Как найти число прандтля

From Wikipedia, the free encyclopedia

The Prandtl number (Pr) or Prandtl group is a dimensionless number, named after the German physicist Ludwig Prandtl, defined as the ratio of momentum diffusivity to thermal diffusivity.^[1] The Prandtl number is given as:

where:

Note that whereas the Reynolds number and Grashof number are subscripted with a scale variable, the Prandtl number contains no such length scale and is dependent only on the fluid and the fluid state. The Prandtl number is often found in property tables alongside other properties such as viscosity and thermal conductivity.

The mass transfer analog of the Prandtl number is the Schmidt number and the ratio of the Prandtl number and the Schmidt number is the Lewis number.

Experimental Values[edit]

Typical Values[edit]

For most gases over a wide range of temperature and pressure, Pr is approximately constant. Therefore, it can be used to determine the thermal conductivity of gases at high temperatures, where it is difficult to measure experimentally due to the formation of convection currents.^[1]

Typical values for Pr are:

• 0.003 for molten potassium at 975 K^[1]
• around 0.015 for mercury
• 0.065 for molten lithium at 975 K^[1]
• around 0.16–0.7 for mixtures of noble gases or noble gases with hydrogen
• 0.63 for oxygen^[1]
• around 0.71 for air and many other gases
• 1.38 for gaseous ammonia^[1]
• between 4 and 5 for R-12 refrigerant
• around 7.56 for water (At 18 °C)
• 13.4 and 7.2 for seawater (At 0 °C and 20 °C respectively)
• 50 for n-butanol^[1]
• between 100 and 40,000 for engine oil
• 1000 for glycerol^[1]
• 10,000 for polymer melts^[1]
• around 1×10²⁵ for Earth’s mantle.

Formula for the calculation of the Prandtl number of air and water[edit]

For air with a pressure of 1 bar, the Prandtl numbers in the temperature range between −100 °C and +500 °C can be calculated using the formula given below.^[2] The temperature is to be used in the unit degree Celsius. The deviations are a maximum of 0.1 % from the literature values.

The Prandtl numbers for water (1 bar) can be determined in the temperature range between 0 °C and 90 °C using the formula given below.^[3] The temperature is to be used in the unit degree Celsius. The deviations are a maximum of 1 % from the literature values.

Physical Interpretation[edit]

Small values of the Prandtl number, Pr ≪ 1, means the thermal diffusivity dominates. Whereas with large values, Pr ≫ 1, the momentum diffusivity dominates the behavior.
For example, the listed value for liquid mercury indicates that the heat conduction is more significant compared to convection, so thermal diffusivity is dominant.
However, engine oil with its high viscosity and low heat conductivity, has a higher momentum diffusivity as compared to thermal diffusivity.^[4]

The Prandtl numbers of gases are about 1, which indicates that both momentum and heat dissipate through the fluid at about the same rate. Heat diffuses very quickly in liquid metals (Pr ≪ 1) and very slowly in oils (Pr ≫ 1) relative to momentum. Consequently thermal boundary layer is much thicker for liquid metals and much thinner for oils relative to velocity boundary layer.

In heat transfer problems, the Prandtl number controls the relative thickness of the momentum and thermal boundary layers. When Pr is small, it means that the heat diffuses quickly compared to the velocity (momentum). This means that for liquid metals the thermal boundary layer is much thicker than the velocity boundary layer.

In laminar boundary layers, the ratio of the thermal to momentum boundary layer thickness over a flat plate is well approximated by^[5]

where is the thermal boundary layer thickness and is the momentum boundary layer thickness.

For incompressible flow over a flat plate, the two Nusselt number correlations are asymptotically correct:^[6]

where is the Reynolds number. These two asymptotic solutions can be blended together using the concept of the Norm (mathematics):^[7]

See also[edit]

• Turbulent Prandtl number
• Magnetic Prandtl number

References[edit]

General references[edit]

• White, F. M. (2006). Viscous Fluid Flow (3rd. ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-240231-8.

Число Прандтля

Сергей Васильевич Карпенко

Эксперт по предмету «Архитектура и строительство»

Задать вопрос автору статьи

Характеристики числа Прандтля

Число Прандтля – это критерий подобия тепловых процессов в жидкостях и газах. Данный критерий учитывает влияние физических характеристик теплоносителя на теплоотдачу

Формула для определения значения числа:

Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Здесь $ν$ и $η$– кинематическая и динамическая вязкость вещества; ρ – плотность; $χ$ и $α$ – коэффициенты теплопроводности и температуропроводности соответственно; $c$ – удельная теплоемкость.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Число Прандтля названо в честь немецкого физика Людвига Прандтля, который занимался изучением массо- и теплообмена в пограничных слоях.

Следует заметить, что число Прандтля является исключительно физической характеристикой среды и зависит только от ее термодинамического состояния.

Значения числа

Число Прандтля для газов практически неизменно. Для двухатомных газов $Pr$ > $0,72$, для трех- и многоатомных газов $0,75$

Рисунок 2. Зависимости числа Прандтля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Физический смысл числа Прандтля заключается в том, что оно показывает отношение скорости диффузии вещества к его температуропроводности. Один из важнейших критериев подобия – число Нуссельта – зависит от числа Прандтля, а также от теплоемкости вещества при постоянном давлении.

Для неметаллов число Прандтля изменяется при температурных колебаниях. При этом наиболее значительные изменения оно претерпевает в условиях максимальной вязкости жидкости. Например, для воды при 0° С число Прандтля принимает значение $Pr = 866$, а при 100° С $Pr = 13,5$. Для жидких металлов $Pr$ принимает значения, много меньшие единицы и уже не так сильно изменяется при температурных колебаниях.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 09.09.2022

Число Прандтля (Pr) или Группа Прандтля — это безразмерное число, названное в честь немецкого физика Людвига Прандтля, определяемое как отношение импульса диффузии ty до температуропроводность. То есть число Прандтля определяется как:

P r = ν α = коэффициент диффузии по импульсу, коэффициент температуропроводности = μ / ρ k / (cp ρ) = cp μ k { displaystyle mathrm {Pr} = { frac { nu} { alpha}} = { frac { mbox {коэффициент диффузии по импульсу}} { mbox {коэффициент температуропроводности}}} = { frac { mu / rho} {k / (c_ {p} rho)}} = { frac {c_ {p} mu} {k}}}

где:

Обратите внимание, что тогда как число Рейнольдса и Грасгоф n umber имеют нижний индекс с переменной шкалы длины, число Прандтля не содержит такой шкалы длины в своем определении и зависит только от жидкости и ее состояния. Число Прандтля часто встречается в таблицах свойств вместе с другими свойствами, такими как вязкость и теплопроводность.

. Для большинства газов в широком диапазоне температуры и давления Pr приблизительно постоянен. Следовательно, его можно использовать для определения теплопроводности газов при высоких температурах, где его сложно измерить экспериментально из-за образования конвекционных токов.

Типичные значения Pr:

• 0,003 для расплавленного металла. калий при 975 K
• около 0,015 для ртути
• 0,065 для расплавленного лития при 975 K
• около 0,16-0,7 для смесей благородных газов или благородных газы с водородом
• 0,63 для кислорода
• около 0,71 для воздуха и многих других газов
• 1,38 для газообразного аммиака
• между 4 и 5 для хладагента R-12
• около 7,56 для воды (при 18 °C )
• 13,4 и 7,2 для морской воды (при 0 ° C и 20 ° C соответственно)
• 50 для н-бутанола
• от 100 до 40 000 для моторного масла
• 1000 для глицерина
• 10 000 для расплавов полимеров
• около 1 × 10 для Земли мантии.

При малых значениях числа Прандтля Pr << 1, means the thermal diffusivity dominates. Whereas with large values, Pr>>1 коэффициент диффузии по импульсу доминирует в поведении. Например, перечисленные v Значение для жидкой ртути указывает, что теплопроводность более значима по сравнению с конвекцией, поэтому температуропроводность является доминирующей. Однако для моторного масла конвекция очень эффективна для передачи энергии из области по сравнению с чистой проводимостью, поэтому коэффициент диффузии по импульсу является доминирующим.

Число Прандтля для газов составляет около 1, что указывает, что и импульс, и тепло рассеиваются через жидкость примерно с одинаковой скоростью. В жидких металлах (Pr <<1) and very slowly in oils (Pr>>1) тепло распространяется очень быстро относительно количества движения. Следовательно, термический пограничный слой намного толще для жидких металлов и намного тоньше для масел относительно скоростного пограничного слоя.

В задачах теплопередачи число Прандтля контролирует относительную толщину импульса и теплового пограничные слои. Когда Pr мала, это означает, что тепло распространяется быстрее по сравнению со скоростью (импульсом). Это означает, что для жидких металлов тепловой пограничный слой намного толще, чем скоростной пограничный слой.

Массовым аналогом числа Прандтля является число Шмидта.

Содержание

• 1 Формула для расчета числа Прандтля для воздуха и воды
• 2 См. Также
• 3 Ссылки
  • 3.1 Общие ссылки

Формула для расчета числа Прандтля для воздуха и воды

Для воздуха с давлением 1 бар числа Прандтля в диапазоне температур от -100 ° C и +500 ° C можно рассчитать по формуле, приведенной ниже. Температура должна использоваться в градусах Цельсия. Максимальные отклонения от литературных значений составляют 0,1%.

P r воздух = 10 9 1,1 ⋅ ϑ 3 — 1200 ⋅ ϑ 2 + 322000 ⋅ ϑ + 1,393 ⋅ 10 9 { displaystyle Pr _ { text {air}} = { frac {10 ^ {9}} { 1.1 cdot vartheta ^ {3} -1200 cdot vartheta ^ {2} +322000 cdot vartheta +1.393 cdot 10 ^ {9}}}}

Числа Прандтля для воды (1 бар) могут определяться в диапазоне температур от 0 ° C до 90 ° C по формуле, приведенной ниже. Температура должна использоваться в градусах Цельсия. Отклонения от литературных значений не превышают 1%.

P r вода = 50000 ϑ 2 + 155 ⋅ ϑ + 3700 { displaystyle Pr _ { text {water}} = { frac {50000} { vartheta ^ {2} +155 cdot vartheta +3700} }}

.

См. Также

• Турбулентное число Прандтля
• Магнитное число Прандтля

Ссылки

Общие ссылки

• White, FM (2006). Течение вязкой жидкости (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-240231-8.

Теплоотдача при вынужденном течении жидкости в трубах и каналах

Теплоотдача в трубах и каналах может происходить при вынужденном или свободном характере конвекционных потоков (возможны также их сочетания в случае существенного влияния гравитационных сил).

При вынужденном течении (вынужденная конвекция) жидкость нагнетается или отводится под действием сил внешнего давления, например, ветра, насоса или вентилятора.

Свободное течение жидкости происходит под действием подъемных (гравитационных) сил за счет изменения ее плотности из-за разницы температуры – слой жидкости с меньшей плотностью стремиться занять верхнее положение относительно холодного слоя (свободная или естественная конвекция).

Интенсивность теплоотдачи, как при вынужденной, так и при свободной конвекции характеризуется коэффициентом теплоотдачи α, имеющим размерность Вт/(м²·град), который определяется по формуле:

Nu – число Нуссельта; λ – коэффициент теплопроводности жидкости при средней температуре, Вт/(м·град);

d – эквивалентный диаметр, равный

F – площадь сечения канала, м²; П – периметр канала, м.

Для трубы круглого сечения, эквивалентный диаметр равен внутреннему диаметру трубы.

В целом, расчет коэффициента теплоотдачи сводится к определению числа Нуссельта, значение которого задается соответствующими критериальными уравнениями конвективного теплообмена, зависящими от режима течения жидкости и формы канала.

Течение жидкости в трубах определяется значением числа Рейнольдса Re и в зависимости от его величины может быть ламинарным, переходным или турбулентным.

• Ламинарный режим течения жидкости характеризуется величиной числа Re до 2300.
• При значении числа Re от 2300 до 10000 режим течения в трубах является переходным.
• Турбулентный режим течения в трубах наблюдается при числах Re более 10000.

Число (критерий) Рейнольдса представляет собой безразмерный комплекс, связывающий скоростные и вязкостные характеристики жидкости с определяющим размером канала (для трубы – это ее диаметр).

Число Re определяется по формуле:

w – скорость течения жидкости, м/с; d – эквивалентный диаметр канала, м; ν — кинематическая вязкость жидкости при средней температуре, м²/с.

Теплоотдача в трубах и каналах существенно зависит от режима течения жидкости. При ламинарном режиме интенсивность теплоотдачи значительно меньше, чем при развитом турбулентном.

Теплоотдача при ламинарном течении в трубах и каналах

Ламинарный режим течения жидкости обычно характеризуется низкой скоростью потока. При этом в некоторых случаях влиянием конвекции, обусловленной действием гравитационных сил, пренебрегать нельзя.

Для выбора правильного критериального уравнения теплообмена и оценки влияния естественной конвекции на интенсивность теплопередачи при ламинарном режиме служит критерий Грасгофа Gr.

g – ускорение свободного падения, м/с²;

β – температурный коэффициент объемного расширения, град^-1;

d – эквивалентный диаметр канала, м;

ν — кинематическая вязкость жидкости при средней температуре, м²/с;

Δt – средняя разность температур жидкости и стенки, °С.

Теплоотдача при ламинарном течении в трубах и каналах с учетом естественной конвекции. Если величина комплекса GrPr превышает 8·10⁵, то расчет коэффициента теплоотдачи необходимо проводить с учетом влияния естественной конвекции в потоке жидкости по следующему критериальному уравнению:

Индекс «ж» означает, что свойства среды, входящие в критерии подобия Re, Pr и Gr берутся при средней температуре жидкости.

Число Прандтля с индексом «с» Pr_с берется для жидкости при температуре стенки.

ε_L – коэффициент, учитывающий изменение теплоотдачи по длине трубы или канала. Его можно определить с помощью таблицы:

Значения коэффициента ε_L при ламинарном режиме

L/d	1	2	5	10	15	20	30	40	50
εL	1,9	1,7	1,44	1,28	1,18	1,13	1,05	1,02	1

Теплоотдача при ламинарном течении в трубах и каналах без учета естественной конвекции. При значении GrPr<8·10⁵, влияние естественной конвекции на теплоотдачу жидкости пренебрежительно мало, и расчет коэффициента теплоотдачи можно проводить по следующему критериальному уравнению:

d – эквивалентный диаметр канала, м;

L – длина трубы (канала), м.

Представленные критериальные уравнения теплообмена при ламинарном режиме позволяют определить среднее значение числа Нуссельта, по величине которого можно рассчитать средний коэффициент теплоотдачи:

λ – коэффициент теплопроводности жидкости при средней температуре, Вт/(м·град);

d – эквивалентный диаметр, м.

Теплоотдача в трубах и каналах при турбулентном режиме

Теплоотдача в трубах и каналах при турбулентном режиме осуществляется путем передачи тепла при интенсивном перемешивании слоев жидкости. Критериальное уравнение теплообмена для расчета средней теплоотдачи в трубах и каналах в этом случае имеет вид:

Критерии подобия Re и Pr берутся при средней температуре жидкости. Число Прандтля с индексом «с» Pr_с берется при температуре стенки.

Представленное критериальное уравнение применяется в диапазоне чисел Re от 1·10⁴ до 5·10⁶ и Pr от 0,6 до 2500.

ε_L – коэффициент, учитывающий изменение среднего коэффициента теплоотдачи по длине трубы или канала при турбулентном режиме течения. Значения ε_L приведены в следующей таблице при различных числах Рейнольдса и отношениях длины канала к его эквивалентному диаметру:

Значения коэффициента ε_L при турбулентном режиме

Reж	L/d
1	2	5	10	15	20	30	40	50
1·104	1,65	1,5	1,34	1,23	1,17	1,13	1,07	1,03	1
2·104	1,51	1,4	1,27	1,18	1,13	1,1	1,05	1,02	1
5·104	1,34	1,27	1,18	1,13	1,1	1,08	1,04	1,02	1
1·105	1,28	1,22	1,15	1,1	1,08	1,06	1,03	1,02	1
1·106	1,14	1,11	1,08	1,05	1,04	1,03	1,02	1,01	1

Расчет теплоотдачи в изогнутых трубах и каналах проводится по тому же критериальному уравнению с добавлением множителя — поправки на действие центробежных сил, которая определяется по формуле:

R — радиус изгиба трубы или канала, м; d – эквивалентный диаметр трубы или канала, м.

Теплоотдача в изогнутых трубах проходит более интенсивно, чем в прямых, за счет большего вихреобразования и лучшего перемешивания жидкости.

Теплоотдача при свободной конвекции в трубах и каналах

Теплообмен при свободном движении жидкости (или газа) происходит вследствие разности плотностей нагретых и холодных ее слоев. Интенсивность теплоотдачи жидкости в трубах и каналах при свободной конвекции существенно зависит от их положения в пространстве относительно силы тяжести.

Теплоотдача при свободной конвекции имеет различный характер в случаях свободного течения в неограниченном пространстве и теплообмена в ограниченном объеме (в узкой трубе или канале).

Свободная конвекция в неограниченном пространстве

Конвекция в неограниченном пространстве протекает, например при охлаждении трубопровода центрального отопления, расположенного на улице в безветренную погоду, вблизи от которого отсутствуют препятствия для движения воздушных потоков.

Горизонтальный канал или труба. Интенсивность теплоотдачи при свободной конвекции зависит от величины комплекса GrPr. При значении GrPr от 10³ до 10⁹ критериальное уравнение, описывающее среднюю теплоотдачу от поверхности горизонтальных труб и каналов, имеет вид:

В качестве определяющего размера принимается наружный диаметр d канала или трубы.

Вертикальный канал (труба, пластина). Для вертикальных труб и каналов при значении GrPr от 10³ до 10⁹ критериальное уравнение, описывающее среднюю теплоотдачу, имеет вид:

При GrPr>10⁹:

Примечание: В приведенных критериальных уравнениях теплообмена свойства жидкости, входящие в числа Gr и Pr, определяются при температуре окружающей среды. Число Прандтля с индексом «с» Pr_с берется для жидкости при температуре стенки. В качестве определяющего размера принимается длина L (высота) вертикально стоящей трубы или канала.

Свободная конвекция в ограниченном объеме

Теплообмен жидкости в ограниченном объеме при свободной конвекции характеризуется совместным протеканием процессов нагрева и охлаждения соседних слоев жидкости (или газа). Эти процессы сопровождаются сложным течением нисходящих и восходящих потоков, зависящих от рода жидкости, разницы температуры, формы канала и его геометрических размеров.

Для упрощения расчета таких сложных процессов конвективного теплообмена принято рассматривать их, как явление теплопроводности в щели толщиной δ с учетом понятия эквивалентного коэффициента теплопроводности λ_эк.

Эквивалентный коэффициент теплопроводности определяется по формуле:

Q — количество переданного тепла, Вт; δ — толщина слоя жидкости (или газа), м; F — площадь теплоотдающей поверхности, м²; Δt=t_c1-t_c2 — температурный напор между нагретой и холодной стенками, °С.

Отношение эквивалентного коэффициента теплопроводности λ_эк к величине теплопроводности окружающей жидкости при средней температуре называется коэффициентом конвекции ε_к, который определяется значением комплекса GrPr.

При малых значениях комплекса GrPr<1000 коэффициент конвекции ε_к=1, то есть теплоотдача просходит только за счет теплопроводности среды (λ_эк=λ).

В случае 10³<GrPr<10⁶:

При 10⁶<GrPr<10¹⁰:

Примечание: Числа подобия Gr и Pr рассчитываются при средней температуре жидкости (или газа), равной t_ж=0,5(t_c1+t_c2). В качестве определяющего размера принимается δ — толщина слоя жидкости.

Источники:

1. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи.
2. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. Учебник для вузов — М.: «Энергия», 1975.