

.

Заметим, что если
хотя бы одна из данных прямых параллельна
оси
,
то формула (11) не имеет смысла, поэтому
будем использовать общие уравнения
прямых

и .

формула (11) примет
вид

.

Условие параллельности:

или .

Условие
перпендикулярности:

или .

  1. Нормальное
    уравнение прямой. Расстояние точки от
    прямой. Уравнения биссектрис

Нормальное
уравнение прямой
имеет вид

,

где
длина
перпендикуляра (нормали), опущенного
из начала координат на прямую,угол
наклона этого перпендикуляра к оси.
Чтобы привести общее уравнение прямойк нормальному виду, нужно обе части
равенства (12) умножить нанормирующий
множитель
,
взятый со знаком противоположным знаку
свободного члена.

Расстояние
точкиот прямой
найдём по формулам

или

.
(9)

Уравнение
биссектрис углов между прямыми

и
:

.

Задача 16.
Дана прямая
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точкупараллельно данной прямой.

Решение.
По условию параллельности прямых
.
Для решения задачи будем использовать
уравнение прямой, проходящей через
данную точкув данном направлении (8):

.

Найдём угловой
коэффициент данной прямой. Для этого
от общего уравнения прямой (5) перейдём
к уравнению с угловым коэффициентом
(6) (выразим
через):

.

Следовательно,
.

Тогда
.

Задача 17.
Найти точку
,
симметричную точке,
относительно прямой.

Решение.
Для того, чтобы найти точку симметричную
точке
относительно прямой(Рис.7) необходимо:

1) опустить из точки
на прямуюперпендикуляр,

2) найти основание
этого перпендикуляраточку,

3) на продолжении
перпендикуляра отложить отрезок
.

Итак, запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку
перпендикулярно данной прямой. Для
этого воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через данную точку в данном
направлении (8):

.

Подставим координаты
точки
:

. (11)

Угловой коэффициент
найдём из условия перпендикулярности
прямых:

.

Угловой коэффициент
данной прямой

,

следовательно,
угловой коэффициент перпендикулярной
прямой

.

Подставим его в
уравнение (11):

.

Далее, найдём точку
точку
пересечения данной прямой и ей
перпендикулярной прямой. Так как точкапринадлежит обеим прямым, то её координаты
удовлетворяют их уравнениям. Значит,
для отыскания координат точки пересечения
требуется решить систему уравнений,
составленную из уравнений этих прямых:

Решение системы
,,
т. е..

Точка
является серединой отрезка,
тогда из формул (4):

, ,

найдём координаты
точки
:

,
.

Таким образом,
искомая точка
.

Задача 18.Составить
уравнение прямой, которая проходит
через точку
и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 150 кв.ед.
(Рис.8).

Решение.
Для решения задачи будем использовать
уравнение прямой «в отрезках» (7):

.
(12)

Так как точка
лежит на искомой прямой, то её координаты
должны удовлетворять уравнению этой
прямой:

.

Площадь треугольника,
отсекаемого прямой от координатного
угла вычисляется по формуле:

(записан модуль,
так как
имогут быть отрицательными).

Таким образом,
получили систему для отыскания параметров
и:

Эта система
равносильна двум системам:

Решение первой
системы
,и,.

Решение второй
системы
,и,.

Подставим найденные
значения в уравнение (12):

,
,,.

Запишем общие
уравнения этих прямых:

,
,,.

Задача 19.
Вычислить расстояние между параллельными
прямыми
и.

Решение.
Расстояние между параллельными прямыми
равно расстоянию произвольной точки
одной прямой до второй прямой.

Выберем на прямой
точкупроизвольно, следовательно, можно задать
одну координату, т. е. например,
тогда.

Теперь найдём
расстояние точки
до прямойпо формуле (10):

.

Т

Рис. 1.8.

аким образом, расстояние между
данными параллельными прямыми равно.

Задача 20.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку пересечения прямых
и(не находя точки пересечения) и

  1. проходящей через
    точку
    ;

  2. параллельной
    прямой
    .

Решение.
1) Запишем уравнение пучка прямых с
известными образующими (9):

.

Тогда искомая
прямая имеет уравнение

. (13)

Требуется найти
такие значения
и,
при которых прямая пучка пройдёт через
точку,
т. е. её координаты должны удовлетворять
уравнению (13):

.

Отсюда

.

Подставим найденное
в уравнение (13) и после упрощении получим
искомую прямую:

.

  1. По условию задачи
    искомая прямая
    параллельна прямой

.

Воспользуемся
условием параллельности прямых:
.
Найдём угловые коэффициенты прямыхи.
Имеем, что,.

Следовательно,

.

Подставим найденное
значение
в уравнение (13) и упростим, получим
уравнение искомой прямой.

Задачи для
самостоятельного решения.

Задача 21.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точки
и:
1) с угловым коэффициентом; 2) общее;
3)
«в отрезках».

Задача 22.
Составить уравнение прямой, которая
проходит через точку
и образует с осьюугол,
если 1),;
2),.

Задача 23.
Написать уравнения сторон ромба с
диагоналями 10 см и 6 см, приняв большую
диагональ за ось
,
а меньшуюза ось.

Задача 24.
Равносторонний треугольник
со стороной, равной 2 единицам, расположен
так, как показано на рисунке 9. составить
уравнения его сторон.

Задача 25.
Через точку
провести прямую, отсекающую на
положительных полуосях координат равные
отрезки.

Задача 26.
Найти площадь треугольника, который
отсекает от координатного угла прямая:

1)
;
2).

Задача 27.Написать
уравнение прямой, проходящей через
точку
и отсекающей от координатного угла
треугольник площадью, равной,
если

1)
,кв. ед.; 2),кв. ед.

Задача 28. Даны
вершины треугольника
.
Найти уравнение средней линии, параллельной
стороне,
если

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить заявление на компенсацию за моральный ущерб
  • Как найти учетную запись в телефоне айфон
  • Как найти угол зная чему равен косинус
  • Как найти киловатт в физике
  • Как найти в знакомствах конкретного человека