Как найти число групп интервалов

Вместе с выбором
группировочного
признака
возникает задача определения количества
групп, на
которые следует подразделить изучаемое
явление.

Число групп зависит
от:

1. задач исследования

2. вида признака,
   положенного в основу группировки

3. численности
   совокупности

4. степени вариации
   признака

Единицы анализируемой
совокупности могут быть разбиты по
одному и тому же признаку на разное
число групп. Например, при группировке
населения по возрасту с целью определения
трудовых ресурсов страны все население
делится на три группы: население моложе
трудоспособного возраста, трудоспособное
население и население старше трудоспособного
возраста. Если же анализируется
продолжительность жизни, то строится
более детальная группировка и выделяются
группы по 5 лет.

При группировке
по атрибутивному (описательному) признаку
вопрос о количестве групп решается
сравнительно просто – по количеству
градаций, видов состояния этого признака.

Например, группировка
населения по полу образует две группы,
организаций связи по федеральным округам
– 7 групп, по формам собственности – на
пять групп: государственная, муниципальная,
частная, смешанная, собственность
иностранных юридических лиц.

Если атрибутивный
(описательный) признак имеет множество
наименований (например, профессия – в
отрасли связи насчитывается несколько
десятков их наименований), то для
статистической характеристики состава
работников образуют укрупненные
группы (руководители,
специалисты, рабочие, прочие).
Такое объединение основано на изучении
сущности производственных процессов.

Характеристика
типов предприятий по их величине часто
ограничивается тремя группами: мелкие,
средние и крупные, а при изучении
рентабельности – группы нерентабельных,
рентабельных и высокорентабельных.

Группировки по
количественному признаку
очень разнообразны. При выборе числа
групп в совокупности с количественным
признаком необходимо, чтобы в каждую
группу попало достаточное количество
единиц совокупности. Только в этом
случае обобщающие характеристики каждой
группы (средние, относительные показатели)
будут устойчивыми, неслучайными,
характерными.

Сравнительно просто
образуются группы по количественным
признакам, имеющим дискретную (прерывную)
вариацию и принимающим целые значения.

Если количественный
признак изменяется в широких пределах
и имеет множество различных значений,
то каждая группа образуется в виде
интервалов.

Группировка может
быть выполнена с равными
и неравными
интервалами.

Равные
интервалы
употребляются
в тех случаях, когда признак изменяется
более или менее равномерно в ограниченных
пределах, например масса письма, посылки,
заработная плата определенной категории
работников.

Величина интервала
зависит от размаха варьирования признака
и численности изучаемой совокупности
и в случае равных интервалов может
определятся по формуле
Стерджесса.

Формула
Стерджесса
служит для
определения величины интервала:

где
i
– интервал, т.е. разница между максимальным
x_max
и минимальным x_min
значениями признака в каждой группе; N
– численность единиц совокупности; k
– число групп, которое оптимально при
величине 1+3,322 lg
N.

Недостаток формулы
Стерджесса состоит в том, что её применение
дает хорошие результаты для большой
совокупности единиц и когда распределение
единиц по признаку, положенному в
основание группировки, близко к
нормальному.

Число групп можно
определить также по следующей номограмме:

Численность единиц совокупности	15..24	25..44	45..89	90..179	180..359	360..719	720..1439
Число групп	5	6	7	8	9	10	11

Другим способом
выполнения группировки является
использование среднего
квадратического отклонения
.
Если величина интервала равна 0,5,
то совокупность разбивается на 12 групп,
если 2/3
или,
то совокупность делится на 9 или 6 групп.

При
,интервалы групп выглядят следующим
образом:

от
до

от
до

от
до

от
до

от
до

от
до

Однако при определении
групп данными методами возможно получение
пустых или малочисленных групп. Если
размах вариации признака совокупности
велик и его значения варьируют
неравномерно, то используют группировку
с неравными интервалами.

Неравные
интервалы
употребляются в тех случаях, когда
признак изменяется неравномерно. Из
неравных интервалов чаще всего
употребляются прогрессивно возрастающие
или убывающие интервалы.

Величина интервалов,
изменяющихся в арифметической прогрессии,
определяется по формуле:

,

в геометрической
прогрессии:

где a
– постоянная величина (положительная
для прогрессивно-возрастающих интервалов,
отрицательная – для прогрессивно-убывающих);

q
– константа – положительное число (для
прогрессивно-возрастающих интервалов
q
> 1, для прогрессивно-убывающих – q
< 1).

Например, необходимо
построить группировку предприятий
отрасли по показателю выручки от
реализации продукции, который варьирует
от 500 млн. руб. до 4000 млн. руб. в год, то
строить группировку с равными интервалами
нецелесообразно, т.к. как правило,
совокупность предприятий любой отрасли
промышленности и торговли включает
большое число малых предприятий, имеющих
небольшую выручку. С ростом выручки от
реализации продукции значительно
снижается число предприятий. Т.о.
распределение числа предприятий по
величине выручки является неравномерным.
Поэтому следует построить группировку
с неравными интервалами.

Таблица

Группировка
предприятий с неравными интервалами

№ группы	Интервал
I II III IV V	500-800 800-1300 1300-2000 2000-2900 2900-4000

Величина каждого
последующего интервала у этой группировки
больше предыдущего на 200 млн. руб., т.е.
увеличивается в арифметической
прогрессии.

При образовании
интервалов важное значение имеет точное
обозначение границ.

Например, группы
предприятий по численности работников:
200 – 600, 600 – 1000. Такая запись предполагает,
что единица, у которой значение признака
совпадает с верхней границей интервала,
относится к следующей группе.

Обычно границы
интервалов обозначаются указанием
значений признака «от» и «до» (в нашем
примере – 200 – 599, 600 -999). Характер такого
обозначения говорит, что в группу
включаются все значения признака в
указанных границах.

После определения
группировочного признака и границ групп
строится ряд распределения.

Статистический
ряд распределения
– это упорядоченное распределение
единиц совокупности на группы по
определенному варьирующему признаку.
В зависимости от признака, положенного
в основу образования ряда распределения,
различают атрибутивные и вариационные
ряды распределения.

Атрибутивными
называют ряды распределения, построенные
по описательным (качественным) признакам.
Вариационными
называют ряды распределения, построенные
по количественному признаку.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание курса лекций «Статистика»

Статистическая сводка и группировка. В результате проведения статистического наблюдения получают данные о признаках каждой обследованной единицы статистической совокупности. Однако эти массивы данных, содержащие подробные сведения о каждой единице совокупности, собирают не для того, чтобы получить характеристики каждой из них, а с целью изучить совокупность в целом, выявить ее характерные группы и закономерности. Для этого необходимо обобщить и систематизировать сведения, полученные в ходе статистического наблюдения.

Обобщение и систематизация первичных статистических данных – это самостоятельный этап статистического исследования, основная задача которого получить полную и всестороннюю характеристику как совокупности в целом, так и отдельных ее частей и представить полученную информацию об изучаемой совокупно­сти в наиболее удобной для пользователей форме. В статистической практике данный этап статистического исследования называют этапом сводки и группировки статистических данных.

---

Статистическая сводка

Сводка – это научная обработка первичных данных с целью получения обобщенных характеристик изучаемого социально-экономического явления по ряду существенных для него признаков с целью выявления типичных черт и закономерностей, присущих изучаемому явлению в целом.

---

---

По глубине и точности обработки материала различают  простую сводку и сложную сводку.

Простая сводка – это операция по подсчету общих итогов по совокупности единиц наблюдения и оформление этого материала в статистических таблицах.

---

Сложная сводка – это комплекс последовательных операций, включающих группировку полученных при наблюдении материалов, составление системы показателей для характеристики типичных групп и подгрупп изучаемой совокупности явлений, подсчет числа единиц и итогов по каждой группе и подгруппе, и по всему объекту и представление результатов в виде статистических таблиц.

---

---

Этапы проведение сводки

1. Выбор группировочного признака.
2. Определение порядка формирования групп.
3. Разработка системы статистических показателей для характеристики групп и объекта в целом
4. Разработка макетов статистических таблиц для представления результатов сводки.
   

   ---

   ---

Статистическая группировка

Группировка – разбиение общей совокупности единиц объекта наблюдения по одному или нескольким существенным признакам на однородные группы, раз­личающиеся между собой в количественном и качественном отношении и позволяющие выделить социально-экономические типы, изучить структуру совокупности и проанализи­ровать связи между отдельными признаками.

---

---

Задачи, решаемые с помощью метода группировок:

• выделение социально-экономических типов явлений;
• изучение структуры явления и структурных сдвигов, происходящих в нем;
• выявление взаимосвязи и взаимозависимости между явлениями.
  

  ---

Виды  группировок. В соответствии с познавательными задачами, решаемыми в ходе построения стати­стических группировок, различают следующие их виды: типологические, структурные, аналитические.

---

Типологическая группировка – это разбиение разнородной совокупности единиц наблюдения на отдельные качественно однородные группы и выявление на этой основе социально-экономических типов явлений. При построении группировки этого вида основное внимание должно быть уделено идентификации типов и выбору группировочного признака. Решение вопроса об основании группировки должно осуществляться на основе анализа сущности изучаемого социально-экономического явления.

---

Структурная группировка – предназначена для изучения состава однородной совокупности по какому-либо варьирующему признаку, а также структуры и структурных сдвигов, происходящих в нем.

---

Аналитическая группировка – выявляет взаимосвязи между изучаемыми явлениями и признаками, их характеризующими.

---

!!!В статистике при изучении связей социально-экономических явлений признаки подразделяют на факторные и результативные.

 Факторные признаки, под их воздействием изменяются результативные признаки. Взаимосвязь проявляется в том, что с возрастанием или убыванием значения факторного признака систематически возрастает или убывает значение признака результативного и наоборот.!!!

---

Особенности построения аналитической группировки:

• единицы статистической совокупности группируются по факторному признаку;
• каждая выделенная группа характеризуется средними величинами результативного признака.
  

  ---

По способу построения группировки бывают простые и комбинационные.

Простая группировка – группы образованы только по одному признаку.

---

Комбинационная группировка – разбиение совокупности на группы производится по двум и более признакам, взятым в сочетании (комбинации).

---

Сначала группы формируются по одному признаку, затем группы делятся на подгруппы по другому признаку, а эти в свою очередь делятся по третьему и так далее. Таким образом, комбинационные группировки дают возможность изучить единицы совокупности одновременно по нескольким взаимосвязанным признакам.

При построении комбинационной группировки возникает вопрос о последователь­ности разбиения единиц объекта по признакам. Как правило, рекомендуется сначала производить группировку по атрибутивным признакам, значения которых имеют ярко выраженные качественные различия.

---

---

Этапы построения статистических группировок

1. Определение группировочного признака.
2. Определение размаха вариации.
3. Определение числа групп.
4. Расчет ширины интервала группировки.
5. Определение признаков, которые в комбинации друг с другом будут характери­зовать каждую выделенную группу.
   

   ---

   ---

При небольшом объеме совокупности (n<50) не следует образовывать большого количества групп, так как группы будут включать недостаточное число единиц объекта. Показатели, рассчитанные для таких групп, не будут представительными и не позволят получить адекватную характеристику исследуемого явления.

Часто группировка по количественному признаку имеет задачу отразить распреде­ление единиц совокупности по этому признаку. В этом случае количество групп зависит, в первую очередь, от степени колеблемости группировочного признака: чем больше его колеблемость, тем больше можно образовать групп.

При определении числа групп необходимо принять во внимание размах вариации признака (R), который позволяет оце­нить вариацию признака между крайними значениями признака –  максимальным (Х_max) и минимальным (X_min) и определяется по формуле 5.1):                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (5.1)

Чем больше размах вариации признака, положенного в основание группировки, тем, как правило, может быть образовано большее число групп. При этом может возникнуть проблема получения пустых групп, т.е. групп, не содержащих ни одной единицы наблюдения.

---

---

Определение числа групп можно осуществить несколькими способами. Формально-математический способ предполагает использование формулы Стерджесса (формула 5.2):                                                                                                                                                                                                                                                                                                 (5.2)

где n – число групп; N –  число единиц совокупности.

Согласно этой формуле выбор числа групп зависит только от объема изучаемой совокупности.

Применение данной формулы дает хорошие результаты в том случае, если сово­купность состоит из большого числа единиц наблюдения (n>50).

---

---

Другой способ определения числа групп основан на применении показателя среднего квадратического отклонения (σ). Если величина интервала равна 0,5σ, то совокуп­ность разбивается на 12 групп, а когда величина интервала равна 2/3σ и σ, то совокуп­ность делится, собственно, на 9 и 6 групп. Однако при определении групп данными методами существует большая вероятность получения «пустых» или малочисленных групп, характеристики изучаемого явления на основе которых будут недостаточно типичными для выделенной группы и изучаемой совокупности в целом.

---

---

Когда определено число групп, то следует определить интервалы группировки.

Интервал –  это значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Каждый интервал имеет верхнюю и нижнюю границы или одну из них. Нижней границей интервала называется наименьшее значение признака в интервале. Верхней границей интервала называется наибольшее значение признака в интервале. Величина интервала представляет собой разность между верхней и нижней границами интервала.

Интервалы группировки бывают: равные и неравные; открытые и закрытые.

Ширина равного интервала определяется по (формуле 5.3):

(5.3)

Если максимальные или минимальные значения сильно отличаются от смежных с ними значений вариантов в упорядоченном ряду значений группировочного признака, то для определения величины интервала следует использовать не максимальное или минимальное значения, а значения, несколько превышающие минимум, и несколько меньше, чем максимум.

Полученную по формуле (5.3) величину округляют и она будет являться шириной интервала.

Существуют следующие правила определения ширины интервала.

---

Если величина интервала, рассчитанная по формуле (5.3) представляет собой величину, которая имеет один знак до запятой (например: 0,67; 1,487; 3,82), то в этом случае полученные значения целесообразно округлить до десятых и их использовать в качестве ширины интервала. В приведенном выше примере это будут соответственно значения: 0,7; 1,5; 3,8.

Если рассчитанная величина интервала имеет две значащие цифры до запятой и несколько после запятой (например, 14,876), то это значение необходимо округлит до целого числа (15).

В случае, когда рассчитанная величина интервала представляет собой трехзначное, четырехзначное и так далее число, то эту величину следует округлить до ближайшего числа, кратного 100 или 50. Например, 652 следует округлить до 650 или до 700.

---

---

Если размах вариации признака в совокупности велик и значения признака варьируют неравномерно, то надо использовать группировку с неравными интервалами.

Неравные интервалы могут быть получены в процессе объединения пустых, не содержащих ни одной единицы совокупности, равных интервалов. Это происходит в том случае, если после построения равных интервалов по изучаемому признаку образуются группы, содержащие мало или не содержащие вообще ни одной единицы, т.е. группы, не отражающие определенных типов изучаемого явления по признаку. В этом случае возникает необхо­димость в увеличении интервалов группировки.

---

Также неравные интервалы могут быть прогрессивно-возрастающие или прогрес­сивно-убывающие в арифметической или геометрической прогрессии. Величина интервалов, изменяющихся в арифметической и геометрической прогрессии, определяется следующим образом:h_i+1=h_i+а,

а в геометрической прогрессии: h_i +1= h_i ×q, где:

а – константа: для прогрессивно-возрастающих интервалов имеет знак «+», а при прогрессивно-убывающих – знак «-».

q — константа: для прогрессивно-возрастающих – больше «1»; для прогрессивно-убывающих ‑ меньше «1».

Применение неравных интервалов обусловлено тем, что в первых группах небольшая разница в показателях имеет большое значение, а в последних группах эта разница не существенна.

Например, при построении группировки строительных компаний города по показателю численности работающих, который варьирует от 500 человек до 3500 человек, нецелесообразно рассматривать равные интервалы, т. к. учитываются как малые, так и крупнейшие строительные фирмы города. Поэтому следует образовывать неравные интервалы: 500–1000, 1000–2000, 2000–3500, т.е. величина каждого последующего интервала больше предыдущего на 500 человек и увеличивается в арифметической прогрессии. Выбор исследователя в построении равных или неравных интервалов зависит от степени заполнения каждой выделенной группы, т.е. от числа единиц в них. Если величина интервала существенна и содержит большое число единиц совокупности, то эти интервалы необходимо дробить, а в противном случае – объединять.

---

---

Интервалы статистической группировки

Интервалы группировок могут быть закрытыми и открытыми.

Закрытые интервалы – это интервалы, у которых есть и верхняя и нижняя границы.

Открытые интервалы – это интервалы, у которых указана только одна граница: как правило, верхняя – у первого интервала и нижняя – у последнего.

---

Например, группы страховых компаний по числу работающих в них сотрудников (чел.): до 50, 50–100, 100–150, 150 и более. Применение открытых интервалов целесообразно в тех случаях, когда в совокупно­сти встречается незначительное число единиц наблюдения с очень малыми или очень большими значениями вариантов, которые резко, в несколько раз, отличаются от всех остальных значений изучаемого признака.

Если основанием группировки служит непрерывный признак (например, группы строительных фирм по объему строительно-монтажных работ, выполненных собственными силами (тыс. руб.): 1200–1400, 1400–1600, 1600–1800, 1800–2000), то одно и то же значение признака выступает и верхней и нижней границами двух смежных интервалов. В данном случае объем работ 1400 тыс. руб. составляет верхнюю границу первого интервала и нижнюю границу второго, 1600 тыс. руб. ‑ соответственно второго и третьего и т.д., т.е. верхняя граница i-го интервала равна нижней границе (i+1)-го интервала.

При таком обозначении границ может возникнуть вопрос, в какую группу включать единицы наблюдения, значения признака у которых совпадают с границами интервалов.

Например, во вторую или третью группу должна войти строительная фирма с объемом строительно-монтажных работ 1600 тыс. рублей? Если верхняя граница формируется по принципу «исключительно», то фирма должна быть отнесена к третьей группе, в противном случае – ко второй. Для того, чтобы правильно отнести к той или иной группе единицу совокупности, значение признака которой совпадает с границами интервалов, можно ориентироваться на открытые интервалы (по нашему примеру группы строительных фирм по объему строительно-монтажных работ преобразуются в следующие: до 1400, 1400–1600, 1600–1800, 1800 и более). В данном случае, вопрос отнесения отдельных единиц совокупности, значения которых являются граничными, к той или иной группе решается на основе анализа последнего открытого интервала. Возможны два случая обозначения последнего открытого интервала: 1) 1800 тыс. руб. и более; 2) более 1800 тыс. руб. В первом случае, строительные фирмы с объемом строительно-монтажных работ 1600 тыс. руб. попадут в третью группу; во втором случае – во вторую группу.

Если в основании группировки лежит дискретный признак, то нижняя граница 1-го интервала равна верхней границе i-1-го интервала, увеличенной на 1.

Например, группы строительных фирм по числу занятого персонала (чел.) будут иметь вид: 100–150, 151–200, 201–300.

Строя такую группировку, следует дифференцированно устанавливать границы интервалов для разных отраслей народного хозяйства. Это достигается путем использования группировок со специализированными интервалами.

---

Специализированные интервалы – применяются дли выделения из совокупности одних и тех же типов по одному и тому же признаку для явлений, находящихся в различных условиях.

При изучении социально-экономических явлений на макроуровне часто применяют группировки, интервалы которых не будут ни прогрессивно-возрастающими, ни прогрессивно-убывающими. Такие интервалы называются произвольными и, как правило, используются при группировке предприятий, например, по уровню рентабельности.

Пример. Далее на примере данных приведенных в табл. 5.1. произведем аналитическую группировку совокупности, включающей 30 банков.

Таблица 5.1 ‑ Совокупность 30 банков Российской Федерации

(на 01.01.19 г., цифры условные)

Номер банка	Капитал, млн. руб.	Активы, млн. руб.	Работающие активы, млн. руб
1	2	3	4
1	207,7	2,48	1,14
2	200,3	2,40	1,10
3	190,2	2,28	1,05
4	323,2	3,88	1,88
5	247,1	2,96	1,36
6	177,7	2,12	0,97
7	242,5	2,90	1,33
8	182,9	2,18	0,99
9	315,6	3,78	1,73
10	183,2	2,20	1,01
11	320,2	3,84	1,76
12	207,3	2,48	1,14
13	181,0	2,17	0,99
14	172,4	2,06	0,94
15	234,3	2,81	1,29
16	189,5	2,27	1,04
17	187,8	2,24	1,03
18	166,9	1,99	0,91
19	157,7	1,88	0,86
20	168,3	2,02	0,93
21	224,4	2,69	1,23
22	166,5	1,99	0,91
23	198,5	2,38	1,09
24	240,4	2,88	1,32
25	229,3	2,75	1,26
26	175,2	2,10	0,96
27	156,0	1,87	0,86
28	160,1	1,92	0,88
29	178,7	2,14	0,98
30	171,6	2,05	0,94

По данным табл.5.1 группировочным (факторным) признаком является капитал, результативным – прибыль. Группировку производим по факторному признаку. Зададим количество групп (условно) – 4, а величину интервала определим по формуле (5.3).

Обозначим границы групп:

1-я группа – 156,0-197,8;

2-я группа – 197,8-239,6;

3-я группа – 239,6-281,4;

4-я группа – 281,4-323,2.

После того, как определен группировочный признак – капитал, задано число групп – 4 и образованы сами группы, необходимо отобрать показатели, которые характеризуют группы, и определить их величины по каждой группе.

Далее показатели, характеризующие банки, разносятся по четырем указанным группам и подсчитываются групповые итоги. Результаты группировки заносятся в таблицу и определяются общие итоги по совокупности единиц наблюдения по каждому показателю.

Таблица 5.2 ‑ Группировка коммерческих банков по величине капитала

Группы банков по величине капитала, млн. руб	Число банков	Капитал, млн. руб	Активы, млн. руб	Работающие активы, млн. руб
156,0-197,8 197,8-239,6 239,6-281,4 281,4-323,2	17 7 3 3	2966,5 1501,8 730,0 958,8	35,48 17,99 8,74 11,5	16,25 8,25 4,01 5,37
Итого	30	6157,1	73,71	33,88

Структурная группировка коммерческих банков на основе данных таблицы 5.2 будет иметь вид:

Таблица 5.3 ‑ Группировка коммерческих банков по величине капитала (в % к итогу)

Группы банков по величине капитала, млн. руб.	Число банков  в % к итогу	Капитал	Активы	Работающие активы
156,0-197,8	56,7	48,2	48,1	48,0
197,8-239,6	23,3	24,4	24,4	24,3
239,6-281,4	10,0	11,9	11,9	11,8
281,4-323,2	10,0	15,5	15,6	15,9
Итого	100,0	100,0	100,0	100,0

Из таблицы 5.3 видно, что в основном преобладают малые банки ‑ 56,7%, на долю которых приходится 48,2% всего капитала. Более конкретный анализ взаимосвязи показателей можно сделать на основе аналитической группировки.

Таблица 5.4 ‑ Группировка коммерческих банков по величине капитала

Группы банков по величине капитала, млн. руб.	Число банков	Капитал, млн. руб.	Активы, млн. руб.	Работающие активы, млн. руб.
всего	в среднем на один банк	всего	в среднем на один банк	всего	в среднем на один банк
156,0-197,8	17	2966,5	174,5	35,48	2,09	16,25	0,96
197,8-239,6	7	1501,8	214,5	17,99	2,57	8,25	1,18
239,6-281,4	3	730,0	243,3	8,74	2,91	4,01	1,34
281,4-323,2	3	958,8	319,6	11,5	3,83	5,37	1,79
Итого	30	6157,1	205,2	73,71	2,46	33,88	1,13

Величина капитала, все активы банка и работающие активы прямо зависят между собой, и чем крупнее банк, тем эффективнее управление работающими активами.

Мы рассмотрели примеры группировок по одному признаку. Однако в ряде случаев для решения поставленных задач такая группировка является недостаточной. В этих случаях переходят к группировке исследуемой совокупности по двум и более существенным признакам во взаимосвязи (комбинационной группировке).

---

---

От группировок следует отличать классификацию. Классификацией называется систематизированное распределение явлений и объектов на определенные группы, классы, разряды на основании их сходства и различия.

---

Ряды распределения представляют собой простейшую группировку, в которой каждая выделенная группа характеризуется только частотой.

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределе­ния, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

---

Атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественным признакам, то есть признакам, характеризующим состояние изучаемого явления и не имеющим числового выражения.

Атрибутивные ряды распределения характеризуют состав совокупности по тем или иным существенным признакам. Взятые за несколько периодов, эти данные позволяют исследовать изменение структуры.

---

Вариационными рядами называют ряды распределения, построенные по количе­ственному признаку, т.е. признаку, имеющему числовое выражение у отдельных единиц совокупности. Вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.

Вариантами называются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, то есть конкретное значение варьирующего признака.

Частотами называются численности отдельных вариант, или каждой группы вариационного ряда. Частоты показывают, как часто встречаются те или иные значения признака в изучаемой совокупности. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем.

Частостями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частостей равна 1 или 100%.

---

---

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды.

Дискретный вариационный ряд ‑ это ряд распределения в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся прерывно, т.е. через определенное число единиц и характеризуют распределение единиц совокупности по дискретному признаку, принимающему только целые значения.

Например, группы студентов по баллу в сессию по предмету: 5,4,3,2.

---

Интервальный вариационный ряд распределения – это ряд распределения, в ко­тором группировочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в интервале любые значения, отличающиеся друг от друга на сколь угодную малую величину

Построение интервальных вариационных рядов целесообразно прежде всего при непрерывной вариации признака, а также если дискретная вариация признака проявляется в широких пределах, то есть число вариантов дискретного признака достаточно велико.

---

Правила построения рядов распределения аналогичны правилам построения группировки.

 Анализ рядов распределения наглядно можно проводить на основе их графического изображения. Для этой цели строят полигон, гистограмму, огиву и кумуляту распределения.

Полигон используется при изображении дискретных вариационных рядов. Для его построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс в одинаковом масштабе откладываются ранжированные значения варьирующего признака, а по оси ординат наносится шкала для выражения величины частот. Полученные на пересечении оси абсцисс (х) и оси ординат (у) точки соединяются прямыми линиями, в результате чего получают ломаную линию, называемую полигоном частот. Иногда для замыкания полигона предлагается крайние точки (слева и справа на ломаной линии) соединить с точками на оси абсцисс, в результате чего получается многоугольник. 

Гистограмма применяется для изображения интервального вариационного ряда. При построении гистограммы на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенным на соответствующих интервалах. Высота столбиков должна быть пропорциональна частотам. В результате получается график, на котором ряд распределения изображен в виде смежных друг с другом столбиков.

Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если середины верхних сторон прямоугольников соединить прямыми линиями.

При построении гистограммы распределения вариационного ряда с неравными интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность распределения признака в соответствующих интервалах. Это необходимо сделать для устранения влияния величины интервала на распределение интервала и получения возможности сравнивать частоты.

---

---

Плотность распределения – это частота, рассчитанная на единицу ширины интервалу то есть, сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала.

Для графического изображения вариационных рядов может использоваться кумулятивная кривая. При помощи кумуляты изображается ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяются путем последовательного суммирования частот по группам. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое значение.

При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс (х) откладываются варианты ряда, а по оси ординат (у) накопленные частоты, которые наносят на поле графика в виде перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти перпендикуляры соединяют и получают ломаную линию, то есть кумуляту.

Если при графическом изображении вариационного ряда в виде кумуляты оси х и у поменять местами, то получим огиву.

---

Контрольные задания

1. В чем суть и каково значение сводки как второго этапа статистического исследования?
2. Какова роль группировок в статистике?
3. Что такое ряды распределения?
4. Дайте характеристику вариационному ряду.
5. Пользуясь формулой Стерджесса, определите интервал группировки сотрудников фирмы по уровню доходов, если общая численность сотрудников составляет 50 человек, а минимальный и максимальный доход соответственно равен 50000 и 300000 рублей.
6. По данным статистических сборников, постройте группировку численности безработных двух регионов по полу и возрасту (% к итогу) с целью приведения их к сопоставимому виду. Сделайте сравнительный анализ результатов.
7. Имеются следующие данные об успеваемости в летнюю сессию 2019 г.: 5, 4, 4, 4. 3. 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3. Постройте по этим данным: а) ряд распределения студентов по баллам оценок, полученных в сессию; б) ряд распределения студентов по уровню успеваемости, выделив в нем 2 группы студентов: не успевающие (2 балла), успевающие (3 балла и выше); в) каким видом ряда распределения (вариационным или атрибутивным) является каждый из этих двух рядов?
8. Какие из указанных ниже группировок являются типологическими: а) группировка населения по полу; б) группировка населения по отраслям, занятого в народном хозяйстве; в) группировка вложений на строительство объектов производственного и непроизводственного назначения; г) группировка предприятий общественного питания по формам собственности.

Содержание курса лекций «Статистика»

ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ № 1.

Группировка статистических данных и
построение рядов распределения.

Студент должен:

знать:

—   принципы построения и виды
статистических группировок и статистических рядов распределения;

уметь:

—   построить группировку данных в соответствии
с поставленными целями и задачами;

—   построить ряд распределения и
представить его графическое изображение;

—   произвести перегруппировку
статистических данных для обеспечения их сопоставимости;

—   формулировать вывод по полученным
результатам.

Методические указания

Группировка
– это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. С
точки зрения отдельных единиц совокупности группировка – это объединение
отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам.

Метод группировки
основывается на следующих категориях – это группировочный
признак, число групп и интервал группировки.

Признак, по которому
осуществляется группировка, называется основанием группировки, или группировочным признаком. Группировочные
признаки могут быть атрибутивными и количественными.

Атрибутивные признаки регистрируются
в виде текстовой записи (например, профессии рабочих, социальная группа
населения). Количественные признаки имеют непосредственное числовое выражение
(стаж работы, размер дохода). Группировка может выполняться по одному признаку
(простая группировка) и по нескольким
признакам (комбинированная группировка).

После определения
основания группировки следует решить вопрос о количестве групп, на которое надо разбить исследуемую совокупность.

При группировке по атрибутивному признаку число групп определяется
количеством соответствующих наименований, т.е. 
градаций, видов, состояний у признака, если число этих наименований не
очень велико. Если признак имеет большое количество разновидностей, то
разрабатывается классификация – систематизированное распределение явлений и
объектов на определённые группы, классы, разряды на основании их сходства и
различия.

При группировке по количественному признаку число групп определяется в
зависимости от характера изменения признака и задач исследования. Если
количественный признак меняется прерывно
(дискретно), т.е. может принимать только некоторые – чаще целые значения
(например, тарифный разряд рабочих), то число групп должно соответствовать
количеству значений признака. При небольшом объёме совокупности не следует
образовывать большое число групп, т.к. они будут малочисленными, а показатели, рассчитанные для таких групп не позволят
получить адекватную характеристику исследуемого явления. В каждом конкретном
случае при определении числа групп следует исходить не только из степени колеблемости признака, но ещё  учитывать и особенности объекта и цель
исследования.

При непрерывном изменении признак принимает,  любые значения (например, стаж работы,
возраст рабочих), поэтому группы ограничиваются значениями признака в интервале
«от и до». На практике используют три вида интервалов: равные, неравные
(постепенно увеличивающиеся)  и
специализированные.

Здесь необходимо
учитывать несколько условий:

а) число групп детерминируется
уровнем колеблемости группировочного
признака. Чем значительнее вариация признака, тем больше при прочих равных
условиях должно быть групп;

б) число групп должно отражать
реальную структуру изучаемой совокупности;

в) не допускается выделение пустых
групп. Если проблема пустых групп все же возникает, при проведении структурных
группировок используют неравные интервалы.
Наличие пустых групп или малое число статистических единиц в них свидетельствуют
о неправильном определении их числа.

Группировка с равными
интервалами
строится, если вариация признака проявляется в узких границах и распределение
носит равномерный характер. Величина равного интервала определяется по формуле:

                  (1)

где  R – размах вариации определяется как разность между
наибольшим и наименьшим значением признака в совокупности      R=X_max — X_min;

n – число
групп.

Для расчёта величины
интервала по этой формуле необходимо заранее установить число групп п (при числе наблюдений более 200
используют 10 – 15 групп). Возможен и другой способ установления числа групп. В
этом случае используется формула Стерджесса:

n =1 + 3.322 lgN                           (2)

где 
n – число групп;

N – число
единиц совокупности.

Применение этой формулы
целесообразно при большом числе единиц совокупности. При объёме совокупности
20-25 единиц число групп рекомендуется принимать       п ≤ 4.

Формула Стерджесса позволяет определить величину интервала без
предварительного установления числа групп:

                      (3)

В практических расчетах можно
использовать следующие соотношения, полученные на основании формулы Стерджесса:

N	15-24	25-44	45-89	90-179	180-359	360 и более
n	5	6	7	8	9	10

Зависимость
Стерджесса дает хорошие результаты, если совокупность
состоит из большого числа единиц, распределение близко к нормальному,
и при этом используются равные интервалы. Существует еще один способопределения
количества выделяемых групп, он связан с применением
среднеквадратичного отклонения равными и
неравными σ: если величина
(ширина) интервала равна 0,5σ , то выделяется
12 групп, если 2/3σ ,- то 9
групп, если σ – то 6 групп.

Прежде чем определять
размах вариации, из совокупности следует исключить аномальные значения
признака. Если максимальное или минимальное значение сильно отличается от
смежных с ним значений, то для определения величины интервала используют не
максимальное и минимальное значения, а значения, несколько превышающее минимум
и несколько меньше максимума. Полученную по формуле (1) величину округляют. Она является шагом интервала.

Существуют следующие правила
определения шага интервала.

Если величина интервала –
величина, имеющая один знак до запятой (например, 0,66; 1,375; 5,82), то
полученные значения следует округлить до десятых и использовать в качестве шага
интервала (соответственно 0,7; 1,4; 5,8). Когда рассчитанная величина интервала
имеет две значащие цифры до запятой и несколько знаков после запятой, то это
значение надо округлить до целого числа. Пусть величина интервала, исчисленная
по формуле (1.1), равна 12,785. Тогда это значение следует округлить до целого
числа, т.е. до 13. В случае, когда рассчитанная величина интервала представляет
собой трёхзначное, четырёхзначное и так далее число, эту величину необходимо
округлить до ближайшего числа, кратного 100 или 50. Например, 248 следует
округлить до 250. Чаще всего, полученное значение величины (ширины) интервала округляется в бóльшую сторону.
При округлении в меньшую сторону последний интервал делают открытым.

В каждой выделенной группе
рассчитываются следующие параметры:

— верхняя граница интервала;

 — нижняя граница
интервала;

 — ширина
интервала;

— середина i-го интервала.

Нижней
границей интервала () называется
наименьшее
значение признака в интервале — данной группе. Верхней границей интервала () называется

наибольшее
значение признака в интервале — данной группе.

Интервалы
группировки бывают равными
и неравными (прогрессивно
возрастающими, прогрессивно убывающими, произвольными, специализированными). Если
вариация признака проявляется в сравнительно узких границах, и распределение
статистических единиц носит достаточно равномерный характер, то строят группировку с
равными интервалами.

На основе рассчитанной ширины интервала
 последовательно определяются границы интервалов  и . Определение
границ начинается с первой группы. Ее нижняя граница принимается равной минимальному
значению признака в совокупности , т. е. , а верхняя
граница определяется как

Для второй группы нижняя граница
принимается равной верхней границе первой группы, т. е. , верхняя
определяется как

и т. д. В целом границы интервалов
определяются формулами:

                        и             

Середина интервала
(центральная варианта) определяется как

полусумма
верхней и нижней границ, т.е. по
формуле:

Параметр середина интервала используется при расчете обобщающих

характеристик изучаемой совокупности.

Интервалы могут быть открытыми и закрытыми. Открытые  интервалы – это те интервалы, у
которых указана только одна граница: верхняя – у первого, нижняя – у последнего.
Закрытые
интервалы – это те интервалы, у которых обозначены обе границы.
Величина открытого интервала принимается равной величине смежного с ним закрытого
интервала.

Основной задачей распределения
единиц совокупности по группам является
подсчет числа единиц, попавших в каждую из выделенных групп . При распределении
единиц наблюдения по выделенным группам, особенно если группировочный
признак является непрерывным, имеет место неопределенность: к какой группе
относить единицы со значениями признака, совпадающими с границами интервалов?
Для устранения неопределенности используют принцип единообразия – такие единицы включаются в группу, в
которой нижняя граница совпадает со значением признака. Например, имеются группы
предприятий по объему производства, млн. руб.: 400
– 450;        450 – 500;                500 – 550;              550 – 600.

К какой группе следует отнести
предприятия с объемом производства 500млн. руб.? В соответствии с принципом
единообразия — ко второй группе. (Т.е нижняя граница – включительно, а верхняя
– исключительно)

Группировка с неравными
интервалами применяются
в статистике, когда значения признака варьируют неравномерно и в значительных
размерах. Неравные интервалы часто применяются в аналитических группировках. В
этом случае интервалы выбираются так, чтобы число единиц в образовавшихся
группах было достаточно велико, т.е. группы были одинаково заполнены.

В типологических
группировках используются специализированные интервалы.
Границы в них устанавливаются там, где начинается переход от одного качества к
другому. Наметить точки перехода можно только на основе теоретического анализа,
используя для выделения типов совокупность признаков, характеризующих различные
стороны изучаемого явления.

Иногда имеющуюся
группировку необходимо несколько изменить: объединить ранее выделенные
относительно мелкие группы в небольшое число более крупных, типичных групп или
изменить границы прежних групп с тем, чтобы сделать группировку сопоставимой с
другими. Такая переработка результатов первичной группировки называется перегруппировкой,
или
вторичной группировкой.

Для
количественной характеристики каждой группы часто выполняют расчет структурных
характеристик. Расчет заключается в определении для каждой группы удельного веса (доли) ее единиц в общем объеме
статистической совокупности. Как и любая относительная величина,
этот показатель может быть определен
в виде коэффициентов, или в виде процентов:

             или        

Рассчитав такие доли для всех групп, мы
получаем структуру изучаемой статистической совокупности, равную полному набору
долей:

           или        

На основе анализа
показателей структуры делаются соответствующие выводы. В выводах отражаются два
положения:

Какие значения признака
встречаются в совокупности наиболее часто, какие наиболее редко.

Каков характер изменения структуры
явления в зависимости от изменения значения признака. Выводы должны быть сделаны обязательно, иначе пропадает смысл построения группировки.

Метод
группировки предусматривает построение рядов распределения. Статистический ряд
распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на
группы по определённому варьирующему признаку. В зависимости от признака,
положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивными называют ряды распределения,
построенные по качественным признакам. Такие ряды принято оформлять в виде
таблиц. Атрибутивные ряды распределения характеризуют состав совокупности по
тем или иным существенным признакам. Взятые за несколько периодов времени, эти
данные позволяют исследовать изменение структуры.

Вариационными называют ряды распределения,
построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух
элементов: вариантов и частот. Вариантами считаются отдельные значения  признака, которые он принимает в вариационном
ряду, т.е. варианта – это конкретное значение варьирующего признака. Частоты – это численности отдельных
вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие,
как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех
частот определяет численность всей совокупности, её объём. Частостями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к
итогу. Соответственно сумма частостей равна 1 или
100%.

На практике для анализа рядов
распределения используют их графическое
изображение, позволяющее судить  и о
форме распределения, и о характере изменения частот вариационного ряда.

Полигон используется
при изображении дискретных вариационных рядов. Для его построения в
прямоугольной системе координат по оси абсцисс в одинаковом масштабе
откладываются ранжированные значения варьирующего признака, а по оси ординат
наносится шкала для выражения величины частот. Полученные на пересечении
абсцисс и ординат точки соединяют прямыми линиями и получают ломаную линию,
называемую полигоном частот. Иногда
для замыкания полигона крайние точки (слева и справа на ломаной линии)
соединяют с точками на оси абсцисс, в этом случае получается многоугольник. На
оси ординат могут наноситься не только значения частот, но и частостей вариационного ряда.

Рис. 1.
Полигон распределения

Гистограмма
применяется для изображения интервального вариационного ряда. При построении
гистограммы на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты
изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах.
Высота столбиков в случае равных интервалов должна быть пропорциональна
частотам. В результате получается гистограмма – график, на котором ряд
распределения изображён в виде смежных друг с другом столбиков. При построении
гистограммы распределения вариационного ряда с неравными интервалами по оси
ординат наносят не частоты, а плотность распределения признака в
соответствующих интервалах. Это необходимо сделать для устранения влияния
величины интервала на распределение и иметь возможность сравнивать частоты. Плотность распределения – это частота,
рассчитанная на единицу ширины интервала, т.е. сколько единиц в каждой группе
приходится на единицу величины интервала.

Рис.2. Гистограмма
распределения равноинтервального ряда

Для
графического изображения вариационных рядов может быть использована
кумулятивная кривая. При помощи кумуляты (кривой
сумм) изображается ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяются
путём последовательного суммирования частот по группам и показывают, сколько
единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое
значение. При построении кумуляты интервального
вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат
накопленные частоты, которые наносят на поле в виде перпендикуляров к оси
абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти перпендикуляры соединяют и
получают ломаную линию, т.е.

кумуляту. Изображение вариационного ряда в
виде кумуляты особенно эффективно для рядов, частоты
которых выражены в процентах к сумме частот ряда, или же выражены частостями.

Рис. 3. Кумулята
распределения

Если
при графическом изображении вариационного ряда в виде кумуляты
оси поменять местами, то получим огиву.
С помощью кумулятивных кривых графически изображают процесс концентрации.

Ряд распределения представляет
собой простейшую группировку, в которой каждая выделяемая группа
характеризуется одним показателем – численностью единиц объекта, попавших в
каждую группу. Построение рядов распределения является составной частью сводной
обработки данных, при которой каждая группа единиц характеризуется многими
показателями. Перечень таких показателей формируется в соответствии с целями
статистического исследования и задачами группировки. Для получения обобщённой
характеристики явления следует использовать систему
показателей, которая предусматривает исчисление абсолютных, относительных и средних
величин.