Как найти число избыточных электронов на капельке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

In 1909, Robert Millikan determined that the electron has a charge of 1.60×10^-19 Coulombs. He determined this by balancing the gravitational pull on oil droplets against the electric field needed to keep the droplets from falling. A single droplet would have multiple excess electrons, so the common divisor of the charge on multiple droplets gave the charge of a single electron. Derivative of this experiment, a common question of introductory physics students today is how many excess electrons are on a charged sphere if its total charge is found by experiment to be «x» Coulombs, assuming you already know a single electron’s charge?

Suppose you have determined the charge of an oil drop to be, say, 2.4 x 10^-18 Coulombs. Note that the caret ‘^’ refers to exponentiation. For example, 10^-2 equals 0.01.

Suppose also that you know in advance that the charge of an electron is 1.60×10^-19 Coulombs.

Divide the total excess charge by the known charge of a single electron.

Continuing with the example above, 2.4 x 10^-18 divided by 1.60 x 10^-19 is the same as 2.4 / 1.60 times 10^-18 / 10^-19. Note that 10^-18 / 10^-19 is the same as 10^-18 * 10^19, which equals 10. 2.4/1.6 = 1.5. So the answer is 1.5 x 10, or 15 electrons.

Tips

A harder problem is to solve for the number of electrons without knowing the charge of an electron beforehand. For example, you may find that the five droplets have charges of 2.4 x 10^-18, 3.36 x 10^-18, 1.44 x 10^-18, 2.08 x 10^-18, and 8.0 x 10^-19. Finding the charge of a single electron then becomes a matter of solving for the common divisor of 240, 336, 144, 208, and 80. The problem here is that the numbers are so large. One trick to simplifying the problem further is to find the differences between nearby numbers. 240 — 208 = 32. 2 x 80 — 144 = 16. So the number 16 pops out. Dividing 16 into the original 5 data points shows this is in fact the right answer. (When the numbers have a significant error range, the problem becomes very hard indeed.)

Источник

Так как капелька находится в равновесии, то равнодействующая всех сил, действующих на нее, равна 0. На капельку действуют сила тяжестии кулоновская сила.

Источник

Задача: Вектор напряженности однородного электрического поля направлен вниз, напряженность этого поля равна 1,3 ∙ 10⁵ В/м. В это поле помещена капелька масла массой 2 ∙ 10^–9 г. Капелька оказалась в равновесии. Найти заряд капельки и число избыточных электронов на ней.

Пояснение: Обозначим Е напряженность электрического поля, m — массу капельки, g — ускорение свободного падения, F — силу, с которой электрическое поле действует на капельку, q — заряд капельки, e — модуль заряда электрона, N — число избыточных электронов на капельке.

Решение:
Поскольку капелька содержит из быточные электроны, ее заряд отрицателен. Положительные заряды — источники электрического поля — расположены над капелькой и притягивают ее, а расположенные под ней отрицательные заряды отталкивают капельку, поэтому сила F, с которой поле действует на капельку, направлена вверх. Ей противодействует сила тяжести mg, направленная вниз.

Капелька находится в равновесии, значит, эти силы уравновешивают друг друга и их модули одинаковы:

F = mg.

Из определения напряженности сила F, действующая на капельку, равна: F = qE, поэтому qE = mg, откуда

Выразим в единицах СИ массу ка пельки: 2 ∙ 10^–9 г = 2 ∙ 10^–12 кг.

Произведем вычисления:

Число избыточных электронов найдем, разделив модуль заряда капельки, т.е. заряд всех избыточных электронов, на модуль заряда одного электрона:

Ответ: q = 1,5 ∙ 10^–16 Кл, N = 938.

Источник

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Обозначим Е1 напряженность поля заряда –q, Е2 — напряженность поля заряда –4q, Ер1 — напряженность результирующего поля в первом случае, q0 — искомый заряд, Е0 напряженность поля заряда q0, Ер2 — напряженность результирующего поля во втором случае, r — расстояние между точками 1 и М, k — коэффициент пропорциональности.

Дано:

Решение

–q

Заряд q0 должен быть отрицательным. Ниже

–4q

в формулах приведены модули зарядов.

Ер2 = 3Ер1

Согласно рис. 284, а,

= k 4q

q0 — ?

Ер1 = Е2 – Е1

– k

= 3k

Согласно рис. 284, б

р2

= Е

– Е = k

– k

= k (q0 − q ) .

Поскольку Ер2 = 3Ер1, то

k (q0 − q )

= 3 · 3k

q0 – q = 9q,

откуда

q0 = 10q.

Ответ: q0 = 10q, знак у заряда q0 отрицательный.

	В7. Вектор напряженности однородного
	электрического поля направлен вниз, на-
	пряженность этого поля равна 1,3 105 В/м.
	В это поле помещена капелька масла массой
	2 10–9 г. Капелька оказалась в равновесии.
	Найти заряд капельки и число избыточных
	электронов на ней.
	Обозначим Е напряженность электри-
	ческого поля, m — массу капельки, g —
	ускорение свободного падения, F — силу,
	с которой электрическое поле действует на
	капельку, q — заряд капельки, e — модуль
	заряда электрона, N — число избыточных	Рис. 285
	электронов на капельке.

430

Дано:

E = 1,3 105 В/м m = 2 10–9 г

g = 10 м/с2

e = 1,6 10–19 Кл

q — ? N — ?

Раздел III. Электромагнетизм

Решение

Поскольку капелька содержит избыточные электроны, ее заряд отрицателен. Положительные заряды — источники электрического поля — расположены над капелькой и притягивают ее, а расположенные под ней отрицательные заряды отталкивают капельку, поэтому сила F, с которой поле дей-

ствует на капельку, направлена вверх. Ей противодействует сила тяжести mg, направленная вниз (рис. 285). Капелька находится в равновесии, значит, эти силы уравновешивают друг друга и их модули одинаковы:

F = mg.

Из определения напряженности сила F, действующая на капельку, равна:

F = qE,	поэтому qE = mg,
	q =	mg
откуда	E .

Выразим в единицах СИ массу капельки:

2 · 10–9 г = 2 · 10–12 кг.

Произведем вычисления:

Кл |1,5 · 10–16 Кл.

Число избыточных электронов найдем, разделив заряд капельки, т.е. заряд всех избыточных электронов, на заряд одного электрона:

N= q . e

Произведем вычисления:

N =	1,5	10−16	\|938.
	1,6	10−19

Ответ: q = 1,5 · 10–16 Кл, N = 938.

В8. Три одинаковых точечных заряда по 1 нКл каждый расположены в трех вершинах квадрата со стороной 9 см. Найти

431

	Физика для старшеклассников и абитуриентов
	2	3		напряженность результирую-
q	a			щего поля в четвертой верши-
a2	q		не. Среда — воздух.
			Обозначим Е1 напряжен-
	+a2
			ность электрического поля
a	=
a	a		зарядов в вершинах 1 и 3 (рис.
2

				286), Е2 — напряженность
q		4	E1 электрического поля заряда в
a			вершине 2, а — длину стороны

			квадрата, Е — результирую-
	1	E2
	Рис. 286	Ep1	щую напряженность в вершине
	E1
		4, k — коэффициент пропор-

циональности, H — диэлектрическую проницаемость среды.

Дано:		Решение

q = 1 нКл			Определим результирующую на-
а = 9 см		пряженность Ер1 полей зарядов в
H = 1		вершинах 1 и 3, выполнив векторное
k = 9 · 109 Н · м2/Кл2		сложение:
				Ер1 = Å12 + Å12 = Å1 2,
Е — ?


где		Å = k	q	,
	1			a2
поэтому		Ер1 = k	q		2.
a2
G				G

С вектором Åð1 cонаправлен вектор Å2 напряженности поля заряда в вершине 2, поэтому модуль результирующего вектора

Е = Ер1 + Е2,

где

Å = k

= k

(à 2)2

2a2

В итоге результирующий вектор напряженности

Е = k

2 +

= 1,9k

2 + k

= k

Произведем вычисления:

Е = 1,9 · 9 · 109

10−9

В/м | 2,1 · 103 В/м.

0,092

Ответ: Е = 2,1 · 103 В/м.

432

Раздел III. Электромагнетизм

В9. Разность потенциалов между электродами электронной пушки равна 500 В. Определить скорость вылетающих из нее электронов.

Обозначим U напряжение (разность потенциалов) между катодом и анодом, e — модуль заряда электрона, me — массу электрона, A — работу электрического поля, разогнавшего электрон, ‘Ek — изменение кинетической энергии электрона при разгоне, Ek0 — начальную кинетическую энергию электрона, Еk — его конечную кинетическую энергию, v0 — начальную скорость электрона, v — его конечную скорость.

Дано:		Решение

U = 500 В		Согласно теореме об изменении кине-
e = 1,6 10–19 Кл		тической энергии работа электрического
m = 9,1 10–31 кг		поля равна изменению кинетической
vo = 0		энергии. Но поскольку начальная кине-
		тическая энергия электрона была равна
v — ?
	нулю, т.к. была равна нулю его началь-

		ная скорость, то мы можем записать:

А = ‘Еk = Ek, т.к. Ek0 = 0.

Из определения напряжения мы знаем, что работа электрического поля равна произведению перемещаемого заряда на напряжение:

А = eU.

По формуле кинетической энергии

E = mev2 .

k 2

Приравняем правые части двух последних формул и из полученного соотношения найдем скорость:

	eU1 =	m v2	, откуда v =	2eU
	e	.
	2
				m
					e
Произведем вычисления:
v =	2 1,6 10−19	500	м/с \| 1,3 · 10–7	м/с.
9,1	10−31

Ответ: v | 1,3 · 10–7 м/с.

433

	Физика для старшеклассников и абитуриентов
В10. Два заряда 4 нКл и 9 нКл расположены на расстоянии
20 см друг от друга. На каком расстоянии от меньшего заряда
напряженность электрического поля этих зарядов равна нулю?
Среда — вакуум.
	M E1		Обозначим q1 меньший за-
q1	q2	ряд, q — больший заряд, r —
	2
E2			расстояние между зарядами,
		r1 — расстояние от точки М
			(рис. 287), в которой напря-
r1	r2		женность поля обоих зарядов
	Рис. 287		равна нулю, до меньшего за-
		ряда q1, H— диэлектрическую

проницаемость среды, k — коэффициент пропорционально-
сти, E1 — напряженность поля меньшего заряда в точке М,
E2 — напряженность поля большего заряда в точке М, Е —
результирующая напряженность в точке М.

Дано:

q1 = 4 нКл q2 = 9 нКл r = 20 см

Е = 0

H = 1

r1 — ?

Решение

Чтобы результирующая напряженность поля обоих зарядов в точке М была равна 0, модули векторов напряженностей полей обоих зарядов должны быть равны друг другу:

Е1 = Е2.

По формуле напряженности поля точечного заряда

Е1	= k	q1	и Е2 = k	q2	.
r12	(r − r1 )2

С учетом равенства напряженностей приравняем правые части этих равенств:

= k

r12

(r − r1 )2

r12

(r − r1 )2

r − r1

r1 q2 = r q1 − r1 q1 ,

r1 =

Произведем вычисления: r1

см = 8 см.

4 +

Ответ: r1 = 8 см.

В11. Отношение заряда электрона к его массе (удельный заряд электрона) 1,76 107 м/с, его начальная скорость в

434

Раздел III. Электромагнетизм

электрическом поле равна 1 107 м/с, а конечная 3 107 м/с. Электрон перемещается по силовой линии поля. Определить разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения электрона.

Обозначим A работу перемещения заряда в электрическом поле, U — разность потенциалов между точками его перемещения, Ek1 — кинетическую энергию электрона в начальной точке перемещения, Ek2 — его кинетическую энергию в конечной точке.

Дано:

v1 = 1 107 м/с v2 = 3 107 м/с

e = 1,76 1011 Кл/кг m

U — ?

Решение

Работа электрического поля, разогнавшего электрон, равна изменению его кинетической энергии:

A	mv22		mv12	m	.
2	2	2

С другой стороны, работа поля определяется произведением перемещаемого заряда на разность потенциалов:

A = eU.

Приравняем правые части этих равенств:

, откуда U =

Произведем вычисления:

U =

(3 107 )2 − (1 107 )2

В | 2,3 103 В.

2 1,76 1011

Ответ: U | 2,3 · 103 В.

В12. К конденсатору емкостью 10

пФ последовательно подключили два

параллельных конденсатора емко-

стями 4 пФ и 6 пФ. Общий заряд этих

конденсаторов 1 нКл. Чему равно об-

щее напряжение на конденсаторах?

Обозначим С1 емкость первого

конденсатора, С2 — емкость второго

Рис. 288

конденсатора, С3 — емкость третьего

435

Физика для старшеклассников и абитуриентов

конденсатора, С23 — общую емкость второго и третьего конденсаторов, С — общую емкость всей батареи конденсаторов, U — общее напряжение на батарее, q — общий заряд.

Дано:

Решение

С1 = 10 пФ

Обратимся к схеме на рис. 288. Общая

С2 = 4 пФ

емкость конденсаторов С2 и С3 С23 = С2 + С3 .

С3 = 6 пФ

Общая емкость всей батареи конденсаторов

Ñ1Ñ23

Ñ1

(Ñ2 + Ñ3 )

U — ?

С =

Ñ1 + Ñ23

Ñ2 + Ñ3

Ñ1

Напряжение на батарее конденсаторов

U =

С учетом предыдущего равенства

U =

q (Ñ1 + Ñ2 + Ñ3 )

(Ñ2 + Ñ3 )

Произведем вычисления:

)

(

10−12

10−9 10 10−12 + 4 10−12 + 6

U =

В = 200 В.

10 10−12 (4 10−12 + 6 10−12 )

Ответ: U = 200 В.

В13. Напряжение на обкладках конденсатора 200 В, расстояние между обкладками 0,2 мм. Конденсатор отключили от источника зарядов, после чего увеличили расстояние между обкладками до 0,7 мм. Определить новое напряжение на обкладках конденсатора.

Обозначим С1 емкость конденсатора до изменения расстояния между обкладками, d1 — первоначальное расстояние между обкладками, d2 — конечное расстояние между обкладками, С2 — емкость после изменения расстояния, q — заряд, U2 — новое напряжение на обкладках.

Дано:

U1 = 200 В d1 = 0,2 мм

d2 = 0,7 мм

U2 — ?

Решение

Если конденсатор сначала отключить от источника тока, а затем изменить расстояние между его пластинами, то заряд на них останется неизменным, а изменится его емкость и напряжение.

436

Раздел III. Электромагнетизм

Поэтому мы можем записать формулу емкости конденсатора до и после отключения следующим образом:

C2 =

Емкость плоского конденсатора до и после отключения от

источника зарядов:

С1

ε0εS

С2 =

ε0

εS

Сравнивая эти равенства с предыдущими, мы придем к

выводу, что

ε0εS

Если теперь разделить левые и правые части этих равенств друг на друга, то неизвестные величины сократятся и из полученной формулы мы найдем искомое напряжение:

	qU2	=	ε0εSd2	,		U2	=	d2	,
	U q
			d	ε	εS		U		d
1		1	0			1	1
откуда			U2 = U1d2
								d1
Произведем вычисления:
	U2	=	200 0,7	В = 700 В.
			0,2

Ответ: U2 = 700 В.

В14. Между обкладками плоского конденсатора находится слюдяная пластинка с диэлектрической проницаемостью 6. Емкость конденсатора 10 мкФ, напряжение на его обкладках 1 кВ. Какую работу надо совершить, чтобы вынуть пластинку из конденсатора, не отключая его от источника напряжения?

Обозначим H1 диэлектрическую проницаемость слюды, H2 — диэлектрическую проницаемость воздуха, С1 — емкость конденсатора с пластинкой слюды, С2 — емкость конденсатора без пластинки слюды, U — напряжение на его обкладках, А — работу, которую надо совершить, чтобы вынуть пластинку из конденсатора, W1 — энергию конденсатора до вынимания слюдяной пластинки, W2 — энергию конденсатора после вынимания слюдяной пластинки.

437

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Дано:	Решение
H1 = 6	Работу можно определить через разность
С1 = 10 мкФ	энергий конденсатора после и до вынимания
U = 1 кВ	слюдяной пластинки:
H2 = 1	А = W2 – W1.	(1)

A — ?

Поскольку в этом процессе конденсатор

не отключали от источника, напряжение на его обкладках сохранялось. Поэтому определим энергию конденсатора по формуле:

W1	=	C1U2	(2) и W2 =	C U2	,	(3)
2	2
2

где емкости конденсатора

Ñ =	ε0ε1S	и С2 =	ε0	ε2 S	.
		d
1	d

Нам известна емкость С1, а емкость С2 не дана. Но ее можно выразить через С1 и диэлектрические проницаемости H1 и H2, если разделить эти равенства друг на друга:

Ñ1	= ε0ε1Sd =	ε1	, откуда C = C	ε2 .	(4)
Ñ	dε	ε	S	ε	2	2 1 ε
2	0	2				1

Подставим теперь правую часть равенства (4) в формулу (3):

W2	=	C ε U2	.	(5)
1	2
2ε1

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (5) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена:

À = Ñ1ε2U2 − C1U2 = C1U2 (ε2 −1) , ведь H1 = 1.

2ε1 2 2

Задача в общем виде решена. Выразим все величины в единицах СИ: 10 мкФ = 10 · 10–6 Ф = 1 · 10–5 Ф, 1 кВ = 1 · 103 В.

Подставим числа и вычислим:

Дж = 0,025 Дж = 25 мДж.

Ответ: А = 25 мДж.

В15. Плоский конденсатор состоит из двух обкладок площадью 40 см2 каждая. Между ними находится стекло с

438

Раздел III. Электромагнетизм

диэлектрической проницаемостью 7. Какой заряд находится на обкладках этого конденсатора, если напряженность электрического поля между ними 8 МВ/м?

Обозначим S площадь обкладок конденсатора, H — диэлектрическую проницаемость стекла, E — напряженность электрического поля между обкладками, q — заряд конденсатора, C — его емкость, H0 — электрическую постоянную, d — расстояние между обкладками, U — напряжение на обкладках.

Дано:		Решение

S = 40 см2		Согласно определению емкости
H = 7		конденсатора
Е = 8 МВ/м				С =	q	.
H		= 8,85 · 10–12	Ф/м
0
					U
q — ?		Кроме того, емкость плоского
	конденсатора

				С =	ε0εS	.
					d

Приравняем правые части этих равенств и из полученного выражения найдем искомый заряд:

q	=	ε0εS	, откуда	q =	ε0εSU	.	(1)
U		d		d

Расстояние между обкладками d определим из формулы

Е = U , d

откуда

d =	U	.	(2)

	E

Подставим равенство (2) в формулу (1):

q = ε0εSUE = ε0εSE.

Произведем вычисления:

q = 8,85 · 10–12 · 7 · 40 · 10–4 · 8 · 106 Кл | 2 · 10–6 Кл = 2 мкКл.

Ответ: q = 2 мкКл.

439

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

В 1909 году Роберт Милликен установил, что электрон имеет заряд 1, 60х10 ^ -19 кулонов. Он определил это, уравновешивая гравитационное притяжение капель масла к электрическому полю, необходимому для того, чтобы капли не падали. Одна капля будет иметь несколько избыточных электронов, поэтому общий делитель заряда на несколько капель дает заряд одного электрона. Производная этого эксперимента, общий вопрос сегодняшних студентов, изучающих физику, состоит в том, сколько избыточных электронов находится на заряженной сфере, если в ходе эксперимента было установлено, что ее полный заряд равен «х» кулонам, предполагая, что вы уже знаете заряд одного электрона?

Предположим, вы определили заряд капли масла, скажем, 2, 4 х 10 ^ -18 кулонов. Обратите внимание, что знак «^» относится к возведению в степень. Например, 10 ^ -2 равно 0, 01.

Предположим также, что вы заранее знаете, что заряд электрона составляет 1, 60×10 ^ -19 кулонов.

Разделите полный избыточный заряд на известный заряд одного электрона.

Продолжая приведенный выше пример, 2, 4 х 10 ^ -18, деленное на 1, 60 х 10 ^ -19, равно 2, 4 / 1, 60 раз 10 ^ -18 / 10 ^ -19. Обратите внимание, что 10 ^ -18 / 10 ^ -19 — это то же самое, что 10 ^ -18 * 10 ^ 19, что равно 10. 2, 4 / 1, 6 = 1, 5. Таким образом, ответ 1, 5 х 10 или 15 электронов.

подсказки

Более сложная задача состоит в том, чтобы определить число электронов, не зная заранее заряда электрона. Например, вы можете обнаружить, что пять капель имеют заряд 2, 4 х 10 ^ -18, 3, 36 х 10 ^ -18, 1, 44 х 10 ^ -18, 2, 08 х 10 ^ -18 и 8, 0 х 10 ^ -19. Нахождение заряда одного электрона становится делом решения для общего делителя 240, 336, 144, 208 и 80. Проблема здесь в том, что числа настолько велики. Еще один способ упростить задачу — найти различия между соседними числами. 240 — 208 = 32. 2 x 80 — 144 = 16. Таким образом, число 16 выскакивает. Разделение 16 на 5 исходных данных показывает, что это действительно правильный ответ. (Когда числа имеют значительный диапазон ошибок, проблема действительно становится очень сложной.)

Источник