Как найти число темных интерференционных полос

§ 30. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

Основные формулы

• Скорость света в среде

v=c/n,

где с — скорость света в вакууме; п
— абсолютный показатель преломления
среды.

• Оптическая длина пути световой волны

L=nl,

где l — геометрическая
длина пути световой волны в среде с
пока­зателем преломления п.

3. Оптическая разность хода двух световых
волн

Δ=L₁—L₂.

• Оптическая разность хода световых
волн, отраженных от верхней и нижней
поверхностей тонкой плоскопараллельной
пластинки или пленки, находящейся в
воздухе (рис. 30.1, а),

Δ=,
или Δ=2dn cos
ε₂’ + λ/2, где d
— толщина пластинки (пленки); ε₁ —
угол падения; ε₂’ -— угол преломления.

Второе слагаемое в этих формулах
учитывает изменение опти­ческой длины
пути световой волны на λ/2 при
отражении ее от сре­ды оптически более
плотной.

В проходящем свете (рис. 30.1, б)
отражение световой волны происходит
от среды оптически менее плотной и
дополнительной разности хода световых
лучей не возникает.

• Связь разности фаз Δφ колебаний с
оптической разностью хо­да волн

Δφ=2πΔ/λ..

• Условие максимумов интенсивности
света при интерферен­ции

Δ=±kλ
(k=0,l,2,3,
…).

• Условие минимумов интенсивности
света при интерферен­ции

Δ=±(2k+1)
(λ/2).

• Радиусы светлых колец Ньютона в
отраженном свете (или темных в проходящем)

r_k=.

где k — номер
кольца (k=1, 2,
3, …); R — радиус
кривизны по­верхности линзы,
соприкасающейся с плоскопараллельной
стек­лянной пластинкой.

Радиусы темных колец в отраженном свете
(или светлых в про­ходящем)

.

Примеры
решения задач

Пример 1. В точку А экрана от
источника S₁
монохроматическо­го света длиной
волны λ=0,5мкм приходят
два луча: непосредствен­но от источника
луч S₁A,
перпендикулярный экрану, и луч
S₁BA,отраженный
в точке В от зеркала, параллельного
лучу S₁A
(рис. 30.2). Расстояние l₁
экрана от источника равно 1 м, расстояние
h от луча S₁A
до плоскости зеркала равно 2 мм. Определить:
1) что будет наблюдаться в точке А
экрана — усиление или ослабление
интенсивности; 2) как изменится
интенсивность в точке А, если на
пути луча S₁A
перпенди­кулярно ему поместить
плоскопараллельную пластинку стекла
(n=1,55) толщиной d=6
мкм.

Решение. Пост­роим мнимое
изобра­жение S₂
источника S₁ в
зеркале (рис. 30.3). Источники S₁
и S₂ являются
когерентными, поэтому при сложении
волн, приходящих от этих источников на
экран, возникает интерференционная
картина. Усиление или ос­лабление
интенсивности в той или иной точке
экрана зависит от оптической разности
хода Δ интерферирующих лучей, другими
сло­вами, от числа т полуволн,
укладывающихся на оптической раз­ности
хода:

(1)

Если т — целое четное, то интенсивность
будет максимальной; если т — целое
нечетное, то интенсивность минимальна.
При дроб­ном т происходит или
частичное усиление (если т ближе к
четному числу), или частичное ослабление
(если т ближе к нечетному чис­лу).

1. Оптическая разность хода Δ₁
будет складываться из геометри­ческой
разности l₂—l₁
(оба луча идут в воздухе) и дополнительной
разности хода λ/2, обусловленной
изменением фазы колебаний на π при
отражении от среды оптически более
плотной. Таким образом,

Δ₁=l₂—l₁+
λ/2.
(2)

Так
как l₂=
(рис. 30.3), то

l₂—l₁=.

Величина H/l₁<<1,
поэтому для вычисления корня можно
вос­пользоваться приближенной формулой
(см. табл. 3)

при а<<1. Применив ее, получим

.

Подставив полученное выражение l₂—l₁
в формулу (2), найдем

.
Зная
Δ₁,
по формуле (1) найдем m₁:

.

Так как Н=2h,
то окончательно получим

.

После вычисления найдем

m₁=33.

Так как на разности хода укладывается
нечетное число длин полуволн, то в точке
А наблюдается минимум интенсивности.

2. Стеклянная пластина толщиной d,
поставленная на пути луча S₁A
(рис. 30.3), изменит оптическую длину пути.
Теперь оптическая длина пути L
будет складываться из геометрической
длины пути l₁—d
и оптической длины пути nd
луча в самой пластине, т. е.

L=
(l₁—d)+nd==l₁+
(n—1)d.

Оптическая разность хода лучей

Δ₂=l₂—L+λ/2=l₂—[l₁
+ (n—l)d]+λ/2,
или

Δ₂=
Δ₁—(n—1)d.

Пользуясь
формулой (1), найдем

.

Произведя вычисления, получим m₂=19,8.

Число длин полуволн оказалось дробным.
Так как 19,8 ближе к целому четному числу
20, чем к целому нечетному числу 19, то в
точке А будет частичное усиле­ние.

Пример 2. На толстую стек­лянную
пластинку, покрытую очень тонкой пленкой,
показа­тель преломления n₂
вещества которой равен 1,4, падает
нор­мально параллельный пучок
монохроматического света (λ=0,6 мкм).
Отраженный свет максимально ослаблен
вследст­вие интерференции. Определить
толщину d пленки.

Решение. Из световой волны, падающей на
пленку, выделим узкий пучок SA.
Ход этого пучка в случае, когда угол
падения ε₁0,
показан на рис. 30.4. В точках A
и В падающий пучок частич­но
отражается и частично преломляется.
Отраженные пучки света AS₁
и BCS₁ падают
на собирающую линзу L,
пересекаются в ее фокусе F
и интерферируют между собой.

Так как показатель преломления воздуха
(n₁= 1,00029) меньше
показателя преломления вещества пленки
(n₂=1,4), который,
в свою очередь, меньше показателя
преломления стекла (n₃=1,5),
то в обоих случаях отражение происходит
от среды оптически более плотной, чем
та среда, в которой идет падающая волна.
Поэтому фаза колебания пучка света AS₁
при отражении в точке A
изменя­ется на π рад и точно так же на
π рад изменяется фаза колебаний пучка
света BCS₂
при отражении в точке В. Следовательно,
резуль­тат интерференции этих пучков
света при пересечении в фокусе F линзы
будет такой же, как если бы никакого
изменения фазы коле­баний ни у того,
ни у другого пучка не было.

Как известно, условие максимального
ослабления света при интерференции в
тонких пленках состоит в том, что
оптическая раз­ность хода Δ
интерферирующих волн должна быть равна
нечетному числу полуволн; Δ=(2k+1)(λ/2).

Как видно из рис. 30.4, оптическая разность
хода

Δ=l₂n₂—
l₁n₁=(|АВ|
+|ВС|)
п₂—|AD|
n₁.

Следовательно, условие минимума
интенсивность света примет вид

(|АВ| +|ВС|) п₂—|AD|
n₁=(2k+1)(λ/2).

Если угол падения ε₁
будет уменьшаться, стремясь к нулю, то
AD0
и (|АВ|+|ВС|2d,
где d—толщина
пленки. В пределе при ε₁=0
будем иметь

Δ=2dn₂=(2k+1)(λ
/2),

откуда искомая толщина пленки

.

Полагая k=0,1,2,3,…,
получим ряд возможных значений толщины
пленки:

и
т.д.

Пример 3. На стеклянный клин нормально
к его грани падает монохроматический
свет с длиной волны λ=0,6 мкм. В
возникшей при этом интерференционной
картине на отрезке длиной l=1
см наблюдается 10 полос. Определить
преломляющий угол θ клина.

Решение. Параллельный пучок света,
падая нормально к грани клина, отражается
как от верхней, так и от нижней грани.
Эти пучки когерентны, и поэтому наблюдается
устойчивая картина интерференции. Так
как интерференционные полосы наблюдаются
при малых углах клина, то отраженные
пучки света 1 и 2 (рис. 30.5) будут
практически параллельны.

Темные полосы видны на тех участках
клина, для которых раз­ность хода
кратна нечетному числу половины длины
волны;

Δ=(2k+1) (λ/2),
где k=0,1,2,…. (1)

Разность хода Δ двух волн складывается
из разности оптических длин путей этих
волн (2dn cosε₂’)
и половины длины волны (λ/2).

Величина λ/2 представляет
собой добавочную разность хода,
воз­никающую при отражении волны от
оптически более плотной среды. Подставляя
в формулу (1) значение разности хода Δ,
получим

2d_kn
cos ε₂’
+ λ/2 = (2k
+ 1) (λ/2),
(2)

где п — коэффициент преломления
стекла (n=l,5);
d_k—толщина
клина в том месте, где наблюдается темная
полоса, соответствую­щая номеру k;
ε₂’—угол преломления.

Согласно условию, угол падения равен
нулю, следовательно, и угол преломления
ε₂’ равен нулю, a
cos ε₂’=1.
Раскрыв скобки в правой части равенства
(2), после упрощения получим

2d_kn=kλ
(3)

Пусть произвольной темной полосе номера
k соответствует опре­деленная
толщина клина в этом месте d_k
а темной полосе номера k+10
соответствует толщина клина d_k+10.
Согласно условию за­дачи, 10 полос
укладываются на отрезке длиной l=1
см. Тогда ис­комый угол (рис. 30.5) будет
равен

θ=(d_k+10
– d_k)/l,
(4)

где из-за малости преломляющего угла
sin θ=θ
(угол θ выражен в радианах).

Вычислив d_k и d_k+10
из формулы (3), подставив их в формулу
(4) и произведя преобразования, найдем

θ=5λ/(nl).

После вычисления получим

θ=2*10^-4paд.

Выразим θ в градусах. Для этого
воспользуемся соотношением между
радианом и секундой (см. табл. 6); 1
рад=2,06″*10⁵, т. е.

θ=2*10^-4*2,06»*10⁵=41,2»,

или в соответствии с общим правилом
перевода из радиан в градусы

θ_град
=θ_рад,
θ=.

Искомый угол равен 41,2″.

Задачи

Интерференция
волн от двух когерентных источников

30.1. Сколько длин волн монохроматического
света с частотой колебаний υ=5*10¹⁴
Гц уложится на пути длиной l=1,2
мм: 1) в вакууме; 2) в стекле?

30.2. Определить длину l₁
отрезка, на котором укладывается столько
же длин волн в вакууме, сколько их
укладывается на отрез­ке l₂=3
мм в воде.

30.3. Какой длины l₁
путь пройдет фронт волны
монохромати­ческого света в вакууме
за то же время, за какое он проходит путь
длиной l₂=1
м в воде?

30.4. На пути световой волны, идущей
в воздухе, поставили стек­лянную
пластинку толщиной h=1
мм. На сколько изменится оп­тическая
длина пути, если волна падает на пластинку:
1) нормаль­но; 2) под углом ε=30°?

30.5. На пути монохроматического света
с длиной волны λ=0,6 мкм находится
плоскопараллельная стеклянная пластина
толщиной d=0,l
мм. Свет падает на пластину нормально.
На какой угол φ следует повернуть
пластину, чтобы оптическая длина пути
L изменилась на λ/2?

30.6. Два параллельных пучка
све­товых волн I и
II падают на стек­лянную
призму с преломляющим уг­лом θ=30° и
после преломления вы­ходят из нее
(рис. 30.6). Найти оптическую разность хода
Δ световых волн после преломления их
призмой.

30.7. Оптическая разность хода Δ двух
интерферирующих волн монохроматического
света равна 0,3λ. Определить разность
фаз Δφ.

30.8. Найти все длины волн видимого
света (от 0,76 до 0,38 мкм), которые будут:
1) максимально усилены; 2) максимально
ослаблены при оптической разности хода
Δ интерферирующих волн, равной 1,8 мкм.

30.9. Расстояние d
между двумя когерентными источниками
све­та (λ=0,5 мкм) равно 0,1 мм. Расстояние
b между интерференцион­ными
полосами на экране в средней части
интерференционной кар­тины равно 1
см. Определить расстояние l
от источников до экрана.

30,10. Расстояние d между двумя
щелями в опыте Юнга равно 1мм, расстояние
l от щелей до экрана
равно 3 м. Определить длину

волны λ, испускаемой источником
монохроматического света, если ширина
b полос интерференции
на экране равна 1,5 мм.

30.11. В опыте Юнга расстояние d
между щелями равно 0,8 мм. На каком
расстоянии l от щелей
следует расположить экран, что­бы
ширина b интерференционной
полосы оказалась равной 2 мм?

30.12. В опыте с зеркалами Френеля
расстояние d между мнимыми изображениями
источ­ника света равно 0,5 мм, рас­стояние
l от них до экрана
рав­но 3 м. Длина волны λ=0,6 мкм. Определить
ширину b полос
ин­терференции на экране.

30.13. Источник S света
(λ=0,6 мкм) и плоское зеркало М расположены,
как показано на рис. 30.7 (зеркало Ллойда).
Что будет наблюдаться в точке Р
экрана, где сходятся лучи SP
и SMP,— свет или
темнота, если |SP|=r=2
м, a=0,55 мм, |SM|=|MP|?

Интерференция
света в тонких пленках

30.14. При некотором расположении
зеркала Ллойда ширина b
интерференционной полосы на экране
оказалась равной 1 мм. После того как
зеркало сместили параллельно самому
себе на рас­стояние Δd=0,3
мм, ширина интерференционной полосы
измени­лась. В каком направлении и на
ка­кое расстояние Δl
следует перемес­тить экран, чтобы
ширина интерфе­ренционной полосы
осталась преж­ней? Длина волны λ
монохромати­ческого света равна 0,6
мкм.

30.15. Плоскопараллельная стек­лянная
пластинка толщиной d=1,2
мкм и показателем преломления n=1,5
помещена между двумя среда­ми с
показателями преломления n₁
и n₂ (рис.
30.8). Свет с длиной волны λ=0,6 мкм падает
нормально на пла­стинку. Определить
оптическую раз­ность хода Δ волн 1 и
2, отраженных от верхней и нижней
поверхностей пластинки, и указать,
усиление или ослабление интенсивности
света происходит при интерферен­ции
в следующих случаях: 1) n₁<.п<n₂;
2) n₁>n>n₂;
3) п₁<п>п₂;
4) n₁>n<n₂.

30.16. На мыльную пленку (n=1,3),
находящуюся в воздухе, падает нормально
пучок лучей белого света. При какой
наименьшей толщине d пленки отраженный
свет с длиной волны λ=0,55 мкм ока­жется
максимально усиленным в результате
интерференции?

30.17. Пучок монохроматических (λ=0,6
мкм) световых волн падает под углом
ε₁=30° на находящуюся
в воздухе мыльную плен­ку (n=1,3).
При какой наименьшей толщине d
пленки отраженные световые волны будут
максимально ослаблены интерференцией?
максимально усилены?

30.18. На тонкий стеклянный клин
(n=1,55) падает нормально
монохроматический свет. Двугранный
угол α между поверхностя­ми клина
равен 2′. Определить длину световой волны
λ, если рас­стояние b
между смежными интерференционными
максимумами в отраженном свете равно
0,3 мм.

30.19. Поверхности стеклянного клина
образуют между собой угол θ=0,2′. На клин
нормально к его поверхности падает
пучок лучей монохроматического света
с длиной волны λ=0,55 мкм. Оп­ределить
ширину b интерференционной
полосы.

30.20. На тонкий стеклянный клин в
направлении нормали к его поверхности
падает монохроматический свет (λ=600 нм).
Оп­ределить угол θ между поверхностями
клина, если расстояние b
между смежными интерференционными
минимумами в отраженном свете равно 4
мм.

30.21. Между двумя плоскопараллельными
стеклянными плас­тинками положили
очень тонкую проволочку, расположенную
параллельно линии соприкосновения
пластинок и находящуюся на расстоянии
l=75 мм от нее. В отраженном
свете (λ=0,5 мкм) на верхней пластинке
видны интерференционные полосы.
Определить диаметр d поперечного
сечения проволочки, если на протяжении
а=30 мм насчитывается m=16
светлых полос.

30.22. Две плоскопараллельные стеклянные
пластинки прило­жены одна к другой
так, что между ними образовался воздушный
клин с углом θ, равным 30″. На одну из
пластинок падает нормально монохроматический
свет (λ=0,6 мкм). На каких расстояниях l₁
и l₂ от линии
соприкосновения пластинок будут
наблюдаться в отражен­ном свете первая
и вторая светлые полосы (интерференционные
мак­симумы)?

30.23. Две плоскопараллельные стеклянные
пластинки образуют клин с углом θ=30′.
Пространство между пластинками заполнено
глицерином. На клин нормально к его
поверхности падает пучок монохроматического
света с длиной волны λ=500 нм. В отражен­ном
свете наблюдается интерференционная
картина. Какое число N темных
интерференционных полос приходится на
1 см длины клина?

30.24. Расстояние Δr_2,1
между вторым и первым темным кольца­ми
Ньютона в отраженном свете равно 1 мм.
Определить расстоя­ние Δr_10,9
между десятым и девятым кольцами.

30.25. Плосковыпуклая линза выпуклой
стороной лежит на стеклянной пластинке.
Определить толщину d слоя воздуха
там, где в отраженном свете (λ=0,6 мкм)
видно первое светлое кольцо Ньютона.

30.26. Диаметр d₂
второго светлого кольца Ньютона при
наблю­дении в отраженном свете (λ=0,6
мкм) равен 1,2 мм. Определить оптическую
силу D плосковыпуклой
линзы, взятой для опыта.

30.27. Плосковыпуклая линза с оптической
силой Ф=2 дптр выпуклой стороной лежит
на стеклянной пластинке. Радиус r,
четвертого темного кольца Ньютона в
проходящем свете равен 0,7 мм. Определить
длину световой волны.

30.28. Диаметры d_i
и d_k
двух светлых колец Ньютона соответст­венно
равны 4,0 и 4,8 мм. Порядковые номера колец
не определя­лись, но известно, что
между двумя измеренными кольцами
располо­жено три светлых кольца.
Кольца наблюдались в отраженном свете
(λ=500 нм). Найти радиус кривизны
плосковыпуклой линзы, взя­той для
опыта.

30.29. Между стеклянной пластинкой и
лежащей на ней плоско­выпуклой
стеклянной линзой налита жидкость,
показатель прелом­ления которой
меньше показателя преломления стекла.
Радиус r₈
восьмого темного кольца Ньютона при
наблюдении в отраженном свете (λ=700 нм)
равен 2 мм. Радиус R
кривизны выпуклой поверх­ности линзы
равен 1 м. Найти показатель преломления
n жидкости.

30.30. На установке для наблюдения
колец Ньютона был из­мерен в отраженном
свете радиус третьего темного кольца
(k=3). Когда
пространство между плоскопараллельной
пластиной и лин­зой заполнили жидкостью,
то тот же радиус стало иметь кольцо с
номером, на единицу большим. Определить
показатель преломле­ния п жидкости.

30.31. В установке для наблюдения колец
Ньютона свет с дли­ной волны λ=0,5 мкм
падает нормально на плосковыпуклую
линзу с радиусом кривизны R₁=1
м, положенную выпуклой стороной на
вогнутую поверхность плосковогнутой
линзы с радиусом кривизны R₂=2
м. Определить радиус r₃
третьего темного кольца Ньютона,
наблюдаемого в отраженном свете.

30.32. Кольца Ньютона наблюдаются с
помощью двух одинако­вых плосковыпуклых
линз радиусом R кривизны равным 1м,
сло­женных вплотную выпуклыми
поверхностями (плоские поверхности
линз параллельны). Определить радиус
r₂ второго
светлого кольца, наблюдаемого в отраженном
свете (λ=660 нм) при нормальном па­дении
света на поверхность верхней линзы.

Интерференционные
приборы

30.33. На экране наблюдается
интерференционная картина от двух
когерентных источников света с длиной
волны λ=480 нм. Когда на пути одного из
пучков поместили тонкую пластинку из
плавле­ного кварца с показателем
преломления n=1,46, то
интерференци­онная картина сместилась
на m=69 полос. Определить
толщину d кварцевой
пластинки.

30.34. В оба пучка света интерферометра
Жамена были помеще­ны цилиндрические
трубки длиной l=10 см,
закрытые с обоих кон­цов плоскопараллельными
прозрачными пластинками; воздух из
трубок был откачан. При этом наблюдалась
интерференционная картина в виде светлых
и темных полос. В одну из трубок был
впущен водород, после чего интерференционная
картина сместилась на m=23,7
полосы. Найти показатель преломления
п водорода. Дли­на волны λ света
равна 590 нм.

30.35. В интерферометре Жамена две
одинаковые трубки дли­ной l=15
см были заполнены воздухом. Показатель
преломления n₁
воздуха равен 1,000292. Когда в одной из
трубок воздух заменили ацетиленом, то
интерференционная картина сместилась
на m=80 полос. Определить
показатель преломления n₂
ацетилена, если в интерферометре
использовался источник монохроматического
света с длиной волны λ=0,590 мкм.

30.36. Определить перемещение зеркала
в интерферометре Майкельсона, если
интерференционная картина сместилась
на т=100 полос. Опыт проводился со
светом с длиной волны λ=546 нм.

30.37. Для измерения показателя
преломления аргона в одно из плеч
интерферометра Майкельсона поместили
пустую стеклян­ную трубку длиной l=12
см с плоскопараллельными торцовыми
по­верхностями. При заполнении трубки
аргоном (при нормальные условиях)
интерференционная картина сместилась
на m=106 полос. Определить
показатель преломления п аргона,
если длина волны λ света равна 639 нм.

30.38. В интерферометре Майкельсона
на пути одного из интерфе­рирующих
пучков света (λ=590 нм) поместили закрытую
с обеих сторон стеклянную трубку длиной
l=10 см, откачанную до
высокого вакуума. При заполнении трубки
хлористым водородом произошло смещение
интерференционной картины. Когда
хлористый водород был заменен бромистым
водородом, смещение интерференционной
картины возросло на Δm=42
полосы. Определить разность Δn
показателей преломления бромистого и
хлористого водорода.

86

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

В нашей традиционной рубрике «Физика для чайников» сегодня решение задач. Тема – интерференция света. Разберем несколько типовых задач и ответим на вопросы.

Хотите читать не только о скучных задачах, но и получать актуальные студенческие новости? Подпишитесь на наш телеграм! А за скидками на услуги и акциями для клиентов добро пожаловать на наш второй канал.

Интерференция света: решение задач

Чтобы решать задачи, сначала нужно изучить теорию. Также мы собрали вместе формулы, которые пригодятся для решения задач по интерференции света, и не только. А тем, кто еще не знает, как вообще подступиться к физическим задачам, рекомендуем почитать общую памятку. А теперь, примеры решения задач по интерференции.

Задача №1 на интерференцию света

Условие

Высота радиомаяка над уровнем моря H = 200 м, расстояние до корабля d = 5,5 км. Определить оптимальную высоту мачты корабля для приема сигналов с длиной волны равной 1,5 м.

Решение

В данном случае волна, исходящая от радиомаяка, интерферирует с волной, отражённой от поверхности воды. Условие m-го максимума:

ym=2m-1dλ4H

Для нахождения оптимальной высоты мачты примем m=1:

y=dλ4H=5500·1,54·200=10,3м

Ответ: 10,3 м.

Задача №2 на интерференцию света

Условие

Источник света S с длиной волны 400 нм создает в схеме Юнга два когерентных источника, помещенных в бензол (n = 1,5). В точку А на экране луч от первого источника дошел за t1 =2,0000*10-10 c, а от второго за t2 =2,0002*10-10 c. Определить разность фаз колебаний в точке А и порядок интерференции k.

Решение

Найдем расстояния l1, пройденное лучом:

l1=v·t1=cn·t1l1=3·1081,5·2,0000·10-10=4 см

Найдем расстояние l2:

l2=v·t2=cn·t2l2=3·1081.5·2,0002·10-10=4,0004 см

Таким образом, разность хода составляет:

 ∆х=0,0004 см=4·10-6 м

Найдем разность фаз:

∆φ=2π∆хλ∆φ=2π·4·10-64·10-7=62,8

Условие максимума для интерференции:

∆φ=±2πk2πk=62,8

В данной точке порядок интерференции k=10.

Ответ: ∆φ=62,8 ; k=10.

Задача №3 на интерференцию света

Условие

Найти расстояние от точки 0 на экране P в установке бипризмы Френеля до m-ой светлой полосы, если показатель преломления бипризмы n = 1,5, длина волны 500 нм, преломляющий угол  альфа = 3 мин.26сек. (m = 6, а = 0,2 м, в = 1 м).

Решение

Условие максимума в данном случае:

∆=mλ

Из рисунка можно получить, что:

h=∆a+b2l=mλa+b2l

где 2l – расстояние между источниками, m-порядковый номер максимума.

Из рисунка:

2l=2a·sinφ=2aφ

Последнее предполоежение сделано вследстиве малости угла.

Тогда получаем:

h=mλa+b2aφ

Связь между преломляющим углом бипризмы Θ и φ определяется известной формулой: 

n-1θ=φ

В итоге:

h=mλa+b2an-1θ

Подставляя численные значения получаем:

h=6·5·10-7·0,2+12·0,21,5-1·9,99·10-4=1,8·10-2 м

Ответ: 1,8 см.

Задача №4 на интерференцию света

Условие

На стеклянный клин нормально к поверхности падает пучок света (λ = 582 нм). Угол клина равен 20″. Какое число интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла равен 1,5.

Решение

Ширина интерференционных полос при интерференции на прозрачном клине равна:

B=λ2nα=585·10-9·3600·1802·1,5·20·3,14=2·10-3 м

Найдем число интерференционных полос, приходящихся на один сантиметр клина:

N=10-22·10-3=5 см-1

Ответ: 5 полос на сантиметр

Задача №5 на интерференцию света

Условие 

Найти радиус кривизны стеклянной плоско-выпуклой линзы, примененной для получения колец Ньютона, если радиус третьего светлого кольца равен 1,4 мм; длина волны 589 нм. Кольца наблюдаются в отраженном свете.

Решение

В отраженном монохроматическом свете радиусы светлых колец равны:

r=2m+1Rλ2

Радиус кривизны линзы R найдем из этой формулы:

R=4r22m+1λ=4·1,4·10-322·3+1·589·10-9=1,9 м
 

Ответ: 1,9 м. 

Нужно больше задач по оптике? У нас есть!

Вопросы на интерференцию света

Вопрос 1. Что такое интерференция?

Ответ. Интерференцией называется постоянное во времени явление взаимного ослабления и усиления колебаний в разных точках среды в следствии наложения когерентных волн.

Вопрос 2. Когда можно наблюдать интерференцию?

Ответ. Это явление наблюдается при наложении двух или нескольких световых пучков. Интенсивность света в области перекрытия пучков имеет характер чередующихся темных и светлых полос, причем в максимумах интенсивность больше, а в минимумах меньше суммы интенсивностей пучков.

Вопрос 3. Приведите примеры интерференции, с которыми мы часто сталкиваемся в жизни.

Ответ. Проявление интерференции света:

• цвета  масляных пятен и мыльных пузырей на асфальте;
• окраска замерзающих оконных стекол; 
• цветные рисунки на крыльях некоторых жуков и бабочек.

Вопрос 4. Что влияет на интенсивность света в конкретной точке интерференционной картины?

Ответ. Интенсивность света в данной точке пространства определяется разностью фаз колебаний световых волн.

Вопрос 5. Проявлением какой природы света является интерференция: волновой или корпускулярной?

Ответ. Интерференция – проявление исключительно волновой природы.

Проблемы с решением задач? Обращайтесь в профессиональный сервис помощи учащимся в любое время суток!

Число — интерференционная полоса

Cтраница 3

Два противоположных края пластинок вплотную прижаты друг к другу. Определить число N интерференционных полос, наблюдаемых на единице длины пластинок, если отраженный свет ( К 0 63 мкм) рассматривают, как показано на рисунке.
 [31]

ГОСТ 121 — 54), размеры Я которых отличаются один от другого на величину перемещения микровинта при его повороте на / 4 оборота. По числу интерференционных полос на поверхностях контакта и по их взаимному расположению определяют действительное отклонение от параллельности.
 [32]

Для получения интерференционной картины путем деления естественной волны на две части необходимо, чтобы оптическая разность хода Д была меньше, чем длина когерентности. Это требование ограничивает число видимых интерференционных полос, наблюдаемых по схеме, изображенной на рис. 119.2. С увеличением номера полосы т раз — ность хода растет, вследствие чего четкость полос делается все хуже и хуже.
 [33]

После этого подвести противоположный край интерференционной картины под перекрест нитей и также заметить деление / 2, соответствующее новому положению тубуса с насадкой. При этом необходимо сосчитать число темных интерференционных полос п, прошедших перекрест нитей. Во время отсчетов по барабану микрометра руку необходимо удалять от барабана, так как прикосновение ее смещает интерференционную картину.
 [34]

Луч, падающий на диафрагму из специального источника света, интерферирует. Изменение формы диафрагмы в зависимости от давления меняет число интерференционных полос, что регистрируется на фотографической пленке.
 [36]

Перед контролем стеклянные пластины и рабочие поверхности уплотнительных колец необходимо обезжирить спиртом и протереть насухо. Пластину накладывают на рабочую поверхность, добиваясь такого контакта, при котором число интерференционных полос наименьшее. Отклонение от плоскости определяют подсчетом одинаковых по цвету полос при кольцевом их расположении. Интерференционные полосы считают, отступая на 0 5 мм от края контролируемой поверхности.
 [37]

Из рис. 197 видно, что для расчета интерференционной картины действительно можно воспользоваться схемой Юнга и всеми полученными выше для нее формулами. Так как область интерференции на экране ограничена точками В и В2, то легко подсчитать число интерференционных полос. В В2 2a — tg а, где а — расстояние от линии пересечения зеркал до экрана.
 [39]

Картина, возникающая при этом в фокальной плоскости выходного коллиматора, похожа на ту, которая имеет место во входном зрачке сисама. При точном совмещении растров число полос муара в поле зрения прибора стремится к нулю, точно так же, как и число интерференционных полос сисама при аналогичных условиях. При увеличении взаимного смещения растров число полос муара монотонно увеличивается, а амплитуда модуляции падает до нуля, образуя затем побочные максимумы и минимумы, как это имело место и в случае сисама. В сисаме модуляция светового потока происходит в результате изменения ( для данной длины волны) числа полос интерференции вдоль входного зрачка прибора, в растровом же спектрометре модуляция осуществляется изменением числа полос муара на выходной диафрагме ( пределы изменения зависят от длины волны) при взаимном смещении растров; при этом центральная полоса муара все время остается светлой, остальные же полосы периодически как бы расширяются от центра и сжимаются по направлению к нему.
 [40]

Сущность измерения углов интерференционным методом путем счета полос заключается в том, что в прямоугольном треугольнике с малым измеряемым углом меньший катет измеряют в длинах световых волн. Например, при измерении параллельности измерительных поверхностей микрометров интерференционным методом с помощью плоскопараллельной пластины большим катетом является диаметр измерительной поверхности микрометра, а малым — число интерференционных полос на обеих поверхностях, переведенное в микроны. При установке измеряемого клина, притертого к плоской пластинке на столике интерферометра ( например, интерферометра Кестерса, применяемого для измерения концевых мер), на свободной поверхности этого клина, как и на поверхности плоской пластины, наблюдается интерференционная картина. Измерение двугранного угла клина основано на определении числа полос на данном отрезке каждой стороны измеряемого угла.
 [41]

В настоящее время интерферометры с лазерными источниками излучения достаточно хорошо разработаны и обладают большой универсальностью, что является причиной их широкого применения. Процесс измерения величины линейного перемещения интерференционным методом заключается в определении числа длин волн ( или долей длины волны) излучения лазера, укладывающихся на измеряемом отрезке, и числа интерференционных полос, проходящих через поле зрения регистрирующего прибора при перемещении объекта, изменение положения которого контролируется.
 [42]

Полуколичественный метод приближенного определения функции распределения N ( z) позволяет найти оптимальное приближение для N ( z) по величине фазового сдвига, измеренного на слое плазмы, с помощью кривых, проинтегрированных для ряда симметричных функций распределения, при условии, если максимальная плотность определена из граничной частоты по пропусканию. Более точно рассматриваемая функция распределения получается экспериментальным путем при использовании трех зондирующих частот, из которых одна соответствует максимальной плотности электронов Nm, тогда как две другие выбираются примерно на 10 и 50 % выше первой; найденные для этих частот величины изменения фазовых углов по числу интерференционных полос позволяют с помощью семейства кривых, вычисленных для различных функций распределения, изучить профиль ионизации. С помощью этого метода было обнаружено, что в большинстве случаев имеет место трапецеидальное изменение плотности, которое с вполне удовлетворительной точностью описывает действительную картину.
 [43]

В случае получения голографических интерферограмм в реальном времени по френелевской схеме реализуется интерференционное сравнение восстановленной волны с волной, рассеиваемой реальным предметом, поэтому изменение масштаба топографического изображения недопустимо. Если же эталонная волна формируется голограммой сфокусированного изображения, то оказывается возможным производить сравнение увеличенного топографического изображения с изображением, увеличенным во столько же раз с помощью линзовой оптики. При этом число интерференционных полос на единице площади в апертуре фокусирующей системы уменьшается в зависимости от кратности увеличения.
 [44]

Длина когерентности есть то расстояние, на котором случайное изменение фазы достигает значения — я. Для получения интерференционной картины путем деления естественной волны на две части необходимо, чтобы оптическая разность хода А была меньше, чем длина когерентности. Это требование ограничивает число видимых интерференционных полос, наблюдаемых по схеме, изображенной на рис. 119.2. С увеличением номера полосы т разность хода растет, вследствие чего четкость полос делается все хуже и хуже.
 [45]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Интерференция волн.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: интерференция света.

В предыдущем листке, посвящённом принципу Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётся наложением вторичных волн. Но что это значит — «наложением»? В чём состоит конкретный физический смысл наложения волн? Что вообще происходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн? Этим вопросам и посвящён данный листок.

к оглавлению ▴

Сложение колебаний.

Сейчас мы будем рассматривать взаимодействие двух волн. Природа волновых процессов роли не играет — это могут быть механические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в прозрачной среде или в вакууме.

Опыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле.

Принцип суперпозиции. Если две волны накладываются друг на друга в определённой области пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблющейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихся величин в каждой из волн по отдельности.

Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой среды равно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двух электромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме напряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля).

Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любого количества накладывающихся волн. Результирующее колебание в данной точке всегда равно сумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности.

Мы ограничимся рассмотрением наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты. Этот случай наиболее часто встречается в физике и, в частности, в оптике.

Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз складывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волны могут как усиливать друг друга, так и полностью гасить!

Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся волнах совпадают (рис. 1).

Рис. 1. Волны в фазе: усиление колебаний

Мы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей волны, минимумы красной волны — на минимумы синей (левая часть рис. 1). Складываясь в фазе, красная и синяя волны усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной амплитуды (справа на рис. 1).

Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогда максимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот — минимумы синей волны совпадут с максимумами красной (рис. 2, слева).

Рис. 2. Волны в противофазе: гашение колебаний

Колебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе — разность фаз колебаний станет равна . Результирующее колебание окажется равным нулю, т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 2, справа).

к оглавлению ▴

Когерентные источники.

Пусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мы полагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле.

Когерентность. Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такими источниками, также называются когерентными.

Итак, рассматриваем два когерентных источника и . Для простоты считаем, что источники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равна нулю. В общем, эти источники являются «точными копиями» друг друга (в оптике, например, источник служит изображением источника в какой-либо оптической системе).

Наложение волн, излучённых данными источниками, наблюдается в некоторой точке . Вообще говоря, амплитуды этих волн в точке не будут равны друг другу — ведь, как мы помним, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника, и при разных расстояниях и амплитуды пришедших волн окажутся различными. Но во многих случаях точка расположена достаточно далеко от источников — на расстоянии гораздо большем, чем расстояние между самими источниками. В такой ситуации различие в расстояниях и не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн. Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке также совпадают.

к оглавлению ▴

Условие максимума и минимума.

Однако величина , называемая разностью хода, имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке .

Рис. 3. Усиление колебаний в точке P

В ситуации на рис. 3 разность хода равна длине волны . Действительно, на отрезке укладываются три полных волны, а на отрезке — четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длина таких отрезков составляет порядка миллиона длин волн). Легко видеть, что волны в точке складываются в фазе и создают колебания удвоенной амплитуды — наблюдается, как говорят, интерференционный максимум.

Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.

Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:

(1)

Теперь посмотрим на рис. 4. На отрезке укладываются две с половиной волны, а на отрезке -три волны. Разность хода составляет половину длины волны (d=lambda /2[/math]).

Рис. 4. Гашение колебаний в точке P

Теперь нетрудно видеть, что волны в точке складываются в противофазе и гасят друг друга — наблюдается интерференционный минимум. То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн.

Условие минимума.
Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:

(2)

Равенство (2) можно переписать следующим образом:

.

Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.

к оглавлению ▴

Интерференционная картина.

А что, если разность хода принимает какое-то иное значение, не равное целому или полуцелому числу длин волн? Тогда волны, приходящие в данную точку, создают в ней колебания с некоторой промежуточной амплитудой, расположенной между нулём и удвоенным значением 2A амплитуды одной волны. Эта промежуточная амплитуда может принимать все значения от 0 до 2A по мере того, как разность хода меняется от полуцелого до целого числа длин волн.

Таким образом, в той области пространства, где происходит наложение волн когерентных источников и , наблюдается устойчивая интерференционная картина — фиксированное не зависящее от времени распределение амплитуд колебаний. А именно, в каждой точке данной области амплитуда колебаний принимает своё значение, определяемое разностью хода приходящих сюда волн, и это значение амплитуды не меняется со временем.

Такая стационарность интерференционной картины обеспечивается когерентностью источников. Если, например, разность фаз источников будет постоянно меняться, то никакой устойчивой интерференционной картины уже не возникнет.

Теперь, наконец, мы можем сказать, что такое интерференция.

Интерференция — это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчивая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитуд результирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.

Если волны, перекрываясь, образуют устойчивую интерференционную картину, то говорят попросту, что волны интерферируют. Как мы выяснили выше, интерферировать могут только когерентные волны. Когда, например, разговаривают два человека, то мы не замечаем вокруг них чередований максимумов и минимумов громкости; интерференции нет, поскольку в данном случае источники некогерентны.

На первый взгляд может показаться, явление интерференции противоречит закону сохранения энергии — например, куда девается энергия, когда волны полностью гасят друг друга? Но никакого нарушения закона сохранения энергии, конечно же, нет: энергия просто перераспределяется между различными участками интерференционной картины. Наибольшее количество энергии концентрируется в интерференционных максимумах, а в точки интерференционных минимумов энергия не поступает совсем.

На рис. 5 показана интерференционная картина, созданная наложением волн двух точечных источников и . Картина построена в предположении, что область наблюдения интерференции находится достаточно далеко от источников. Пунктиром отмечена ось симметрии интерференционной картины.

Рис. 5. Интерференция волн двух точечных источников

Цвета точек интерференционной картины на этом рисунке меняются от чёрного до белого через промежуточные оттенки серого. Чёрный цвет — интерференционные минимумы, белый цвет — интерференционные максимумы; серый цвет — промежуточное значение амплитуды, и чем больше амплитуда в данной точке, тем светлее сама точка.

Обратите внимание на прямую белую полосу, которая идёт вдоль оси симметрии картины. Здесь расположены так называемые центральные максимумы. Действительно, любая точка данной оси равноудалена от источников (разность хода равна нулю), так что в этой точке будет наблюдаться является интерференционный максимум.

Остальные белые полосы и все чёрные полосы слегка искривлены; можно показать, что они являются ветвями гипербол. Однако в области, расположенной на большом расстоянии от источников, кривизна белых и чёрных полос мало заметна, и выглядят эти полосы почти прямыми.

к оглавлению ▴

Интерференционный опыт, изображённый на рис. 5, вместе с соответствующим методом расчёта интерференционной картины называется схемой Юнга. Эта схема лежит в основе знаменитного
опыта Юнга (речь о котором пойдёт в теме Дифракция света). Многие эксперименты по интерференции света так или иначе сводятся к схеме Юнга.

В оптике интерференционную картину обычно наблюдают на экране. Давайте ещё раз посмотрим на рис. 5 и представим себе экран, поставленный перпендикулярно пунктирной оси.
На этом экране мы увидим чередование светлых и тёмных интерференционных полос.

На рис. 6 синусоида показывает распределение освещённости вдоль экрана. В точке O, расположенной на оси симметрии, находится центральный максимум. Первый максимум в верхней части экрана, соседний с центральным, находится в точке A. Выше идут второй, третий (и такдалее) максимумы.

Рис. 6. Интерференционная картина на экране

Расстояние , равное расстоянию между любыми двумя соседними максимумами или минимумами, называется шириной интерференционной полосы. Сейчас мы займёмся нахождением этой величины.

Пусть источники находятся на расстоянии друг от друга, а экран расположен на расстоянии от источников (рис. 7 ). Экран заменён осью ; начало отсчёта , как и выше, отвечает центральному максимуму.

Рис. 7. Вычисление координат максимумов

Точки и служат проекциями точек и на ось и расположены симметрично относительно точки . Имеем: .

Точка наблюдения может находиться на оси (на экране) где угодно. Координату точки
мы обозначим . Нас интересует, при каких значениях в точке будет наблюдаться интерференционный максимум.

Волна, излучённая источником , проходит расстояние:

. (3)

Теперь вспомним, что расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана: . Кроме того, в подобных интерференционных опытах координата точки наблюдения также гораздо меньше . Это означает, что второе слагаемое под корнем в выражении (3) много меньше единицы:

.

Раз так, можно использовать приближённую формулу:

(4)

Применяя её к выражению (4), получим:

(5)

Точно так же вычисляем расстояние, которое проходит волна от источника до точки наблюдения:

. (6)

Применяя к выражению (6) приближённую формулу (4), получаем:

. (7)

Вычитая выражения (7) и (5), находим разность хода:

. (8)

Пусть — длина волны, излучаемой источниками. Согласно условию (1), в точке будет наблюдаться интерференционный максимум, если разность хода равна целому числу длин волн:

Отсюда получаем координаты максимумов в верхней части экрана (в нижней части максимумы идут симметрично):

При получаем, разумеется, (центральный максимум). Первый максимум рядом с центральным соответствует значению и имеет координату .Такой же будет и ширина интерференционной полосы:

.