22 августа 2015 в 14:14
Ответ для Мария Кузнецова
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Прочтем еще раз условие задачи.
Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что
за 4 дня смог решить 23 задачи.
В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий,
и в четвёртый день решил
вчетверо больше чем в первый. Сколько задач решил Саша в каждый из четырёх дней?
По традиции, подчеркнём в условии задачи все важные данные.
Данная задача решается методом перебора и анализа условия, а не уравнением.
То есть, учитывая условия задачи, мы подставляем различные значения и выясняем,
соответствуют ли они истине.
Выпишем условия задачи, на которые мы будем опираться при её решении.
Условия:
- В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий
- В четвёртый день решил вчетверо больше чем в первый.
- За 4 дня он смог решить 23 задачи.
Начнём перебирать и проверять возможные варианты.
1 вариант
Пусть Саша решил в первый день 1 задачу.
Тогда по второму условию в 4 день он решил
1 · 4 = 4 задачи.
Значит, во 2 и 3 день он решил:
.png)
Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.
Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».
Значит, в 3 день Саша мог решить только 3 задачи. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.
18 − 3 = 15 задач.
15 задач — решено во 2 день. А это не соответствует второму условию задачи.
Значит наше предположение не верно.
2 вариант
Пусть Саша решил в первый день 2 задачи.
Тогда по второму условию в 4 день он решил
2 · 4 = 8 задачи.
Значит, во 2 и 3 день он решил:
.png)
Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.
Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».
Значит, в 3 день Саша мог решить только 7 задач. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.
13 − 7 = 6 задач.
6 задач — решено во 2 день.
Убедимся, что наше решение удовлетворяет всем условиям задачи.
- В 1 день — 2 задачи
- Во 2 день — 6 задач
- В 3 день — 7 задач
- В 4 день — 8 задач
- 2 + 6 + 7 + 8 = 23 задачи — решено за 4 дня.
Всё верно. Но завершать решение задачи ещё рано. Необходимо убедиться, что
других решений нет.
3 вариант
Пусть Саша решил в первый день 3 задачи.
Тогда по второму условию в 4 день он решил
3 · 4 = 12 задач.
Значит, в 2 и 3 день он решил:
.png)
Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.
Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».
Значит, во 2 день Саша мог решить, например, 4 задачи (больше на 1 задачу чем в первый день).
Найдём тогда, сколько задач Саша решил в 3 день.
7 — 4 = 3 задачи.
Но 3 задачи, решённые в 3 день, это меньше, чем 4 задачи, решённые во 2 день. Это нарушает первое
условие.
Дальнейшее увеличение решённых задач в 1 день (перебор других вариантов)
нарушает условия задачи.
Таким образом, мы нашли и доказали, что полученное решение
в варианте 2 является единственным.
Ответ:
- В 1 день — 2 задачи
- Во 2 день — 6 задач
- В 3 день — 7 задач
- В 4 день — 8 задач
Сегодня на уроке мы познакомимся с новым для вас
понятием «взаимно обратные числа» и научимся определять обратные числа
данным.
Давайте умножим дробь на
дробь .
После сокращения мы получим .
Говорят, что число обратно
числу .
Произведение также
равно единице.
Поэтому число обратно
числу .
Числа и
взаимно
обратны.
Задание
Найдём произведение чисел 8
и ,
1 и
.
Числа 8 и ,
1 и
также
взаимно обратны.
Что общего вы заметили в этих примерах, кроме того,
что пары этих чисел называют взаимно обратными. Правильно! Произведение этих
чисел равно 1.
Определение
Два числа, произведение которых равно единице,
называют взаимно обратными.
С помощью букв взаимно обратные числа можно записать
так:
И это можно проверить:
Если одно из двух взаимно обратных чисел – правильная
дробь, то другое обязательно неправильная дробь.
Число 1 взаимно обратно самому себе, а
число 0 не имеет обратного себе числа.
Значит, чтобы выяснить, являются ли два числа
взаимно обратными, их надо перемножить.
Если ответ равен единице, то числа – взаимно
обратные.
Запомним несколько полезных правил:
Чтобы найти число взаимно обратное данному, надо:
1) Если
число натуральное нужно представить его в виде дроби и перевернуть
(поменять местами числитель и знаменатель).
2) Если
число обыкновенная дробь нужно дробь перевернуть, а затем выделить целую часть.
3) Если
число смешанное нужно представить его в виде неправильной дроби, затем перевернуть.
4) Если
число десятичная дробь нужно представить его в виде дроби, затем перевернуть и
выделить целую часть.
Задание
Найдите обратное число данному.
Задание
Из пар чисел представленных на экране выберите
взаимно обратные:
Итоги
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с взаимно
обратными числами и научились находить обратное число данному.
Обратными (или взаимно-обратными) называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа:
Как найти обратное число?
Для нахождения обратного числа, нужно единицу поделить на это число. В случае обыкновенной дроби просто поменять числитель и знаменатель местами.
Обратное число обыкновенной дроби
Когда ищем обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, так как запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачиваем, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, то есть такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.
Обратное число десятичной дроби
Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из двух способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.
Как найти обратное число?
Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.
Свойства обратных чисел
Свойство №1
Обратное число существует для любого числа, кроме 0.
Ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, то есть фактически делить на него.
Свойство №2
Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2. Математически это свойство можно выразить неравенством:
Свойство №3
Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Математически:
Свойство №4
Взаимно-обратными могут быть числовые выражения.
Свойство №5
Для числа, представленного в виде степени с показателем х, обратным будет число в виде степени с показателем –х. Обоснование:
Это свойство означает, что и для всякой степени тоже может быть подобрано обратное число.
Даниил Романович | Просмотров: 3.7k
Взаимно обратные числа
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 175.
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 175.
Взаимно обратные числа это очень интересная тема математики 6 класса. Умение обращаться с взаимно обратными числами лежит в основе правильного деления дробей. К тому же существует ряд задач направленных на нахождение числа обратного заданному, поэтому разберемся в вопросе вместе.
Что такое обратное число?
Обратным числом называют число, при умножении на которое в результате получается 1.
Число может быть обратным только для другого числа. Универсального обратного числа не существует. Например, для числа 7 обратным будет число ${1/{7}}$. Но число ${1/{7}}$ не является обратным для 8,9 и т.д.
Как найти число, обратное данному?
Разберем различные ситуации нахождения обратного числа.
Общий случай
В общем случае формула для нахождения обратного числа выглядит так:
Для числа «а» обратным будет число ${1over{а}}$.
В математике эту операцию иногда называют словом «перевернуть»
Так для числа 18 обратным числом будет ${1over{18}}$
Проверим утверждение:
$18*{1over{18}}=1$ – значит формула работает.
Смешанное число
Что делать, если перед нами смешанное число? Рассмотрим на примере. Найдем обратное число для $3 {18over{19}}$
- Превратим смешанное число в неправильную дробь:
$$3 {18over{19}}= {{3*19+18}over{19}}={75over{19}}$$
- Перевернем смешанную дробь
${75over{19}}$ превращается в ${19over{75}}$
- Выполним проверку:
${75over{19}}*{19over{75}}=1$ – все расчеты выполнены верно.
Обыкновенная дробь
Чтобы найти обратное число для обыкновенной дроби, нужно ее просто перевернуть, так же, как и во втором пункте предыдущего алгоритма.
Обратным числом для дроби ${7over{15}}$ будет число ${15over{7}}$.
Десятичная дробь
Куда интереснее способ нахождения обратного числа для десятичной дроби. Приведем небольшой алгоритм на примере нахождения числа, обратного для 3,14:
- Десятичную дробь нужно перевести в обыкновенную или, как в нашем случае, неправильную.
$$3,14=3 {14over{100}}=3 {7over{50}}=3*50+{7over{50}}={157over{50}}$$
- Как найти обратное число для неправильной дроби мы уже знаем:
Обратным для 3,14 является число ${50over{157}}$
- Проверка:
$$3,14*{50over{157}}=(3,14*50):157=157:157=1$$
Проверку нужно выполнять всегда. Причем важно именно проводить вычисления, а не писать ответ сразу, «для галочки». В простых выражениях это кажется не нужным, но именно на простых выражениях вырабатывается навык. Так, в последнем выражении вполне можно было ошибиться, например, не перевернуть дробь в самом конце расчета.
Что мы узнали?
Мы поговорили о взаимно обратных числах. Рассмотрели все варианты нахождения таких чисел, привели примеры взаимно простых чисел и указали на места возможных ошибок.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Слава Сырицин
5/5
-
Света Цыброва
5/5
Оценка статьи
4.5
Средняя оценка: 4.5
Всего получено оценок: 175.
А какая ваша оценка?
Числа, произведение которых равно (1), называют взаимно обратными.
Взаимно обратными являются числа:
59и9559⋅95=51⋅9191⋅51=1;173и317173⋅317=171⋅3131⋅171=1;113и13113⋅13=1⋅1313=1313=1.
Числу
cd
, где
c≠0
и
d≠0
, обратным является число
dc
.
Чтобы найти число, обратное смешанному, смешанное число представляют в виде неправильной дроби:
.
Обратным
813
будет число
325
.