Как найти число под степенью

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

 

Запомним важное правило:

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

Решение:

При получим

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения при

Решение:

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения при b = — 5.

Решение:

При b = — 5 получим:

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания:

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Так как то

Так как то

Сравним и для этого оценим их разность:

значит

Получим : поэтому

Ответ:

8. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

Ответ:

9. Упростите выражение:

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения при ?

Решение:

При получим

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и — сопряженные выражения.

Пример:

12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

13. Сравните и

1)

2) Сравним и 14.

то и а значит,

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

т.к.

Пример 6.

Пример 7.

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

Решение:

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: если

Решение.

Если то следовательно

Ответ: — 1.

22. Вычислите:

Решение:

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а)

б)

в)

Решение.

23. Решите уравнение:

Решение:

тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 4.

25. Решите уравнение:

Решение:

Значит,

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

( 2+2+2+2+2+2+2+2=16 )

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: (displaystyle 2cdot 8=16).

Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. 

Согласись, (displaystyle 2cdot 8=16) считается легче и быстрее, чем (displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше. 

Круто, да?

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам.

Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число (  displaystyle 0) . Ноль понять легко – это когда ничего нет.

А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне (  displaystyle -100) рублей, это значит, что ты должен оператору (  displaystyle 100) рублей.

Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число (  displaystyle 3,141592…).

Итак…

Откуда взялись, например, первые два свойства? Сейчас покажу.

1. (  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}})

Посмотрим: что такое ( displaystyle {{a}^{n}})  и (  displaystyle {{a}^{m}}) ? 

По определению:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }{{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }leftarrow )

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к (  displaystyle n) множителям мы дописали (  displaystyle m) множителей, итого получилось (  displaystyle n+m) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n+mtext{ множителей}})

Но по определению это степень числа (  displaystyle a) с показателем (  displaystyle n+m) , то есть: (  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}) , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение (  displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}) .

Решение: (  displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}={{5}^{4+7+9}}={{5}^{20}})

Пример: Упростите выражение (  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}) .

Решение: 

Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!

Поэтому степени с основанием (  displaystyle 3) мы объединяем, а (  displaystyle {{5}^{7}})  остается отдельным множителем:

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{5+8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{13}}cdot {{5}^{7}})

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что (  displaystyle {{2}^{4}}+{{2}^{6}}={{2}^{10}}).

Начнем с показателя, равного (  displaystyle 0) .

Любое число в нулевой степени равно единице:

(  displaystyle {{a}^{0}}=1, ane 0)

Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием (  displaystyle 3). Возьмем, например (  displaystyle {{3}^{5}}), и домножим на (  displaystyle {{3}^{0}}):

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{0}}underset{text{по правилу умножения}}{mathop{=}},{{3}^{5+0}}={{3}^{5}})

Итак, мы умножили число (  displaystyle {{3}^{5}})  на (  displaystyle {{3}^{0}})  и получили то же, что и было – (  displaystyle {{3}^{5}}). А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на (  displaystyle 1) . Значит (  displaystyle {{3}^{0}}=1) .

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом (  displaystyle a):

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{0}}underset{по правилу умножения}{mathop{=}},{{a}^{n+0}}={{a}^{n}}={{a}^{n}}cdot 1text{ }Rightarrow text{ }{{a}^{0}}=1)

Повторим правило:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть – это число (  displaystyle 0) (в качестве основания).

С одной стороны, (  displaystyle 0) в любой степени должен равняться (  displaystyle 0) – сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, (  displaystyle {{0}^{0}}) , как и любое число в нулевой степени, должен равняться (  displaystyle 1) . Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень.

То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа (  displaystyle 0) к целым относятся отрицательные числа.

Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{-5}}underset{text{по правилу умножения}}{mathop{=}},{{3}^{5+left( -5 right)}}={{3}^{5-5}}={{3}^{0}}=1)

Отсюда уже несложно выразить искомое (  displaystyle {{3}^{-5}}) :

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{-5}}=1text{ }Rightarrow text{ }{{3}^{-5}}=frac{1}{{{3}^{5}}})

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{-n}}={{a}^{n+left( -n right)}}={{a}^{0}}=1text{ }Rightarrow text{ }{{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}})

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (  displaystyle ane 0) (т.к. на (  displaystyle 0) делить нельзя).

(  displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0)

(  displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0)

(  displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0)

Подведем итоги:

I. Выражение (  {{0}^{k}}) не определено в случае (  kle 0) . Если (  k>0) , то (  {{0}^{k}}=0) .

II. Любое число в нулевой степени равно единице: (  displaystyle {{a}^{0}}=1, ane 0) .

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: (  displaystyle {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0).

(  displaystyle {{6}^{-1}}=frac{1}{6})

(  displaystyle {{left( frac{3}{2} right)}^{-2}}=frac{4}{9})

Чтобы понять, что такое «дробная степень», рассмотрим дробь (  displaystyle frac{1}{n}) :

пусть (  displaystyle {{3}^{frac{1}{n}}}=x) .

Возведем обе части уравнения в степень (  displaystyle n) :

(  displaystyle {{left( {{3}^{frac{1}{n}}} right)}^{n}}={{x}^{n}})

Теперь вспомним правило про «степень в степени»:

(  displaystyle {{x}^{n}}={{left( {{3}^{frac{1}{n}}} right)}^{n}}={{3}^{frac{1}{n}cdot n}}={{3}^{1}}=3)

Какое число надо возвести в степень (  displaystyle n) , чтобы получить (  displaystyle 3) ?

Эта формулировка – определение корня (  displaystyle n) -ой степени.

Напомню: корнем (  displaystyle n) -ой степени числа (  displaystyle a) ((  displaystyle sqrt[n]{a}) ) называется число, которое при возведении в степень (  displaystyle n) равно (  displaystyle a) .

То есть, корень (  displaystyle n) -ой степени – это операция, обратная возведению в (  displaystyle n) степень: (  displaystyle sqrt[n]{a}=btext{ }Leftrightarrow text{ }a={{b}^{n}}) .

Получается, что (  displaystyle x={{3}^{frac{1}{n}}}=sqrt[n]{3}) . Очевидно, этот частный случай можно расширить: (  displaystyle {{a}^{frac{1}{n}}}=sqrt[n]{a}) .

Теперь добавляем числитель: что такое (  displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}) ? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

(  displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}={{a}^{frac{1}{n}cdot m}}={{left( {{a}^{frac{1}{n}}} right)}^{m}}={{left( sqrt[n]{a} right)}^{m}})  или (  displaystyle sqrt[n]{{{a}^{m}}}) .

Но может ли основание (  displaystyle a) быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

Например, можно ли посчитать число (  displaystyle sqrt[4]{-16}) ? То есть, какое число нужно возвести в (  displaystyle 4) степень, чтобы получить (  displaystyle -16) ?

Никакое!

Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень – число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение (  displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{2}}})  не имеет смысла.

А что насчет выражения (  displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{3}}}) ?

Его уже вроде бы можно посчитать: это (  displaystyle sqrt[3]{-1}=-1) .

Но тут возникает проблема.

Число (  displaystyle frac{1}{3}) можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, (  displaystyle frac{2}{6}) или (  displaystyle frac{4}{12}) .

И получается, что (  displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{1}{3}}})  существует, но (  displaystyle {{left( -1 right)}^{frac{2}{6}}}) не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

Или другой пример: раз (  displaystyle sqrt[3]{-8}=-2) , то можно записать (  displaystyle {{left( -8 right)}^{frac{1}{3}}}=-2) . Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (  displaystyle {{left( -8 right)}^{frac{1}{3}}}={{left( -8 right)}^{frac{2}{6}}}=sqrt[6]{{{left( -8 right)}^{2}}}=sqrt[6]{64}=2)  (то есть, получили совсем другой результат!).

Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем.

Итак, если:

• (  a>0);
• (  m) – натуральное число;
• (  n) – целое число;

Тогда:

(  {{a}^{frac{n}{m}}}=sqrt[m]{a^n})

Примеры:

(  displaystyle={{5}^{left( -frac{1}{2}+frac{1}{4} right)}}cdot {{3}^{frac{1}{4}}}={{5}^{-frac{1}{4}}}cdot {{3}^{frac{1}{4}}}={{left( frac{3}{5} right)}^{frac{1}{4}}}=sqrt[4]{frac{3}{5}})

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

(  displaystyle frac{sqrt[9]{6}cdot sqrt[18]{6}}{sqrt[6]{6}}=frac{{{6}^{frac{1}{9}}}cdot {{6}^{frac{1}{18}}}}{{{6}^{frac{1}{6}}}}={{6}^{frac{1}{9}+frac{1}{18}-frac{1}{6}}}={{6}^{frac{2+1-3}{18}}}={{6}^{0}}=1)

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.

Например, степень с натуральным показателем – это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени – это как-бы число, умноженное само на себя (  0) раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось – поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число (  1) ; степень с целым отрицательным показателем – это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель – это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например: (  {{3}^{sqrt{2}}}cdot {{3}^{1-sqrt{2}}}={{3}^{sqrt{2}+1-sqrt{2}}}=3)

Или: (  frac{{{2}^{3sqrt{3}}}}{{{8}^{sqrt{3}-1}}}=frac{{{2}^{3sqrt{3}}}}{{{2}^{3left( sqrt{3}-1 right)}}}={{2}^{3sqrt{3}-3sqrt{3}+3}}=8)

И еще: (  {{left( {{5}^{sqrt[3]{4}}} right)}^{sqrt[3]{2}}}={{5}^{sqrt[3]{8}}}={{5}^{2}}=25).

Определение степени

Степенью называется выражение вида: (  {{a}^{b}}), где (  a) – основание степени и (  b) – показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,…}

• (  {{a}^{1}}=a)
• (  {{a}^{2}}=acdot a)
• (  {{a}^{3}}=acdot acdot a)

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя (  n) раз:

• (  {{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot acdot …a}_{n})

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

Если показателем степени является целое положительное число:

(  {{a}^{n}}={{a}^{n}}, n>0)

Возведение в нулевую степень:

(  {{a}^{0}}=1, ane 0) . (  {{0}^{0}}) – выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, (  0) в любой степени – это (  0) , а с другой – любое число в (  0) -ой степени – это (  1) .

Если показателем степени является целое отрицательное число:

(  {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}, ane 0) (т.к. на (  0) делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение (  {{0}^{k}}) не определено в случае (  kle 0). Если (  k>0) , то (  {{0}^{k}}=0) .

Примеры:

(  {{6}^{-1}}=frac{1}{6})

(  {{left( frac{3}{2} right)}^{-2}}=frac{4}{9})

Степень с рациональным показателем

Если,

• (  a>0);
• (  m) – натуральное число;
• (  n) – целое число;

Тогда:

• (  {{a}^{frac{n}{m}}}=sqrt[m]{{{a}^{n}}})

Примеры:

(  {{a}^{frac{1}{2}}}=sqrt{a})

(  {{a}^{frac{1}{5}}}=sqrt[5]{a})

(  {{a}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{sqrt[4]{{{a}^{3}}}})

Свойства степеней

Произведение степеней	(  {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}})  (  {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}})
Деление степеней	(  frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}})  (  frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}})
Возведение степени в степень	(  {{left( {{a}^{m}} right)}^{n}}={{a}^{mcdot n}})

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Доказательства свойств степени

1. (  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}})

Посмотрим: что такое (  displaystyle {{a}^{n}}) и (  displaystyle {{a}^{m}}) ?

По определению:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }{{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}})

Сколько здесь множителей всего? Очень просто: к (  displaystyle n) множителям мы дописали (  displaystyle m) множителей, итого получилось (  displaystyle n+m) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n+mtext{ множителей}})

Но по определению это степень числа (  displaystyle mathbf{a}) с показателем (  displaystyle mathbf{n}+mathbf{m}), то есть:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}) , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение (  displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}) .

Решение: (  displaystyle {{5}^{4}}cdot {{5}^{7}}cdot {{5}^{9}}={{5}^{4+7+9}}={{5}^{20}}) .

Пример: Упростите выражение (  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}) .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием (  displaystyle 3) мы объединяем, а (  displaystyle {{5}^{7}}) остается отдельным множителем:

(  displaystyle {{3}^{5}}cdot {{3}^{8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{5+8}}cdot {{5}^{7}}={{3}^{13}}cdot {{5}^{7}}) .

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нелья написать, что (  displaystyle {{2}^{4}}+{{2}^{6}}={{2}^{10}}) .

2. (  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}})

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{b}^{n}}=underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}end{array} right|Rightarrow text{ }{{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}) .

Перегруппируем это произведение так:

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}cdot underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}=underbrace{left( acdot b right)cdot left( acdot b right)cdot …cdot left( acdot b right)}_{ntext{ множителей}}).

Получается, что выражение (  displaystyle acdot b) умножается само на себя (  displaystyle n) раз, то есть, согласно определению, это и есть (  displaystyle n) -я степень числа (  displaystyle acdot b) :

(  displaystyle {{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}={{left( acdot b right)}^{n}}), ч.т.д.

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: (  displaystyle {{2}^{4}}+{{3}^{4}}ne {{left( 2+3 right)}^{4}}) !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать (  displaystyle {{left( a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}) ? Но это неверно, ведь (  displaystyle {{left( a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}) .

3. (  displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}})

И снова используем определение степени:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{a}^{m}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}text{ }end{array} right|Rightarrow text{ }frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}})

Здесь, очевидно, можем сократить. Но с одной оговоркой: чтобы степень получилась натуральная, нам придется предположить, что (  displaystyle n>m) (то есть, в числителе множителей должно быть больше, чем в знаменателе). Тогда (  displaystyle m) множителей числителя сокращаются со всеми (  displaystyle m) множителями знаменателя. Таким образом множители остаются только в числителе, причем в количестве (  displaystyle n-m) штук:

(  displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{mtext{ множителей}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{n-mtext{ множителей}}}{1}={{a}^{n-m}}) , ч.т.д.

4. (  displaystyle frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}})

Все как обычно – записываем определение степеней (  displaystyle {{a}^{n}}) и (  displaystyle {{b}^{n}}) , делим их друг на друга, разбиваем на пары (  displaystyle frac{a}{b}) и получаем:

(  displaystyle left. begin{array}{l}{{a}^{n}}=underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}\{{b}^{n}}=underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}end{array} right|Rightarrow text{ }frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}=frac{underbrace{acdot acdot …cdot a}_{ntext{ множителей}}}{underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ множителей}}}=underbrace{frac{a}{b}cdot frac{a}{b}cdot …cdot frac{a}{b}}_{ntext{ множителей}}={{left( frac{a}{b} right)}^{n}}) , ч.т.д.

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

Степени и их свойства

Данная тема очень легкая, если выучить все свойства степеней. Они, кстати, достаточно просты для запоминания.

Перед тем, как перейти в свойствам степеней, разберемся, что такое степень.

Степень — это произведение одинаковых множителей, состоящая из основания и показателя. Наглядно это можно рассмотреть на рисунке ниже.

Показатель степени показывает (масло масляное) сколько раз мы умножаем основание на себя. Это очень хорошо проглядывается на следующих примерах:

Вроде бы ничего сложного нет, правда?

Что ж, время перейти к свойствам.

Свойства степеней.

1. Любое число в первой степени равно самому себе: a¹ = a.

Сразу рассмотрим примеры.

2¹ = 2;

(-10)¹ = -10;

0¹ = 0.

2. Любое число в нулевой степени равно 1: а⁰ = 1.

Примеры:

2⁰ = 1;

(-3)⁰ = 1;

0⁰ = 1.

3. Единица в любой степени равна 1: 1ⁿ = 1.

4. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: aⁿ · a^m = a^{n + m}.

Почему так?

Это свойство легко доказать на числовом примере.

2³ · 2² = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵.

Конечно, так никто не расписывает, а сразу пользуется готовой формулой. Вот еще несколько примеров:

3⁴ · 3⁹ · 3¹⁵ = 3^{4 + 9 + 15} = 3²⁸;

(-2)³ · (-2)⁴ = (-2)^{3 + 4} = (-2)⁷.

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: aⁿ : a^m = a^{n — m} (a ≠ 0).

Доказывается эта формула тоже очень просто с помощью числового примера: три четверки из числителя сокращаем с тремя четверками из знаменателя и остаются две четверки в числителе, т.е. 4².

Еще парочка примеров:

15¹⁰ : 15³ : 15⁵ = 15^{10 — 3 — 5} = 10²;

(-3)¹¹ : (-3)⁵ = (-3)^{11 — 5} = (-3)⁶.

6. При возведении степени в степень показатели умножаются: (аⁿ)^m = a^nm.

Примеры:

(2²)³ = 2^{2 · 3} = 2⁶;

(5³)¹⁰ = 5^{3 · 10} = 5³⁰.

7. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Примеры:

(5 · 4)² = 5² · 4²;

(2 · 3  · 4 · 5)^а = 2^а · 3^а · 4^а ·5^а.

8. Чтобы возвести дробь в степень надо и числитель, и знаменатель возвести в эту степень:.

Пример:

9. Степень с дробным показателем можно представить в виде корня некоторой степени по формуле (а > 0, n ≥ 2).

Пример:

10. Чтобы возвести число, отличное от нуля, в степень с отрицательным показателем надо взять число, обратное данному, и возвести его в ту же степень, только без минуса: (a ≠ 0).

Это же правило работает и для дробей:  (a ≠ 0, b ≠ 0).

Примеры:

Все эти свойства срабатывают как в одну сторону, так и в другую. Соберем их в аккуратную табличку.

Напоследок, разберем пример, который может встретиться во второй части ОГЭ по математике. Он, конечно, не охватывает сразу все формулы — только несколько из них.

Нам нужно сократить такую дробь:

Преобразуем знаменатель дроби, дважды использовав формулу по номером 5 из второго столбика таблицы.

Получившиеся частные в знаменателе запишем в виде дробей.

Получилась трехярусная дробь (можно произведение дробей в знаменателе переписать под одну черту). Нижний ярус этой дроби перейдет в верхний. Это не магия вне Хогвартса, но описывать эти преобразования текстом очень грустно. Если коротенько, то при делении на дробь мы ее переворачиваем и получается, что знаменатель заползает наверх

К тому же здесь можно воспользоваться свойством 6 из второго столбика и 4²ⁿ превратится в 16ⁿ.

Переходим к финалу. Преобразуем знаменатель по свойству 7 из второго столбика таблицы (снова) и, наконец-таки, сокращаем дробь!

Успехов в учебе!

С уважением, Васильева Анна.

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁶

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:

• 4 — основание степени;
• 6— показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

Запись «aⁿ» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:

• a² — её можно произносить как «а в квадрате»;
• a³ — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

• a² — «а во второй степени»;
• a³ — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Запомните!Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a¹ = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a⁰ = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0ⁿ = 0

Единица в любой степени равна 1.
1ⁿ = 1

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.

• (−32)⁰ = 1
• 0²⁵³ = 0
• 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

• 5³ = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5² = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (3/4)⁴ = 3/4 * 3/4 * 3/4 * 3/4 = 81/256

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a² ≥ 0 при любом a.

• 2 · (−3)² = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2)³ = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)⁴ и −5⁴ это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5)⁴ = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5⁴» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
   5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
   −5⁴ = −625

Пример. Вычислить: −6² − (−1)⁴

−6² − (−1)⁴ = −37

1. 6² = 6 · 6 = 36
2. −6² = −36
3. (−1)⁴ = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1)⁴ = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Домашнее задание

Стр. 66 — 67 читать

Упр. 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145