Как найти число отсчетов

19.1. Дискретные сигналы

19.2. Спектр дискретного сигнала

19.3. Z-преобразование и его свойства

19.4. Дискретные цепи

19.5. Типовые звенья дискретных цепей

19.6. Дискретные фильтры и их синтез

19.7. Цифровые фильтры

19.8. Вопросы и задания для самопроверки

19.1. Дискретные сигналы

Дискретизация аналоговых сигналов. Сигнал – это физический процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряжения), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией.

Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы. Аналоговые сигналы описываются непрерывной во времени функцией x(t), которая может принимать любые значения в определенном интервале (рис. 19.1, а); дискретные сигналы x_Т(t) представляют собой последовательности или отсчеты функции x(t), взятые в определенные дискретные моменты времени kT (рис. 19.1, б); цифровыми являются сигналы, которые в дискретные моменты времени kT принимают конечные дискретные значения – уровни квантования (рис. 19.1, в), которые затем кодируются двоичными числами. (На рис. 19.1, в, D – шаг квантования).

Если в цепь микрофона (рис. 19.1), где ток i(t) является непрерывной функцией времени, встроить ключ и периодически на короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи будет иметь вид узких импульсов с амплитудами, повторяющими форму непрерывного сигнала. Последовательность этих импульсов, которые называют отсчетами непрерывного сигнала, и представляет собой, не что иное, как дискретный сигнал. Причем, во всех этих записях k – целое число, принимающее как положительные, так и отрицательные значения.

В отличие от непрерывного сигнала i(t) дискретный сигнал можно обозначить i_Т(t). Так, на рис. 19.1 при k < 0 дискретный сигнал i_Т(t) º 0. При k = 0 значение i_Т(0T) равно значению сигнала i(t) в момент времени t = 0. При k > 0 отсчеты i(kT) повторяют форму сигнала i(t), т. к. их амплитуды равны значениям непрерывного сигнала в моменты времени kT.

Дискретные сигналы можно задавать графиками, как это показано на рис. 19.1, формулами, например, , в виде таблиц дискретных значений или другими способами.

Цифровые сигналы будут рассмотрены в 19.7. Цифровые фильтры.

Математическая модель дискретного сигнала. Аналитически дискретный сигнал х_Т(t) удобно представлять с помощью дискретизирующей последовательности d-функций:

(19.1)

Тогда х_Т(t) можно представить в виде

(19.2)

т. е. дискретный сигнал х_Т(t) с помощью (19.2) представляется в виде последовательности d-функций с весовыми коэффициентами, равными отсчетам х(kT) аналогового сигнала х(t) в точках kT. На рис. 19.2 изображена схема, иллюстрирующая процедуру формирования дискретного сигнала согласно формулы (19.2).

Рассмотрим примеры некоторых дискретных сигналов, полученных из типовых аналоговых сигналов.

Пример. Единичный ступенчатый аналоговый сигнал 1(t) приведен на рис. 19.3.

Соответствующий ему дискретный сигнал x_T(t) называется ступенчатой последовательностью. Он определяется следующим образом:

Такая последовательность приведена на рис. 19.3.

Пример. Импульс Дирака или d-функция в аналоговой области приведена на рис. 19.4.

Дельта-последовательность или дискретная d-функция определяется выражением

Последовательность d_T(t), приведенная на рис. 19.4, принимает единственное значение, равное 1, при k = 0. Этот сигнал можно сдвинуть на m интервалов (рис. 19.4):

Интервал времени T, через который отсчитываются значения непрерывного сигнала i(t), называется интервалом дискретизации. Обратная величина 1/T (обозначим ее f_д) называется частотой взятия отсчетов или частотой дискретизации.

Отсчеты непрерывного сигнала следует брать с такой частотой (или через такой интервал времени), чтобы успевать отследить все, даже самые быстрые, изменения сигнала. Иначе, при восстановлении этого сигнала по дискретным отсчетам часть информации будет потеряна и форма восстановленного сигнала будет отличаться от формы исходного (рис. 19.5). Если обратиться к схеме рис. 19.1, то это означает, что звук на приеме будет восприниматься с искажениями.

Для сигналов с ограниченным спектром, т. е. сигналов, у которых спектр ограничен некоторой верхней частотой w_в = 2pF_в существует теорема Котельникова, определяющая выбор интервала дискретизации T (или, что то же, частоты дискретизации). Эта теорема впервые была доказана В.А. Котельниковым в 1933 г. в работе «О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи» ставшей основополагающей в теории и технике цифровой связи.

Теорема Котельникова. Если функция x(t) имеет спектр, ограниченный верхней частотой F_в, то x(t) полностью определяется последовательностью своих значений (отсчетов) в моменты времени, отстоящие друг от друга на период Т Ô 1/2F_в.

Математически теорема Котельникова записывается следующим образом

(19.3)

где w_в = 2pF_в; Т = 1/2F_в; x(kT) – значения (отсчеты) функции x(t) в моменты kT.

Доказательство теоремы Котельникова дается в общей теории связи. Здесь же отметим, что функция вида (t¢ = t – kT) известна нам как функция отсчетов, поэтому теорему Котельникова иногда называют еще теоремой отсчетов.

Физический смысл теоремы Котельникова (19.3) заключается в том, что непрерывная функция x(t) с ограниченным спектром F_в полностью может быть восстановлена, если известны ее отсчеты, взятые через интервал Т Ô 1/2F_в. Эта теорема играет очень большую роль в теории связи, т. к. позволяет передачу аналоговых сигналов заменить передачей дискретных или цифровых сигналов, что позволяет существенно повысить эффективность систем связи.

19.2. Спектр дискретного сигнала

Преобразование Фурье для дискретного сигнала. Определим связь между спектром X(jw) аналогового сигнала x(t) и спектром X_Т(jw) дискретного сигнала x_Т(t), определенного моделью (19.2). Учитывая, что x_Т(t) = x(t)f(t) согласно теоремы свертки (9.30) получим спектральную плотность дискретного сигнала

(19.4)

где X_f(jw) – спектральная плотность дискретизирующей последовательности (19.1).

Для нахождения X_f(jw) разложим f(t) в комплексный ряд Фурье (5.6):

(19.5)

где w_д = 2p/Т – частота дискретизации,

Отсюда согласно (9.42) получаем

(19.6)

Подставив (19.6) в формулу (19.4) после изменения порядка интегрирования и суммирования и с учетом фильтрующего свойства d-функции окончательно получим

(19.7)

Из (19.7) следует важный вывод: спектр дискретного сигнала x_T(t) (рис. 19.6 б) представляет собой сумму бесконечно большого числа «копий» спектра аналогового сигнала (рис. 19.6, а), расположенных на оси частот через одинаковые интервалы.

Следует отметь, что согласно (19.7) и рис. 19.6, б энергия спектра дискретного сигнала оказывается бесконечно велика, что является следствием идеализации реального сигнала моделью (19.2). Если же использовать вместо дискретизирующей последовательности (19.1) последовательность импульсов конечной энергии (например, прямоугольных импульсов), то получим спектр X_Т(jw), энергия которого убывает с ростом w («копии» X(jw) с ростом w уменьшаются). В то же время следует еще раз подчеркнуть, что представление дискретного сигнала в форме (19.2) существенно упрощает анализ дискретных сигналов и цепей и широко используется в расчетах.

Спектр дискретного сигнала X_Т(jw) можно найти и непосредственно из прямого преобразования Фурье (9.6) для дискретного сигнала (действует в момент t Õ 0).

Отсюда с учетом фильтрующего свойства d-функции получим прямое преобразование Фурье для дискретных сигналов.

(19.8)

и обратное преобразование Фурье:

(19.8)

На практике в формулах (19.8), (19.9) часто вместо зависимости X_Т(jw) рассматривают зависимости X_Т(jf), которые легко можно получить путем замены w = 2pf.

Пример. Рассчитаем спектр дискретного сигнала, состоящего из одного отсчета x_Т(t) = [a; 0; 0; 0; …].

Воспользуемся формулой (19.8), в которую подставим значения x_t(t) заданного сигнала

.

Пример. Рассчитаем спектр экспоненциальной дискретной функции x_Т(t) = 0,5^k, k 0.

График дискретной функции x_Т(t) приведен на рис. 19.7, а ее отсчеты можно записать в виде последовательности x{k} = {1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; …}.

Спектр дискретной экспоненты рассчитаем по формуле (19.8)

где для суммирования ряда использована формула

.

Используя формулу Эйлера , получим выражение для расчета спектра амплитуд X(f).

.

Для построения графика будем задавать значения f от 0 до 1/Т с шагом 0,1/T и рассчитывать X(f).

График спектра амплитуд X(f) экспоненциальной дискретной функции x_T(t) = 0,5^k приведен на рисунке 19.8.

Как видно из графика, спектр дискретного сигнала сплошной и периодический с периодом f_д = 1/Т.

Следует отметить, что если не выполняется условие теоремы Котельникова: f_д 2f_в, то спектры в (19.7) частично перекрываются. На рис. 19.9, рис. 19.10 показан характер изменения спектра дискретного сигнала X_T(f) при изменении частоты дискретизации сигнала x_T(t), ограниченного во времени интервалом T_с (рис. 19.9) и неограниченного во времени (рис. 19.10).

Как следует из представленных графиков увеличение периода дискретизации T > 1/2F_в; F_д < 2F_в приводит к наложению смежных спектров в (19.7), что приводит к наложению спектра Х_T(f). Эти искажения называются ошибками наложения. Чтобы их устранить необходимо частоту дискретизации увеличить до F_д 2F_в.

Пример. Рассчитаем интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше 100 кГц.

Из условия задачи следует, что граничная частота спектра F^в равна 100 кГц. Тогда в соответствии с теоремой Котельникова имеем интервал дискретизации

.

Минимально допустимая частота дискретизации f_д = 2F^в = 2×100 = 200 кГц.

Пример. Определим дискретные отсчеты сигнала длительностью t_и = 3 мс, приведенного на рис. 19.11, а, если в качестве граничной частоты спектра F^в принять значение 3/t_и, выше которого все значения спектральной плотности уменьшаются более чем в 10 раз по сравнению с максимальным.

Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, однако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким образом, чтобы отсекание частот превышающих F^в, привело к пренебрежимо малым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере.

Граничная частота спектра F^в = 3/t_и = 3/(3×10³) = 1 кГц.

Интервал дискретизации T = 1/(2F^в) = 1/(2×1×10³) = 0,5 мс.

Берем отсчеты сигнала, приведенного на рис. 19.11, а, через интервал времени T = 0,5 мс и получаем последовательность x{k} = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0}, изображенную графически на рис. 19.11, б.

Отметим, что аналоговый сигнал x(t) можно полностью восстановить по его дискретным отсчетам x(kT) с помощью ФНЧ, частота среза которого w_с = 0,5w_д = w_в. Этот вывод хорошо иллюстрирует рис. 19.10, а из которого видно, что спектр сигнала на выходе ФНЧ совпадает со спектром аналогового сигнала x(t).

Дискретное преобразования Фурье. Как следует из формулы (19.7) X_T(jw) имеет периодическую структуру с w_д = 2p/T. Причем, как и спектр аналогового сигнала X(jw) спектр дискретного сигнала X_T(jw) является сплошным (см. рис. 19.6, б). Вместе с тем при цифровой обработке сигналов используется не только дискретизация во времени, но и дискретизация в частотной области.

Для сигнала x(t) ограниченного во времени интервалом T_с (рис. 19.12, а) справедлива обратная теорема Котельникова, которая может быть получена из (19.3) путем заменыt ->w; w_в->T_с/2; Т-> Dw:

(19.10)

где Dw = 2p/T_с; T_с – длительность сигнала;X(nDw) – отсчеты спектра сигнала в частотной области.

Переходя к дискретному сигналу x_T(t) (рис. 19.12, б) отметим, что общее количество отсчетов сигнала будет равно

где T = 2p/w_д = p/w_в.

Дискретный спектр (рис. 19.12, е) может быть получен путем периодического повторения последовательности {x(kT)} с периодом T_с = NT (рис. 19.12, в). При этом частотный интервал между дискретными отсчетами спектра (рис. 19.12, е) составляет

(19.11)

С учетом вышеизложенного дискретное преобразование Фурье (ДПФ) можно получить, если в преобразовании (19.8) сделать замену w = nDw. Тогда получим

или с учетом (19.11)

(19.12)

где n = 0; ±1; ±2; ± … N/2.

Для упрощения записи аргумент nDw и kT обычно заменяют индексом n и k соответственно и опускают индекс T, при этом (19.12) примет вид

(19.13)

которое определяет прямое ДПФ.

С помощью (19.13) можно определить отсчеты спектра X(jn) по временным отсчетам сигнала x(k).

Обратное ДПФ можно получить из (19.13) воспользовавшись дуальностью прямого и обратного преобразований Фурье:

(19.14)

При k < 0 обратное преобразование Фурье определит x(k), расположенную слева от 0 (рис. 19.12, в).

Для ДПФ по аналогии с непрерывными преобразованиями Фурье справедливы основные теоремы и свойства.

В частности, свойство линейности

(19.15)

сдвиг дискретного сигнала:

(19.16)

т. е. сдвиг последовательности отсчетов сигнала на m интервалов приводит лишь к изменению фазового спектра дискретного сигнала.

Теорема свертки:

(19.17)

где N = N₁ + N₂; N₁, N₂ – число отсчетов х₁ и х₂ соответственно.

Аналогично можно записать и другие теоремы для ДПФ. Заметим, что ДПФ можно использовать для определения не только спектра дискретных сигналов, но и спектра аналоговых сигналов, для чего его необходимо дискретизировать согласно теоремы Котельникова (19.3).

Пример. Рассчитаем ДПФ дискретного периодического сигнала, заданного тремя отсчетами x{k} = {0; 1; 2}.

Для расчета воспользуемся формулой ДПФ (19.13).

Поскольку

, ,

то ,

.

Графики заданного дискретного периодического сигнала x(k) и рассчитанного дискретного периодического спектра амплитуд X(n) приведены на рис. 19.13.

Пример. Рассчитаем значения дискретного сигнала x(k), ДПФ которого имеет вид X[n] = {0; 1; 0; 1}.
Значения дискретного сигнала x(k) будем рассчитывать по формуле (19.14)

;

График последовательности x{k} = {0,5; 0; –0,5; 0} приведен на рис. 19.14. Сигнал x(k) дискретный и периодический.

Пример. Определить с помощью ДПФ спектр аналогового сигнала, изображенного на рис. 19.15, а.

Ограничим длительность сигнала T_c, где (рис. 9.15, а). Например, при T_c = 3/a, . Выберем число отсчетов N = 10, определим частоту дискретизации

Согласно (19.13) находим отсчеты спектра сигнала

и т.д.

В таблице приведены результаты расчета спектра,

а на рис. 19.15, б спектр сигнала X(jn). Следует отметить, что с увеличением T (уменьшение числа отсчетов N) погрешность аппроксимации x(t) увеличивается (см. рис. 19.5, а).

Как следует из вышеприведенных примеров и формул (19.13), (19.14), для вычисления ДПФ содержащих N отсчетов необходимо осуществить в общем случае N² операций с комплексными числами. Если длина обрабатываемых массивов достаточно велика, то вычисление ДПФ даже на современных быстродействующих ЭВМ занимает достаточно много времени. Для сокращения вычислений используют обычно алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Существует много разновидностей БПФ. Здесь мы рассмотрим один алгоритм, основанный на прореживании по времени.

Быстрое преобразование Фурье. Положим, что число отсчетов N = 2^q, где q – целое число. Разобьем дискретную последовательность отсчетов {x(k)} не две части:

четную {x(k)}_чт = {x(2k)}

и нечетную {x(k)}_нч = {x(2k + 1)}, где k = 0, 1, 2, … N/2 – 1.

Представим спектр (19.13) в виде

(19.18)

Из (19.18) следует, что

(19.19)

где n = 0, 1, 2, …, ((N/2) – 1).

Из (19.19) следует, что первая половина X(jn) (n = 0, 1, 2, …, (N/2) – 1) выражается через ДПФ двух частных последовательностей: X_чт(jn) и X_нч(jn). Вторую половину (n N/2) X(jn) можно найти, если учесть периодичность его четной и нечетной части с периодом N/2:

и соотношение (при n N/2):

при этом получим

(19.20)

Формула (19.19) и (19.20) лежит в основе БПФ. Как следует из этих формул для вычисления X_чт(jn) и X_нч(jn) требуется (N/2)² операций и для выполнения операции умножения на exp{×} – N операций:

(19.21)

Для ДПФ (19.13) требуется операций, что существенно выше, чем N_БПФ. Например, при N = 10³, получаем N_ДПФ = 10⁶, а N_БПФ ~ 250×10³, т. е. для БПФ требуется в четыре раза меньше операций, чем при ДПФ.

В общем случае число операций, необходимое в БПФ равно

(19.22)

и выигрыш по сравнению с ДПФ равно

(19.23)

и может достигать сотен и тысяч раз при достаточно больших входных массивах N.

В заключении отметим, что сам процесс вычисления по формулам (19.18), (19.19) производят по итерационному принципу: последовательность отсчетов с четными и нечетными номерами снова разбивают на две части и т. д. Процесс разбиения продолжается до тех пор, пока не получится последовательность, состоящая из одного элемента (исходного ДПФ). Более подробно с алгоритмами БПФ можно ознакомиться в специальной литературе (см. например, Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М. «Радио и связь. 1990).

19.3. Z-преобразование и его свойства

При анализе и синтезе дискретных и цифровых цепей широко применяют так называемое z-преобразование. Это преобразование играет такую же основополагающую роль по отношению к дискретным сигналам, как преобразование Лапласа по отношению к аналоговым сигналам.

Z-преобразование дискретного сигнала. Заменим в уравнении (19.8) jw на комплексную переменную p:

(19.24)

таким образом, мы получим изображение по Лапласу дискретного сигнала. Оригинал, т. е. сам дискретный сигнал можно определить с помощью обратного преобразования Лапласа (7.4):

(19.25)

Уравнение (19.25) определяет всю дискретную последовательность . Для определения одного, k-го отсчета формула (19.25) примет вид

(19.26)

Следует однако отметить, что X_T(p) является трансцендентной функцией переменной р вследствие наличия в (19.24) и (19.26) множителя e^±pkT.

Для перехода к рациональным функциям осуществим замену переменных:

(19.27)

Тогда формула (19.24) примет вид:

(19.28)

Равенство (19.28) называют прямым односторонним z-преобразованием.

Обратное z-преобразование определяется формулой:

(19.29)

где интегрирование осуществляется по окружности с радиусом |z| = 1.

Доказать справедливость (19.29) можно следующим образом. Пусть X(z) – функция комплексной переменной z, аналитическая в области |z| > r₀. Раскроем ряд (19.28):

(19.30)

Домножим левую и правую часть (19.30) на z^k–1:

(19.31)

Возьмем контурный интеграл от левой и правой части (19.31) вдоль кривой, лежащей целиком в области аналитичности и охватывающей все полюсы X(z) и учтем равенство Коши:

Тогда все слагаемые, кроме k-го обратятся в нуль:

Отсюда непосредственно следует (19.29), что и требовалось доказать.

Установим связь между точками на комплексной плоскости p = = a + jw и z-плоскости z = x + jy (рис. 19.16).

Если положить a = 0, то мы будем перемещаться по оси jw в плоскости р. При переходе в z-плоскость точки мнимой оси jw будут располагаться на единичной окружности z = e^jwT. Причем, точка j0 на р-плоскости переходит в точку z = +1 на вещественной оси z-плоскости, а точки – в точку z = –1. Это означает, что точки отрезка () р-плоскости проектируются в точки на единичной окружности z-плоскости. Так как функция e^±jwT периодическая, то последующие отрезки оси jw на p-плоскости такой же длины будут вновь проектироваться на единичную окружность.

Точкам левой р-полуплоскости соответствуют точки внутри единичной окружности z-плоскости, а точкам правой p-полуплоскости – точки вне этой окружности.

Пример. Рассчитаем z-преобразование дискретного сигнала x(k), имеющего вид

Воспользовавшись формулой (19.28), получим

.

Пример. Найдем z-преобразование X(z) дискретного экспоненциального сигнала x(k) = e^–akT.

Подставим значение x(k) в формулу (19.28), получим

.

Из теории рядов следует, что при выполнении условия |e^–aT×z^–1| < 1 сумма ряда X(z) равна 1/(1 – e^–aT×z^–1) или

.

Z-преобразование X(z) дискретного сигнала x(n) определено только для области z, в которой степенной ряд (19.28) сходится. Эта область сходимости включает в себя все значения z, находящиеся вне некоторого круга на комплексной z-плоскости, радиус которого называется радиусом сходимости (рис. 19.17), т. е. при r₀ < |z| < ¥ ряд сходится. В области сходимости существует взаимно однозначное соответствие между X(z) и x(k), т. е. каждому x(k) соответствует одно и только одно X(z), определенное для |z| > r₀ и наоборот.

Пример. Определим радиус сходимости для z-преобразования сигнала, заданного в предыдущем примере.

Как уже было установлено, z-преобразование сигнала x(k) = e^–akT имеет вид

.

Нуль функции X(z) будет в точке z₀ = 0, полюс – в точке z_k = e^–aT. Следовательно, радиус сходимости r₀ = e^–aT, а функция X(z) сходится при |z| > e^–aT.

Окружность, имеющая радиус сходимости r₀ = e^–aT, приведена на рис. 19.16. Область сходимости находится за пределами этой окружности.

Пример. Найдем z-преобразование сигнала x(k) = Aa^k, k 0. Этот дискретный сигнал показан на рис. 19.18 для трех различных значений a: а = 0,8; а = 1; а = –0,8.

В соответствии с (19.28) z-преобразование такого дискретного сигнала равно

. (19.32)

Из математики известно, что этот ряд сходится к функции

, (19.33)

если |az^–1| < 1 или |z| > a.

Функция X(z) имеет нуль при z = 0, а ее полюс z_n = a лежит на окружности радиусом R₀ = a, ограничивающей область сходимости.

На рис. 19.18 показано расположение нуля и полюса функции X(z) в z-плоскости при различных а.

Нахождение дискретного сигнала по его z-изображению. Для этого можно воспользоваться обратным z-преобразованием (19.29).

Другой способ заключается в том, чтобы разложить функцию X(z) в степенной ряд по степеням z^–1. Тогда коэффициенты при степенях z^–1 будут, в соответствии с формулой (19.28), отсчетами дискретного сигнала x(k).

Пример. Найдем дискретный сигнал x(k), которому соответствует z-преобразование X(z) = 1/(1 – 0,5z^–1).

Воспользуемся разложением функции (1 – q)^–1 в ряд: 1 + q + q² + q³ + ….

Для заданного z-преобразования q = 0,5z^–1, поэтому запишем z-преобразование в виде

.

Сравнивая полученное выражение с общей формулой z-преобразования

, получим последовательность

x{k} = {1; 0,5; 0,25; 0,125; …}.

Общий член этой последовательности x(k) = 0,5^k, k 0.

Пример. Найдем отсчеты дискретного сигнала по его z-преобразованию

.

Для разложения функции X(z) в степенной ряд по степеням z^–1 выполним деление числа 5 на многочлен . В результате получим частное . Отсчеты дискретного сигнала равны

и т. д.

Процедура деления здесь не приведена из-за ее громоздкости, хотя выражения полиномов, стоящих в числителе и знаменателе X(z), не слишком сложные.

Более эффективным способом нахождения x(k) по известному X(z) является способ подобный методу разложения на простейшие дроби в преобразованиях Лапласа.

Пример. Найдем общий член x_k дискретного сигнала x(k), которому соответствует z-изображение, заданное в предыдущем примере

.

Функция X(z) имеет полюсы в точках z₁ = 1/2 и z₂ = –1/3, или, что то же, в точках z₁^–1 = 2 и z₂^–1 = –3.

Разложим X(z) на сумму простых дробей:

.

Коэффициенты в числителях каждой дроби вычисляются так же, как при разложении входного сопротивления z(p) реактивных двухполюсников при синтезе их по схеме Фостера:

Подобно тому, как формула (19.33) представляет сумму ряда (19.32), простые дроби в (19.16) являются суммами рядов

и .

Поскольку z-преобразование – это линейная операция, то последовательность x(k) состоит из суммы двух последовательностей:

.

После выполнения операции возведения в степень k получим отсчеты дискретного сигнала

и т. д.

Свойства z-преобразования. Так же как и для преобразований Лапласа и Фурье, существуют теоремы для z-преобразования. Приведем наиболее важные теоремы одностороннего z-преобразования.

Теорема линейности (суперпозиции). Сумме дискретных сигналов соответствует сумма их z-изображений. Если дискретным сигналам x(k) и y(k) соответствуют z-изображения X(z) и Y(z), то

,

где a и b – некоторые числа.

Доказательство теоремы выполните самостоятельно, используя выражение (19.28) для расчета z-изображения дискретного сигнала.

Теорема опережающего сдвига. Если дискретному сигналу x(k) соответствует одностороннее z-преобразование X(z), то сигналу, сдвинутому на один интервал дискретизации, x(k + 1) соответствует z-преобразование z(X(z) – x(0)).
Математическая запись теоремы имеет вид

,

Чтобы доказать теорему, воспользуемся основным выражением (19.28) для расчета z-преобразования дискретных сигналов x(k) и x(k + 1), а также графиками, приведенными на рис. 19.19.

;

.

Сравнивая X(z) и X¢(z), получаем X¢(z) = z(X(z) –x(0)), что и требовалось доказать.

Очевидно, что теорема опережающего сдвига выполняет ту же самую роль, что и теорема дифференцирования для преобразований Лапласа.

Теорема задержки. Математическая запись теоремы имеет вид

.

В теореме задержки u(k) – это дискретные отсчеты функции единичного скачка (рис. 19.20)

а u(k – N) – это дискретные отсчет функции u(k), задержанной на N интервалов дискретизации (рис. 19.25).

Доказательство вытекает из основного выражения (19.28) для z-преобразования.

При доказательстве учтено, что единичная ступенчатая функция обращается в нуль при отрицательных значениях ее аргумента, т. е. при n < N. Из теоремы задержки в частности следует, что сдвиг дискретного сигнала на один интервал дискретизации T соответствует умножению z-преобразования на оператор z^–1, поэтому часто z^–1 называют оператором единичной задержки в z-области.

Теорема умножения на a^k. Математическая запись теоремы имеет вид

.

Теорема умножения на n.

.

Теоремы умножения дискретного сигнала x(k) на a^k и на k можно также доказать, используя формулу (19.28). Предлагаем проделать это самостоятельно.

Теорема свертки. Свертке дискретных сигналов x(k) и h(k) соответствует произведение их z-преобразований

.

Эту теорему мы приводим здесь без доказательства. При необходимости с ним можно познакомиться в специальной литературе.

Пример. Найдем z-преобразование функции единичного отсчета, задержанной на N интервалов дискретизации.

Найдем z-преобразование дискретного d-импульса d(k) (рис. 19.4), используя выражение (19.28)

.

Используя теорему задержки, найдем z-изображение сигнала d(k – N)

.

На рисунке 19.4 приведен также график задержанной функции единичного отсчета для частного случая N = 2.

Пример. Найдем z-преобразование функции

.

В одном из примеров мы уже находили, что z-преобразование сигнала a^k имеет вид (19.33) X(z) = 1/(1 – az^–1).

Используя теорему задержки, получаем

.

При a = 1 имеем:

.

Графики дискретных сигналов u(k – N) и a^k–Nu(k – N) приведены на рис. 19.21 и 19.22.

Пример. Найдем z-преобразование дискретной последовательности x(k) = = ka^k, k 0.

Поскольку z-изображение последовательности a^k известно (19.15), то, используя теорему умножения на k, получим

.

Пример. Найдем z-преобразование дискретной последовательности из N отсчетов единичной амплитуды (рис. 19.23)

Сигнал x(k) можно представить как разность двух сигналов

.

Из теорем линейности и задержки легко получить z-преобразование

,

что совпадает с формулой для частичной суммы геометрической прогрессии

.

Табл. 19.1 – Краткая таблица односторонних z-преобразований

Пример. Вычислим z-преобразование свертки дискретных сигналов x{k} = = {1; 1; 1; 0; 0; 0; …} и y{k} = {0; 0; 1; 1; 0; 0; …}.

Найдем z-преобразование сигнала x(k), используя формулу (19.28)

.

Найдем z-преобразование сигнала y(k)

.

Вычислим z-преобразование свертки сигналов x(k) и y(k), используя теорему свертки

В табл. 19.1 дана сводка z-преобразований наиболее часто встречающихся дискретных последовательностей. Эти табличные сведения также могут быть использованы для расчета z-преобразований сигналов и перехода от z-преобразований к дискретным сигналам.

Пример. Найдем общий член дискретного сигнала x(k), которому соответствует z-изображение

.

Разложение функции X(z) на простые дроби приводит к выражению

.

Используя теорему линейности и находя в таблице 19.1 дискретные сигналы, соответствующие каждому из слагаемых в выражении X(z), получаем

По этой формуле легко подсчитать значение x(k)для любого k. Аналогичным образом, разложение

приводит к последовательности

19.4. Дискретные цепи

Дискретная свертка. В предыдущих разделах этой главы бала установлена определенная аналогия между соотношениями, существующими для аналоговых и дискретных сигналов. Подобная аналогия существует и между методами анализа и синтеза аналоговых и дискретных цепей.

Под дискретной цепью понимают любое устройство, которое преобразует одну последовательность x{k} в другую y{k} (рис. 19.24).

Линейной дискретной цепью называют цепь подчиняющуюся принципу суперпозиции.

Связь между входным дискретным сигналом x{k} (воздействием) и выходным сигналом y{k} (отсчетом) определяется дискретной сверткой (сравни с (8.12)):

(19.35)

где h(k) – импульсная характеристика дискретной цепи. Она определяется как отклик дискретной цепи на воздействие в виде единичного импульса (d-функция, рис. 19.4).

Иногда свертку (19.35) записывают символически: y(k) = x(k)*h(k) (см. теорему свертки, 19.3. Z-преобразование и его свойства).

Линейная дискретная цепь, будет устойчива, если выполняется условие

(19.36)

Пример. Рассчитаем значения выходной последовательности y{k} цепи, имеющей дискретную импульсную характеристику h{k} = {–1; 1; 2}, если входная последовательность имеет вид x{k} = {–2; 1; 2: –1}. Графики x(k) и h(k) приведены на рис. 19.25.

Пользуясь формулой (19.35), рассчитаем значения выходной последовательности y(k)

График дискретного сигнала y(k) приведен на рис. 19.26.

Вычисления по формуле (19.35) можно выполнить также с помощью простого устройства. Запишем последовательности чисел x(k) и h(–k) на отдельных полосках бумаги, как показано на рис. 19.27. На обеих полосках пометим маленькими стрелочками точки k = 0. Обратим внимание на то, что h(–k) является обратной последовательностью относительно h(k), так что она строится в обратном направлении от k = 0. Будем сдвигать нижнюю полоску относительно верхней в направлении стрелки. Вычисление суммы произведений стоящих друг против друга чисел при каждом сдвиге дает последовательность y(k).

Проведя дискретизацию импульсной характеристики аналоговой цепи можно описать ее дискретной математической моделью. Если, например, для RC-цепи, изображенной на рис. 19.28 взять дискретные значения импульсной характеристики:

то получим дискретную математическую модель RC цепи, выходную реакцию которой можно найти с помощью (19.35). При этом, естественно входной сигнал также должен быть дискретизирован (рис. 19.28). Точно также можно получить дискретные модели других аналоговых цепей. Таким образом формула дискретной свертки (19.35) является достаточно универсальной, пригодной для описания как аналоговых, так и дискретных цепей.

Пример. На вход цепи поступает сигнал в виде дискретной d-функции. Рассчитаем выходные последовательности y(k) цепей, имеющих дискретные импульсные характеристики

а) h{k} = {1; 1; 0; 0; …};

б) h{k} = {1; –1; 0; 0; …};

в) h[k] = 2e^–k/².

Графики импульсных характеристик а), б), в) приведены на рис. 19.28.

Рассчитываем значения y(n),используя формулу (19.17)

y(n) =, в которой x(k) = d{k}.

Для цепи, имеющей дискретную импульсную характеристику

а) h{k} = {1; 1; 0; 0; …}, получаем

Все остальные значения y(n) будут также нулевыми.

Для цепи с импульсной характеристикой

б) h{k} = {1; –1; 0; 0; …} получаем

Остальные значения y(n) равны нулю.

Для цепи с импульсной характеристикой

в) h{k} = 2e^–k_/² = {2; 1,22; 0, 74; 0,45; 0,27; …} получаем

Все остальные отсчеты выходной последовательности y{k} повторяют соответствующие отсчеты дискретной импульсной характеристики h(k), также как и в двух предыдущих случаях а) и б). Этот вывод очевиден, т. к. импульсная характеристика – это реакция цепи на d-импульс.

Графики y(k) будут такими же, как графики h(k) на рис. 19.29, что является очевидным, т. к. h(k) по определению есть реакция цепи на d-функцию.

Элементы дискретных цепей. Как следует из уравнения (19.35) при вычислении реакции дискретной цепи на заданное воздействие выполняется всего три операции: умножение, задержка и сложение.

На рис. 19.30 эти действия представлены в виде элементов структурной схемы. Операцию умножения дискретного сигнала x(k) на число К можно представить в виде усилителя с коэффициентом усиления К. На его выходе получаем сигнал y(k) = K×x(k). Сложение чисел естественно отобразить на схеме в виде сумматора. Получение отсчета x(k – 1) = x(kT – T) из x(k) = x(kT) можно связать с задержкой последнего на время Т, т. е. на один «такт». Действие элемента задержки поясняется на рис. 19.30.

Таким образом, алгоритм вычислений дискретного сигнала y(k), описываемый выражением (19.35), можно представить в виде структурной схемы.

Пример. Составим структурную схему цепи, дискретная импульсная характеристика которой дана в предыдущей задаче, т. е. h{k} = {–1; 1; 2} (рис. 19.25).

В соответствии с алгоритмом (19.35) и с учетом заданных значений характеристики h(k) структурная схема цепи приведена на рис. 19.32. По этой схеме несложно определить выражение для выходной последовательности y(k) =–x(k) + x(k – 1) + 2x(k – 2).

Как следует из рис. 19.30 и рис. 19.31 общим свойством элементов дискретных цепей является их однонаправленное действие, показанное на рисунках стрелками. С точки зрения топологии, элементы дискретных цепей представляют собой двухполюсные (элемент задержки, умножитель) или многополюсные элементы (сумматор).

Общее уравнение дискретных цепей. Из уравнения (19.35), рассмотренных примеров и рис. 19.32 отклик дискретной цепи y(k) на воздействие х(k) можно записать в виде следующего уравнения

(19.37)
где a₀, a₁, a₂, …, a_N – некоторые числа (веса) представляющие собой по сути отсчеты импульсной характеристики цепи.

Уравнению (19.37) соответствует дискретная цепь, изображенная на рис. 19.33. В литературе эту цепь называют иногда трансверсальным фильтром.

Как следует из (19.37) для получения k-го отсчета выходного сигнала подвергаются обработке (k – N) отсчетов входного сигнала с соответствующими весовыми коэффициентами.

Следует однако отметить, что уравнением (19.37) не исчерпываются все возможные алгоритмы работы дискретных цепей. В частности, этот алгоритм может включать обработку не только отсчетов входного, но и отсчетов выходного сигнала, сдвинутого на определенное число тактов. Поэтому наиболее общее уравнение дискретной цепи имеет следующий вид

(19.38)

где b_l – весовые коэффициенты.

На рис. 19.34 изображена схема дискретной цепи, соответствующей алгоритму (19.38).

Принципиальным отличием схемы, изображенной на рис. 19.34 от схемы на рис. 19.33 является наличие цепи обратной связи, поэтому схемы, описываемые уравнением (19.38), получили название рекурсивных, а цепи, описываемые (19.37), – нерекурсивных.

Для нахождения реакции дискретной цепи необходимо решить разностные уравнения (19.37) и (19.38). Если решение (19.37) обычно не представляет особого труда, то для решения (19.38) необходимо использовать специальные методы. По аналогии с решением дифференциальных уравнений, описывающих аналоговую цепь, решение разностных уравнений можно осуществить как классическим, так и операторным методом. Обычно для решения разностных уравнений в теории дискретных цепей используется операторный метод, причем вместо преобразования Лапласа используют z-преобразование.

Передаточные функции. При анализе и синтезе дискретных систем важнейшую роль играют передаточные или системные функции цепей.

Применим к уравнению (19.38) прямое z-преобразование и учтя основные свойства z-преобразования (см. 19.3. Z-преобразование и его свойства), получим

Отсюда следует

(19.39)

Определим передаточную функцию дискретной цепи как отношение z-преобразований выходного ко входному дискретному сигналу:

(19.40)

Из (19.40) следует, что коэффициенты a_k числителя определяют нерекурсивную часть дискретной цепи, а коэффициенты b_l знаменателя – рекурсивную часть.

Для нерекурсивной цепи (M = 0) передаточная функция определится как

(19.41)

Передаточную функцию (19.41) можно определить как z-преобразование от импульсной характеристики цепи:

(19.42)

Сравнение (19.41) и (19.42) показывает, что роль коэффициентов a_k играют отсчеты импульсной характеристики h(k). Нетрудно также видеть, что импульсная характеристика нерекурсивной цепи согласно (19.37) является конечной, а рекурсивной согласно (19.38) бесконечной, поэтому иногда нерекурсивные дискретные цепи называют цепями с конечной импульсной характеристикой (КИХ), а рекурсивные – с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).

Пример. Положим, что передаточная функция дискретной цепи имеет вид

При a = 1; b = 0 получаем идеальный интегратор с импульсной характеристикой h{k} = {1, 1, …, 1, …}. По нерекурсивной схеме такую импульсную характеристику реализовать нельзя.

Анализ (19.40) показывает, что передаточная функция рекурсивной цепи имеет структуру, аналогичную типичной передаточной функции цепи с ОС (см. гл. 14). H(z) является дробно-рациональной функцией относительно z^–1:

Из (19.40) и (19.41) также следует, что H(z) из (19.40) имеет полюса (нули полинома знаменателя), которые могут располагаться в любой точке z-плоскости, а H(z) из (19.41) только полюс кратности N в начале координат.

Пример. Найдем передаточную функцию элемента задержки. Сигнал на его выходе описывается уравнением

Применив к нему z-преобразование, получим

Отсюда получаем

поэтому на структурных операторных схемах дискретных цепей элемент задержки обычно обозначают z^–1 (рис. 19.35).

Пример. Найдем импульсную характеристику и передаточную функцию дискретной цепи (рис. 19.36), выходная последовательность которой задана выражением y(k) = 4x(k) – 1,5x(k – 1).

Отсчеты дискретной импульсной характеристики h(k) – это отсчеты y(k), рассчитанные при условии, что на вход цепи подается дискретная d-функция, т. е. x{k} = d{k} = {1; 0; 0; …}.

,

,

при k > 1.

Таким образом, отсчеты дискретной импульсной характеристики h{k} = {4; –1,5} соответствуют коэффициентам усиления усилителей в схеме (рис. 19.36).

Для нахождения передаточной функции H(z) воспользуемся формулой (19.42):

.

Другой способ нахождения передаточной функции H(z) заключается в том, чтобы определить z-изображение выходной последовательности, а затем найти H(z) как отношение Y(z) и X(z):

или

.

Очевидно, что H(z) = 4 – 1,5z^–1. На рис. 19.37 приведено z-изображение этой дискретной цепи.

Пример. Найдем передаточную функцию дискретной цепи, входная и выходная последовательности которой имеют вид

x{k} = {1; 0; 1; 2}, y{k} = {0; 1; 2; 1}.

Z-изображения последовательностей

;

.

Следовательно, передаточная функция

.

Зная передаточную функцию дискретной цепи H(z) с помощью формулы

(19.43)

можно найти z-изображение выходного сигнала Y(z) по z-изображению входного Х(z).

Для нахождения отсчетов выходного сигнала y(k) по его z-изображению Y(z) можно точно также как и для аналоговых цепей использовать теорему разложения, которая применительно к дискретным цепям для правильной дробно-рациональной функции Y(z) = P(z)/Q(z) (где P(z), Q(z) – полиномы) имеет вид

(19.44)

где A_l – коэффициенты разложения Y(z):

z_l – простые полюса Y(z).

Коэффициент A_l может быть найден

– вычет функции Y(z) в полюсе z = z_l.

Следует отметить, что отсчеты y(k) для нерекурсивной цепи могут быть найдены как коэффициенты при отрицательных степенях z в уравнении для Y(z).

Пример. Найдем отсчеты выходного сигнала y(k) дискретной цепи, z-изображение которой приведено на рис. 19.38, а входной сигнал x{k} = {–2; 1; 2; –1}.

Найдем z-изображение входного сигнала x(k):

Передаточная функция цепи (рис. 19.38) . Она находится непосредственно по схеме либо как z-изображение дискретной импульсной характеристики h{k} = {–1; 1; 2}.

Найдем z-изображение выходного сигнала

Коэффициенты при z в отрицательных степенях в этом выражении являются отсчетами выходного сигнала y(k) (рис. 19.26):

y{k} = {2; –3; –5; 5; 3; –2}.

Пример. Найдем отсчеты выходного сигнала нерекурсивной дискретной цепи, имеющей дискретную импульсную реакцию h{k} = {1; –0,6; –1,5; 1}, при воздействии на нее дискретного сигнала x{k} = {1; 0; 1; 0}.

Отсчеты дискретной импульсной характеристики – это коэффициенты усиления a₀ = 1; a₁ = –0,6; a₂ = –1,5; a₃ = 1. Структурная схема нерекурсивной дискретной цепи с заданной импульсной реакцией приведена на рис. 19.39.

Выходной дискретный сигнал y(k) найдем, используя выражение (19.37)

Отсчеты сигнала y(k) найдем, подставляя значения x(k) в полученное разностное уравнение.

; ; .

;

Аналогичным образом рассчитываем y(4) = –1,5; y(5) = 1; y(6) = 0. Все остальные отсчеты также равны нулю.

Таким образом, выходная последовательность y{k} = {1; –0,6; –0,5; 0,4; –1,5; 1}. Графики x(k) и y(k) приведены на рис. 19.40.

Из рис. 19.34 следует, что для реализации алгоритмов рекурсивной обработки сигнала дискретная цепь должна иметь большое количество ячеек памяти, что существенно усложняет схему. Для упрощения дискретной цепи используют, так называемую каноническую схему. Каноническая схема может быть получена из (19.40), если представить Y(z) в виде:

(19.45)

где W(z) – z-преобразование промежуточной последовательности

(19.46)

Тогда согласно (19.45) алгоритм дискретной обработки сигнала заключается в том, что вначале реализуется рекурсивное преобразование (19.46), а затем нерекурсивное (рис. 19.41).

Пример. Найдем реакцию дискретной цепи на воздействие x{k} = {1; –1; 1; –1}, если передаточная функция цепи имеет вид .

Составим структурную каноническую схему дискретной цепи с заданной передаточной функцией (рис. 19.42). Коэффициенты усиления известны: a₀ = 1; a₁ = –1; a₂ = 1; b₁ = 0,5; b₂ = –0,5.

Найдем выходной сигнал y(k) цепи, используя уравнение (19.37) или непосредственно по схеме:

Рассчитаем отсчеты y(k):

;

;

Аналогичным образом рассчитываем y(3) = –1,125, y(4) = 1,3125 и т. д.

Устойчивость рекурсивных цепей. Дискретная цепь считается неустойчивой, если ограниченное по амплитуде входное воздействие вызывает на ее выходе бесконечно нарастающий отклик. Наоборот, дискретная цепь устойчива, когда отклик на ограниченное воздействие также ограничен.

Известно, что у устойчивой аналоговой цепи полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости переменной p. При переходе от аналоговой цепи к дискретной и замене преобразования Лапласа z-преобразованием точки левой полуплоскости p-плоскости переходят в точки, лежащие внутри единичной окружности z-плоскости (рис. 19.16). Таким образом, полюсы передаточной функции устойчивой дискретной цепи располагаются внутри единичной окружности z-плоскости.

Нерекурсивные цепи всегда устойчивы.

Пример. Определим устойчивость цепей, имеющих передаточные функции:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Полюс передаточной функции

найдем, приравняв знаменатель H₁(z) к нулю, 1 – 0,3z^–1 = 0.

Получаем полюс = 0,3, который находится внутри единичной окружности z-плоскости. Это означает, что цепь устойчива.

Передаточная функция

имеет полюс в точке = 2; такая цепь неустойчива.

Полюсы передаточной функции

являются комплексно-сопряженными и . Поскольку эти полюсы лежат внутри единичной окружности (их модули ), то данная дискретная цепь устойчива.

Примером неустойчивой цепи служит цепь с передаточной функцией

,

у которой и и .

Частотные характеристики. Для перехода от передаточной функции H(z) к частотной характеристике H(jf) необходимо произвести замену

.

Обычно вводят в рассмотрение нормированную частоту W = fT = = f_/f_д. С учетом этого формула (19.40) примет вид:

(19.47)

Из (19.47) легко получить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики дискретной цепи. В частности, амплитудно-частотная характеристика будет представлена выражением

(19.48)

Пример. Дискретная цепь 3-го порядка описывается передаточной функцией

с полюсами и . Расположение полюсов в плоскости z показано на рис. 19.43, а. Здесь же приведена структурная схема дискретной цепи (рис. 19.43, б). Определить АЧХ цепи.

Подставим в (19.49)

(19.48)

На рис. 19.44 изображен график АЧХ H(W) цепи. Из рисунка видно, что АЧХ с передаточной функцией (19.49) соответствует ФНЧ Баттерворта. Как и следовало ожидать, амплитудно-частотная характеристика дискретной цепи является периодической функцией (так как H(jW) есть преобразование Фурье от дискретной импульсной реакции). Ее период равен f_д = 1/T или W = f_д×T = 1. Поэтому она используется в диапазоне частот от 0 до 0,5f_д (или до W = 0,5). Цепь устойчива.

Пример. Найдем частотную характеристику дискретной цепи с импульсной характеристикой h{k} = {1,5; 1; 0,5}.

Запишем передаточную функцию H(z) цифрового фильтра, воспользовав-

шись формулой . Получим переда-

точную функцию нерекурсивной цепи.

Найдем АЧХ этой цепи, подставляя в формулу (19.48) значения коэффициентов усиления a₀ = 1,5; a₁ = 1; a₂ = 0,5,

График АЧХ изображен на рис. 19.45.

Пример. Изменим коэффициенты усиления в предыдущем примере. Выберем a₀ = a₂ = 1, a₁ = –2. Вновь найдем выражение H(W) и построим график его амплитудно-частотной характеристики.

Заменим в формуле для H(W), полученной в предыдущем примере, значения коэффициентов a₀, a₁ и a₂. Получим

.

График АЧХ изображен на рис. 19.46. Из графика видно, что нерекурсивная цепь с такими значениями коэффициентов усиления – это режекторный фильтр.

19.5. Типовые звенья дискретных цепей

Звенья 1-го и 2-го порядков. В литературе типовыми звеньями дискретных цепей считаются звенья 1-го и 2-го порядков. Они получаются из общей структуры рис. 19.41, если оставить в ней только один либо два элемента задержки.

На рис. 19.47, а показано звено 1-го порядка с передаточной функцией

и АЧХ

.

Типовое звено 2-го порядка изображено на рис. 19.47, б. Его передаточная функция

и АЧХ

Пример. Построим график АЧХ звена первого порядка, у которого a₀ = 1, a₁ = 0.

Передаточная функция такого звена первого порядка

Амплитудно-частотная характеристика

Поскольку полюс z_n передаточной функции H(z) равен b₁, то для того, чтобы цепь была устойчивой необходимо выбирать значения b₁ такими, чтобы выполнялось условие |b₁| < 1.

На рис. 19.48 приведены графики АЧХ, построенные для значений b₁ = 0,5 и b₁ = –0,5.

АЧХ рассматриваемого фильтра зависит от знака коэффициента b₁. При b₁ > 0 получаем режекторный фильтр, при b₁ < 0 – полосовой.

Пример. Найдем передаточную функцию и построим график АЧХ звена 2-го порядка (рис. 19.47, б) при a₀ = a₂ = 1, a₁ = 2, b₁ = 0,2 и b₂ = –0,4.

Передаточная функция такого звена

.

Как указывалось ранее, рекурсивную цепь с прямыми и обратными связями можно представить как каскадное соединение рекурсивного фильтра с передаточной функцией H₁(z) и нерекурсивного фильтра с передаточной функцией H₂(z). В нашем случае, для звена второго порядка,

График АЧХ для H₂(z) уже был построен и приведен на рис. 19.46. АЧХ H₁(W) рекурсивного фильтра рассчитывается по формуле

.

Графики H₁(W), H₂(W) и H(W) = H₁(W)×H₂(W) изображены на рис. 19.49.

Соединение типовых звеньев. Типовые звенья могут соединяться каскадно (рис. 19.50, а); при этом их передаточные функции перемножаются:

,

где H₁, H₂, H₃ – передаточные функции звеньев.

При параллельном соединении звеньев (рис. 19.50, б) общая передаточная функция определяется как

.

Соединение, показанное на рис. 19.50, в, называют включением цепи H₂ в обратную связь цепи H₁, причем

.

Следует иметь в виду, что все соединения, изображенные на рис. 19.50, справедливы не только для типовых звеньев, но и для любых других структур.

Пример. Найдем передаточные функции при различных способах соединения рекурсивной и нерекурсивной цепей, имеющих и .

При каскадном соединении этих цепей

;

при параллельном соединении

;

при включении цепи H₂ в обратную связь цепи H₁

.

Пример. Найдем передаточную функцию дискретной цепи, изображенной на рис. 19.51.

Цепь, приведенная на рис. 19.51, представляет собой каскадное соединение типовых звеньев 1-го и 2-го порядков. Передаточная функция соединения имеет вид

.

Подставляя в выражение для H(z) заданные значения коэффициентов усиления a₀ = 1, a₁ = 0,5, b₁ = –1 и = 0,5, = 1,5, = –1,2, = –0,2, = 0,4, получаем

.

19.6. Дискретные фильтры и их синтез

Постановка задачи и этапы синтеза. Дискретная цепь может осуществлять любые операции: фильтрацию сигнала, корректирование характеристик и т. п., т. е. выполнять функции любой аналоговой цепи.

В частности, при синтезе дискретных частотных фильтров нужно найти такие коэффициенты передаточной функции (19.40), или (19.41), частотная характеристика которой удовлетворяла бы нормам ослабления фильтра в полосах пропускания и непропускания (рис. 19.52, а). Определение коэффициентов – это задача аппроксимации. Известен целый ряд методов ее решения. Наиболее распространенным является следующий метод. Сначала рассчитывают аналоговый НЧ-прототип и получают его передаточную функцию H(p), затем путем замены комплексной переменной p = Ф{z} переходят от H(p) к передаточной функции дискретной цепи H(z).

Использование стандартного преобразования z = e^pT или p = не приведет к дробно-рациональной функции. Поэтому для ФНЧ применяют билинейное преобразование

. (19.50)

(g – некоторый постоянный множитель), которое является первым приближением стандартного преобразования при разложении его в ряд Тейлора:

. (19.51)

Из разложения (19.51) следует, что необходимо выбирать . Однако, далее мы покажем, что удобнее брать другие значения коэффициента g.

Билинейное преобразование (19.50) переводит все точки из левой полуплоскости переменной p в точки на единичной окружности плоскости z. Так что, если была устойчива аналоговая цепь, будет устойчивой и дискретная. Подтвердим эти утверждения на примере.

Пример. Найдем положения точек на z-плоскости, соответствующих следующим значениям переменной p: p₁ = –2; p₂ = –2 + j2; p₃ = j2.

Из формулы (19.50) найдем выражение для расчета z:

.

Подставляя в эту формулу значение полюса p = p₁ = –2, лежащего в левой полуплоскости плоскости p, получаем

.

Поскольку g – число вещественное и положительное, то числитель (g – 2) меньше знаменателя (g + 2), и значит z < 1, т. е. точка z лежит внутри единичной окружности, что говорит об устойчивости цепи.

При p = p₂ = –2 + j2 получаем

.

Найдем модуль z

.

Он меньше единицы, поскольку модуль числителя меньше модуля знаменателя, т. е. точка z также лежит внутри единичной окружности.

При p = p₃ = j2 получаем

.

Модуль z равен 1, т. е. точка p = j2, лежащая на мнимой оси плоскости p, переходит в точку на единичной окружности плоскости z при использовании билинейного преобразования.

Переход к аналоговому прототипу применяется обычно для дискретных фильтров, имеющих бесконечную импульсную характеристику h(k), принимающую ненулевые значения на бесконечном множестве значений k = 0, 1, … .

Дискретные цепи с конечной импульсной характеристикой, принимающей ненулевые значения лишь при k = 0, 1, …, N – 1, не имеют аналогов среди пассивных электрических фильтров, поэтому для их расчета применяются другие методы.

Нерекурсивные фильтры с передаточной функцией (19.42) всегда имеют конечные импульсные характеристики. Рекурсивные фильтры с передаточной функцией (19.40) могут иметь как конечные, так и бесконечные импульсные характеристики.

Пример. Найдем дискретные импульсные характеристики фильтров, имеющих передаточные функции

, ,

.

Дискретная импульсная характеристика h(k) связана с передаточной функцией обратным z-преобразованием (см. формулу (19.29)):

,

т. е. . Нерекурсивной цепи с передаточной функцией H₁(z) соответствует h{k} = {2; 0,5; –3}, т. е. это фильтр с конечной импульсной характеристикой.

Импульсная характеристика цепи с передаточной функцией H₂(z) рассчитывается по формуле h(k) = 0,5^k, т. е. это рекурсивный фильтр с бесконечной импульсной характеристикой.

Отсчеты импульсной характеристики рекурсивной цепи с передаточной функцией H₃(z) будут конечными и равными 1 только для k = 0, 1, 2, 3, 4, а для k 5 h(k) = 0. Значит этот рекурсивный фильтр имеет конечную импульсную характеристику.

Требования к аналоговому фильтру-прототипу. Следует иметь в виду, что частотная характеристика аналогового фильтра определена на всей положительной полуоси частот, в то время как у дискретного фильтра она имеет тот же смысл только до частоты 0,5f_д, затем она периодически повторяется (рис. 19.44). Ясно, что шкала частот дискретного фильтра оказывается деформированной относительно шкалы частот аналогового фильтра. Соответствие этих шкал легко установить из билинейного преобразования (19.50). Перепишем его в виде:

. (19.53)

Обозначим, во избежание путаницы, нормированную частоту для аналогового фильтра-прототипа W_а, обычную (т. е. ненормированную) частоту для дискретного фильтра будем, как и ранее, обозначать буквой f, а нормированную – буквой W. Теперь заменим в (19.53) комплексную переменную p на jW_а, а комплексную переменную z на и установим соответствие между частотами f (или W) и W_а:

.

Отсюда легко получить, что

или

. (19.54)

При изменении частоты f от 0 до 0,5f_д, или нормированной частоты W от 0 до 0,5, нормированная частота W_а в шкале аналогового прототипа будет пробегать значения от 0 до бесконечности (рис. 19.52).

Во многих справочниках по расчету фильтров граничная частота полосы пропускания принимается равной W_ап = 1. Чтобы частота f_п (или W_п) дискретного фильтра пересчитывалась в W_ап = 1 (рис. 19.52, б), из (19.54) ясно, что коэффициент g нужно взять равным:

. (19.55)

Пример. Рассчитаем дискретный ФНЧ с параметрами: f_д = 8 кГц; f_п = = 1 кГц; f_з = 3 кГц; DA = 1,4 дБ; A_min = 40 дБ.

По формуле (19.55) находим и по формуле (19.54) определяем нормированную граничную частоту полосы непропускания W_аз аналогового НЧ-прототипа:

W_аз = .

Тем самым, произведен пересчет требований, предъявленных к дискретному фильтру (рис. 19.52, а) в требования к аналоговому НЧ-прототипу (рис. 19.52, б).

Расчет аналогового НЧ-прототипа. Исходными данными для расчета являются требования к НЧ-пототипу (рис. 19.52, б). По ним, пользуясь любым справочником, рассчитывают передаточную функцию фильтра-прототипа.

Пример. Для W_аз = 5,82, A_min = 40 дБ и DA = 1,4 дБ, (параметры ФНЧ, взятые из примера), пользуясь справочником Христиана Э., Эйзенмана Е. «Таблицы и графики по расчету фильтров» М.: Связь, 1975, находим, что

. (19.56)

Реализация рекурсивного фильтра. Для перехода от аналогового фильтра к дискретному воспользуемся заменой переменных (19.50)

.

В результате получаем H(z) в виде дробно-рациональной функции, которая может быть реализована.

Пример. От передаточной функции (19.56) аналогового фильтра-прототипа перейдем к передаточной функции H(z) дискретного фильтра.

Подставим в выражение (19.56) значение

.

Получим

Дискретный фильтр можно реализовать в виде каскадного соединения типовых звеньев 1-го и 2-го порядка. Для этого функцию H(z) перепишем в виде:

Схема фильтра, имеющего такую передаточную функцию, приведена на рис. 19.53. Амплитудно-частотная характеристика , рассчитанная на основании формул для АЧХ типовых звеньев, показана на рис. 19.54 (кривая 1).

Аналогичным образом производится расчет фильтров со всплесками ослабления (нулями передачи).

Пример. Найдем передаточную функцию дискретного фильтра НЧ с АЧХ, равноволновой в полосе пропускания и со всплеском ослабления в полосе задерживания. Параметры фильтра: f_д = 32 кГц; f_п = 6 кГц; f_з = 8,8 кГц; DA = = 1,5 дБ; A_min = 30 дБ.

Определяем: и

W_з . Далее находим

и

W_аз .

По справочнику рассчитываем

и с помощью подстановки

переходим к H(z)

Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра показана на рис. 19.54 (кривая 2).

Синтез фильтров с конечной импульсной характеристикой. Если известна передаточная функция H(z) дискретного фильтра, то для реализации фильтра с конечной импульсной характеристикой h(k), равной нулю везде кроме , поступают следующим образом. Амплитудно-частотную характеристику H(W) фильтра дискретизируют, разбивая частотный интервал W = 0 ¸ 1 на N равных интервалов. В результате получают последовательность отсчетов АЧХ на N частотах , т. е. , . Поскольку , то, подставляя эту последовательность в формулу обратного дискретного преобразования Фурье (19.14), получаем выражение для дискретной импульсной характеристики h(k) фильтра

(19.57)

Как известно, конечную импульсную характеристику имеют нерекурсивные фильтры. Это значит, что полученные отсчеты дискретной импульсной характеристики h(k) являются коэффициентами усиления a₀, a₂, …, a_N–1 в схеме нерекурсивного фильтра, приведенной на рис. 19.33.

Пример. Найдем импульсную характеристику h(k) фильтра нижних частот, имеющего граничную частоту полосы пропускания W = 0,1, и АЧХ, приведенную на рис. 19.55. Импульсную характеристику будем рассчитывать для значения N = 30.

В формуле (19.57) для расчета h(k) используются комплексные значения передаточной функции. Если выбрать значения H[n_/N], показанные на рис. 19.55 (H[n_/N] = 1 в полосе пропускания и H[n_/N] = 0 в полосе непропускания) и фазу передаточной функции argH[n_/N], равную нулю, то передаточная функция будет иметь заданные значения в точках W = n_/N, но очень сильно отличаться от требуемой формы на частотах W между этими точками.

Гораздо лучшие результаты получаются, если выбрать argH[n_/N] = . Выбор такой фазы эквивалентен тому, что H[n_/N] вместо 1 в полосе пропускания. Такой передаточной функции соответствует АЧХ, изображенная на рис. 19.56. Подстановка значений H[n_/N] в формулу (19.34) позволяет получить выражение для расчета h(k):

График конечной импульсной характеристики h(k) изображен на рис. 19.57.

Для реализации фильтра с такой импульсной характеристикой по схеме рис. 19.33 потребуется 30 усилителей и 29 элементов задержки, т. е. схема довольно громоздкая. Схема с обратными связями, реализующая АЧХ, изображенную на рис. 19.55, будет иметь гораздо меньше элементов. Однако достоинством нерекурсивных фильтров с конечной импульсной характеристикой является то, что они всегда устойчивы и, кроме того, обеспечивают линейные фазовые характеристики.

Синтез дискретных фильтров верхних частот, полосовых и режекторных. Требования к любому типу фильтра преобразуются в требования к аналоговому ФНЧ-прототипу. Затем рассчитывается аналоговый прототип, как это показано выше, и с помощью замены переменных переходят от H(p) к H(z).

Конечно, формулы замены переменных уже не такие, как для ФНЧ. Они приведены для разных типов фильтров в табл. 19.2. Требования к дискретным фильтрам графически изображены на рис. 19.59.

Пример. Определить передаточную функцию дискретного полосового фильтра с параметрами: f_д = 140 Гц; f_п1 = 15,5 Гц; f_п2 = 30 Гц; f_з1 = 7,75 Гц; f_з2 = 60 Гц; DA = 0,5 дБ; A_min = 40 дБ.

Определяем:

W_п1 = 15,5/140 = 0,110714; W_п2 = 30/140 = 0,214286;

W_з1 = 7,75/140 = 0,055357; W_з2 = 60/140 = 0,428571;

= 2,964087;

;

W¢_аз ;

W²_аз ;

W_аз .

По данным W_аз = 3,38, DА = 0,5 дБ и A_min = 40 дБ из справочника находим

Передаточную функцию H(z) найдем, используя подстановку

и разлагая каждый из двух полиномов четвертой степени (в знаменателе H(z)) на множители (полиномы второй степени):

Таблица 19.2 – Формулы замены переменных для различных

19.7. Цифровые фильтры

Функциональная схема цифрового фильтра. В отличие от дискретных фильтров в цифровом фильтре (ЦФ) осуществляется обработка цифровых сигналов (рис. 19.1, в). На рис. 19.60 изображена функциональная схема цифровой обработки аналоговых сигналов. Аналоговый сигнал x(t) подается на аналого-цифровой преобразователь (АЦП), где осуществляется дискретизация, квантование непрерывного сигнала и его кодирование. В результате на выходе АЦП формируется цифровой сигнал, представляющий собой последовательность двоичных чисел с фиксированным количеством разрядов.

Например, если отсчет имеет величину 30 В, то запись числа в двоичном 8-разрядном коде будет такой: 00011110. Закодированные в двоичном коде отсчеты на выходе кодера АЦП на рисунке обозначены . Далее двоичная последовательность поступает на вычислительное устройство (ВУ), которое представляет собой универсальную или специализированную микро ЭВМ, микропроцессорное или любое другое вычислительное устройство. Главное состоит в том, что в памяти ВУ должна быть записана программа вычисления, например, выражение (19.35), и отсчеты импульсной реакции, заданной цепи. Следовательно, в результате работы программы ВУ будет выдавать закодированные в двоичном коде отсчеты . Далее двоичная выходная последовательность поступает на вход цифро-аналогового преобразователя (ЦАП), содержащий декодер и интерполятор. В ЦАП осуществляется декодирование сигнала, в результате формируется дискретный выходной сигнал y(kT) и после интерполяции на выходе ЦАП получаем выходной аналоговый сигнал y(t).

Как видим, ВУ может сыграть роль реальной цепи. И хотя самой физической цепи в наличии может и не быть, а задана она будет лишь в виде отсчетов импульсной реакции и программы вычислений, мы будет наблюдать на выходе описанной системы такое же выходное напряжение y(t), как и на выходе реальной цепи.

Следует отметить, что при цифровой обработке ЦАП может и отсутствовать, если выходной сигнал надо получить в цифровой форме.

Аналогово-цифровое преобразование сигналов. Как следует из рис. 19.60 АЦП осуществляет дискретизацию аналогового сигнала, его квантование по уровню с шагом D (рис. 19.1, в) и кодирование. Обычно процесс квантования осуществляется одновременно с его кодированием, в результате на выходе АЦП получаем сигнал, представленный в некотором цифровом коде.

Одним из основных параметров кода является его основание, соответствующее выбранной системе счисления. Близко к оптимальным реализуются двоичные или бинарные коды, которые нашли наибольшее распространение в связи.

Известно большое количество различных устройств преобразования непрерывного сообщения в бинарный код. Все их можно разбить на три основные группы: преобразователи последовательного счета, поразрядного кодирования и преобразователи считывания. Наибольшее применение в связи нашли преобразователи первых двух типов.

Принцип действия преобразователя последовательного счета с временным преобразованием иллюстрируется схемой изображенной на рис. 19.61 и временными диаграммами на рис. 19.62.

Кодирование в данной схеме осуществляется следующим образом. Аналоговый сигнал после дискретизации и квантования x_ц(t) поступает на вход широтно-импульсного модулятора (ШИМ), на выходе которого формируются прямоугольные импульсы ширина которых пропорциональна отсчету сигнала x_ц(t) в моменты kT (рис. 19.62). Далее этот ШИМ-сигнал подается на схему «И», на второй вход которой поступают импульсы с генератора тактовой частоты (ГТИ). На выходе схемы «И» формируются импульсы, число которых в «пачке» пропорционально ширине импульса. Эти импульсы поступают в двоичный счетчик, где число их фиксируется в двоичной системе счисления. Задним фронтом ШИМ-импульса запускается устройство считывания результата, с выхода которого кодовая комбинация поступает в ВУ. Считывание может осуществляться последовательно или параллельно (последовательный или параллельный код).

На рис. 19.62 приведен вид кодовой группы на выходе при последовательном считывании. Для возвращения двоичного счетчика в исходное состояние на него через линию задержки ЛЗ с t_з = t_счит подается сигнал сброса, формируемый задним фронтом ШИМ-импульса. С приходом следующего измерительного импульса работа кодера повторяется.

Аналогичным образом можно кодировать и амплитудно-модулированную импульсную последовательность (кодер последовательного счета с частотным преобразованием). Для этого АИМ-сигнал подается на ЧМ-генератор (мультивибратор), и осуществляется счет импульсов этого генератора за фиксированные промежутки времени по рассмотренной выше схеме.

В преобразователях поразрядного кодирования производится последовательное сравнение выходного сигнала с набором эталонных напряжений, каждое из которых соответствует определенному разряду кода. В качестве эталонных напряжений используется геометрическая прогрессия вида

где N – число разрядов в бинарном коде. Причем E > u_max, где u_max – максимально возможное значение кодирующего сигнала.

При поразрядном кодировании вначале формируется старший разряд кода путем сравнения u(t) с (например, если , то формируется символ «1», в противном случае – «0»). Одновременно на выходе схемы сравнения образуется напряжение при или u(t) при . Затем указанная процедура повторяется с полученным напряжением для эталонного напряжения и т. д. В результате N сравнений получается символ самого младшего разряда.

Шумы квантования. При квантовании сигнала минимальный шаг квантования D (расстояние между смежными разрешенными уровнями) соответствует единице младшего двоичного разряда. Причем, поскольку при квантовании происходит округление значений сигнала до ближайшего дискретного уровня, то появляются ошибки округления . Если x(t) известен неточно, то e – является случайной величиной и при малом D распределено по равномерному закону. Последовательность значений ошибки e, возникающей при квантовании дискретного сигнала x(kT) образует дискретный случайный процесс e(kT) называемый шумом квантования (рис. 19.63).

Дисперсия шума квантования определяется для равномерного закона распределения p(e) формулой

(19.58)

Если шаг квантования D мал, то соседние значения e(kT) можно считать некоррелированными.

Шум квантования является одним из главных источников погрешности цифровой обработки сигнала. Шум на выходе цифрового фильтра x(kT) при условии некоррелированности отсчетов e(kT) можно определить согласно (19.35)

(19.59)

Откуда с учетом (19.59) получим для дисперсии шума на выходе цифрового фильтра:

(19.60)

Поскольку для ЦФ обычно выполняется условие (19.36),то дисперсия шума квантования на выходе всегда конечна.

Ошибки округления. При обработке цифрового сигнала в ВУ возникают дополнительные ошибки округления (усечения). Действительно, если при использовании в ВУ чисел с фиксированной запятой сложение чисел не приводит к увеличению разрядов, то при умножении число разрядов возрастает и возникает необходи
мость округления результата, что естественно приводит к ошибкам называемым ошибками округления. По своему характеру эти ошибки аналогичны шуму квантования. Для их учета обычно в схему ЦФ дополнительно вводят источники шума e_i(kT), число которых равно числу умножителей. На рис. 19.64 изображена схема рекурсивного ЦФ звена 1-го порядка с учетом источников шума округления.

Источники шума e(kT) имеют одинаковую дисперсию s² = , где D определяется числом используемых разрядов. Если принять, что источники e₀(kT), e₁(kT) и e₂(kT) независимы, то дисперсия суммарного шума округления будет равна

Для другой схемы реализации ЦФ результирующая вычисляется в зависимости от того, куда будет подключен источник шума e(kT) и в общем случае может быть найден по формуле (19.60) или с учетом равенства Парсеваля

(19.61)

из уравнения

(19.62)

Пример. Определить дисперсию шума на выходе ЦФ 1-го порядка с передаточной функцией

Для нахождения воспользуемся формулой (19.62):

Кроме ошибок квантования и округления при синтезе ЦФ возникают ошибки, вызванные неточными значениями параметров фильтра. Эти ошибки особенно опасны в рекурсивных фильтрах высокого порядка, т. к. могут привести к потере устойчивости ЦФ, поэтому обычно используют звенья 1-го и 2-го порядков (см. § 19.5). Кроме рассмотренных выше при синтезе ЦФ возникают еще ряд дополнительных явлений, приводящих к погрешности цифровой фильтрации. К ним, например, относятся так называемые предельные циклы низкого уровня, представляющие собой периодические колебания, возникающие на выходе ЦФ при низком входном сигнале и обусловленные округлением результатов вычисления. Все эти явления и ошибки подробно исследуются в специальной литературе.

Цифро-аналоговое преобразование. Преобразование цифровых сигналов в аналоговый осуществляется с помощью различных цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП). В основе простейшего ЦАП лежит принцип двоично-взвешенного суммирования напряжений или токов. На рис. 19.65 изображены схемы простейших ЦАП на базе резистивных цепей.

В ЦАП с двоично-весовыми резисторами (рис. 19.65, а) требуется меньшее число резисторов, однако при этом необходим целый ряд номиналов прецизионных сопротивлений. Аналоговое выходное напряжение U_ан ЦАП определяется как функция двухуровневых входных напряжений:

На цифровых входах U_А, U_В, U_С … напряжение может принимать лишь два фиксированных значения, например, либо 0, либо 1.

Для ЦАП, в котором используются резисторы R и , требуется больше резисторов (рис. 19.65, б), но только с двумя номиналами. Аналоговое напряжение на выходе такого ЦАП определяется по формуле

где n – число разрядов ЦАП; m – коэффициент, зависящий от числа разрядов ЦАП.

Для обеспечения высокой точности работы резистивные цепи ЦАП должны работать на высокоомную нагрузку. Чтобы согласовать резистивные цепи с низкоомной нагрузкой, используют буферные усилители на основе операционных усилителей, показанные на рис. 19.65, а, б.

Интерполяторы. На выходе ЦАП сигнал обычно имеет форму последовательности импульсов модулированных по амплитуде (АИМ-сигнал). Для восстановления (демодуляции) из АИМ-последовательности аналогового сигнала достаточно использовать ФНЧ с частотой среза w_с = 2p/Т, где Т – частота дискретизации АИМ-сигнала. Существуют и более сложные интерполирующие устройства, которые описаны в специальной литературе.

В заключении следует отметить, что в связи с бурным развитием вычислительной, микропроцессорной техники цифровые методы обработки сигналов получают все большее распространение. Они имеют более широкие возможности реализации сложных и эффективных алгоритмов обработки сигналов, которые в большинстве своем недоступны для реализации аналоговыми цепями.

19.8. Вопросы и задания для самопроверки

1. Почему нельзя произвольно выбирать интервал дискретизации?

2. Найдите спектр дискретного сигнала, состоящего из одного отсчета x{k} = {2}.

3. Каким должно быть соотношение между интервалом дискретизации спектра по частоте DF и периодом повторения Т_с сигнала?

4. Найдите частоту дискретизации и интервал дискретизации сигнала, имеющего спектр, ограниченный частотой F_в = 10 кГц.

5. Найти дискретную свертку сигналов x₁{k} = {1; 1} и x₂{k} = {0,5; 0,5; 0,5}. Ответ: x₁{k} *x₂{k} = {0,5; 1; 1; 0,5}.

6. Вычислить реакцию дискретной цепи с импульсной характеристикой h(k) на входной дискретный сигнал x(k):

а) h{k} = {2; 1; 0,5}, x{k} = {0,5; 0,5}

б) h{k} = {2; 2; 2}, x{k} = {1; 1; 1}.

Ответ: а) y{k} = {1; 1,5; 0,75; 0,25} б) y{k} = {2; 4; 6; 4; 2}. 7. Найти z-преобразование дискретных сигналов а) = {3; 2; 1} б)

в) .

Ответ: а) б) в) .

8. Найти z-преобразование дискретного сигнала x₃(k), равного сумме сигналов x₁{k} = {1; 0; 1; –1} и x₂{k} = {2; 1; 0; 1}

Ответ: .

9. Найти дискретные сигналы x(k), имеющие z-преобразования а) б) . Ответ: а) x{k} = {1; 2; 0; 4} б) x{k} .

10. Найти ДПФ дискретного сигнала x{k} = {0,5; 0,25; 0,0625}. Построить спектр амплитуд и спектр фаз дискретного сигнала. Ответ: X{n} = {1,875; 0,838; 0,625; 0,838} argX{n} = {0; –0,464; 0,0464}.

11. Найти отсчеты дискретных сигналов x(k), имеющих спектры а) X{n} = {4; 0; 0; 0} б) X{n} = {0; 4; 0; 0}. Ответ: а) x{k} = {1; 1; 1; 1}

б) = {1; 1; 1; 1}, .

12. Записать разностные уравнения для дискретных цепей, структурные схемы которых приведены на рис. 19.66. Ответ: а) б) в) . 13. Записать передаточные функции цепей, приведенных на рис. 19.66, и определить их импульсные характеристики. Ответ: а) , h{k} = {1; –0,5; 2}

б) ,

h{k} = {1; 0,5; –0,75; –0,875; …}

в) , h{k} = {2; 0,5; 1,75; –0,625; …}.

14. Рассчитать отсчеты y(0), y(1) и y(2) выходных сигналов цепей, приведенных на рис. 19.66, если входной сигнал – ступенчатая последовательность x{k} = u{k} = {1; 1; 1; 1; …}. Ответ: а) y{k} = {1; 0,5; 2,5} б) y{k} = {1; 1,5; 0,75} в) y{k} = {2; 2,5; 4,25}.

15. Определить импульсные характеристики цепей, описываемых разностными уравнениями: а) б) в) . Ответ: а) h{k} = {0,5; –2; 1} б) h{k} = {1; –3; 11; –39; …} в) h{k} = {1; –2,5; 6; –14,5; …}.

16. Определить передаточные функции цепей, описываемых разностными уравнениями, приведенными в задаче 15. Ответ: а) б) в) .

17. Составить структурные схемы, записать разностные уравнения и определить импульсные характеристики цепей, передаточные функции которых имеют вид а) б) в) . Ответ: а) , = {5; –1; 3} б) , = {2; 4; 8; 16; …} в) , = {5; 1; 11; 13; …}.

18. Определить устойчивость цепей, имеющих передаточные функции, приведенные в задаче 17. Ответ: а) устойчивая б) неустойчивая

в) неустойчивая.

19. Определить передаточную функцию цепи, если на ее входе и выходе действуют дискретные сигналы x{k} = {1; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1; …}, y{k} = {1; 0; 1; 0; 1; 0; …}. Ответ: .

20. Найти импульсные характеристики дискретных цепей, имеющих передаточные функции

а) б) Составить структурную схему каскадного соединения этих цепей, определить для нее передаточную функцию и записать разностное уравнение. Ответ: а) = 1, k 0 б)

.

21. Найти передаточную функцию дискретной цепи с импульсной характеристикой а) = {1; –1} б) . Ответ: а) б) .

22. Определить сигнал на выходе дискретной цепи с импульсной характеристикой h{k} = {1; 0,5}, если на вход подается сигнал x{k} = {1; 1; 1}. Ответ: y{k} = {1; 1,5; 1,5; 0,5}.

23. Определить передаточные функции и АЧХ дискретных цепей, имеющих разностные уравнения: а) б) Ответ: а) б) .

24. Вычислить дисперсию шума на выходе ЦФ первого порядка с передаточной функцией ; (b < 1) с использованием формулы (19.60). Ответ: .

Список литературы

Основная

1. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей.—М.: Радио и связь, 1998.—444 с.

2. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей.—М.: Радио и связь 1986.—544 с.

3. Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений.—М.: Радио и связь, 1989.—328 с.

4. Шебес М,Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для вузов.—4-е изд., перераб. и доп.—М.: Высшая школа, 1990.—544 с.

5. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. Электронная версия.

6. Журавлева О.Б., Крук Б.И. Аналоговые устройства аппаратуры связи: Учебное пособие для дистанционного обучения. – СибГУТИ, Новосибирск, 2000 г. Электронная версия.

7. Методические указания по самостоятельной работе студентов над курсом ОТЦ. Часть III. – Новосибирск, 2001 г. Электронная версия.

8. Программа ARC—ACH.

9. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589 с.

10. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 1998. – 444 с.

11. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1990. – 544 с.

12. Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений. – М.: Радио и связь, 1989. – 328 с.

13. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. – М.: Радио и связь, 1983. – 752 с.

14. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с.

Дополнительная

15. Андреев Б.С. Теория нелинейных электрических цепей.—М.: Радио и связь 1982.—280 с.

16. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основа теории электрических цепей и электроники.—М.: Радио и связь, 1989.—528 с.

17. Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы: [Учеб. пособие для вузов по направлению “Радиотехника”].—5-е изд., перераб. и доп.—М.: Радио и связь, 1994.—481 с.

18. Добротворский И.Н. Теория электрических цепей.—М.: Радио и связь, 1989.—472 с.

19. Карташкин А.С. Линейные цифровые фильтры. Вопросы и задачи: Учеб. пособие.—М.: Радио и связь, 1995.—133 с.

20. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие /Под. ред. Л.А. Бессонова.—М.: Высшая школа, 2000.

21. Яцкевич В.В. Теория линейных электрических цепей: Справ. пособие.—М.: Высшая школа, 1990.—264 с.

Практическое применение преобразования Фурье для анализа сигналов. Введение для начинающих

1. Преобразование Фурье и спектр сигнала

Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты — N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц — с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

С математической точки зрения — сколько ошибок в этой фразе?

Теперь

начальство решило

мы решили, что 5 секунд — это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.

рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию — источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае — время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

(1), где:

k — номер тригонометрической функции ( номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T — отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak — амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье.)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

или

(3)

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

и

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид иили косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T2, +T2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция — непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции — дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих — ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Далее.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= кТ, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1T; к=2 F2=2T; к=3 F3=3T;… Fk= кТ (при нулевой частоте — постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц — надо увеличить длительность измерения в 2 раза — до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал — N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) ( Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) — частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. (( Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd — частота дискретизации; Fмакс — максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты — это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты — фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр — ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имеется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 — половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 — это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того — науке это неизвестно. И в нашем случае — неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.

FourierScope — программа для построения радио сигналов и их спектрального анализа.
Graph — программа с открытым кодом, предназначенная для построения математических графиков.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ – КАК ЭТО ДЕЛАЕТСЯ
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)