Как найти число если известно его степень

Содержание

  1. Таблица кубов и квадратов, как состовлять и найти
  2. Как появилось понятие куб числа?
  3. Степень с натуральным показателем
  4. Теория
  5. Возвести в куб онлайн
  6. Дополнительная информация
  7. Простой математический фокус
  8. Помощь от мирового сообщества
  9. Сраный 2022
  10. А вот и санкции подвезли!
  11. Что может быть важнее…
  12. Ответ на пост «Про DNS»
  13. Мой папа дома
  14. Помощь людям из Украины.Молдова
  15. Геологи
  16. Продолжение поста «Прощу помощи у Пикабу»
  17. Rainbow
  18. Сейчас это ролик актуален, как никогда
  19. Добро пожаловать на курорты Северного Кавказа!
  20. Петиция за отставку Чемезова
  21. Таблица кубов
  22. Таблица кубов
  23. Теория
  24. Скачать таблицу кубов

Таблица кубов и квадратов, как состовлять и найти

Как появилось понятие куб числа?

Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:

Кубические числа выделялись в особый вид фигурных чисел, поскольку куб числа x равен объёму куба с длиной ребра, равной x .

Вообще, фигурные числа – интереснейшая тема . Ставьте лайки этому материалу, если хотите узнать о них больше!

Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так

Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:

  • 729 равно 9 в кубе;
  • 729 равно 3 в шестой степени;
  • 729 равно 27 в квадрате, что очень сильно нравилось пифагорейцам. Например, Платон считал, что количество ночей и дней в году равняется 729 (364, 5 на каждое время суток). Кроме того, он считал, что жизнь царя должна длиться 729 месяцев (около 67 лет).

Еще несколько интересных свойств кубов чисел:

  • 1728 является количеством кубических дюймов в кубическом футе;
  • 1728 – единственный композиториал , являющийся одновременно кубом числа. Композиториал – это факториал ( о нем я достаточно интересно уже писал ), деленный на праймориал – последовательность произведения простых чисел, меньше данного.

Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Возвести в куб онлайн

Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

65 2 = 65 ∙ 65

Первая цифра в числе 6 5– это цифра 6 , следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.

6 ∙ (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 65 2 = 65 ∙ 65, то

65 2 = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 65 2 = 4225

Источник

Простой математический фокус

Последнюю цифру было бы не определить, если бы при возведении в куб какие-то две давали бы одинаковый результат. Иными словами, существенно, что последние цифры в числе и его кубе определяются однозначно.

Существенно и то, что нам гарантируется наличие целого кубического корня из числа, так что этот трюк не несет никакой практической пользы.

Помощь от мирового сообщества

Сраный 2022

EBU ( European Broadcasting Union) заявил что Россия не будет допущена до участия в Евровидении.

А вот и санкции подвезли!

Мне давеча в стиме чувак-француз пишет:

«прости бро, но я удаляю всех русских из френд-листа»

Пишу в ответ:
«бро, если ты про 1812, то я зла не держу, и вопщемто Наполеон напал первым»

Что может быть важнее…

Наверное это самое важное, что я увидел за эти два дня на телеграмм каналах об Украине…
(Инфа с украинского канала)

Ответ на пост «Про DNS»

Позавчера пошел смотреть и покупать ноут, в ТЦ был ДНС.

Продавец при мне заменил ценник с ценой районе 53 т.р. на ценник 80 999р. (MSI Modern 15)

Я, охуев, сказал, что как-то у них в магазине доллар быстрее меняется, чем в остальном мире.

Он ответил, что увы, и что они уже третий раз за день ценники меняют :/

Благо Эльдорадо и М.Видео не такие шустрые, взял там.

Руководство DNS — пидорасы. Я всё.

Мой папа дома

Мой папа дома! Выписан с положительной динамикой после ковидной пневмонии.
Мы боролись как могли. Папе 76, привит спутником. Госпитализирован в тяжёлом состоянии. Но мы победили.
Я счастлива. Девочка Наташа, 48 годиков.
P.S. Пост не за и не против прививки. Поделилась своей радостью. Я просто люблю своего папу. Очень.

Помощь людям из Украины.Молдова

Кто находится в Молдове рядом с г.Чадыр-Лунга могу принять на время войны.Живу не богато,но поделюсь тем что есть.Кров,тепло ,кроватей хватит на семью с головой.Если есть средства на собственное пропитание ,то это будет плюсом.За житье ,бытье денег не прошу.

Геологи

Продолжение поста «Прощу помощи у Пикабу»

Спасибо всем не безразличным, огромное ,от всей души СПАСИБО, в эфире программы Вечер с Владимиром Соловьевымм показали пленных ,среди них есть он ЖИВ . это главное . спасибо за каждую крупинку информации ,за слова поддержки, главное жив ,а из плена мы дождёмся.

Rainbow

Сейчас это ролик актуален, как никогда

Добро пожаловать на курорты Северного Кавказа!

Оставлю без комментариев. Взято из местных пабликов .

Петиция за отставку Чемезова

В связи с нападением на девушку и её мать в Екатеринбурге, была создана петиция. Ссылка будет в первом посте, здесь не даёт опубликовать почему-то.

Просьба всех неравнодушных подписать. Вот текст :

Требуем отстранить от должности вице-губернатора Свердловской области Чемезова О.

Владимир Владимирович Путин,

11.02.2022 года в городе Екатеринбурге произошло избиение двух женщин группой лиц из Азербайджана.

Избиты были педагог и ее дочь. У одной ушибы и сотрясение головного мозга, вторая пострадавшая находится в больнице с тяжелым переломом.

Губернатор Свердловской области Евгений Куйвашев дал своему заместителю четыре дня для встреч с представителями диаспор иностранцев. Он подчеркнул, что власти региона будут жестко пресекать любые инциденты с участием приезжих.

На сегодняшний день — со слов пострадавшей, извинения никто не принес, материальную помощь и какую-либо другую помощь никто не предложил. Преступники все ещё на свободе. И есть большая вероятность, что наказание не последует.

18.02.2022 вице-губернатор Свердловской области Олег Чемезов провёл встречу с главами диаспор. После встречи он заявил, что часть вины лежит на самих российских девушках. Привожу цитату: «У самих молодых девушек сегодня образ поведения сформирован таким образом, что они позволяют себе курить, пить, материться, одеваться фривольно. Я не говорю, что они должны тут все в хиджабах ходить. Просто если девушка ведет себя таким образом, что выглядит легкодоступной, то и молодой человек считает, что ею можно пользоваться как предметом. Я не сторонник какого-то жесткого исламизма или неравенства. Я просто сторонник культурного воспитания, потому что девушка должна с гордостью носить свою женственность.»

Высказывание господина Чемезова является оскорбительным и нарушает права женщин, которые предусмотрены Конституцией РФ.

Также господин Чемезов одобрил предложение Азербайджанской диаспоры на проведение просветительской деятельности среди российской молодежи на предмет поведения и внешнего вида, а именно — проведение бесед с нашими студентами колледжей и других учебных заведениях о том, как, по мнению Азербайджанской диаспоры, наши молодые граждане должны вести себя и одеваться.

1. Несмотря на общественный резонанс власти пытаются спустить на тормозах как само преступление против избитых женщин, так и общую обостренную обстановку с мигрантами.

2. Встреча вице-губернатора с главами диаспор — это показательная попытка наладить мирную обстановку. Но. Понятие «диаспора» не имеет юридического статуса. Главы диаспор — это простые люди. И то, что они говорят, абсолютно противоположно тому, что происходит в городе.

3. Высказывания вице-губернатора Чемезова О.Л. нарушают права женщин и противоречат Конституции РФ. В России все равны. И свободны в выборе. И имеют право одеваться на свое усмотрение. И никто не имеет права, а уж тем более лицо, занимающее должность вице-губернатора области, сравнивать женщину с предметом. И никто, а уж тем более господин Чемезов, не имеет права обвинять жертву в том, что против нее совершили насилие.

Исходя из вышеизложенного требуем:

1. Взять на контроль расследование уголовного дела в отношении нападавших лиц и предотвратить уход от ответственности.

2. Отстранить от занимаемой должности вице-губернатора Чемезова О.Л.

3. Организовать комплекс мероприятий, направленных на обеспечение безопасности граждан РФ, а также на соблюдение мигрантами российских законов, уважение наших традиций и религиозных убеждений.

4. Принять закон, гарантирующий в случае правонарушений, депортацию мигрантов на родину, без права въезда на территорию РФ.

5. Исключать из учебных заведений мигрантов, совершивших преступления против личности без права восстановления.

5. Ввести ограничения в Свердловской области на трудовую деятельность мигрантов, как это сделано в Калужской и Тюменской областях.

Источник

Таблица кубов

Таблица кубов или таблица возведения чисел в третью степень. Интерактивная таблица кубов и изображения таблицы в высоком качестве.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859
2 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389
3 27000 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319
4 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649
5 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379
6 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509
7 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039
8 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969
9 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299

Таблица кубов

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Скачать таблицу кубов

  • Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
  • Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.

Источник

Источник

Действия, обратные возведению в степень

7. В виду последней особенности действий возведения в степень для него можно составить 2 обратных задачи. Напр.:

1) Я задумал число, возвел его в третью степень (или: в куб), получилось 64; какое число я задумал?

Эту задачу можно записать в виде

(?)3 = 64

2) Я взял число 3, возвел его в некоторую степень, – получилось 81. В какую степень было возведено число 3.

Эту задачу можно записать в виде:

3? = 81

Теперь уже, так как возведение в степень не обладает переместительным законом, эти две задачи следует считать совершенно различными.

Сначала решать их можно подбором: попробуем число 1, 13 = 1, а не 64, след., 1 не годится; 23 = 8, а не 64, след., 2 не годится, 33 = 27, а не 64, след., 3 не годится; 43 = 64, след., в 1 задаче было задумано число 4. Также выясним, что во второй задаче число 3 было возведено в 4-ую степень.

Так как таких задач можно составить очень много, то для их решения необходимо изобрести новые действия. Эти действия обратны возведению в степень. Итак, для возведения в степень существуют два обратных действия: первое из них называется извлечением корня и служит для решения вопросов, подобных первой из наших задач; второе называется нахождением логарифма и служит для решения вопросов, подобных второй задаче.

Если мы обратим внимание на то, что в первой задаче нам даны степень 64 и показатель степени 3, то мы установим определение:

Извлечением корня называется действие, обратное возведению в степень, при помощи которого по данной степени и по данному показателю находят основание степени.

Также точно: во второй задаче даны степень (81) и основание степени (3), а надо найти показателя степени. Поэтому

нахождением логарифма называется действие, обратное возведению в степень, при помощи которого по данной степени и по данному основанию находится показатель степени.

Источник

Степень числа

Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:

Произведение 5 · 5 · 5 можно записать так: 5 3 (пять в третьей степени). Выражение 5 3 — это степень. Следовательно,

5 · 5 · 5 = 5 3 = 125.

Рассмотрим выражение 5 3 . В этом выражении число 5 — основание степени, а число 3 — показатель степени.

основание и показатель степени

Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.

Степень числа: определения, обозначение, примеры

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n ).

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен числу а . Записывается степень так: a n , а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:

Например, если показатель степени равен 1 , а основание – a , то первая степень числа a записывается как a 1 . Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a 1 = a .

В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8 · 8 · 8 · 8 можно сократить до 8 4 . Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых ( 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 ) ; мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – « a в степени n ». Или можно сказать « n -ная степень a » либо « a n -ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 8 12 , мы можем прочесть « 8 в 12 -й степени», « 8 в степени 12 » или « 12 -я степень 8 -ми».

Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7 ( 7 2 ) , то мы можем сказать « 7 в квадрате» или «квадрат числа 7 ». Аналогично третья степень читается так: 5 3 – это «куб числа 5 » или « 5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.

Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

В основании не обязательно должно стоять целое число: для степени ( 4 , 32 ) 9 основанием будет дробь 4 , 32 , а показателем – девятка. Обратите внимание на скобки: такая запись делается для всех степеней, основания которых отличаются от натуральных чисел.

Например: 1 2 3 , ( — 3 ) 12 , — 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Для чего нужны скобки? Они помогают избежать ошибок в расчетах. Скажем, у нас есть две записи: ( − 2 ) 3 и − 2 3 . Первая из них означает отрицательное число минус два, возведенное в степень с натуральным показателем три; вторая – число, соответствующее противоположному значению степени 2 3 .

Иногда в книгах можно встретить немного другое написание степени числа – a ^ n (где а – основание, а n — показатель). То есть 4 ^ 9 – это то же самое, что и 4 9 . В случае, если n представляет собой многозначное число, оно берется в скобки. Например, 15 ^ ( 21 ) , ( − 3 , 1 ) ^ ( 156 ) . Но мы будем использовать обозначение a n как более употребительное.

О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n -ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

Что такое степени с целым показателем

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Что такое степени с целым показателем

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Равенство a m : a n = a m − n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m < n , a ≠ 0 .

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n : a n = a n − n = a 0

Но при этом a n : a n = 1 — частное равных чисел a n и a . Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.

Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: a m · a n = a m + n .

Если n у нас равен 0 , то a m · a 0 = a m (такое равенство также доказывает нам, что a 0 = 1 ). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0 m · 0 0 = 0 m , Оно будет верным при любом натуральном значении n , и неважно при этом, чему именно равно значение степени 0 0 , то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 0 0 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.

При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени ( a m ) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Разберем пример с конкретными числами: Так, 5 0 — единица, ( 33 , 3 ) 0 = 1 , — 4 5 9 0 = 1 , а значение 0 0 не определено.

После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: a m · a n = a m + n .

Введем условие: m = − n , тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1 . Выходит, что a n и a − n у нас являются взаимно обратными числами.

В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1 a n .

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1 a n . Таким образом, a — n = 1 a n при условии a ≠ 0 и n – любое натуральное число.

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

3 — 2 = 1 3 2 , ( — 4 . 2 ) — 5 = 1 ( — 4 . 2 ) 5 , 11 37 — 1 = 1 11 37 1

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Степень числа a с натуральным показателем z ​​ – это: a z = a z , e с л и z — ц е л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о 1 , z = 0 и a ≠ 0 , ( п р и z = 0 и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 0 , з н а ч е н и я в ы р а ж е н и я 0 0 н е о п р е д е л я е т с я ) 1 a z , е с л и z — ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a ≠ 0 ( е с л и z — ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 z , е г о з н а ч е н и е н е о п р е д е л я е т с я )

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m / n , где n – натуральное число, а m – целое.

У нас есть некоторая степень с дробным показателем a m n . Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство a m n n = a m n · n = a m должно быть верным.

Учитывая определение корня n -ной степени и что a m n n = a m , мы можем принять условие a m n = a m n , если a m n имеет смысл при данных значениях m , n и a .

Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии a m n = a m n .

Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m / n – это корень n -ой степени из числа a в степени m . Это справедливо в том случае, если при данных значениях m , n и a выражение a m n сохраняет смысл.

Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.

1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a , которое при положительных значениях m будет больше или равно 0 , а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m ≤ 0 мы получаем 0 m , а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:

Степень с дробным показателем m / n для некоторого положительного числа a есть корень n -ной степени из a, возведенного в степень m . В виде формулы это можно изобразить так:

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как

0 m n = 0 m n = 0 при условии целого положительного m и натурального n .

При отрицательном отношении m n < 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Выражение a m n иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m . Так, верны записи ( — 5 ) 2 3 , ( — 1 , 2 ) 5 7 , — 1 2 — 8 4 , в которых основание отрицательно.

2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень a m n с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a , в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a , в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись a m · k n · k , то мы можем свести ее к a m n и упростить расчеты.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Для любой обыкновенной сократимой дроби m · k n · k степень можно заменить на a m n .

Степень числа a с несократимым дробным показателем m / n – можно выразить в виде a m n в следующих случаях: — для любых действительных a , целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n . Пример: 2 5 3 = 2 5 3 , ( — 5 , 1 ) 2 7 = ( — 5 , 1 ) — 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

— для любых отличных от нуля действительных a , целых отрицательных значений m и нечетных значений n , например, 2 — 5 3 = 2 — 5 3 , ( — 5 , 1 ) — 2 7 = ( — 5 , 1 ) — 2 7

— для любых неотрицательных a , целых положительных значений m и четных n , например, 2 1 4 = 2 1 4 , ( 5 , 1 ) 3 2 = ( 5 , 1 ) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

— для любых положительных a , целых отрицательных m и четных n , например, 2 — 1 4 = 2 — 1 4 , ( 5 , 1 ) — 3 2 = ( 5 , 1 ) — 3 , .

В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: — 2 11 6 , — 2 1 2 3 2 , 0 — 2 5 .

Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6 / 10 = 3 / 5 . Тогда должно быть верным ( — 1 ) 6 10 = — 1 3 5 , но — 1 6 10 = ( — 1 ) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а ( — 1 ) 3 5 = ( — 1 ) 3 5 = — 1 5 = — 1 5 5 = — 1 .

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 . В случае отрицательных a запись a m n не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 , для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.

В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 5 1 , 7 , 3 2 5 — 2 3 7 .

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 — 2 3 7 = 3 2 5 — 17 7 = 3 2 5 — 17 7

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, возьмем значение a = 1 , 67175331 . . . , тогда

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).

Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.

Возьмем для примера a = 3 , тогда a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . и т.д.

Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a . В итоге : степень с иррациональным показателем вида 3 1 , 67175331 . . можно свести к числу 6 , 27 .

Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как a a . Его значение – это предел последовательности a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , где a 0 , a 1 , a 2 , . . . являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a . Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0 a = 0 Так, 0 6 = 0 , 0 21 3 3 = 0 . А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0 — 5 , 0 — 2 π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1 2 , 1 5 в 2 и 1 — 5 будут равны 1 .

Как узнать степень числа?

Самое разумное разложить число на простые множители, тогда можно найти и основание и показатель степени.
Если известно основание, то показатель можно найти логарифмированием, например,
2^x=8
Чтобы найти x нужно прологарифмировать обе части по основанию 2
x = log по основанию 2 от 8 = ln 8 / ln 2 (так можно на калькуляторе посчитать) = 3
Если известен показатель, то основание находится извлечением корня, например,
x^3=8
извлекаем корень кубический из обоих частей
x=корень кубический из 8 = 2

Если же неизвестно ни то ни другое разложи число на простые множители, это делается последовательным делением числа на простые множители
614656 / 2 = 307328
307328 / 2 = 153664
153664 / 2 = 76832
76832 / 2 = 38416
38416 / 2 = 19208
19208 / 2 = 9604
9604 / 2 = 4802
4802 / 2 = 2401
2401 не делится на 2, на 3, на 5 (последовательно перебираем простые числа)
2407 / 7 = 343
343 / 7 = 49
49 / 7 = 7
7 / 7 = 1
Итого мы делили на 2 восемь раз и на 7 четыре раза, следовательно
614656 = 2^8 * 7^4
Если мы хотим найти представление в виде a^b с натуральными a и b и b должно быть максимальным, то в качестве b нужно брать НОД степеней полученных в разложении на простые множители, то есть в данном случае b=НОД (8,4)=4
основанием степени a будет служить 2^(8/b) * 7^(4/b) = 2^2 * 7^1 = 4*7=28

Аналитического способа не существует. То бишь формулы для нахождения степени и числа, которое возводят в эту степень — нет.

Так для общего развития скажу, что даже нахождение достаточно больших простых чисел — занятие затруднительное и очень хорошо оплачиваемое. А для решения вашей задачи (как минимум) нужно знать что это число уже не простое. :)))

Здравствуйте, уважаемый Максим Сальников !

Общей методики для задач такого типа, как мне известно, нет .

Самый простой способ — разложить данное число на простые множители .

В приведённом Вами примере это будет выглядеть так :

614656 = ( 2 x 2 x2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ) x ( 7 x 7 x 7 x 7 )

Из 7 x 7 x 7 x 7 следует, что » вероятная степень » равна 4 : 7 x 7 x 7 x 7 = 7 ^ 4 ( 1 )

Тогда из 2 x 2 x2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 образуем ( 2 x 2 ) x ( 2 x 2 ) x( 2 x 2 ) x ( 2 x 2 ) = 4 ^ 4 ( 2 )

Согласно ( 1 ) и ( 2 ) можем записать : 614656 = ( 4 ^ 4 ) x ( 7 ^ 4 ) = ( 4 x 7 ) ^ 4 = 28 ^ 4 !

Источник

В статье мы введём понятие степени числа, на простых и понятных примерах объясним, что такое степень с целым показателем, натуральным, рациональным, действительным и иррациональным. Заодно покажем несколько поучительных примеров и задач, которые помогут читателю лучше понять и полнее уяснить тему.

Степень с натуральным показателем

Определение 1 + формула

Степенью числа a с натуральным показателем n называют число, полученное в результате умножения числа a самого на себя n количество раз. В виде формулы выше сказанное можно записать так:

[a^{n}=a*a* ldots * a]

Читается запись, как «a» в степени «n». Для a2 и для a3 можно сказать «a в степени два» и «a в степени три» или «a во второй степени» и «a в третьей степени». Однако гораздо чаще говорят: «a в квадрате» и «a в кубе». Это устоявшиеся, общеупотребительные названия. Например, «3 в квадрате» или «7 в кубе». Формулировки типа «3 в степени два» и «7 в степени три» ошибочными не считаются, но употребляются гораздо реже, a называется основанием степени.

Запомните, n обозначает количество множителей, то, сколько раз a нужно само на себя перемножить.

Примеры 1 — 6

47 читается, как «четыре в седьмой степени». В виде произведения 47 может быть записано, как 4*4*4*4*4*4*4. При этом 4 является основанием, а 7 её показателем.

193. Может быть прочтено, как «19 в кубе». Оба прочтения будут одинаково верными.

(8,234)5. Читается, как «8,234 в пятой степени». Обратите внимание, в данном случае основанием является десятичная дробь.

(2/5)9 . Здесь основанием будет обычная дробь, она правильная.

(43/7)3 тоже отвечает определению. Из указанного примера видно, что основанием может быть и не правильная дробь.

Записи (8(3/7))8, (-5/9)5. (√3)7, (-√8)2 есть степени с целым n. Однако надо понимать разницу между (-5)3  и –53. Первое является степенью отрицательного числа, а второе можно записать как –(53). Оно соответствует числу, которое противоположно 53.

Отдельно рассмотрим пример, когда n равен 1. Любое число с ним можно записать в виде a1. Некоторые почему-то считают, что этом случае следует выполнить умножение столько раз, сколько указано в показателе. На самом деле ничего умножать не нужно. Степень любого числа с n равным 1 будет самим этим числом.

Т. е. 561 = 56, (1/456)1 равно 1/456, (-86)1 равно -86.

Запись 0n тоже имеет право на существование. По сути она означает, что нуль нужно помножить на себя самого n раз. Умножение на нуль всегда даёт нуль. Получается, любая степень с основанием нуль, независимо от её показателя всегда будет равна нулю.

Значительно реже всех выше перечисленных случаев встречается запись типа a^n. Она соответствует записи an.

Примеры 7 — 9

9^8 читается, как «9 в восьмой степени», n может быть и многозначным числом.

5^(237). Читается, как «5 в двести тридцать седьмой степени».

Выражения 78,4, (3/56)1/2, 8 √3 не являются степенями с натуральным показателем.

Запомните, основанием степени с натуральным n может быть практически любое число (хоть дробь, хоть корень и т. д.), а вот в показателе должно обязательно находиться натуральное число, т. е. не дробное и не отрицательное.

Основные свойства степени с натуральным показателем

Они следующие:

  • Когда происходит умножение степеней с равным основанием, то оно остаётся прежним. Показатели при этом складываются.
    am*an = am+n
  • Когда степени с одинаковыми основаниями делятся, то основание сохраняется прежним, а показатели вычитаются.
    am/an = am-n При этом m > n и a не равно нулю.
  • Когда степень возводят в степень, то основание не меняют, а сами степени перемножаются.
    (am)n = am*n
  • Если в степень возводится дробь, то в неё возводится как числитель дроби, так и её знаменатель.
    (a/b)n = an/bn При этом b не должно быть равно нулю.

Примеры 10 — 12

21*22*23. Складываем 1, 2 и 3. В итоге 21+2+3=26

(-3/7)5: (-3/7)3. Из 5 вычитаем 3. В результате имеем (-3/7)5-3 = (-3/7)2.

Нужно возвести в степень выражение (a2*b3)4. Сначала на 4 умножаем 2, затем 3. Итогом будет выражение a8b12.

О сравнении степеней

Если сравниваемые степени имеют равные основания, большие числа 1, то большим считается та из них, у которой показатель степени выше.

Примеры 13 — 16

Какое из чисел больше: 217 или 227. Основания одинаковые, но  27 больше, чем 17. 27>17. Значит 227 больше, чем 217.

Если n одинаковые, но основание находится в промежутке от 0 до 1, то большим будет степень, у которой показатель меньше.

Сравнить числа (0,3)11 и (0,3)7. Основание больше ноля, но не доходит до единицы. Значит, в отличие от предыдущего примера, здесь всё наоборот. Большим будет считаться число, с меньшим показателем. Т. к. 11>7, то (0,3)11<(0,3)7.

Если n одинаковые, а основания разные, то большим будет то, у которого больше основание.

Сравнить между собой числа 73 и 153. 15 >7, значит 153 больше, чем 73.

Если различаются и показатели, и основания, то числа, посредством тех или иных преобразований, сначала приводят к вида, когда у них либо то, либо другое одинаково, а уже потом сравнивают по приведённым выше правилам.

Выясните, какое из чисел больше 3200 или 2300.

2300 = 23*100 = (23)100 =8100

3200 = 32*100 = (32)100 = 9100

9 больше, чем 8. Значит 9100 больше 8100.

Соответственно 3200 будет больше, чем 2300.

Степень с целым показателем

Определение 2

Степенью с целым показателем называется степень, показателем которой является любое целое число. Это своего рода расширение множества чисел с натуральным показателем.  К последним прибавляются числа с отрицательным значением и ноль.

Рассмотрим степень с целым отрицательным n. Любое число вида a-n можно представить в виде 1/an. При этом a не должно быть равно нулю. n может быть любым натуральным числом.

Примеры 17 — 18

7-5 не является степенью с натуральным показателем, но в то же самое время является степенью с целым показателем. Примечательно, что равное ему число (1/7)5 будет степенью с целым n. Мы рассматриваем 7-5 и (1/7)5, как равные, но, всё-таки, разные числа.

(4/5)-1 можно представить как 1/(4/5)1.

Сложнее дело обстоит с понятием нулевой степени. Чтобы её объяснить, ещё раз приведём правило по делению степеней с равными основаниями.

Правило 1

Равенство am/an = am-n остаётся верным лишь в том случае, когда m и n будут натуральными числами, m < n и a не равно нулю. Последнее условие позволяет нам избежать деления на нуль. Если m и n окажутся равными, то мы придём к результату (an/an) = an-n = a0

Т. е. при делении степеней, которые имеют одно и тоже основание из показателя делимого следует вычесть n делителя. В случае, когда и они одинаковы, например, если a3 разделить на a3, мы получим a0.

Как известно из курса элементарной математики, частное от деления любого числа на самого себя всегда равно единице. Из этого напрямую следует, что нулевая степень любого числа всегда равна 1.

Пример 19

70= 1, -50= 1, (3/5)0 = 1, (√8)0  = 1, (7567776)0 = 1.

Несколько неожиданным для многих является тот факт, что ноль в степени ноль тоже равен единице 00 = 1. Положение осложняет тот факт, что на ноль делить нельзя. Так откуда же тогда взяли, что нулевая степень нуля есть 1.

На самом деле, хотя на ноль никакое число не делится, оно может делится на сколь угодно малое, т. е. близкое к нулю число. В высшей математике доказывается, что предел (a/a), когда a является бесконечно малой величиной, действительно стремится к 1.

Свойства степени с целым показателем практически ничем не отличаются от её свойств с натуральным. Нужно только помнить, что в показателе появляются отрицательные числа и их следует складывать и вычитать по строго определённым для этого правилам.

Примеры 20 — 21

57* 5-3= 57-3 = 54.

84/8-2 = 84-(-2)= 86.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Степень с рациональным показателем

Определение 3

Степенью с рациональным показателем называется степень, показатель которой, есть рациональное число, т. е. помимо целых и отрицательных значений, может иметь ещё и дробные. Записывается это в виде am/n. Из определения дробной степени известно, что am/n можно записать в виде n√am. n не должно быть равно нулю, ведь на ноль делить нельзя.

Если m и n делятся нацело, то получаем степень с целым показателем. Если при этом ещё и частное от деления больше нуля, то получим степень с натуральным.

Правило 2

Любое число am * k/n *k можно заменить на am/n.

Теперь о том, почему в дроби требуется замена сократимого показателя на несократимый. Если этого не делать, то может возникнуть, например, следующая ситуация:

(-1)6/10 = (-1)2/5, однако, если посчитать получится

(-1)6/10 = 10√(-1)6 = 10√1 = 1.

(-1)3/5 = 5√(-1)3 = 5√(-1) = -1

Примеры степеней с рациональным n: (31/2), 75/4, 74/2. Основание может быть и многозначным числом, в частности, 128-2/7 тоже степень с рациональным.

Примеры 22 — 24

-161/4 является степенью с рациональным показателем.

(-16)1/4 смысла не имеет. Оно равносильно выражению 4√(-16). Какое число нужно возвести в четвёртую степень, чтобы получить -16 ? Ответ – никакое. Такого числа не существует.

Казалось бы, √(-8) имеет право на существование. Оно равно -2 И действительно, можно записать (-8)1/3= -2. Однако, если мы запишем 1/3.

по-другому, то результат окажется совершенно иным. Смотрите:

(-8)1/3 = (-8)2/6 = 6√(-8)2 = 6√(64) = 2.

Получается парадокс, поэтому запись √(-8) лишено смысла.

Из примеров выше становится ясно, что извлечение чётных корней из отрицательных чисел категорически запрещено.

Не будет ошибкой замена любого из дробных показателей смешанным (например, 52,1 на 52(1/10), однако, чтобы не запутаться, при проведении вычислений, всегда, когда это возможно, лучше заменяйте подобные числа и корень числа дробной степенью. Это делает запись более наглядной и позволяет избежать многих ошибок.

Свойства степени с рациональным показателем аналогичны с натуральным или целым n, только дело приходится иметь с дробями. В первую очередь это касается деления и перемножения степеней с одинаковыми основаниями, а также их сравнения. Вспомните, как оно проводится для обыкновенных дробей.

пример 25

72/3 * 78/4 = 732/12 = 716/6

Степень числа с иррациональным показателем

Чтобы разобраться в этом вопросе, нужно разобраться в том, что является иррациональным числом. Любое рациональное число допускает его представление в виде бесконечной периодической десятичной дроби либо как обыкновенную дробь типа (m/n). Об иррациональных числах этого не скажешь. Десятичные дроби, с помощью которых выражаются иррациональные числа, бесконечны и апериодичны. Примерами иррациональных чисел являются √7, число [pi], √2 + √3.

Строится степень с рациональным n с помощью так называемого предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями. Они с недостатком либо с избытком приближаются к степени иррациональным n.

Покажем как это происходит. Пусть нам дано иррациональное число a.

a0 = 1,6 , a1 = 1,67, a2 = 1,671…

a0 = 1,67, a1 = 1,6717, a2 = 1,671753…

И т. д. Заметьте – сами приближения, это рациональные числа.

Последовательности приближений нам нужно поставить в соответствие последовательность степеней αa0, αa1, αa2. Значения этих степеней можно подсчитать.

a = 1,67175331. Пусть для примера у нас будет α = 3

Тогда получается αa0 = 3,167; αa1 = 3,16717; αa2= 3,1671753 и т. д.

Указанная последовательность сводится к числу, которое окажется значением степени с основанием α и иррациональным показателем a. После некоторой работы в итоге получаем 31,67175331 = 6,27.

Свойства у степени с иррациональным n в целом такие же, как рациональным. В частности, сложение показателей при перемножении, сравнение иррациональных степеней происходят аналогичным образом. Нужно только иметь в виду, что при бесконечности и апериодичности иррациональной дроби вы имеете дело с приближёнными с той или иной точностью значениями. Впрочем, в зависимости от поставленной задачи, нужной точности достичь можно в любом случае. Очень осторожны будьте с приближениями. У новичков здесь очень часто случаются ошибки. После некоторого опыта и практики действия совершаются автоматически. Старайтесь на первых порах порешать как можно больше примеров. Пусть они кажутся вам однотипным, но навык отточить и закрепить позволяют.

Источник

Число возводится в степень 5 и делится на 1089671048441. После этого становится известен остаток от деления. Вопрос, как найти число? Т.е.

x^5 mod 1089671048441 = y;

Найти x при известном y.

Пример:

  • Остаток от деления = 252260378, число 956044873207;
  • Остаток от деления = 604222124, число 876582861739;
  • Остаток от деления = 622543887, число 251172385378;
  • Остаток от деления = 2418908791, число 196922307772;

6 ответов

Если не известно разложение числа на простые множители, но эта задача не решается. Как раз на этом эффекте основан криптографический алгоритм RSA. Однако, если разложение получено, как в данном случае, то далее проще всего поступить так. У нас есть число $%n=pq$%, где $%p,q$% — различные простые. Тогда можно найти значение функции Эйлера $%varphi(n)=(p-1)(q-1)$%. Считая, что $%y$% не делится ни на $%p$%, ни на $%q$%, что легко проверить, имеем то же самое для числа $%x$%, которое нам пока не известно. Далее применяем теорему Эйлера: $%x^{varphi(n)}equiv1pmod{n}$%. Поэтому для нахождения $%x$% достаточно возвести $%y$% в подходящую степень $%k$%, чтобы выполнялось условие $%xequiv y^kequiv x^{5k}pmod n$%. Оно будет выполняться, если $%5kequiv1pmod{varphi(n)}$%, а это есть линейное сравнение по известному нам модулю, которое легко решается.

Для нахождения остатков при делении больших чисел на большие нужно использовать среду программирования. Там нужно реализовывать алгоритмы работы с большими натуральными числами. Один из способов реализации-использование массивов.

Поскольку ряд пятых степеней натуральных чисел не ограничен, а количество различных остатков ограничено, то коллизии неизбежны, т.е. однозначно восстановить первоначальное число невозможно.

Как вариант, можно попробовать найти алгоритм для нахождения минимального исходного числа для заданного остатка, но кроме полного перебора пока ничего не придумывается)

Если я правильно понял, Алгоритм такой:

  • для малых чисел: = `СТЕПЕНЬ((24*10+3);0,2), результат — 3
  • для вашего случая: = `СТЕПЕНЬ((956044873207*1089671048441+252260378);0,2), результат — 63614,29783

Подобные функции используются для алгоритма Диффи-Хеллмана ,и как известное для чисел больше 10^50 она не решаема и на супер компьютерах .Поэтому в общем виде нормального решение рассказать не могу.

Если числа именно такого порядка ,то можно попробовать частичный перебор : он может не принести результата в некоторых случаях , но если числа лежат хорошо — то мы быстро найдем решение.

$$x^5 mod b = y$$

i = 1;  
t = b + y;  
while ( srqt_5(t) in RQ )  
{  
  i++;  
  t = b * i + y;  
}  
return sqrt_5(t);

Разложим число 1089671048441 на простые множители: оно равно 1011077х1077733. Решим отдельно уравнения $%x_1^5$% mod 1011077=y mod 1011077 и $%x_2^5$% mod 1077733=y mod 1077733, для этого годится и полный перебор (если надо решать данную задачу для большого набора различных y, то стоит сделать таблицы или другое кэширование). Получим до пяти групп решений вида $%1011077n_1+x_1$% для первого уравнения и $%1077733n_2+x_2$% для второго. Уверен, что можно найти формулу, по которой сразу находится x из этих двух уравнений (как-то при помощи обратного по модулю, наверно), но даже банальный перебор $%n_1$% даст результат за приемлемое время.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Rendering error 0x00000000 failedtocreatedevice program will terminate как исправить ошибку
  • Как найти методическое пособие к учебнику
  • Как найти косинус зная арксинус
  • Как найти номинальный ввп если известен
  • Как найти карту метро магазина