Как найти числитель в дроби уравнения

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

• значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
• нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Решение целых и дробно рациональных уравнений

Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

Рациональное уравнение: определение и примеры

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P − Q = 0 будут равносильными выражениями.

А теперь обратимся к примерам.

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x — 1 = 2 + 2 7 · x — a · ( x + 2 ) , 1 2 + 3 4 — 12 x — 1 = 3 .

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

3 · x + 2 = 0 и ( x + y ) · ( 3 · x 2 − 1 ) + x = − y + 0 , 5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

1 x — 1 = x 3 и x : ( 5 · x 3 + y 2 ) = 3 : ( x − 1 ) : 5 – это дробно рациональные уравнения.

К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

• сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
• затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n .

Необходимо найти корни целого уравнения 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) = x · ( 2 · x − 1 ) − 3 .

Решение

Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим: 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = 0 .

Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:

3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = ( 3 · x + 3 ) · ( x − 3 ) − 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x 2 − 5 · x − 6 = 0 . Дискриминант этого уравнения положительный: D = ( − 5 ) 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 25 + 24 = 49 . Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения:

x = — — 5 ± 49 2 · 1 ,

x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 — 7 2 ,

x 1 = 6 или x 2 = — 1

Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3 · ( 6 + 1 ) · ( 6 − 3 ) = 6 · ( 2 · 6 − 1 ) − 3 и 3 · ( − 1 + 1 ) · ( − 1 − 3 ) = ( − 1 ) · ( 2 · ( − 1 ) − 1 ) − 3 . В первом случае 63 = 63 , во втором 0 = 0 . Корни x = 6 и x = − 1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера.

Ответ: 6 , − 1 .

Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

• переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
• представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.

Пример 4

Найдите решение уравнения ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) .

Решение

Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком: ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) − 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 0 . Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0 . Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения.

Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x 2 − 10 · x + 13 . Так мы придем к уравнению вида ( x 2 − 10 · x + 13 ) · ( x 2 − 2 · x − 1 ) = 0 . Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x 2 − 10 · x + 13 = 0 и x 2 − 2 · x − 1 = 0 и найдем их корни через дискриминант: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Ответ: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

Есть ли корни у уравнения ( x 2 + 3 · x + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( x 2 + 3 · x − 4 ) ?

Решение

Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x 2 + 3 · x .

Теперь мы будем работать с целым уравнением ( y + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( y − 4 ) . Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y 2 + 4 · y + 3 = 0 . Найдем корни квадратного уравнения: y = − 1 и y = − 3 .

Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x 2 + 3 · x = − 1 и x 2 + 3 · x = − 3 . Перепишем их как x 2 + 3 · x + 1 = 0 и x 2 + 3 · x + 3 = 0 . Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: — 3 ± 5 2 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.

Ответ: — 3 ± 5 2

Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

Решение дробно рациональных уравнений

Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 , где p ( x ) и q ( x ) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 положено следующее утверждение: числовая дробь u v , где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p ( x ) q ( x ) = 0 может быть сведено в выполнению двух условий: p ( x ) = 0 и q ( x ) ≠ 0 . На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 :

• находим решение целого рационального уравнения p ( x ) = 0 ;
• проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q ( x ) ≠ 0 .

Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

Найдем корни уравнения 3 · x — 2 5 · x 2 — 2 = 0 .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p ( x ) q ( x ) = 0 , в котором p ( x ) = 3 · x − 2 , q ( x ) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступим к решению линейного уравнения 3 · x − 2 = 0 . Корнем этого уравнения будет x = 2 3 .

Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 − 2 ≠ 0 . Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5 · 2 3 2 — 2 = 5 · 4 9 — 2 = 20 9 — 2 = 2 9 ≠ 0 .

Условие выполняется. Это значит, что x = 2 3 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 2 3 .

Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 . Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p ( x ) = 0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 :

• решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
• находим область допустимых значений переменной x ;
• берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x , в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.

Пример 7

Решите уравнение x 2 — 2 · x — 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Решение

Для начала решим квадратное уравнение x 2 − 2 · x − 11 = 0 . Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Получаем D 1 = ( − 1 ) 2 − 1 · ( − 11 ) = 12 , и x = 1 ± 2 3 .

Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Это все числа, для которых x 2 + 3 · x ≠ 0 . Это то же самое, что x · ( x + 3 ) ≠ 0 , откуда x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Теперь проверим, входят ли полученные на первом этапе решения корни x = 1 ± 2 3 в область допустимых значений переменной x . Мы видим, что входят. Это значит, что исходное дробное рациональное уравнение имеет два корня x = 1 ± 2 3 .

Ответ​​: x = 1 ± 2 3

Второй описанный метод решения проще первого в случаях, когда легко находится область допустимых значений переменной x , а корни уравнения p ( x ) = 0 иррациональные. Например, 7 ± 4 · 26 9 . Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Например, 127 1101 и − 31 59 . Это позволяет сэкономить время на проведении проверки условия q ( x ) ≠ 0 : намного проще исключить корни, которые не подходят, по ОДЗ.

В тех случаях, когда корни уравнения p ( x ) = 0 целые, целесообразнее использовать первый из описанных алгоритмов решения уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 . Быстрее сразу находить корни целого уравнения p ( x ) = 0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q ( x ) ≠ 0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p ( x ) = 0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Найдите корни уравнения ( 2 · x — 1 ) · ( x — 6 ) · ( x 2 — 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) x 5 — 15 · x 4 + 57 · x 3 — 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0 .

Решение

Начнем с рассмотрения целого уравнения ( 2 · x − 1 ) · ( x − 6 ) · ( x 2 − 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) = 0 и нахождения его корней. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Получается, что исходное уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2 · x − 1 = 0 , x − 6 = 0 , x 2 − 5 · x + 14 = 0 , x + 1 = 0 , из которых три линейных и одно квадратное. Находим корни: из первого уравнения x = 1 2 , из второго – x = 6 , из третьего – x = 7 , x = − 2 , из четвертого – x = − 1 .

Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.

По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112 и вычислим его значение:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

( − 2 ) 5 − 15 · ( − 2 ) 4 + 57 · ( − 2 ) 3 − 13 · ( − 2 ) 2 + 26 · ( − 2 ) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

( − 1 ) 5 − 15 · ( − 1 ) 4 + 57 · ( − 1 ) 3 − 13 · ( − 1 ) 2 + 26 · ( − 1 ) + 112 = 0 .

Проведенная проверка позволяет нам установить, что корнями исходного дробного рацинального уравнения являются 1 2 , 6 и − 2 .

Ответ: 1 2 , 6 , — 2

Найдите корни дробного рационального уравнения 5 · x 2 — 7 · x — 1 · x — 2 x 2 + 5 · x — 14 = 0 .

Решение

Начнем работу с уравнением ( 5 · x 2 − 7 · x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 . Найдем его корни. Нам проще представить это уравнение как совокупность квадратного и линейного уравнений 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0 и x − 2 = 0 .

Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Получаем из первого уравнения два корня x = 7 ± 69 10 , а из второго x = 2 .

Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно. Проще будет определить ОДЗ переменной x . В данном случае ОДЗ переменной x – это все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 · x − 14 = 0 . Получаем: x ∈ — ∞ , — 7 ∪ — 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x .

Корни x = 7 ± 69 10 — принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x = 2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ: x = 7 ± 69 10 .

Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p ( x ) q ( x ) = 0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.

Решите дробное рациональное уравнение — 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Решение

Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.

Ответ: нет корней.

Решите уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Решение

Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x .

Теперь определим ОДЗ. Оно будет включать все значения x , при которых x 4 + 5 · x 3 ≠ 0 . Решениями уравнения x 4 + 5 · x 3 = 0 являются 0 и − 5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 · ( x + 5 ) = 0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 = 0 и x + 5 = 0 , откуда и видны эти корни. Мы приходим к тому, что искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x = 0 и x = − 5 .

Получается, что дробное рациональное уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 имеет бесконечное множество решений, которыми являются любые числа кроме нуля и — 5 .

Ответ: — ∞ , — 5 ∪ ( — 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Их можно записать как r ( x ) = s ( x ) , где r ( x ) и s ( x ) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Решение таких уравнений сводится к решению уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 .

Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком. Это значит, что уравнение r ( x ) = s ( x ) равносильно уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 . Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. Благодаря этому мы без труда можем преобразовать уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 в тождественную ему рациональную дробь вида p ( x ) q ( x ) .

Так мы переходим от исходного дробного рационального уравнения r ( x ) = s ( x ) к уравнению вида p ( x ) q ( x ) = 0 , решать которые мы уже научились.

Следует учитывать, что при проведении переходов от r ( x ) − s ( x ) = 0 к p ( x ) q ( x ) = 0 , а затем к p ( x ) = 0 мы можем не учесть расширения области допустимых значений переменной x .

Вполне реальна ситуация, когда исходное уравнение r ( x ) = s ( x ) и уравнение p ( x ) = 0 в результате преобразований перестанут быть равносильными. Тогда решение уравнения p ( x ) = 0 может дать нам корни, которые будут посторонними для r ( x ) = s ( x ) . В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов.

Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r ( x ) = s ( x ) :

• переносим выражение из правой части с противоположным знаком и получаем справа нуль;
• преобразуем исходное выражение в рациональную дробь p ( x ) q ( x ) , последовательно выполняя действия с дробями и многочленами;
• решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
• выявляем посторонние корни путем проверки их принадлежности ОДЗ или методом подстановки в исходное уравнение.

Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:

r ( x ) = s ( x ) → r ( x ) — s ( x ) = 0 → p ( x ) q ( x ) = 0 → p ( x ) = 0 → о т с е и в а н и е п о с т о р о н н и х к о р н е й

Решите дробное рациональное уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .

Решение

Перейдем к уравнению x x + 1 — 1 x + 1 = 0 . Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p ( x ) q ( x ) .

Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:

x x + 1 — 1 x — 1 = x · x — 1 · ( x + 1 ) — 1 · x · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) = = x 2 — x — 1 — x 2 — x x · ( x + 1 ) = — 2 · x — 1 x · ( x + 1 )

Для того, чтобы найти корни уравнения — 2 · x — 1 x · ( x + 1 ) = 0 , нам необходимо решить уравнение − 2 · x − 1 = 0 . Получаем один корень x = — 1 2 .

Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.

Подставим полученное значение в исходное уравнение. Получим — 1 2 — 1 2 + 1 = 1 — 1 2 + 1 . Мы пришли к верному числовому равенству − 1 = − 1 . Это значит, что x = − 1 2 является корнем исходного уравнения.

Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x . Это будет все множество чисел, за исключением − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Полученный нами корень x = − 1 2 принадлежит ОДЗ. Это значит, что он является корнем исходного уравнения.

Ответ: − 1 2 .

Найдите корни уравнения x 1 x + 3 — 1 x = — 2 3 · x .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.

Перенесем выражение из правой части в левую с противоположным знаком: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = 0

Проведем необходимые преобразования: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x .

Приходим к уравнению x = 0 . Корень этого уравнения – нуль.

Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Подставим значение в исходное уравнение: 0 1 0 + 3 — 1 0 = — 2 3 · 0 . Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Это значит, что 0 – это посторонний корень, а исходное дробное рациональное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.

Решите уравнение 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 7 24

Решение

Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.

Отнимем от правой и левой частей 7 , получаем: 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 24 .

Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть, 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 24 7 .

Вычтем из обеих частей 3 : 1 2 + 1 5 — x 2 = 3 7 . По аналогии 2 + 1 5 — x 2 = 7 3 , откуда 1 5 — x 2 = 1 3 , и дальше 5 — x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

        Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений — дробными уравнениями.

        Иногда их называют более научно и солидно — дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

        Дробные уравнения — незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно — в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

        1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

        2. Тождественные преобразования уравнений.

        3. Решение линейных и квадратных уравнений.

        Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

        Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем — настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

        Итак, вперёд!

Что такое дробное уравнение? Примеры.

        Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, — это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

        Например, вот такое уравнение:

        

        Или такое:

        

        Или вот такое:

        

        И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

        Например:

        

        Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей — четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

        Или такое уравнение:

        

        Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка — не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

        В общем, вы поняли.

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

        Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

        Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

        Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

        Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

        Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

        Первое, что приходит на ум — перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае — при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

        А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

        Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

        

        Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой — на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные — не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

        Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно — только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

        Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

        Умножаем:

        

        Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

        

        Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача — дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

        А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

        

        Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

        2∙3 = х+3

        А его (надеюсь) уже решит каждый:

        х = 3

        Решаем следующий примерчик:

        

        И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

        Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

        

        Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на «х».    

        Вперёд!

        

        А вот теперь — снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 — х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

        Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

        

        Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

        Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

        С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

        (9 — х)∙х = 20

        Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

        9х — х² = 20

        Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

        

        Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса — нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

        

        Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

        х₁ = 4

        х₂ = 5

        И все дела.)

        Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь — квадратным.

        А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3.  Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми — всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

        Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми — всё сократится и останется бред…

        Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее — особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) — они ко всем видам уравнений относятся. И дробные — не исключение.)

        Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

Раскладываем на множители!

        Решаем третье уравнение по списку:

        

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

        x(x²+2x)(x+2)

        и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

        Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

        А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х²+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

        х²+2х = х(х+2)

        Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

        

        Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя — на х(х+2).

        Вот на х(х+2) и умножаем:

        

        И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

        

        А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем — вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

        

        Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х — 3) в числителе первой дроби — думаю, уже не стоит объяснять?)

        С удовольствием сокращаем все дроби:

        

        (x-3)(x+2) + 3 = x

        Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

        x² + 2x — 3x — 6 + 3 — х = 0

        x² — 2x — 3 = 0

        И снова получили квадратное уравнение.) Решаем и получаем два корня:

        x₁ = -1

        x₂ = 3

        Вот и всё. Это и есть ответ.)

        Из этого примера можно сделать важный вывод:

        Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители — обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

        Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это — дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

        Ну что, порешаем?)

        Решить уравнения:

        

        Ответы (как обычно, вразброс):

        x = 3

        x₁ = 0,5;    x₂ = 3

        x = 2

        х = 6

        x = 2,6

        x₁ = 2;    x₂ = 5

        Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

        Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути — избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

        Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

        Но об этом — дальше.)

Методы решения уравнений, содержащих дроби

В этой статье я расскажу методики решения рациональных уравнений, содержащих дроби.

Что такое рациональное уравнение? Это уравнение, которое содержит в себе такие действия как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем. Извлечение корня — это недопустимое действие для рационального уравнения. Корень делает уравнение иррациональным, как, собственно, и дробный показатель степени.

В свою очередь рациональные уравнения делятся на два вида: целые рациональные и дробные рациональные.

К целым рациональным уравнениям относятся линейные и квадратные уравнения. Рассмотрим пример:

Это уравнение является…попробуешь угадать?…линейным. Его можно запросто увидеть, если деление на 2 и на 6 заменить умножением на 1/2 и 1/6 соответственно. Но оно все-таки содержит в себе знаменатель, поэтому мы его и рассматриваем в данной статье.

К дробным рациональным уравнениям относятся уравнения, которые содержат икс в знаменателе. Например, это уравнение дробное рациональное:

Методика решения приведенных примеров, в принципе, одинакова. Разница состоит в том, что в дробных рациональных уравнениях знаменатель не должен равняться нулю, поэтому при их решении оговаривают ограничения для икса. По-научному говорят, что находят область допустимых значений (ОДЗ).

Но давайте начнем с простого.

Целое рациональное уравнение.

Сначала решим целое рациональное уравнение.

Если ты в уравнении видишь дроби, то надо от них избавится, ведь уравнение без дробей решается намного приятнее)

В этом уравнении находим общий знаменатель. Он равен 6. Это значит, что обе части уравнения надо умножить на 6 (одинокий икс тоже).

Обычно этот шаг пропускают и переходят к следующему, но я его все равно распишу:

Числители и знаменатели сокращаются и получается элементарное уравнение:

Приводим подобные слагаемые:

Чтобы найди икс надо -10 разделить на 10 (произведение делим на известный множитель). Получаем ответ:

Готово!

Дробное рациональное уравнение.

Теперь решим дробное рациональное уравнение.

Я уже писала о том, что в дробных рациональных уравнениях знаменатели не должны равняться нулю. Знаменатель второй дроби нас устраивает, ведь 3 не равно 0) А вот знаменатель первой дроби требует от нас, чтобы мы нашли ОДЗ.

А дальше по накатанной: надо обе части уравнения умножить на общий знаменатель. Общим знаменателем будет выражение 3(х + 9).

Снова распишу подробно, но если ты шаришь, то следующую запись можешь не писать.

В первой дроби сокращаем (х + 9), а во второй — тройки. Получаем такое уравнение:

Здесь можно раскрыть скобки, потом перенести известные в одну сторону, а неизвестные — в другую… Но делать я этого не стану, а просто обе части уравнения разделю на -2. А еще поменяю местами левую и правую части уравнения, чтобы привести его к привычному виду.

Чтобы найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое, т.е. из -9 вычесть 9.

Ответ таков:

Сравниваем с ОДЗ… Всё отлично. Корень уравнения подходит.

Альтернативный метод решения уравнения с дробями.

Но нельзя пройти мимо другого метода решения данного уравнения: с помощью пропорции. Помнишь, как она раскрывается? Правильно, крест-накрест. И не надо искать общий знаменатель)

Перемножаем….и о чудо! Получаем уравнение, которое мы уже решали!

Дальнейшее решение расписывать не буду, оно есть выше.

Такой способ решения уравнений хорош, когда в уравнении имеются две дроби.

В завершении решу еще одно уравнение предложенными выше способами.

Только ты решаешь какой способ выбрать.

Твой персональный препод Васильева Анна)

Иногда линейные уравнения принимают вид, когда неизвестное оказывается в числителе одной или нескольких дробей.
Как, например, в уравнении ниже.

В таких случаях подобные уравнения можно решить двумя способами.

I способ решения
Сведение уравнения к пропорции

Итак, вернемся к нашему уравнению. В левой части у нас и так стоит только одна дробь, поэтому в ней не нужны
никакие преобразования.

Будем работать с правой частью уравнения.
Упростим правую часть уравнения так, чтобы там осталась только одна дробь.
Для этого вспомним правила сложения числа с алгебраической дробью.

Теперь используем правило пропорции и решим уравнение до конца.

---

II способ решения
Сведение к линейному уравнению без дробей

Рассмотрим уравнение выше еще раз и решим его другим способом.

Мы видим, что в уравнении присутствуют две дроби
«» и
«».

Наша задача сделать так, чтобы в уравнении не осталось ни одной дроби.

Другими словами, необходимо свести уравнение к обычному
линейному уравнению без неизвестного в дроби.

Давайте зададим себе вопрос: «Какое число без остатка делится на каждый из знаменателей дробей, то есть и на
«5», и на «9» ?».
Таким ближайшим наименьшим числом будет число «45».

Умножим каждый член уравнения на «45».

Другие примеры решения уравнений с неизвестным в дроби

Решение уравнения I способом (через пропорцию)

• 
  +

  =

  +

  =

  +

  =

  =

  =

  (49 − 23y) · 2 = 15 · (y + 6)

  98 − 46y = 15y + 90

  −46y − 15y = 90 − 98

  −61y = −8     | :(−61)

  y =

  Ответ: y =

Решение уравнения II способом
(сведение к уравнению без дробей)

• 
  2 − +
  = 0             | ·20

  2 · 20 − +
  = 0 · 20

  40 − 5 ·(3x − 7) + 4 · (x + 17) = 0

  40 − 15x + 35 + 4x + 68 = 0

  −15x + 4x + 40 + 35 + 68 = 0

  −11x + 75 + 68 = 0

  −11x + 143 = 0

  −11x = −143     | :(−11)

  x = 13

  Ответ: x = 13

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Целые рациональные уравнения

Если в уравнении нет переменной (x) в знаменателе, то такое уравнение называется целым. Или, другими словами, нигде в уравнении нет деления на переменную.
Метод решения целых рациональных уравнений сильно зависит от того, какой степени перед вами уравнения.

Степень уравнения — это максимальная степень у переменной (x).

Например, уравнение (x^2+5x-1=0) будет второй степени, так как есть (x^2).
Пример уравнения первой степени: (5x-1=17);
Уравнение третьей степени: (5x^3-3x^2=0);
Уравнение четвертой степени: (7x^4-5x^2+x-5=0);
И т.д.

Основной алгоритм решения целых уравнений:

• Если есть скобки, раскрываем их;
• Перекидываем все слагаемые в левую часть так, чтобы в правой части остался только (0). Не забываем при этом менять знак этих слагаемых;
• Приводим подобные слагаемые;
• Если получилось уравнение первой степени (в уравнении есть только (x)), то решаем его так (линейные уравнения);
• Если получилось уравнение второй степени (в уравнении есть (x^2)), то оно решается вот так (квадратные уравнения).
• А вот если в преобразованном уравнении получились члены (x^3) или большей степени, то придется применять нестандартные методы решения. Например, замена переменной, группировка, схема Горнера и т.д.

Чаще всего уравнения после преобразований будут сводиться к уравнениям первой (линейные уравнения) и второй (квадратные уравнения) степени.

Разберем примеры целых рациональных уравнений:

Пример 1
$$-4(-7+6x)=-9x-5;$$
Первым делом раскрываем скобки:
$$28-24x=-9x-5;$$
Перекидываем все слагаемые из правой части в левую:
$$28-24x+9x+5=0;$$
Поменяем слагаемые местами, чтобы удобнее было приводить подобные слагаемые:
$$-24x+9x+5+28=0;$$
$$-15x+33=0;$$
Получили линейное уравнение. Чтобы его решить, перекидываем свободный член (тот, что без (x)) в правую часть:
$$-15x=-33;$$
И поделим уравнение слева и справа на (-15):
$$x=frac{-33}{-15};$$
$$x=frac{11}{5}=2,2;$$
Ответ: (x=2,2.)

Важно отметить, то, что уравнение линейное, стало видно сразу после раскрытия скобок: у нас же не было степени у (x)-ов. Поэтому разумно было сразу решать его как линейное: перенести все слагаемые с (x) в левую часть, а все числа в правую. Так бы получилось немного короче.

Пример 2
$$4*(x+1)^2-2(x+3)=(2x-5)^2;$$
Тут сразу и не скажешь, какой степени уравнение. На первый взгляд кажется, что квадратное, но давайте раскроем скобки, воспользовавшись формулами сокращенного умножения:
$$4*(x^2+2x+1)-2x-6=4x^2-20x+25;$$
$$4*x^2+8x+4-2x-6=4x^2-20x+25;$$
Перекинем все в левую часть, не забывая поменять знак:
$$4*x^2+8x+4-2x-6-4x^2+20x-25=0;$$
Поменяем местами слагаемые, чтобы было проще приводить подобные:
$$4x^2-4x^2+8x-2x+20x+4-6-25=0;$$
$$26x-27=0;$$
Как видите, все квадраты сократились, и уравнение превратилось в линейное:
$$26x=27;$$
$$x=frac{27}{26};$$
Ответ: (x=frac{27}{26}.)

Пример 3
$$frac{x}{6}+frac{x}{12}+x=-frac{35}{4};$$
Домножим уравнение слева и справа на (12). Почему именно на (12)? Потому что в уравнении есть дроби с знаменателями (6), (12) и (4), на все эти числа (12) можно разделить:
$$12*(frac{x}{6}+frac{x}{12}+x)=12*(-frac{35}{4});$$
$$12*frac{x}{6}+12*frac{x}{12}+12*x=12*(-frac{35}{4});$$
$$2x+x+12x=-3*35;$$
$$15x=-105;$$
$$x=frac{-105}{15}=-7;$$
Ответ: (x=-7.)

Подробнее про линейные уравнения можно почитать в отдельной статье.

Пример 4
$$(x-1)^2=2x^2-6x-31;$$
Раскроем скобки:
$$x^2-2x+1=2x^2-6x-31;$$
$$x^2-2x+1-2x^2+6x+31=0;$$
$$x^2-2x^2-2x+6x+1+31=0;$$
$$-x^2+4x+32=0;$$
После приведения подобных слагаемых в уравнении остался (x^2), а значит перед нами квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант:
$$a=-1; quad b=4; quad c=32;$$
$$D=b^2-4ac=4^2-4*(-1)*32=16+128=144=12^2;$$
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-4+12}{2*(-1)}=frac{8}{-2}=-4;$$
$$x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-4-12}{2*(-1)}=frac{-16}{-2}=8;$$
Ответ: (x=-4; qquad x=8.)

Подробнее про квадратные уравнения можно почитать здесь.

Методы решения уравнений третьей степени и старше

Не существует универсального удобного метода решения уравнений третьей степени или выше, как, например, квадратные уравнения, которые легко решаются через дискриминант, даже думать не надо.

Есть несколько методов, которые полезно знать: замена переменной, метод группировки, деление многочлена на многочлен, схема Горнера и т.д. Метод замены переменной заслуживает отдельного урока, поэтому про него мы подробно поговорим здесь. Сейчас мы обсудим метод группировки.

Метод группировки

Метод группировки слагаемых можно использовать и для решения квадратных уравнений, и, вообще говоря, для уравнений любой степени. Но проблема этого метода в том, что далеко не всегда удается его применить, и приходится использовать другие методы. Однако, если на экзамене вам не повезло, и попалось уравнение, которое сводится к уравнению 3й степени или старше, то в большинстве случаев оно будет решаться именно группировкой. Поэтому знать этот метод нужно обязательно.

Разберем метод группировки на примере кубического уравнения:

Пример 5
$$2x^3+4x^2-8x-16=0;$$
Посмотрите внимательно на уравнение, в нем 4 слагаемых, сгруппируем их попарно: первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$$(2x^3+4x^2)+(-8x-16)=0;$$

И вынесем общий множитель (2x^2) из первой пары, и (-8) из второй:

$$2x^2(x+2)-8(x+2)=0;$$
Теперь вместо 4-х слагаемых у нас всего два, но и у них есть общий множитель ((x+2)), который можно вынести за скобки:
$$(x+2)(2x^2-8)=0;$$
Произведение двух множителей (в нашем случае двух скобок) равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен (0):
$$x+2-0 qquad Rightarrow qquad x_1=-2;$$
$$2x^2-8=0 qquad Rightarrow qquad 2x^2=8 qquad Rightarrow qquad x^2=frac{8}{2} qquadRightarrow $$
$$Rightarrow qquad x^2=4 qquad Rightarrow qquad x_{2,3}=pm 2;$$
Получилось три значения (x), но корень (x=-2) дублируется, поэтому исходное кубическое уравнение будет иметь 2 решения:
Ответ: (x=-2, quad x=2.)

Общий алгоритм разложения на множители:

1. Объединяем слагаемые в группы, как правило, в пары, но иногда это могут быть и тройки;
2. В каждой группе (паре) выносим общий множитель за скобки;
3. Если в скобках в каждой паре получилось одинаковое выражение, то опять выносим общий множитель в виде одинакового выражения внутри этих скобок за «большие» скобки.
4. Если в результате шагов (1) и (2) в каждой паре получились разные выражения в скобках, то нужно вернуться на шаг (1), поменять местами слагаемые и сгруппировать их в группы другим способом.

Попробуем решить уравнение четвертой степени:

Пример 6
$$4x^4+12x^3+6x^2+18x=0;$$
Опять сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым, а третье с четвертым:
$$(4x^4+12x^3)+(6x^2+18x)=0;$$
Вынесем общий множитель в каждой паре:
$$4x^3(x+3)+6x(x+3)=0;$$
Ура, в скобках получились одинаковые выражения ((x+3)), вынесем их за скобки:
$$(x+3)(4x^3+6x)=0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$x+3=0 qquad qquad 4x^3+6x=0;$$
Первое уравнение имеет корень (x_1=-3), а второе выпишем отдельно и решим:
$$4x^3+6x=0;$$
Здесь тоже есть общий множитель (x), но это уже не группировка, а обычное вынесение общего множителя за скобки:
$$x(4x^2+6)=0;$$
$$x_2=0 qquad 4x^2+6=0;$$
Из уравнения (4x^2+6=0) выразим (x^2:)
$$4x^2=-6;$$
$$x^2=frac{-6}{4}=frac{-3}{2};$$
Но (x^2) никогда не может равняться отрицательному числу! Что бы вы не возвели в квадрат, всегда получите неотрицательное число. Поэтому последнее уравнение не будет иметь корней.
Осталось опять всего лишь два корня:
Ответ: (x_1=-3; qquad x_2=0.)

Дробно-рациональные уравнения

Если в уравнении есть деление на выражение, зависящее от переменной (x), то такое уравнение будет называться дробно-рациональным. Например, уравнения:
$$frac{1}{x}+3=x;$$
$$x+frac{20}{x+6}=6;$$
$$frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+frac{x^2-3x+16}{x^2-3x}=0;$$
все будут дробно-рациональными.

А уравнение
$$frac{x^2-3x}{5}+frac{x-7}{2}=1;$$
уже не будет дробно-рациональным, несмотря на то, что есть деление, но в знаменателе стоят обыкновенные числа, там нет переменной (x).

С тем, что такое дробно-рациональные уравнения, надеюсь, разобрались, теперь поговорим про алгоритм решения таких уравнений.

В общем виде дробно-рациональное уравнение выглядит так:
$$frac{P(x)}{Q(x)}=0;$$
где (P(x)) и (Q(x)) — целые рациональные выражения;

Схему решения можно записать в виде:
$$ begin{cases}
P(x)=0, \
Q(x) neq 0.
end{cases}$$

Простыми словами, решение дробно-рационального уравнения сводится к нахождению корней целого рационального уравнения (P(x)=0). И проверке того, чтобы найденные корни удовлетворяли неравенству (Q(x)neq0).

Пример 7
$$frac{x^2-5x+6}{x-3}=0;$$
Согласно приведенной выше схеме (P(x)=x^2-5x+6=0), а (Q(x)=x-3neq 0).
Или можно запомнить, что дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю. А делить на ноль в математике запрещено, поэтому еще и знаменатель не должен равняться нулю.
Приравниваем числитель к нулю:
$$x^2-5x+6=0;$$
$$D=(-5)^2-4*1*6=25-24=1;$$
$$x_1=frac{-(-5)+sqrt{1}}{2}=frac{5+1}{2}=3;$$
$$x_2=frac{-(-5)-sqrt{1}}{2}=frac{5-1}{2}=2;$$
И не забываем проверить, чтобы при найденных корнях знаменатель не был равен нулю:
$$x-3 neq 0;$$
При (x_1=3) знаменатель обращается в нуль, поэтому этот корень нам не подходит.
Ответ: (x_1=2.)

Рассмотрим более сложное уравнение:

Пример 8
$$frac{10}{x+6}=-frac{5}{3};$$
Чтобы решить такое уравнение, необходимо привести его к стандартному виду:
$$frac{P(x)}{Q(x)}=0;$$
Для этого переносим (-frac{5}{3}) в левую часть уравнения, не забываем, что (-frac{5}{3}) превращается в (+frac{5}{3}):
$$frac{10}{x+6}+frac{5}{3}=0;$$

Приводим дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем здесь будет: (3*(x+6)). Поэтому домножаем числитель и знаменатель первой дроби на (3), а вторую дробь на ((x+6)):
$$frac{3*10}{3*(x+6)}+frac{5*(x+6)}{3*(x+6)}=0;$$
$$frac{30}{3*(x+6)}+frac{5*x+30}{3*(x+6)}=0;$$
Так как теперь знаменатели у дробей одинаковые, то можно сложить их числители и представить в виде одной большой дроби:
$$frac{30+5x+30}{3(x+6)}=0;$$
$$frac{60+5x}{3(x+6)}=0;$$
Получили стандартный вид дробно-рационального уравнения.

Дробь может быть равна нулю только в одном случае: если ее числитель равен нулю!

Иногда нулю еще пытаются приравнять знаменатель, но знаменатель не может быть равен нулю. Знак дроби — это то же самое, что и знак деления, а делить на ноль в математике категорически запрещено. Именно поэтому знаменатель дроби никак не может быть равен нулю.

Возвращаемся к нашему уравнению и приравниваем числитель к нулю:
$$60+5x=0;$$
$$5x=-60;$$
$$x=-12;$$
В качестве проверки подставим найденный корень в исходное уравнение:
$$frac{10}{x+6}=-frac{5}{3} quad Rightarrow quad frac{10}{-12+6}=-frac{5}{3} quad Rightarrow $$
$$Rightarrow quad frac{10}{-6}=-frac{5}{3} quad Rightarrow quad -frac{5}{3}=-frac{5}{3};$$
Получилось верное равенство, значит (x=-12) действительно будет корнем нашего уравнения.
Ответ: (x=-12.)

Алгоритм решения

• Переносим все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части уравнения был 0, не забывая при этом менять знак;
• Приводим к общему знаменателю;
• Упрощаем получившееся выражение в числителе дроби: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые;
• Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Поэтому избавляемся от знаменателя и приравниваем числитель к нулю;
• В результате вышеперечисленных действий дробно-рациональное уравнение сводится к целому рациональному уравнению;
• Решаем целое рациональное уравнение и проверяем найденные корни, чтобы при подстановке их в знаменатель, не получался ноль.

Посмотрим, как работает алгоритм на примерах:

Пример 9
$$frac{9}{x-11}+frac{11}{x-9}=2;$$
Перекидываем двойку в левую часть уравнения и приводим дроби к общему знаменателю ((x-11)(x-9)). Для этого в первой дроби домножаем числитель и знаменатель на ((x-9)), вторую дробь на ((x-11)), а (2-ку) мы всегда можем представить в виде дроби: (frac{2}{1}), и тоже приводим к знаменателю ((x-11)(x-9)):
$$frac{9*(x-9)}{(x-11)(x-9)}+frac{11*(x-11)}{(x-9)(x-11)}-frac{2(x-11)(x-9)}{(x-11)(x-9)}=0;$$
Получилось немного страшновато, но ничего: складываем дроби, раскрываем в числителе все скобки и приводим подобные слагаемые. Знаменатель при этом не трогаем.
$$frac{9(x-9)+11(x-11)-2(x-11)(x-9)}{(x-9)(x-11)}=0;$$
$$frac{9x-81+11x-121-2(x^2-9x-11x+99)}{(x-9)(x-11)}=0;$$
$$frac{9x-81+11x-121-2x^2+18x+22x-198}{(x-9)(x-11)}=0;$$
$$frac{-2x^2+60x-400}{(x-9)(x-11)}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$-2x^2+60x-400=0;$$
$$D=60^2-4*(-2)*(-400)=3600-3200=400;$$
$$x_1=frac{-60+sqrt{400}}{2*(-2)}=frac{-60+20}{-4}=10;$$
$$x_2=frac{-60-sqrt{400}}{2*(-2)}=frac{-60-20}{-4}=20;$$
Подставив оба корня в исходное уравнение, аналогично тому, как мы это делали в примере №7, можно убедиться в правильности найденных корней.
Ответ: (x_1=10 quad x_2=20.)

Пример 10
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}=frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$
Когда вы видите в знаменателе формулы сокращенного умножения, общий множитель или группировку, то нужно обязательно ими воспользоваться, чтобы разложить многочлен в знаменателе на множители перед тем, как приводить к общему знаменателю.

Замечаем у дроби справа в знаменателе формулу разности квадратов (a^2-b^2=(a-b)(a+b):)
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}=frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)};$$
Перекидываем в левую часть уравнения:
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}-frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
Приведем все дроби к общему знаменателю ((2-3x)(2+3x)):

• У первой дроби в знаменателе поменяем слагаемые местами (от перемены мест слагаемых сумма не меняется ((3x+2=2+3x)) и домножим ее числитель и знаменатель на ((2-3x)).
• У второй дроби в знаменателе стоит ((3x-2)), а нам надо ((2-3x)). Поэтому домножим числитель и знаменатель на (-1) и на ((2+3x)).
• С третьей дробью делать ничего не нужно. У нее и так нужный нам знаменатель.

$$frac{x(2-3x)}{(2+3x)(2-3x)}+frac{5*(-1)*(2+3x)}{(3x-2)*(-1)*(2+3x)}-frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
$$frac{x(2-3x)}{(2-3x)(2+3x)}+frac{-5*(2+3x)}{(2-3x)(2+3x)}-frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
Складываем дроби и раскрываем скобки:
$$frac{x(2-3x)-5*(2+3x)-(3x^2+6x)}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
Обратите внимание, что я всегда беру числитель в скобки, когда складываю дроби. Тем самым я показываю, что минус перед дробью действует на каждое слагаемое в числителе.

Это одна из самых распространенных ошибок. Будьте внимательны.
$$frac{2x-3x^2—10-15x—3x^2-6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
$$frac{-6x^2—19x-10}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$-6x^2-19x-10=0;$$
Для удобства умножим все уравнение на (-1):
$$6x^2+19x+10=0;$$
$$D=19^2-4*6*10=361-240=121;$$
$$x_1=frac{-19+sqrt{121}}{2*6}=frac{-19+11}{12}=frac{-8}{12}=-frac{2}{3};$$
$$x_2=frac{-19-sqrt{121}}{2*6}=frac{-19-11}{12}=frac{-30}{12}=-frac{5}{2};$$

Подставим корень (x_1=-frac{2}{3}) в исходное уравнение:
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}=frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$
$$frac{-frac{2}{3}}{3*left(-frac{2}{3}right)+2}+frac{5}{3*left(-frac{2}{3}right)-2}=frac{3left(-frac{2}{3}right)^2+6left(-frac{2}{3}right)}{4-9left(-frac{2}{3}right)^2};$$

Оказывается, что мы не cможем это посчитать, так как в знаменателе получается ноль, а делить на ноль нельзя. В таком случае говорят, что найденный корень не подходит, и в ответ мы его не записываем. А если подставить (-frac{5}{2}), то все будет нормально.

Ответ:(x=-frac{5}{2}.)

Область допустимых значений. ОДЗ

Примеры выше показали нам, что не всегда найденные значения (x) будут корнями исходного уравнения.

Почему так происходит?

Когда мы решаем уравнение, мы преобразовываем его: переносим слагаемые из одной части уравнения в другую, приводим к общему знаменателю, считаем подобные слагаемые, избавляемся от знаменателя и т.д. Эти преобразования меняют вид нашего уравнения. В новом измененном уравнении «исчезает» информация, например, о том, что в нем раньше был знаменатель.

Поэтому мы подставляли найденные (x) в ИСХОДНОЕ уравнение, чтобы проверить, действительно ли они являются корнями, и не нарушаются ли правила математики, такие, как деление на ноль.

Но решений в уравнении может быть много, да и само уравнение может быть большим и сложным. Подставлять туда каждый найденный корень и проверять, действительно ли он является корнем исходного уравнения, может быть проблематично.

Чтобы не заниматься трудоемкой подстановкой, лучше всего находить область значений (x) (еще ее называют область определения), при которых не нарушаются правила математики для исходного уравнения. И уже на этой области (x) искать корни: если найденный корень лежит в разрешенной области, значит он может быть корнем, а если нет, то выкидываем его.

Разрешенная область значений (x) называется «областью допустимых значений», сокращенно ОДЗ. Чтобы найти ОДЗ в дробно-рациональных уравнениях, нужно приравнять к нулю все знаменатели исходного уравнения и решить получившееся уравнения. Другими словами, ищем такие (x), при которых возникает запрещенное деление на ноль в исходном уравнении. Все (x), не являющиеся корнями этих уравнений, и будут нашей областью допустимых значений.

Найдем ОДЗ уравнения из примера №9:
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}=frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$
Выписываем все знаменатели и находим (x), при которых они не равны нулю:
$$ begin{cases}
3x+2 neq 0, \
3x-2 neq 0, \
(2-3x)(2+3x) neq 0.
end{cases}$$

Третье неравенство в системе сводится к первым двум, поэтому его можно исключить из рассмотрения.
$$ begin{cases}
x neq -frac{2}{3}, \
x neq frac{2}{3}.
end{cases}$$

Решив неравенства, мы получили, что (x) может принимать любые значения, кроме (frac{2}{3}) и (-frac{2}{3}). Это и есть ОДЗ.

Напомню, что в примере №9 у нас получились корни (x_1=-frac{2}{3}) и (x_2=-frac{5}{2}). Соотносим их с найденным ОДЗ и видим, что корень (x_1=-frac{2}{3}) не подходит. Для этого нам не понадобилось подставлять его в исходное уравнение, как мы делали при решении.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений с использованием ОДЗ

• Находим ОДЗ. Для этого выписываем все знаменатели и приравниваем их к нулю;
• Решаем дробно-рациональное уравнение: перекидываем все в левую часть, приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые, избавляемся от знаменателя и решаем получившееся целое рациональное уравнение;
• Проверяем, чтобы найденные корни удовлетворяли ОДЗ. Если не удовлетворяют, то отбрасываем их.

Пример 11
$$frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1;$$
Начинаем решение с ОДЗ:
$$x^2-9 neq 0;$$
Разность квадратов:
$$(x-3)(x+3) neq 0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$x-3 neq 0 Rightarrow x neq 3;$$
$$x+3 neq 0 Rightarrow x neq -3;$$
ОДЗ нашли, приступаем к решению самого уравнения:
$$frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}-1=0;$$
Приводим к общему знаменателю (x^2-9), для этого единицу представим в виде дроби ((1=frac{1}{1})) и домножим ее на (x^2-9):
$$frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}-frac{1*(x^2-9)}{1*(x^2-9)}=0;$$
$$frac{2x^2+7x+3-(x^2-9)}{x^2-9}=0;$$
$$frac{2x^2+7x+3-x^2+9}{x^2-9}=0;$$
$$frac{x^2+7x+12}{x^2-9}=0;$$
$$x^2+7x+12=0;$$
$$D=7^2-4*1*12=49-48=1;$$
$$x_1=frac{-7+1}{2}=frac{-6}{2}=-3;$$
$$x_2=frac{-7-1}{2}=frac{-8}{2}=-4;$$

Сверяем найденные корни с ОДЗ ((x neq pm 3)) и видим, что корень (x_1=-3) не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: (x=-4.)

Пример 12
$$frac{x^2-6x+8}{x-1}-frac{x-4}{x^2-3x+2}=0;$$
Всегда начинаем решать с ОДЗ:
$$ begin{cases}
x-1 neq 0, \
x^2-3x+2 neq 0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x neq 1, \
x neq 2.
end{cases}$$

Чтобы привести к общему знаменателю, разложим квадратный многочлен в знаменателе второй дроби на множители:
$$frac{x^2-6x+8}{x-1}-frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$
Теперь видно, что общий знаменатель: ((x-1)(x-2)). Домножим первую дробь на ((x-2)):
$$frac{(x^2-6x+8)*(x-2)}{(x-1)*(x-2)}-frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$
Если перемножить скобки в числителе, то получится многочлен третьей степени. Решать уравнение третьей степени не хочется, поэтому попробуем упростить нашу задачу: разложим на множители многочлен (x^2-6x+8=(x-2)(x-4)):
$$frac{(x-2)(x-4)*(x-2)}{(x-1)*(x-2)}-frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$
$$frac{(x-2)^2(x-4)-(x-4)}{(x-1)(x-2)}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$(x-2)^2(x-4)-(x-4)=0;$$
Вынесем общий множитель: скобку ((x-4)):
$$(x-4)((x-2)^2-1)=0;$$
$$(x-4)(x^2-4x+4-1)=0;$$
$$(x-4)(x^2-4x+3)=0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$x-4=0 Rightarrow x_1=4;$$
$$x^2-4x+3=0;$$
$$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$
$$x_2=frac{-(-4)+sqrt{4}}{2}=frac{4+2}{2}=3;$$
$$x_3=frac{-(-4)-sqrt{4}}{2} =frac{4-2}{2}=1;$$
Проверяем, чтобы найденные корни удовлетворяли ОДЗ ((x neq 1; quad x neq 2)) и видим, что корень (x_3=1) не подходит.
Ответ: (x_1=4, qquad x_2=3.)

Чтобы научиться решать большинство уравнений из школьной программы необходимо также знать метод замены переменной. Это очень важный метод, который используется для решения некоторых рациональных и дробно-рациональных уравнений, и не только, поэтому он заслуживает того, чтобы поговорить о нем в отдельной статье, очень рекомендую.