Как найти число свободных электронов

Рассмотрим образец металла, который
для простоты будем считать имеющим
форму куба со стороной L. Допустим, что
электроны проводимости движутся в
пределах образца совершенно свободно,
т.е. U = 0. Тогда уравнение Шредингера для
свободного электрона в металле

(1.16)

Решение этого уравнения имеет вид

,
где

— волновой вектор электрона, связанный
с энергией соотношением

( 1.17)

Условие нормировки пси-функции запишется
в виде

Полагая С вещественным, получим

,
и тогда

( 1.18)

Волновая функция должна удовлетворять
граничным условиям, которые заключаются
в том, что она должна быть периодической
по х, у, z с периодом L, тогда

где n_{x ,} n_у
, n_z — целые числа, принимающие
независимо друг от друга значения 0, 
1,  2 ….

Следовательно, волновая функция
квантуется

(1.19)

Из (1.19) следует, что и энергия свободного
электрона в металле квантуется

( 1.20)

Таким образом, состояние электрона
задается четырьмя квантовыми числами

n_x
, n_у , n_z
и s =  1/2.

Энергия электрона определяется суммой
квадратов квантовых чисел n_{x ,}
n_у , n_z. Одной
и той же сумме квадратов квантовых чисел
соответствует несколько различных
комбинаций чисел n_{x ,} n_у
, n_z . Следовательно, уровни
энергии являются вырожденными . Уровень
Е₀ (n_x =0_, n_у
= 0, n_z = 0) имеет кратность
вырождения, равную двум s = 
12, Е₁ —
двенадцать, Е₂ — двадцать четыре
и т.д. Таким образом, с ростом энергии
увеличивается число состояний, отвечающих
данному значению Е. Теперь предположим,
что в нашем воображаемом кубе при Т = 0
содержится n свободных электронов.
Согласно принципу Паули, в каждом из
состояний может находиться не более
двух электронов. Все n электронов
стремятся заполнить низшие энергетические
состояния, образуя так называемый ферьми
— газ. Такой газ обладает
интересными свойствами, необычными с
точки зрения классической физики, на
которые впервые обратил внимание Энрико
Ферми. Данные n электронов заполнят все
энергетические уровни от низшего до
состояния с энергией Е_F. Поэтому
все состояния с энергией Е 
Е_F будут заполнены, а с Е 
Е_F — свободны. Энергия Е_F
называется энергией Ферми или уровнем
Ферми при абсолютном нуле.

Введем воображаемое k -пространство
( или, что то же самое, р — пространство;

),
по осям которого будем откладывать
значения квантовых чисел n_{x ,}
n_у , n_z .
В этом пространстве каждой паре состояний
(отличающихся значениями s) соответствует
точка. Поверхность равных значений
энергии имеет форму сферы радиуса,
равного

.
Изоэнергетическая поверхность
в этом пространстве, соответствующая
энергии Е_F, носит название
поверхности Ферми. В случае
свободных электронов эта поверхность
описывается уравнением

и имеет форму сферы радиуса

.
Верхний квадрант этой сферы показан на
рис.1.7.

Величина Е_F играет существенную
роль в статистике Ферми-Дирака.

Лекция 4.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1.3. Проводники и изоляторы

По поведению зарядов в наэлектризованном теле все вещества делятся на проводники и изоляторы (диэлектрики). В диэлектриках сообщённый им заряд остаётся в том месте, куда он был помещён при электризации. В проводниках сообщённый заряд может свободно перемещаться по всему телу. Именно поэтому проводящие тела можно заряжать электризацией через влияние. Почти все природные материалы попадают в одну из этих двух резко различных категорий. Есть, однако, вещества (среди которых следует назвать кремний, германий, углерод), принадлежащие к промежуточной, но тоже резко обособленной категории. Их называют полупроводниками.

С точки зрения атомной теории электроны в изоляторах связаны с атомами очень прочно, в то время как в проводниках многие электроны связаны с атомами очень слабо и могут свободно перемещаться внутри вещества. Такие электроны называют «свободными», или электронами проводимости. Слово «свободными» взято в кавычки, так как свойства электронов в металле значительно отличаются от свойств действительно свободных электронов в вакууме. В металлических телах – проводниках электричества – число свободных электронов огромно. Проиллюстрируем это утверждение на следующем примере.

По электронной формуле)
Например,возьмём литий(3-й по порядковому номеру)и составим его электронную формулу:
Порядковый номер=количество протонов=количество электронов
Значит,у Лития 3 электрона:
1s22s1
на втором s уровне к Лития всего один электрон из двух возможных,значит он неспаренный(то есть свободный)
Силиций 14-й в системе,значит у него 14 электронов:
1s2,2s2,2p6,3s2,3р2
На внешней орбитали(третьем уровне) у силиция 4 электрона(3s2,3p2)
3s уровень может содержать только 2 электрона,так что он заполним полностью и все электроны спаренные.
3р уровень может содержать 6 электронов,а у стлиция только 2,а так как (если представить себе структурно) сначала мы рисуем по одной стрелочке(электрону) в каждой ячейке,а потом уже заполняем по второй,то эти два электрона пошли в разные ячейки,а значит они неспаренные(свободные).
Если бы у какого-то элемента на 3р уровне было 5 электронов,то у него бы был 1 неспаренный электрона,если бы 4-2 электрона)))
Если что-то не ясно,жду вопросы в комментарии

Атомно-молекулярное учение

Мы приступаем к изучению химии — мира молекул и атомов. В этой статье мы рассмотрим базисные понятия и разберемся с электронными
формулами элементов.

Атом (греч. а — отриц. частица + tomos — отдел, греч. atomos — неделимый) — электронейтральная частица вещества микроскопических
размеров и массы, состоящая из положительно заряженного ядра (протонов) и отрицательно заряженных электронов (электронные орбитали).

Описываемая модель атома называется «планетарной» и была предложена в 1913 году великими физиками: Нильсом Бором и Эрнестом Резерфордом

Протон (греч. protos — первый) — положительно заряженная (+1) элементарная частица, вместе с нейтронами образует ядра атомов
элементов. Нейтрон (лат. neuter — ни тот, ни другой) — нейтральная (0) элементарная частица, присутствующая в ядрах всех
химических элементов, кроме водорода.

Электрон (греч. elektron — янтарь) — стабильная элементарная частица с отрицательным электрическим зарядом (-1), заряд атома —
порядковый номер в таблице Менделеева — равен числу электронов (и, соответственно, протонов).

Запомните, что в невозбужденном состоянии атом содержит одинаковое число электронов и протонов. Так у кальция (порядковый номер 20)
в ядре находится 20 протонов, а вокруг ядра на электронных орбиталях 20 электронов.

Я еще раз подчеркну эту важную деталь. На данном этапе будет отлично, если вы запомните простое правило:
порядковый номер элемента = числу электронов. Это наиболее важно для практического применения и изучения следующей темы.

Электронная конфигурация атома

Электроны атома находятся в непрерывном движении вокруг ядра. Энергия электронов отличается друг от друга, в соответствии с этим
электроны занимают различные энергетические уровни.

Энергетические уровни подразделяются на несколько подуровней:

• Первый уровень

Состоит из s-подуровня: одной «1s» ячейки, в которой помещаются 2 электрона (заполненный электронами — 1s²)

• Второй уровень

Состоит из s-подуровня: одной «s» ячейки (2s²) и p-подуровня: трех «p» ячеек (2p⁶), на которых
помещается 6 электронов

• Третий уровень

Состоит из s-подуровня: одной «s» ячейки (3s²), p-подуровня: трех «p» ячеек (3p⁶) и d-подуровня:
пяти «d» ячеек (3d¹⁰), в которых помещается 10 электронов

• Четвертый уровень

Состоит из s-подуровня: одной «s» ячейки (4s²), p-подуровня: трех «p» ячеек (4p⁶), d-подуровня:
пяти «d» ячеек (4d¹⁰) и f-подуровня: семи «f» ячеек (4f¹⁴), на которых помещается 14
электронов

Зная теорию об энергетических уровнях и порядковый номер элемента из таблицы Менделеева, вы должны расположить определенное число
электронов, начиная от уровня с наименьшей энергией и заканчивая к уровнем с наибольшей. Чуть ниже вы увидите несколько примеров, а
также узнаете об исключении, которое только подтверждает данные правила.

Подуровни: «s», «p» и «d», которые мы только что обсудили, имеют в определенную конфигурацию в пространстве. По этим подуровням, или
атомным орбиталям, движутся электроны, создавая определенный «рисунок».

S-орбиталь похожа на сферу, p-орбиталь напоминает песочные часы, d-орбиталь — клеверный лист.

Правила заполнения электронных орбиталей и примеры

Существует ряд правил, которые применяют при составлении электронных конфигураций атомов:

• Сперва следует заполнить орбитали с наименьшей энергией, и только после переходить к энергетически более высоким
• На орбитали (в одной «ячейке») не может располагаться более двух электронов
• Орбитали заполняются электронами так: сначала в каждую ячейку помещают по одному электрону, после чего орбитали дополняются
  еще одним электроном с противоположным направлением
• Порядок заполнения орбиталей: 1s → 2s → 2p → 3s → 3p → 4s → 3d → 4p → 5s → 4d → 5p → 6s

Должно быть, вы обратили внимание на некоторое несоответствие: после 3p подуровня следует переход к 4s, хотя логично было
бы заполнить до конца 4s подуровень. Однако природа распорядилась иначе.

Запомните, что, только заполнив 4s подуровень двумя электронами, можно переходить к 3d подуровню.

Без практики теория мертва, так что приступает к тренировке. Нам нужно составить электронную конфигурацию атомов углерода и
серы. Для начала определим их порядковый номер, который подскажет нам число их электронов. У углерода — 6, у серы — 16.

Теперь мы располагаем указанное количество электронов на энергетических уровнях, руководствуясь правилами заполнения.

Обращаю ваше особе внимание: на 2p-подуровне углерода мы расположили 2 электрона в разные ячейки, следуя одному из правил.
А на 3p-подуровне у серы электронов оказалось много, поэтому сначала мы расположили 3 электрона по отдельным ячейкам, а оставшимся
одним электроном дополнили первую ячейку.

Таким образом, электронные конфигурации наших элементов:

• Углерод — 1s²2s²2p²
• Серы — 1s²2s²2p⁶3s²3p⁴

Внешний уровень и валентные электроны

Количество электронов на внешнем (валентном) уровне — это число электронов на наивысшем энергетическом уровне, которого достигает элемент. Такие электроны называются валентными: они могут быть спаренными или неспаренными. Иногда
для наглядного представления конфигурацию внешнего уровня записывают отдельно:

• Углерод — 2s²2p² (4 валентных электрона)
• Сера -3s²3p⁴ (6 валентных электронов)

Неспаренные валентные электроны способны к образованию химической связи. Их число соответствует количеству связей, которые данный атом может образовать с другими атомами. Таким образом неспаренные валентные электроны тесно связаны с валентностью — способностью атомов образовывать определенное число химических связей.

• Углерод — 2s²2p² (2 неспаренных валентных электрона)
• Сера -3s²3p⁴ (2 неспаренных валентных электрона)

Тренировка

Потренируйтесь и сами составьте электронную конфигурацию для магния и скандия. Определите число электронов на внешнем (валентном) уровне и число неспаренных
электронов. Ниже будет дано наглядное объяснение этой задаче.

Запишем получившиеся электронные конфигурации магния и скандия:

• Магний — 1s²2s²2p⁶3s²
• Скандий — 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s²3d¹
  

В целом несложная и интересная тема электронных конфигураций отягощена небольшим исключением — провалом электрона, которое только подтверждает общее
правило: любая система стремится занять наименее энергозатратное состояние.

Провал электрона

Провалом электрона называют переход электрона с внешнего, более высокого энергетического уровня, на предвнешний, энергетически более
низкий. Это связано с большей энергетической устойчивостью получающихся при этом электронных конфигураций.

Подобное явление характерно лишь для некоторых элементов: медь, хром, серебро, золото, молибден. Для примера выберем хром, и рассмотрим
две электронных конфигурации: первую «неправильную» (сделаем вид, будто мы не знаем про провал электрона) и вторую правильную, написанную
с учетом провала электрона.

Теперь вы понимаете, что кроется под явлением провала электрона. Запишите электронные конфигурации хрома и меди самостоятельно еще раз и
сверьте с представленными ниже.

Основное и возбужденное состояние атома

Основное и возбужденное состояние атома отражаются на электронных конфигурациях. Возбужденное состояние связано с движением электронов
относительно атомных ядер. Говоря проще: при возбуждении пары электронов распариваются и занимают новые ячейки.

Возбужденное состояние является для атома нестабильным, поэтому долгое время в нем он пребывать не может. У некоторых атомов: азота,
кислорода , фтора — возбужденное состояние невозможно, так как отсутствуют свободные орбитали («ячейки») — электронам некуда перескакивать, к тому
же d-орбиталь у них отсутствует (они во втором периоде).

У серы возможно возбужденное состояние, так как она имеет свободную d-орбиталь, куда могут перескочить электроны. Четвертый энергетический
уровень отсутствует, поэтому, минуя 4s-подуровень, заполняем распаренными электронами 3d-подуровень.

По мере изучения основ общей химии мы еще не раз вернемся к этой теме, однако хорошо, если вы уже сейчас запомните, что возбужденное состояние
связано с распаривание электронных пар.