Как найти число с дробной степенью - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Дробная степень

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

$[r = frac{m}{n},]$

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

$[{a^{frac{m}{n}}} = sqrt[n]{{{a^m}}}]$

2) При a=0 и r>0

$[{0^r} = 0.]$

В частности,

$[{a^{frac{1}{2}}} = sqrt a ]$

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

$[sqrt[n]{{{a^m}}} = {(sqrt[n]{a})^m}]$

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

$[1){81^{frac{1}{4}}} = sqrt[4]{{81}} = 3;]$

$[2){128^{frac{5}{7}}} = sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;]$

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

$[3){625^{0,75}} = {625^{frac{3}{4}}} = sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(sqrt[4]{{625}})^3} = ]$

$[ = {5^3} = 125;]$

$[4){243^{0,4}} = {243^{frac{2}{5}}} = sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {left( {sqrt[5]{{243}}} right)^2} = ]$

$[ = {3^2} = 9.]$

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

$[5){(15frac{5}{8})^{frac{2}{3}}} = {(frac{{125}}{8})^{frac{2}{3}}} = sqrt[3]{{{{(frac{{125}}{8})}^2}}} = {(sqrt[3]{{frac{{125}}{8}}})^2} = ]$

$[ = {(frac{5}{2})^2} = frac{{25}}{4} = 6frac{1}{4};]$

$[6){(12frac{1}{4})^{1,5}} = {(frac{{49}}{4})^{frac{3}{2}}} = sqrt {{{(frac{{49}}{4})}^3}} = {(sqrt {frac{{49}}{4}} )^3} = ]$

$[ = {(frac{7}{2})^3} = frac{{343}}{8} = 42frac{7}{8}.]$

А как вычисляется отрицательная дробная степень?

Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:

$[ a^{ - frac{m}{n}} = frac{1}{{a^{frac{m}{n}} }} = frac{1}{{sqrt[n]{{a^m }}}} = frac{1}{{(sqrt[n]{a})^m }} ]$

При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:

$[ (frac{a}{b})^{ - n} = (frac{b}{a})^n ]$

Примеры.

Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем:

$[ 1)625^{ - frac{3}{4}} = frac{1}{{625^{frac{3}{4}} }} = frac{1}{{(sqrt[4]{{625}})^3 }} = frac{1}{{5^3 }} = frac{1}{{125}}; ]$

$[ 2)0,0004^{ - 1,5} = frac{1}{{0,0004^{frac{3}{2}} }} = frac{1}{{(sqrt {0,0004} )^3 }} = ]$

$[ = frac{1}{{0,02^3 }} = (frac{1}{{0,02}})^3 = (frac{{100}}{2})^3 = ]$

$[ 3)(1frac{{61}}{{64}})^{ - frac{2}{3}} = (frac{{125}}{{64}})^{ - frac{2}{3}} = (frac{{64}}{{125}})^{frac{2}{3}} = (sqrt[3]{{frac{{64}}{{125}}}})^2 = ]$

$[ = (frac{4}{5})^2 = frac{{16}}{{25}} = 0,64. ]$

Источник

Дробная степень числа

Дробный показатель степени
Действия над степенями с дробными показателями

Дробный показатель

Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.

Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:

Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:

Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:

Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

Источник

План урока:

Степень с рациональным показателем

Свойства дробных степеней и операции с ними

Сравнение степеней

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

(a^m)ⁿ = a^mn

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

а = 3

m = 1/6

n = 6

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

mn = (1/6)•6 = 1

Подставляем эти значения:

(3^1/6)⁶ = 3^1/6^•⁶ = 3¹ = 3

Получили, что

(3^1/6)⁶ = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

1gfhdh

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

2gdfh

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а^1/ⁿ)ⁿ = a^1/ⁿ^•ⁿ = a

Значит, по определению корня n-ой степени

3gdfg

4gfhj

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень а^m^/ⁿ? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:

m/n = (1/n)•m

C учетом этого выполним преобразование:

5hgfhf

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

6hfgj

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

7hfgh

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

8hgfgh

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

9hgfh

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

10hdgh

Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 81^0,25. По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 81^0,25 можно так:

11gfdg

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

12fdgf

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

13hjui

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

14ghj

Например, справедливы следующие действия:

5^0,5•5^2,5 = 5^{0,5 + 2,5} = 5³ = 125

19^5/3•19^1/3 = 19^{5/3 + 1/3} = 19² = 361

29,36^–0,37•29,36^1,37 = 29,36^{–0,37 + 1,37} = 29,36¹ = 29,36

15jli

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17^4,5:17^3,5 = 17^4,5–3,5 = 17¹ = 1

4^9,36:4^6,36 = 4^9,36–6,36 = 4³ = 64

20¹²:20¹⁴ = 20^12–14 = 20^–2

16nhf

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6^0,25)⁸ = 6^0,25•8 = 6² = 36

(9^3/2)² = 9^(3/2)•2 = 9³ = 729

(25⁴)^0,125 = 25^4•0,125 = 25^0,5 = 5

17hgj

Покажем, как можно применять данное правило:

4^1/6•16^1/6 = (4•64)^1/6 = 64^1/6 = 2

0,5^1,5•50^1,5 = (0,5•50)^1,5 = 25^1,5 = 25^1+0,5 = 25¹•25^0,5 = 25•5 = 125

4,9^0,5•10^0,5 = (4,9•10)^0,5 = 49^0,5 =7

18hfgh

Это правило можно применять следующим образом:

360^0,5:10^0,5 = (360:10)^0,5 = 36^0,5 = 6

500³:50³ = (500:50)³ = 10³ = 1000

6,25^1/4:0,01^1/4 = (6,25:0,01)^1/4 = 625^1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

19jghj

то верное и обратное:

20gkj

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

21khjk

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

22gfg

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9^1/4)^1/5•3^9/10 = (9^0,25)^0,2•3^0,9 = 9^0,25•0,2•3^0,9 = 9^0,05•3^0,9 = (3²)^0,05•3^0,9 =

=3^2•0,05•3^0,9 = 3^0,1•3^0,9 = 3^0,1•0,9 = 3¹ = 3

Ответ: 3.

Пример. Упростите выражение

(81ⁿ⁺¹– 65•81ⁿ)^0,25

Решение. Степень 81ⁿ⁺¹можно представить как произведение:

81ⁿ⁺¹ = 81ⁿ•81¹ = 81•81ⁿ

С учетом этого можно записать:

(81ⁿ⁺¹– 65•81ⁿ)^0,25 = (81•81ⁿ– 65•81ⁿ)^0,25 = (81ⁿ(81 – 65))^0,25 =

= (81ⁿ•16)^0,25 = 81^0,25ⁿ •16^0,25 = 81^0,25ⁿ •16^1/4 = 2•81^0,25ⁿ

Ответ: 2•81^0,25ⁿ.

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

23jhgk

Отсюда следует вывод, что если a<b, то

а^1/ⁿ<b^1/ⁿ

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

а^m/ⁿ<b^m^/ⁿ

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

24hhgk

В частности, справедливы следующие неравенства:

23^3,75< 24^3,75

63^4/3< 64^4/3

0,008^0,002< 0,008^0,002

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

a^–ⁿ = 1/aⁿ = (1/а)ⁿ

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20^–3,14 и 50^–3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20^–3,14 = (1/20)^3,14 = 0,05^3,14

50^–3,14 = (1/50)^3,14 = 0,02^3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 < 0,05 следует, что

0,02^3,14< 0,05^3,14

Это означает, что

50^–3,14< 20^–3,14

Ответ: 50^–3,14< 20^–3,14.

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0⁰ не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

25⁰ = 26⁰ = 1

9,36⁰ = 9,37⁰ = 1

18,3546⁰ = 12,3647⁰ = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

25jkgjk

На основании этого правила можно записать, что:

5^3,14< 5^3,15

45^–0,563< 45^0,001

1,235^–5,623< 1,235^–4,958

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1^–7,56 = 1^–0,15 = 1^0,236 = 1^521,36 = 1

Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,5^7,6 и 0,5^8,9. Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:

0,5 = 1/2 = 1/(2¹) = 2^–1

Итак, 0,5 = 2^–1. Тогда можно записать, что:

0,5^7,6 = (2^–1)^7,6 = 2^–7,6

0,5^8,9 = (2^–1)^8,9 = 2^–8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

– 8,9 <– 7,6

то и

2^–8,9< 2^–7,6

Следовательно, 0,5^7,6> 0,5^8,9.

26jhj

Например, справедливы неравенства:

0,99⁷> 0,99^7,24

0,57^15,36> 0,57^16,47

0,49^0,04> 0,49^0,05

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 28^1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.

Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 27^1/3:

27hgfh

Также ясно, что 27^1/3< 28^1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 27^1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7< 27^1/3< 28^1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27^1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9^0,9 + 0,8^0,8 + 0,7^0,7<3 (2)

Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,8^0,8< 0,9^0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9^0,8< 0,9^0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

0,8^0,8< 0,9^0,8<0,9^0,7

или просто 0,8^0,8<0,9^0,7. Абсолютно аналогично можно записать, что

0,7^0,8< 0,9^0,7<0,9^0,7

Или 0,7^0,8<0,9^0,7. Наконец, в силу правила (3), 0,9^0,9<0,9^0,7. Итак, имеем три неравенства:

0,9^0,9<0,9^0,7

0,8^0,8<0,9^0,7

0,7^0,8<0,9^0,7

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9^0,7 + 0,9^0,7 + 0,9^0,7<3

3•0,9^0,7< 3

Поделим обе части на 3:

0,9^0,7< 1

Заменим единицу равным ему выражением 1^0,7:

0,9^0,7<1^0,7 (4)

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Источник

Определение

Возведение целого числа в дробную степень — это арифметический процесс, при котором находится значение степени числа, выраженной дробью.

Преимущества дробной степени над записью выражения с помощью корней

Использовать дробную степень проще, чем записывать выражения с помощью корней. Это связано с тем, что вычислить значение числа в определенной степени легче, чем применять свойства корней. Если возведение в степень займет один шаг, то вычисление корня производится в несколько шагов.

Правило возведения

Возведение числа в дробную степень осуществляется согласно правилу: пусть (frac pq) — обыкновенная дробь, причём (p) и (q) больше нуля и (q≠1). Тогда для возведения числа a в дробную степень нужно извлечь из него корень q-ой степени и возвести в степень числителя, которая равна (p).

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В математической форме это правило выглядит так:

(a^frac qp=;sqrt[p]{a^q},;ageq0,;p>0,;q>1)

Правило, когда показатель степени является дробью

Если показателем степени является десятичная дробь, то нужно перевести ее в обыкновенную:

(625^{0,75} = 625^frac3{4;} = sqrt[4]{625^3} = 53 = 125)

В случае, если число смешанное, необходимо перевести его в неправильную дробь:

(left(15frac58right)^frac23;=;left(frac{125}8right)^frac23;=;sqrt[3]{left(frac{125}8right)^2};=;left(sqrt[3]{frac{125}8}right)^2;=;left(frac52right)^2;=;frac{25}4;=;6frac14)

При возведении дроби в отрицательную степень следует использовать формулу:

(left(frac abright)^{-n};=;left(frac baright)^n)

К примеру:

(625^{-frac34};=;frac1{625^{frac34}};=;frac1{sqrt[4]{625^3}};=;frac1{5^3};=;frac1{125})

Решение в виде задачи, примеры

Пример 1

Найти: (81^frac14)

Решение

(81^frac14=sqrt[4]{81^1}=3)

Ответ: 3.

Пример 2

Вычислить: (135^frac9{10})

Решение

(135^frac9{10}=;sqrt[10]{135^9})

Ответ: (;sqrt[10]{135^9}).

Пример 3

Найти: (left(1frac35right)^frac13)

Решение

(left(1frac35right)^frac13=left(frac85right)^frac13=sqrt[3]{left(frac85right)^1}=sqrt[3]{frac85}=sqrt[3]{frac{2^3}5}=frac2{sqrt[3]5})

Ответ: (frac2{sqrt[3]5}).

Источник

В статье рассмотрим степень с дробным показателем:
Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)?
Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Степенью числа a (где a>0) с рациональным показателем, который равен (n/m) называется число вида:
, где где m — целое число, n — натуральное число (n>1).

Таким образом, число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.
При этом a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня.

Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень.

Свойства степеней с дробным показателем

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с дробными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать следующее свойство корня:

Чтобы было легче решать вычислять степени с дробным показателем:

Следует обратить внимание, что основание не может быть отрицательным числом, а показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным.

Действия над степенями с дробными показателями

При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

Источник