Как найти через сколько часов догонит

Движение является способом существования всего, что человек видит вокруг себя. Поэтому задачи на перемещение разных объектов в пространстве являются типичными проблемами, которые предлагается разрешить школьникам. В данной статье подробно рассмотрим движение вдогонку и формулы, которые необходимо знать, чтобы уметь решать задачи такого типа.

Что такое движение?

Перед тем, как переходить к рассмотрению формул движения вдогонку, необходимо разобраться с этим понятием подробнее.

Под движением подразумевают изменение пространственных координат объекта за определенный промежуток времени. Например, автомобиль, который движется по дороге, самолет, который летит в небесах, или кошка, бегущая по траве, — все это примеры движения.

Важно отметить, что рассматриваемый движущийся объект (автомобиль, самолет, кошка) считают безмерным, то есть его размеры не имеют совершенно никакого значения для решения проблемы, поэтому ими пренебрегают. Это своего рода математическая идеализация, или модель. Для подобного объекта существует название: материальная точка.

Движение вдогонку и его особенности

Теперь перейдем к рассмотрению популярных школьных задач на движение вдогонку и формул для него. Под этим видом движения понимают перемещение двух или более объектов в одном направлении, которые отправляются в свой путь из разных пунктов (материальные точки имеют разные начальные координаты) или/и в разное время, но из одного и того же пункта. То есть создается ситуация, при которой одна материальная точка пытается догнать другую (другие), поэтому эти задачи получили такое название.

Согласно определению, особенностями движения вдогонку являются следующие:

• Наличие двух и более движущихся объектов. Если двигаться будет только одна материальная точка, то ей «некого» будет догонять.
• Прямолинейное перемещение в одном направлении. То есть объекты осуществляют движение вдоль одной и той же траектории и в одном направлении. Движение навстречу друг другу не входит в число рассматриваемых задач.
• Пункт отправления играет важную роль. Идея заключается в том, чтобы в момент начала движения объекты были разделены в пространстве. Такое разделение будет иметь место, если они стартуют в одинаковое время, но из разных пунктов или же из одного пункта, но в разное время. Старт двух материальных точек из одного пункта и в одинаковое время к задачам вдогонку не относится, поскольку в этом случае один объект будет постоянно удаляться от другого.

Формулы движения вдогонку

В 4 классе общеобразовательной школы обычно рассматриваются подобные задачи. Это означает, что формулы, которые необходимы для решения, должны быть максимально простыми. Такому случаю удовлетворяет равномерное прямолинейное движение, в котором фигурируют три физических величины: скорость, пройденный путь и время движения:

• Скорость — величина, показывающая расстояние, которое проходит тело за единицу времени, то есть она характеризует быстроту изменения координат материальной точки. Обозначается скорость латинской буквой V и измеряется, как правило, в метрах в секунду (м/с) или в километрах в час (км/ч).
• Путь — это расстояние, которое проходит тело за время своего движения. Он обозначается буквой S (D) и выражается обычно в метрах или километрах.
• Время — период движения материальной точки, который обозначается буквой T и приводится в секундах, минутах или часах.

Описав основные величины, приведем формулы движения вдогонку:

• s = v*t;
• v = s/t;
• t = s/v.

Решение любой задачи рассматриваемого типа базируется на применении этих трех выражений, которые необходимо запомнить каждому школьнику.

Пример решения задачи №1

Приведем пример задачи движения вдогонку и решения (формулы, необходимые для него, приведены выше). Проблема формулируется следующим образом: «Грузовик и легковой автомобиль одновременно выезжают из пунктов A и B со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч соответственно. Оба транспортных средства движутся в одном направлении так, что автомобиль приближается к пункту A, а грузовик удаляется от обоих пунктов. Через какое время автомобиль догонит грузовик, если расстояние между A и B составляет 40 км?».

Перед тем как решать задачу, необходимо научить ребят определять суть проблемы. В данном случае она заключается в неизвестном времени, которое проведут оба транспортных средства в пути. Предположим, что это время равно t часам. То есть через время t автомобиль догонит грузовик. Найдем это время.

Рассчитаем расстояние, которое пройдет каждый из движущихся объектов за время t, имеем: s₁ = v₁*t и s₂ = v₂*t, здесь s₁, v₁ = 60 км/ч и s₂, v₂ = 80 км/ч — пройденные пути и скорости движения грузовика и автомобиля до того момента, когда второй догонит первого. Поскольку расстояние между пунктами A и B равно 40 км, то автомобиль, догнав грузовик, пройдет путь на 40 км больше, то есть s₂ — s₁ = 40. Подставляя в последнее выражение формулы для путей s₁ и s₂, получим: v₂*t — v₁*t = 40 или 80*t — 60*t = 40, откуда t = 40/20 = 2 ч.

Отметим, что данный ответ можно получить, если использовать понятие скорости сближения между движущимися объектами. В задаче она равна 20 км/ч (80-60). То есть при этом подходе возникает ситуация, когда один объект движется (автомобиль), а второй относительно него стоит на месте (грузовик). Поэтому достаточно поделить расстояние между пунктами A и B на скорость сближения, чтобы решить задачу.

Пример решения задачи №2

Приведем еще один пример задач на движение вдогонку (формулы для решения используются те же): «Из одного пункта выезжает велосипедист, а через 3 часа в ту же сторону выезжает автомобиль. Через какое время после начала своего движения автомобиль догонит велосипедиста, если известно, что он движется в 4 раза быстрее?».

Решать эту задачу следует так же, как и предыдущую, то есть необходимо определить, какой путь пройдет каждый участник движения до момента, когда один догонит другого. Предположим, что автомобиль догнал велосипедиста через время t, тогда получаем следующие пройденные пути: s₁ = v₁*(t+3) и s₂ = v₂*t, здесь s₁, v₁ и s₂, v₂ — пути и скорости велосипедиста и автомобиля соответственно. Заметим, что до того, как автомобиль догнал велосипедиста, последний находился в пути t + 3 часа, так как он выехал на 3 часа раньше.

Зная, что оба участника отправились из одного пункта, и пройденные ими пути будут равны, получаем: s₂ = s₁ или v₁*(t+3) = v₂*t. Скорости v₁ и v₂ нам не известны, однако в условии задачи сказано, что v₂ = 4*v₁. Подставляя это выражение в формулу для равенства путей, получим: v₁*(t+3) = 4*v₁*t или t+3 = 4*t. Решая последнее, приходим к ответу: t = 3/3 = 1 ч.

Некоторые советы

Формулы движения вдогонку являются простыми, тем не менее школьников в 4 классе важно научить мыслить логически, понимать значение величин, с которыми они имеют дело, и осознавать проблему, которая перед ними стоит. Ребят рекомендуется призывать к рассуждениям вслух, а также к командной работе. Кроме того, для наглядности задач можно использовать компьютер и проектор. Все это способствует развитию у них абстрактного мышления, коммуникативных навыков, а также математических способностей.

Задачи в которых двигаются вдогонку из разных пунктов решаются по определенному правилу. Два объекта могут сближаться или удаляться в зависимости от их скоростей.

• Если скорость объекта, который впереди больше, то они удаляются. 

• Если скорость объекта, который впереди меньше, то они сближаются

Задачи на движение в одном направлении

• Задачи на скорость сближения
• Задача на скорость удаления

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении в одном направлении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, отдаляясь друг от друга или сближаясь друг с другом.

Задачи на скорость сближения

Скорость сближения — это скорость, с которой объекты сближаются друг с другом.

Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.

Задача на скорость удаления

Скорость удаления — это скорость, с которой объекты отдаляются друг от друга.

Чтобы найти скорость удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.

Для решения задач на движение по прямой используется одна основная формула:

где:

• Скорость (V) — расстояние, пройденное за единицу времени.
• Время (t) — время в пути.
• Расстояние (S) — пройденный путь, или расстояние.

Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко  вывести из неё формулу для скорости, или времени.

Если вы запомните эту формулу, то сможете решить любую задачу на движение, так как все задачи на движение по прямой — это применение данной формулы к одному или нескольким взаимосвязанным объектам.

Рассмотрим, как решать разные задачи на движение в зависимости от условий и уровня сложности.

Все задачи на движение делятся на следующие типы:

• простые задачи на скорость, время и расстояние;
• задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление;
• задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление;
• решение задач на движение по реке.

Решение простых задач на движение: скорость, время и расстояние

В простых задачах на движение, как правило, есть один движущийся объект, для которого нужно найти неизвестную величину: скорость, время или расстояние. В данном случае применяется формула в ее первоначальном виде:

Задача 1. Автомобиль ехал 2ч со скоростью 85 км/ч. Определите расстояние. 
Решение: Вычислим путь по формуле: S=V × t= 2 ч * 85 км/ч = 170 км.

Задача 2. Велосипедист проехал 60 км за 5ч. Определите скорость.
Решение: Вычислим скорость велосипедиста по формуле: V = S:t = 60 км : 5 ч = 12 км/ч.

Задача 3. Мотоциклист проехал 30 км со скоростью 15км/ч. Сколько времени он затратил на этот путь? 
Решение: Вычислим время движения мотоциклиста по формуле: t = S:V = 30 км : 15 км/ч = 2 ч.

В таких задачах нужно также следить, чтобы были одинаковыми единицы измерения. Например, если расстояние измеряется в километрах, а время — в часах,  то скорость буде измеряться в км/час. Но если единицы измерения скорости — метр/час, а время дано в минутах, то в этом случае скорость и время нужно привести к одинаковым единица измерения, иначе ответ будет неверным.

Задача 4. Мотоциклист ехал 30 минут со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он проехал?
Решение: для того, чтобы вычислить расстояние, нужно время и скорость привести к одинаковым единицам измерения. При этом есть 2 способа:
1) Переведем время: 30 минут = 30/60 = 0,5 часа.
Найдем расстояние: 60 км/ч * 0,5 ч = 30 км.
2) Переведем скорость: 60 км/ч = 60км / 1час = 60км / 60 мин = 1км/мин.
Найдем расстояние: 1км/мин*30минут = 30 км.

Решение задач на движение в разных направлениях: сближение (встречное движение) и удаление (противоположное движение)

При встречном движении расстояние между объектами уменьшается. Объекты приближаются друг к другу со скоростью сближения.
Скорость сближения находится по формуле:

При движении в противоположных направлениях скорости объектов направлены в разные стороны. Объекты удаляются друг от друга со скоростью удаления.
Скорость удаления находится по формуле: 

При решении подобных задач лучше нарисовать схему движения, чтобы было легче решать.

Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, второго — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 
Решение: 1) Найдем скорость сближения: V=10+8 = 18 км/ч.
2) Найдем время: t = S:V = 36 : 18 = 2 ч.

Задача 6. Два пешехода вышли одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода 3км/ч, второго — 4км/ч. Какое расстояние между ними будет через 30 минут?
Решение: 1) Найдем скорость удаления пешеходов: V = 3+4=7 км/час.
2) Переведем в соответствие единицы измерения: t=30 мин = 0,5 ч.
3) Найдем расстояние: S=V × t = 7 × 0,5 = 3,5 км.

Задача 7. Два автобуса выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км. Через 2 часа они встретились. Найдите второго второго автобуса, если первый ехал со скоростью 70 км/ч.
Решение. 1) Нам известно расстояние и скорость, поэтому найдем скорость по формуле: V = S:t = 300:2=150км/ч. Это скорость сближения.
2) Найдем скорость второго автобуса: 150-70 = 80км/ч.

Решение задач на движение в одном направлении: сближение и удаление

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “догоняет” второй, то расстояние между объектами уменьшается.
Скорость сближения при таком движении определяют по формуле:

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “отстает” от второго, то расстояние между объектами увеличивается.
Скорость удаления при таком движении определяют по формуле:

Если объект движется в стоячей воде (озере), то его скорость называют собственной скоростью объекта. То есть, скорость объекта равная собственной скорости объекта.

Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость равна нулю (V=0). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Задача 8. Расстояние между двумя автомобилями, движущимися в одном направлении, составляет 20 км. Первый автомобиль едет со скоростью 40км/ч, второй — со скоростью 30км/ч. Через сколько часов первый автомобиль догонит второй?
Решение. 1) Найдем скорость сближения автомобилей: V=40-30=10км/ч.

2) Зная расстояние (20км) и скорость сближения (10км/ч) найдем время: 20:10=2 часа.

Задача 9. Из одного населенного пункта выехали автомобиль и автобус. скорость автомобиля 70 км/ч, скорость автобуса — 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
Решение. 1) Найдем скорость удаления : V=70-50=20км/ч.
2) Зная скорость удаления и время, найдем расстояние: S = 20*3 =60 км.

Решение задач на движение по реке

Особенностью задач на движение реке является то, что у объекта появляется дополнительная скорость — скорость течения реки. При этом возможно два варианта:

• по течению реки → скорость увеличивается;
• против течения реки → скорость уменьшается.

Таким образом, в задачах рассматривают 2 скорости: 

• Скорость собственная — Vs;
• Скорость течения реки — Vt.

Задача 9. Собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Какое расстояние проплывёт лодка через 3 часа, если она плывёт по течению реки?
Решение. 1) Найдем скорость лодки. Так как она плывет по течению реки, ее скорость увеличивается. 
V = Vs+ Vt = 12+3 =15км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 15×3=45км.

Задача 10. Собственная скорость катера составляет 30 км/ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер через 4 часа, если он плывёт против течения реки?
Решение. 1) Найдем скорость. Так как катер плывет против течения реки, его скорость уменьшится. 
V = Vs- Vt = 30-4 =26 км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 26 * 4 = 104 км.

Задача 10. Скорость лодки равна 10 км/ч. При этом надо успеть проплыть 25 км за 2 часа по течению реки. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы успеть в срок? 
Решение. 1) Найдем нужную скорость: V=S:t = 25:2=12,5 км/ч.
2) Найдем скорость, которую нужно прибавить до нужно (скорость течения реки): 12,5-10=2,5км/ч.

Задача 11. Уровень ЕГЭ.
Катер прошёл по течению реки 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения.
Решение: Пусть Vt — cкорость течения реки, тогда:
1) В одну сторону: 27+Vt  – скорость перемещения катера по течению, S=120км.
2) В обратную сторону: 27-Vt  – скорость перемещения катера против течения, S=120км.
Выразим время:
1) В одну сторону:  t=S:V = 120:(27+Vt) – время, затраченное катером на перемещение по течению,
2) В обратную сторону:  t=S:V = 120:(27-Vt) – время, затраченное катером на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то:
120:(27+Vt) +1 = 120:(27-Vt).
Далее решаем уравнение и получаем ответ 3 км/ч.

Больше задач на движение Ваш ребёнок может решить, скачав программы:

Правильность решения задач вы можете проверить на сайте intmag24.ru с помощью калькулятора решения задач на движение.

Полезные советы для решения задач на движения

• В процессе решения задач на движение может быть составлена формула квадратного уравнения, которое будет иметь два корня. В этом случае нужно взять тот ответ, который  будет логичен для задачи (положительный). Отрицательный корень не берется во внимание.
• Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения.
• При решении задач на движение рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или перемещается между пунктами А и В туда и обратно. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка облегчает составление математической модели.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.