Как найти числовой промежуток 6 класс

Числовые промежутки представляют собой множества чисел на координатной прямой. Это ось, на которой расположены точки или переменные, имеющие определенные координаты. Для нее важно начало отсчета, выбранный единичный отрезок и направление, чтобы обозначать положительные и отрицательные значения.

Знакомство с координатами и числами происходит на уроках математики в 6 классе, но некоторые понятия вводятся уже с 1 класса. Понятия и обозначения используются на протяжении всего курса алгебры и геометрии. Знакомство с азами в средней школе позволит легко справляться со сложными задачами в будущем. Со временем проводятся вычисления со множествами чисел, это касается их пересечения и объединения.

Виды числовых промежутков

На координатной прямой можно выделить несколько видов промежутков. При этом они зависят от одной или двух переменных, расположенных на оси. Они служат границами. Сама прямая имеет координаты (-∞; +∞), то есть от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Промежутки позволяют находить значения числовых выражений даже для учащихся младших классов. Выбирается место отсчета и единичный отрезок, что характеризует любую координатную прямую. 

Чтобы выполнить простое арифметическое действие, нужно нарисовать нужное число отрезков. Чтобы сложить «2» и «3», достаточно отмерить сначала два, затем три выбранных единицы и сосчитать полученный результат. Так наглядно представляются простые математические операции для младших школьников.

На координатную прямую можно нанести известные значения и сравнить их, обращая внимание на положение. Так дети наглядно представляют, какое число меньше, а какое больше.

Открытый числовой луч

Открытый луч – интервал с бесконечно большим числом точек. При объяснении понятие «числовой» часто опускается, при этом смысл не меняется. 

Точки расположены по одну сторону от определенной переменной, признанной началом координат. 

Находиться они могут как с правой, так и с левой стороны. При этом если за основу берется А, то множество обозначается следующим образом:

• (-∞; А);

• (А; +∞).

Таким образом указываются координаты. Читается как «от минус бесконечности до А» и «от А до плюс бесконечности». 

Также можно охарактеризовать неравенством:

• х < А;

• х > А.

Знак зависит от расположения луча относительно А.

Замкнутый числовой луч

Замкнутый луч отличается от открытого тем, что к множеству относится А. 

Также ему соответствует условие:

• х ≤ А (значение меньше или равно А) или (-∞; А], то есть используются квадратные скобки;

• х ≥ А (значение больше или равно А) или [А; +∞).

При графическом изображении А в этом случае закрашивается, на рисунке она черная.

Что касается открытого луча, то там А остается пустой, еще ее называют выколотой. Она связана с переменной строгим неравенством, не принадлежит к рассматриваемому множеству.

Числовой отрезок

Отрезок – замкнутый, закрытый промежуток или расстояние. Это множество переменных, расположенных на прямой между двумя точками, А и В. При этом они относятся к рассматриваемому множеству и называются концами. 

При изображении они будут закрашены. Остальные точки отрезка считаются внутренними.

Обозначается отрезок, например, -7 ≤ х ≤ 3. Запись читается следующим образом: «отрезок от минус семи до трех».

Интервал

Интервал представляет собой открытый отрезок, от которого он отличается тем, что границы к нему не относятся. Интервалу принадлежат исключительно внутренние точки прямой, границы же будут выколоты. 

Обозначается, например, 5 < х < 13. Читается запись как «интервал от пяти до тринадцати».

Полуинтервал

Полуинтервал – интервал, при этом одна из точек, его ограничивающих, входит в него. То есть он закрыт с одной стороны. При этом неважно, какая из границ будет принадлежать интервалу, а какая нет.

Обозначаются с помощью двойных неравенств, при этом они называются нестрогими, так как используются знаки «больше или равно» или «меньше или равно». Одна из точек на графике не будет закрашена. 

Обозначение может выглядеть, например, так -2 ≤ х < 9, «полуинтервал от минус двух до девяти».

Таблица числовых промежутков

Все промежутки имеют обозначения и неравенства. Данные об этом собраны в таблице. Каждому виду соответствует графическое изображение. 

Наглядное изображение поможет восприятию и закреплению материала.

Границы представлены а и b, они так и называются, граничными точками. При этом знаки ≥ и ≤ обозначаются квадратной скобкой. При графическом изображении такая граница закрашивается, это означает, что она входит в множество. Строгие неравенства соответствуют выколотым точкам на графиках.

Промежутки знакомят школьников с простыми неравенствами, строгими и нестрогими, которые необходимы для решения сложных математических задач.

Числовые промежутки. Пересечение и объединение числовых промежутков

Отметим на координатной прямой точки с координатами -3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше -3 и меньше 2. Верно и обратное: если число х удовлетворяет условию -3<x<2 , то оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами -3 и 2.

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию -3<x<2, называется числовым промежутком или просто промежутком от -3 до 2 и обозначается так: (-3;2).

На рисунках изображены множество чисел х, для которых выполняется неравенство х<10 и х≤10. Эти множества представляют собой промежутки, обозначаемые соответственно (-∞; 10) и (-∞; 10]. Читается так: число х принадлежит промежутку от минус бесконечности (-∞) до 10 (х<10) и число х принадлежит промежутку от минус бесконечности (-∞) до 10, включая число 10 (х≤10). Знак равенства в неравенстве обозначается квадратной скобкой в указании промежутка.

Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают А∩В. Промежуток [3;5] является пересечением промежутков [-1;5] и [3;7]. Это можно записать так: [-1;5]∩[3;7]=[3;5].

Промежутки [0;4] и [6;10] не имеют общих элементов. Если множество не имеет общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто. Значит, пересечение промежутков [0;4]∩[6;10]=0.

Объединение числовых промежутков

Каждое число из промежутка [1;7] принадлежит хотя бы одному из промежутков [1;5] и [3;7], то есть, либо промежутку [1;5], либо промежутку [3;7], либо им обоим. 

Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, называют объединением этих множеств обозначают AB.

Промежуток [1;7] является объединением промежутков [1;5] и [3;7]. Это можно записать так: 

Заметим, что объединение промежутков не всегда представляет собой промежуток, например множество не является  промежутком.

1. Числовым промежутком называется множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству.
2. Знак равенства в неравенстве обозначается квадратной скобкой в указании промежутка.
3. Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают А∩В.
4. Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, называют объединением этих множеств обозначают .

Вопросы к конспектам

Найдите объединение промежутков [-5; 9] и [7; 12]

Найдите пересечение отрезков [-3;5] и [-1;9]

Запишите двойное неравенство -2 < y ≤ 0 в виде промежутка:

Количество целых решений неравенства: 10 < x ≤ 14

Найдите разницу наибольшего и наименьшего целых чисел в промежутке [-10;8)

Числовой промежуток, удовлетворяющий неравенству: х ≥ -2

23.11.2020г.

Математика

6 а/б класс. Ссылка на видеоурок https://youtu.be/qT5qXlDDd-s

Тема урока: Числовые промежутки. Понятие множества, элемента множества, подмножества. Пересечение и объединение множеств. Графическая и аналитическая модель числовых промежутков.

Открой тетрадь и запиши число на полях и «Классная работа».

Ниже запиши тему урока.

Запишите в тетрадь все определения, таблицу и примеры.

Числовые промежутки или просто промежутки — множества всех чисел, удовлетворяющих неравенству. По другому, это числовые множества, которые можно изобразить на координатной прямой.

Числовые промежутки – луч и открытый луч

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «луч», «открытый луч», «отрезок», «интервал», «числовые промежутки», а также научимся записывать по рисунку числовые промежутки и неравенства.

Для рассмотрения новых понятий воспользуемся рисунками, на которых изображена координатная прямая. Правда, без обозначенных на ней начала отсчета и единичного отрезка. Мы это сделали для того, чтобы не загромождать рисунок.

На координатной прямой отмечена точка a, штриховкой отмечены все точки прямой, которые лежат правее a,т.е. числа большие числаa.

Такое множество точек (чисел) называют открытым лучом и обозначают так:

Читают так: а плюс бесконечность или от а до плюс бесконечности.

Для любого числа х из этого множества верно неравенство х a.

Таким образом, открытый луч – это луч, начало которого ему не принадлежит.

Строгие и нестрогие неравенства

Рассмотрим еще один открытый луч:

На координатной прямой штриховкой отмечены точки, которые расположены слева от точки а. Эти числа меньше, чем а.

Данное множество точек (чисел) обозначается так:

И читается: от минус бесконечности до а.

Для любого числа х этого открытого луча верно неравенство

 

Обратите внимание, на рисунках, которые мы рассмотрели, точка, соответствующая числу а, обозначена незакрашенным кружочком.

Если закрасить кружок, то множество чисел изменится.

В этом случае число, обозначающее точку а, тоже принадлежит к заштрихованному множеству. Получается луч.

Данные множества записываются с помощью квадратной скобки:

   

Такие неравенства называют нестрогими.

Неравенства вида х a и х строгими.

Числовые промежутки – интервал и отрезок

Рассмотрим еще два рисунка.

На обоих рисунках штриховкой обозначены точки (числа), которые находятся между точками a и b. В первом случае числа a и b не входят в множество – точки не закрашены, во втором входят – точки закрашены.

Первое множество называют интервалом и обозначают с помощью круглых скобок (a; b).

На втором рисунке изображен тот же интервал, но к нему присоединили его концы точки а и b, поэтому это уже не интервал, а отрезок, и записывается данное множество с помощью квадратных скобок [а; b].

Для всех точек интервала (a; b) верно двойное неравенство а

Для всех точек х, принадлежащих отрезку [а; b], верно двойное нестрогое неравенство а ≤ х ≤ b, (х больше или равен а, но меньше или равен b).

Запись числового промежутка и неравенства по рисунку

«Луч», «открытый луч», «отрезок», «интервал» – это всё числовые промежутки.

Часто при решении задачи мы рисуем схему по ее условию, а затем составляем уравнение. И схема и уравнение – это математические модели ситуации, описанной в задаче.

Схема – графическая модель, уравнение – аналитическая модель.

Аналогично дело обстоит и с числовыми промежутками.

Числовой промежуток – это все числа, соответствующие определенному условию.

Условие соответствует какой-либо математической ситуации. Можно построить как графическую, так и аналитическую модель, кроме того сделать еще и символическую запись.

Например, все числа меньшие 3.

В данном случае числовым промежутком будет открытый луч, графическая модель будет такая:

Аналитической моделью является строгое неравенство х а символическая запись (-∞; 3).

Графическими моделями для числовых промежутков являются: луч, открытый луч, отрезок, интервал.

Аналитическими моделями: строгие, нестрогие неравенства, а так же двойные неравенства.

Обобщим полученную знания о числовых промежутках в следующей таблице.

Виды числовых промежутков: (перерисуйте в тетрадь данную таблицу)

В таблице  a  и  b  — это граничные точки, а  x  — переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка — это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие — закрашенным кругом.

Сделай паузу. Выполни упражнения:

Теперь рассмотрим на конкретных примерах виды числовых промежутков.

Открытый луч 

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а, значит, расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством  x  2.  Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок —  (2; +∞),  данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство  x 

Замкнутый луч 

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства   x ⩾ 2   и   x ⩽ 2   можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так:  [2; +∞)  и  (-∞; 2],  читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством   -2 ⩽ x ⩽ 3   или обозначить  [-2; 3],  такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством   -2 x 

Полуинтервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так:  (-2; 3]  и  [-2; 3).  Читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3, и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.

Теперь рассмотрим, какие операции можно производить с числовыми промежутками.

Пересечение и объединение числовых промежутков

Пересечение числовых промежутков

Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают А∩В. Промежуток [3;5] является пересечением промежутков [-1;5] и [3;7]. Это можно записать так: [-1;5]∩[3;7]=[3;5].

Промежутки [0;4] и [6;10] не имеют общих элементов. Если множество не имеет общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто. Значит, пересечение промежутков [0;4]∩[6;10]=0.

Объединение числовых промежутков

Каждое число из промежутка [1;7] принадлежит хотя бы одному из промежутков [1;5] и [3;7], то есть, либо промежутку [1;5], либо промежутку [3;7], либо им обоим. 

Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, называют объединением этих множеств обозначают A B.

Промежуток [1;7] является объединением промежутков [1;5] и [3;7]. Это можно записать так: 

Заметим, что объединение промежутков не всегда представляет собой промежуток, например множество не является  промежутком.

Теперь подведи итоги своей работе на уроке и устно ответь на вопросы:

1. Что такое числовой промежуток?

2. Какими скобками обозначается строгое неравенство?

3. Что называют пересечением множеств А∩В?

4. Что называют объединением множеств A B?

Сделай в тетради все необходимы записи, разбери еще раз непонятные для тебя моменты, отдохни 15 минут.

Теперь открой файл «23.11.20 Практикум Числовые промежутки», рассмотри примеры решенных заданий, выполни упражнения самостоятельно, пришли на проверку свою работу.

Числовые промежутки

• Виды числовых промежутков
• Открытый и замкнутый луч
• Отрезок
• Интервал и полуинтервал

Числовые промежутки или просто промежутки — это числовые множества, которые можно изобразить на координатной прямой. К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Виды числовых промежутков

Название	Изображение	Неравенство	Обозначение
Открытый луч		x > a	(a; +∞)
	x < a	(-∞; a)
Замкнутый луч		x ⩾ a	[a; +∞)
	x ⩽ a	(-∞; a]
Отрезок		a ⩽ x ⩽ b	[a; b]
Интервал		a < x < b	(a; b)
Полуинтервал		a < x ⩽ b	(a; b]
	a ⩽ x < b	[a; b)

В таблице  a  и  b  — это граничные точки, а  x  — переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка — это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие — закрашенным кругом.

Открытый и замкнутый луч

Открытый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а, значит, расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством  x > 2.  Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок —  (2; +∞),  данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство  x < 2,  можно обозначить  (-∞; 2)  или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Замкнутый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства   x ⩾ 2   и   x ⩽ 2   можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так:  [2; +∞)  и  (-∞; 2],  читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Отрезок — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством   -2 ⩽ x ⩽ 3   или обозначить  [-2; 3],  такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Интервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством   -2 < x < 3   или обозначить  (-2; 3).  Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Полуинтервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так:  (-2; 3]  и  [-2; 3).  Читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3, и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Числовые промежутки.

• 

  2 слайд

  1) Вычислите:
  -2,5+6 7) -5,2+(-3,5)
  -5,7-2,3 12,4-15
  3,6-5,7 9) -3,12-2,18
  -11-(-2,5) 10) 6,2-(-5,44)
  9,81-(-1,19) 11) -14,3+16
  -7,9+18,9 12) -8,2-(-8,2)

• 

  3 слайд

  2) Меду какими целыми числами заключено число?
  1,5
  -1,5
  -9,5

• 

  4 слайд

  3) Прочитайте неравенство и назовите несколько значений переменной, удовлетворяющее данному неравенству.
  а) х < – 3

  б) x ≥ 7

  в) – 1 < x < 1

• 

  5 слайд

  Определение.
  Множество всех чисел, удовлетворяющих какому либо условию, называется числовым промежутком.

• 

  6 слайд

  Множество действительных чисел
  (х -любое число)
  (-∞;+∞) — интервал
  Числовой промежуток от -∞ до +∞
  Пример

• 

  7 слайд

  х ≥ а
  а
  [a; +∞) — числовой луч
  Числовой промежуток от а до +∞, включая а.
  Пример

• 

  8 слайд

  х > а
  а
  (а; +∞) — открытый луч
  Числовой промежуток от а до +∞.
  Пример

• 

  9 слайд

  x < a
  a
  ( — ∞; a) – числовой луч
  Промежуток от — ∞ до а
  Пример

• 

  10 слайд

  х ≤ а
  а
  ( — ∞;а] – числовой луч
  Числовой промежуток от — ∞ до а,
  включая а
  Пример

• 

  11 слайд

  a < x < b
  a b
  (a;b) — интервал
  Числовой промежуток от а до b
  Пример

• 

  12 слайд

  а ≤ х < b
  a b
  [ a;b) — полуинтервал
  Числовой промежуток от а до b, включая а.
  Пример

• 

  13 слайд

  а < x ≤ b
  a b
  (a; b] — полуинтервал
  Числовой промежуток от а до b,
  включая b.
  Пример

• 

  14 слайд

  а ≤ x ≤ b
  a b
  [ a; b] – числовой отрезок
  Числовой промежуток от а до b,
  включая а и b.
  Пример

• 

  15 слайд

  Назовите промежутки, изображенные
  на рисунке
  — 3
  12
  — 8 1,8
  -8,4 67

• 

  16 слайд

  6
  — 42
  25 32
  -2,3 0

• 

  17 слайд

  Изобразите промежутки на координатной прямой ( работа в группах ).
  [ -3;7); [8;21]; (-1; 3)

  (2;+∞) (-∞; +∞)

  (-∞; 12]; (4;+∞)

• 

  18 слайд

  Работа по учебнику:
  № 333;
  № 336;
  №339;
  №362.

• 

  19 слайд

  Самостоятельная работа
  1 вариант 2 вариант

  Учебник
  № 812(а,г,з) № 812(б,в,ж)
  № 813(а,б) № 813(в,г)

• 

  20 слайд

  Проверка
  1 вариант 2 вариант

  а) б)

  г) в)

  з) ж)
  №812
  №813
  -2 4 -3 3

  -4 0 0 5

  -1 4
  а) [-2;6]; в) (-1;7);
  б) [-1;+∞). г) (-∞;4].

• 

  21 слайд

  Домашнее задание.
  №337;
  № 341;
  № 361(а;в).

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 263 342 материала в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»

• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий