Чтобы найти на плоскости какой-то объект, его описывают двумя значениями. Так каждое место в зале кинотеатра имеет два параметра: ряд и место. Каждая клетка на шахматной доске или при игре в «морской бой» описывается номером строки и буквой, обозначающей столбец.
В математике определение местоположения объекта на плоскости придумали быстро находить с помощью системы координат, образованной двумя прямыми, называемых координатными осями (или осями координат).
Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок
Эти оси имеют общепринятые наименования. А именно, горизонтальную ось именуют осью абсцисс и на письме обозначают $Оx$
Вертикальную ось называют осью ординат и на письме обозначают $Оy$
Оси пересекаются под прямым углом перпендикулярно друг к другу, поэтому такая система координат и называется прямоугольной.
Место пересечения осей координат является началом отсчета. Обычно эту точку обозначают буквой $О$ и называют началом координат. Ее называют еще иногда нулевой точкой.
На каждой оси выбирается единичный отрезок, с помощью которого вычисляются координаты объекта. Длиной единичного отрезка может выступать любая единица измерения, но она должна быть одинаковой на каждой из осей. То есть, если единичный отрезок на оси абсцисс задан, например, равным 1 см, то и на оси ординат единичный отрезок тоже должен быть равен одному сантиметру.
Положительное и отрицательное направление
У осей стрелкой задается положительное направление:
- так обычно у оси $Оx$ положительным считается направление вправо;
- у оси $Оy$ положительным считается направление снизу вверх.
В таком случае часть прямой $Оx$ левее точки $О$ будет принимать отрицательные значения. Аналогично часть прямой $Оy$ ниже точки отсчета $О$ будет также принимать отрицательные значения.
Таким образом, все вместе:
- начало координат $О$
- пересекающиеся под прямым углом оси $Оx$ и $Оy$ с заданными направлениями
- заданный единичный отрезок
образуют в математике прямоугольную систему координат, плоскость называют координатной.
Или другими словами:
Прямоугольная система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные оси с заданными направлениями, единицей длины и точкой отсчета в месте их пересечения.
На письме система координат обозначается $Оxy$
Четверти
Осями координат плоскость делится на 4 части, их обозначают римскими цифрами. Каждая часть называется «квадрант». Другие названия: «координатный угол» или «четверть». Нумерация четвертей принята против часовой стрелки в том порядке, в котором указано на рисунке ниже.
В квадранте I значения $x$ и $y$ будут положительными. Отсюда следует, что если координаты объекта $x$ и $y$ – числа положительные, то он находится в I квадранте.
В квадранте II значение $y$ будет положительными, а $x$ отрицательным.
В квадранте III обе координаты $x$ и $y$ будут иметь отрицательные значения.
В последнем IV квадранте значение $x$ будет положительным, а $y$ отрицательным.
Немного из истории
В латинском языке слово «координаты» получилось из двух других: co – «совместно» и ordinatus – «определенный», «упорядоченный».
Впервые необходимость нахождения координат объектов возникла в географии и астрономии. Для этого использовали широту и долготу, определяющие расположение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара.
Таким образом начали вычислять координаты точек еще в 14 веке. Но упорядочил и систематизировал все знания в 17 веке французский математик по имени Рене Декарт. Поэтому прямоугольную систему координат также называют еще и «декартовой».
Координатные четверти
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 124.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 124.
Человечество с самого начала своего существования нуждалось в определении своего места положения. Как узнать конкретное расположение точки с точностью до миллиметра? Только с помощью системы координат, об особенностях которой и пойдет речь сегодня.
Что такое система координат?
Система координат это комплекс мер, которые позволяют определить положение точки в пространстве или на плоскости.
В физике помимо комплекса определения положения точки используется еще и прибор для определения времени. В математике достаточно определить положение точки в один момент времени.
Существует две разновидности систем координат:
- Прямоугольная система координат. Это система координат, которая была изобретена английским математиком Декартом, потому второе название системы координат: декартова. Система представляет собой два взаимно перпендикулярных луча. Началом отсчета является точка пересечения лучей, на лучах отмечают единичные отрезки.
- Полярная система координат. Эта система куда более древняя. Она использовалась еще мореплавателями в древней Греции. В качестве координат используется еще и угол. Число откладывается на луче, от точки поднимается перпендикуляр. После из начала координат проводится прямая под заданным углом. Точка пересечения проведенной прямой и перпендикуляра и есть искомое положение точки.
Полярная система в современности используется крайне редко, она сложнее декартовой системы, а потому утратила свою популярность.
Координатные четверти
Два взаимно перпендикулярных луча образуют четыре координатные четверти. Горизонтальная ось называется осью абсцисс или осью Ох, вертикальная оси называется осью ординат или осью Оу. Начало координат рассекает оси на положительную и отрицательную часть.
Каждая из координатных четвертей имеет свой номер и обозначение в виде римской цифры. Сначала нумеруют верхние четверти, так верхняя правая четверть зовется первой, верхняя левая второй, нижняя левая третье, а нижняя правая четвертой.
Для того, чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, следует опустить от точки перпендикуляры на оси и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты прописываются в скобочках, первой идет координата по оси Ох, второй по Оу.
Разберемся, какие координаты могут быть в осях:
- Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата х отрицательна, а координата у положительна, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
- Если координата х положительна, а координата у отрицательна, то точка лежит в четвертой четверти.
Что мы узнали?
Мы поговорили о системах координат. Выделили две системы координат. Поговорили о координатных четвертях, а также сказали, как определить расположение точки в зависимости от ее координат.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 124.
А какая ваша оценка?
Для обозначения числами точного положения точки на плоскости
проведём две перпендикулярные координатные прямые (x) и (y),
которые пересекаются в начале отсчёта — точке (O).
Так мы задали на плоскости прямоугольную систему координат,
а плоскость стала координатной плоскостью.
Начало координат — точка (O) (точка пересечения прямых (x) и (y)),
оси координат — координатные прямые (x) и (y),
координатные углы — прямые углы, образованные при пересечении осей координат.
Координатные углы нумеруют против часовой стрелки:
Отметим в прямоугольной системе координат точку (M).
Проведём через точку (M) прямую, параллельную оси (y).
Прямая пересечёт ось (x) в некоторой точке, координата которой равна (-2).
Эту координату называют абсциссой точки (M).
Далее проведём через точку (M) прямую, параллельную оси (x). Прямая пересечёт ось (y) в некоторой точке, координата которой равна (3).
Эту координату называют ординатой точки (M).
Коротко пишем так: (M(x; y)).
Эту пару чисел называют координатами точки (M).
Абсциссу записываем на первое место, ординату — на второе место.
Имеем (M(-2; 3)).
Число (-2) называют абсциссой точки (M), а число (3) — ординатой точки (M).
Горизонтальную координатную прямую (x) называют осью абсцисс, или осью (x), а
вертикальную координатную прямую (y) — осью ординат, или осью (y).
Координатные углы ещё называют координатными четвертями. Рассмотрим координаты точки (M(x; y)) в разных четвертях и на осях:
в (1) четверти: (x>0; y>0);
во (2) четверти: (x<0; y>0);
в (3) четверти: (x<0; y<0);
в (4) четверти: (x>0; y<0);
на оси (x): координата (y=0), то есть (M(x; 0));
на оси (y): координата (x=0), то есть (M(0; y)).
Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината — и наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.
Для построения этой точки, требуется найти точку пересечения прямых (x=a) и (y=b).
Это будет точка (M(a; b)).
Математика
6 класс
Урок № 79
Декартова система координат на плоскости
Перечень рассматриваемых вопросов:
- прямоугольная система координат;
- координатная плоскость;
- координатная ось, координата точки;
- изображение точек с действительными координатами на плоскости.
Тезаурус
Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.
Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.
Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.
Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.
Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.
Положительное направление на осях указывается стрелкой.
Точку пересечения осей называют началом координат.
Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.
Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.
Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.
Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A1, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A2. Координату точки A1 на оси x называют абсциссой точки A. Координату точки A2 на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.
Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).
Важно!
х – первая координата
у – вторая координата
Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.
Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.
Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:
– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);
– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;
– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.
То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.
Алгоритм построения точки на координатной плоскости
Построим точку А(3; 6).
Введём прямоугольную систему координат.
На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).
Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.
Точка их пересечения – искомая точка.
В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.
С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.
D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.
F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.
H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.
O(0; 0) – начальная точка системы координат.
В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.
В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.
В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).
Найти:
1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;
2) координаты середины отрезка AB.
Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.
Шаг 2. Проводим прямую АВ.
Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:
М (1; 0), N (0; – 1).
Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).
Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).
Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки
(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).
