Как найти cos угла формула

Определение косинуса угла

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

1.png

В случае с рисунком, описанным выше: cos⁡α=bccosalpha=frac{b}{c}

Задача 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.

Решение

Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

62+b2=1026^2+b^2=10^2

36+b2=10036+b^2=100

b2=64b^2=64

b=8b=8

Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:

cos⁡α=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8

Ответ

0.8

Задача 2

Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.

Решение

Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:

P=a+b+cP=a+b+c

25=9+4+c25=9+4+c

c=12c=12

При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:

cos⁡α=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82

Ответ

0.820.82

Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!

Тест по теме “Вычисление косинуса”

  • Определение

  • График косинуса

  • Свойства косинуса

  • Обратная к косинусу функция

  • Таблица косинусов

Определение

Косинус острого угла α (cos α) – это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c) в прямоугольном треугольнике.

cos α = b / c

Косинус острого угла

Например:
b = 4
c = 5
cos α = b / c = 4 / 5 = 0.8

График косинуса

Функция косинуса пишется как y = cos (x). График называется косинусоидой и в общем виде выглядит следующим образом:

График косинуса

Косинусоида – периодическая функция с основным периодом T = 2π.

Свойства косинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства косинуса с формулами:

Обратная к косинусу функция

Арккосинус x – это обратная к косинусу функция x, при -1≤x≤1.

Если косинус у равняется х (cos y = x), значит арккосинус x равен у:

arccos x = cos-1 x = y

Например:

arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)

Таблица косинусов

x (°) x (рад) cos x
180° π -1
150° 5π/6 -√3/2
135° 3π/4 -√2/2
120° 2π/3 -1/2
90° π/2 0
60° π/3 1/2
45° π/4 2/2
30° π/6 3/2
0 1

microexcel.ru

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла alpha, называется противолежащим (по отношению к углу alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin displaystyle alpha = frac{a}{c} sin{}^2 alpha +cosdisplaystyle {}^2 alpha =1 alpha + beta = 90 ^{circ} 
cos displaystyle alpha = frac{b}{c} 1+tg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha} cosalpha = sin beta
tg displaystyle alpha = frac{a}{b} 1+ctg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha} sinalpha = cosbeta
ctg displaystyle alpha = frac{b}{a} tgalpha = ctgbeta

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{circ}.
  2. С одной стороны, sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}, поскольку для угла beta катет а будет прилежащим. Получаем, что cos beta =sin alpha. Иными словами, cos left( 90^{circ}-A right) = sin A.
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на c^2, получаем displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 , то есть sin ^2 A+cos^2 A=1.
    Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }. Это значит, что если нам дан тангенс острого угла alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{circ} до 90^{circ}.

varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}
sinvarphi 0 displaystyle frac{1}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{sqrt{3}}{2} 1
cosvarphi 1 displaystyle frac{sqrt{3}}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{1}{2} 0
tgvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3}
ctgvarphi sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .

Из этих равенств следует, что displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} , т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1}, т. е. cos А = cosA_1, и displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1}, т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{circ}, sin A = cos B = 0,1.

Задача 2В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, AB=5, sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Найдите AC.

Решение:

sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Отсюда

BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против angle C. Значит, sin A displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

Тогда AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.

cos⁡ А displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;

tg A displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 2, sin A= displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17}, displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} , displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2, получим

a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;

a^2+4=17a^2;

16a^2=4, displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;

BC = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 4, tg A = displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} . Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},

displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}}, displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},

AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен 90^ circ, CH – высота, AB = 13, tg A = displaystyle frac{1}{5} . Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} , тогда b = 5a.

По теореме Пифагора triangleABC: a^2+b^2=c^2,

a^2+(5a)^2=13^2,

26 a^2=169,

displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}}, тогда displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.

triangle AHC approx triangle ACB (по двум углам), следовательно displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} , откуда

displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ,

CH – высота, BC = 3, sin A = displaystyle frac{1}{6} .

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6}, тогда displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} , c = АВ = 18.

sin A = displaystyle frac{a}{c} = cos⁡ B = displaystyle frac{1}{6} .

Рассмотрим triangle BHC:

{cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC} = displaystyle frac{1}{6} , получим displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},

тогда BH = displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2} = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BC = 3, cos A = displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.

Найдите АH.

Решение:

Так как для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}= sin В = displaystyle frac{sqrt{35}}{6},

а для triangle ВНС: sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{sqrt{35}}{6} , откуда СН = displaystyle frac{BC cdot  sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},

По теореме Пифагора найдем ВН:

BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=

=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для triangle АВС получим:

{CH}^2=AH cdot BH, тогда AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = {cos B}.

Рассмотрим triangle BHC : {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}.

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,

тогда {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28, а значит и sin A = {cos B  }= 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = ;   cos A = displaystyle frac{b}{c} = displaystyle frac{AC}{AB} = {sin B },

тогда tg A = displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB, который найдем из triangle BHC:

ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, tg A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.

Для triangle BHC: ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3} , значит displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3}, СН = displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.

Для triangle АHC: tg A= displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, то displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, AH = displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, sin A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = displaystyle frac{BC}{AB} = sin A = displaystyle frac{2}{3}.

Из triangle СВН имеем cos В = displaystyle frac{HB}{BC} = displaystyle frac{2}{3}, тогда ВС = displaystyle frac{3 cdot  HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.

В triangle АВС имеем sinA = displaystyle frac{BC}{AB} = displaystyle frac{2}{3}, тогда AВ = displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из triangle ВСН:

HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=

sqrt{8 cdot 32}= sqrt{8 cdot 2 cdot 16}=16.

sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5}, получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5}, то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2= {AB}^2, получим {(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2
{25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,

{16x}^2= {20}^2,

x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,
х = 5 ( так как хtextgreater 0). Значит, AC=15,  AB=25.

2-й способ.

triangle HBC approx triangle CBA (по двум углам), значит displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB} или displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

k = displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} , тогда displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5}, АС = displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15; displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5}, АВ = displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.

3-й способ.

{CH}^2=AH cdot HB (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH cdot 16, АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)} = sqrt{5cdot 45}=sqrt{5cdot 5cdot 9}=15.

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного triangle ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}= sqrt{900}=30;

cos C = displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: sin А = displaystyle frac{BC}{AC} = cos C = displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АНВ: sin А = displaystyle frac{BH}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, то displaystyle frac{24}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, АВ = displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = displaystyle frac{7}{25}.

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном triangle АСЕ sin А = displaystyle frac{CE}{AC},

значит CE=AC cdot sinA=50 cdot displaystyle frac{7}{25} = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};

AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = displaystyle frac{1}{2}ab,

поэтому S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin angle ACK. Результат округлите до сотых.

Решение:

triangle CAK approx triangle BAC ( angle A-общий, angle AKC=angle ACB=90{}^circ ),

значит angle ACK=angle ABC, sin angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.

Найдем АС по теореме Пифагора из triangle САВ:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=

=sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{25}= 5.

Тогда sin angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = displaystyle frac{12}{13}. Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то triangle АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = displaystyle frac{1}{2}AB=36.

Поскольку triangle АСН — прямоугольный,

cos A = displaystyle frac{AH}{AC}= displaystyle frac{12}{13}, то есть displaystyle frac{36}{AC}= displaystyle frac{12}{13} Rightarrow АС = displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.

По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2, тогда

CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=

=sqrt{(39-36)(39+36)}=sqrt{3cdot 3cdot 25}=15.

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, sin A = displaystyle frac{11}{14}, AC = 10sqrt{3}. Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = displaystyle frac{BC}{AB}= displaystyle frac{11}{14}, то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2;

{(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

{(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

3cdot 25 x^2 = 3 cdot 100.

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1;

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

По определению cos A = displaystyle frac{AC}{AB}, значит displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

Так как АС=10sqrt{3}, то displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}, откуда АВ = displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}} = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, angle DAO=angle BAO = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3}, а катет ВО = displaystyle frac{1}{2}BD =2.

Поэтому tgalpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}}, откуда alpha =30{}^circ .

angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .

Ответ: {60}^circ, {120}^circ, {60}^circ, {120}^circ .

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} или с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{circ}, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, угол А равен 30{}^circ, АВ = 2sqrt{3} .

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим triangle АВС:

По свойству катета, лежащего против угла {30}^circ, имеем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = sqrt{3}.

В triangle BHC: angle BHC=90{}^circ ,;  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно, ВН = displaystyle frac{1}{2} BC = displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.

По теореме Пифагора найдем НС:

HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=

=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, АВ = 2, angle A=30{}^circ . Найдите АH.

Решение:

Из triangle АВС найдем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30{}^circ),

angle A=30{}^circ , то angle B=60{}^circ .

Из triangle ВСН: angle BHC=90{}^circ ,  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно,

ВН = displaystyle frac{1}{2} ВС = displaystyle frac{1}{2}.

АН = АВ — НВ = 2 — displaystyle frac{1}{2} = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Косинус угла cos(A)

Косинус угла cos(A) — есть отношение прилежащего катета b к гипотенузе c

[ cos(A) = frac{b}{c} ]

Косинус угла — cos(A), таблица

0°
Косинус угла 0 градусов

$ cos(0°) = cos(0) = 1 $
1.000
30°
Косинус угла 30 градусов

$ cos(30°) = cosBig(Largefrac{pi}{6}normalsizeBig) = Largefrac{sqrt{3}}{2}normalsize $
0.866
45°
Косинус угла 45 градусов

$ cos(45°) = cosBig(Largefrac{pi}{4}normalsizeBig) = Largefrac{sqrt{2}}{2}normalsize $
0.707
60°
Косинус угла 60 градусов

$ cos(60°) = cosBig(Largefrac{pi}{3}normalsizeBig) = Largefrac{1}{2}normalsize $
0.500
90°
Косинус угла 90 градусов

$ cos(90°) = cosBig(Largefrac{pi}{2}normalsizeBig) = 0 $
0.000

Вычислить, найти косинус угла cos(A) и угол, в прямоугольном треугольнике

Вычислить, найти косинус угла cos(A) по углу A в градусах

Вычислить, найти косинус угла cos(A) по углу A в радианах

Косинус угла — cos(A)

стр. 218

Косинус угла. Таблица косинусов.

Косинус угла через градусы, минуты и секунды

Косинус угла через десятичную запись угла

Как найти угол зная косинус этого угла

У косинуса есть обратная тригонометрическая функция — arccos(y)=x

cos(arccos(y))=y

Пример cos(60°) = 1/2; arccos(1/2) = 60°

Рассчитать арккосинус

Определение косинуса

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Косинус острого угла

cos(α) = AC/AB

cos(-α) = cos(α)

cos(α ± 2π) = cos(α)

Таблица косинусов в радианах

cos(0°) = 1cos(π/12) = cos(15°) = 0.9659258263cos(π/6) = cos(30°) = 0.8660254038cos(π/4) = cos(45°) = 0.7071067812cos(π/3) = cos(60°) = 0.5cos(5π/12) = cos(75°) = 0.2588190451cos(π/2) = cos(90°) = 0cos(7π/12) = cos(105°) = -0.2588190451cos(2π/3) = cos(120°) = -0.5cos(3π/4) = cos(135°) = -0.7071067812cos(5π/6) = cos(150°) = -0.8660254038cos(11π/12) = cos(165°) = -0.9659258263cos(π) = cos(180°) = -1cos(13π/12) = cos(195°) = -0.9659258263cos(7π/6) = cos(210°) = -0.8660254038cos(5π/4) = cos(225°) = -0.7071067812cos(4π/3) = cos(240°) = -0.5cos(17π/12) = cos(255°) = -0.2588190451cos(3π/2) = cos(270°) = 0cos(19π/12) = cos(285°) = 0.2588190451cos(5π/3) = cos(300°) = 0.5cos(7π/4) = cos(315°) = 0.7071067812cos(11π/6) = cos(330°) = 0.8660254038cos(23π/12) = cos(345°) = 0.9659258263

Таблица Брадиса косинусы

cos(0) = 1 cos(120) = -0.5 cos(240) = -0.5
cos(1) = 0.9998476952 cos(121) = -0.5150380749 cos(241) = -0.4848096202
cos(2) = 0.999390827 cos(122) = -0.5299192642 cos(242) = -0.4694715628
cos(3) = 0.9986295348 cos(123) = -0.544639035 cos(243) = -0.4539904997
cos(4) = 0.9975640503 cos(124) = -0.5591929035 cos(244) = -0.4383711468
cos(5) = 0.9961946981 cos(125) = -0.5735764364 cos(245) = -0.4226182617
cos(6) = 0.9945218954 cos(126) = -0.5877852523 cos(246) = -0.4067366431
cos(7) = 0.9925461516 cos(127) = -0.6018150232 cos(247) = -0.3907311285
cos(8) = 0.9902680687 cos(128) = -0.6156614753 cos(248) = -0.3746065934
cos(9) = 0.9876883406 cos(129) = -0.629320391 cos(249) = -0.3583679495
cos(10) = 0.984807753 cos(130) = -0.6427876097 cos(250) = -0.3420201433
cos(11) = 0.9816271834 cos(131) = -0.656059029 cos(251) = -0.3255681545
cos(12) = 0.9781476007 cos(132) = -0.6691306064 cos(252) = -0.3090169944
cos(13) = 0.9743700648 cos(133) = -0.6819983601 cos(253) = -0.2923717047
cos(14) = 0.9702957263 cos(134) = -0.6946583705 cos(254) = -0.2756373558
cos(15) = 0.9659258263 cos(135) = -0.7071067812 cos(255) = -0.2588190451
cos(16) = 0.9612616959 cos(136) = -0.7193398003 cos(256) = -0.2419218956
cos(17) = 0.956304756 cos(137) = -0.7313537016 cos(257) = -0.2249510543
cos(18) = 0.9510565163 cos(138) = -0.7431448255 cos(258) = -0.2079116908
cos(19) = 0.9455185756 cos(139) = -0.7547095802 cos(259) = -0.1908089954
cos(20) = 0.9396926208 cos(140) = -0.7660444431 cos(260) = -0.1736481777
cos(21) = 0.9335804265 cos(141) = -0.7771459615 cos(261) = -0.156434465
cos(22) = 0.9271838546 cos(142) = -0.7880107536 cos(262) = -0.139173101
cos(23) = 0.9205048535 cos(143) = -0.79863551 cos(263) = -0.1218693434
cos(24) = 0.9135454576 cos(144) = -0.8090169944 cos(264) = -0.1045284633
cos(25) = 0.906307787 cos(145) = -0.8191520443 cos(265) = -0.08715574275
cos(26) = 0.8987940463 cos(146) = -0.8290375726 cos(266) = -0.06975647374
cos(27) = 0.8910065242 cos(147) = -0.8386705679 cos(267) = -0.05233595624
cos(28) = 0.8829475929 cos(148) = -0.8480480962 cos(268) = -0.0348994967
cos(29) = 0.8746197071 cos(149) = -0.8571673007 cos(269) = -0.01745240644
cos(30) = 0.8660254038 cos(150) = -0.8660254038 cos(270) = 0
cos(31) = 0.8571673007 cos(151) = -0.8746197071 cos(271) = 0.01745240644
cos(32) = 0.8480480962 cos(152) = -0.8829475929 cos(272) = 0.0348994967
cos(33) = 0.8386705679 cos(153) = -0.8910065242 cos(273) = 0.05233595624
cos(34) = 0.8290375726 cos(154) = -0.8987940463 cos(274) = 0.06975647374
cos(35) = 0.8191520443 cos(155) = -0.906307787 cos(275) = 0.08715574275
cos(36) = 0.8090169944 cos(156) = -0.9135454576 cos(276) = 0.1045284633
cos(37) = 0.79863551 cos(157) = -0.9205048535 cos(277) = 0.1218693434
cos(38) = 0.7880107536 cos(158) = -0.9271838546 cos(278) = 0.139173101
cos(39) = 0.7771459615 cos(159) = -0.9335804265 cos(279) = 0.156434465
cos(40) = 0.7660444431 cos(160) = -0.9396926208 cos(280) = 0.1736481777
cos(41) = 0.7547095802 cos(161) = -0.9455185756 cos(281) = 0.1908089954
cos(42) = 0.7431448255 cos(162) = -0.9510565163 cos(282) = 0.2079116908
cos(43) = 0.7313537016 cos(163) = -0.956304756 cos(283) = 0.2249510543
cos(44) = 0.7193398003 cos(164) = -0.9612616959 cos(284) = 0.2419218956
cos(45) = 0.7071067812 cos(165) = -0.9659258263 cos(285) = 0.2588190451
cos(46) = 0.6946583705 cos(166) = -0.9702957263 cos(286) = 0.2756373558
cos(47) = 0.6819983601 cos(167) = -0.9743700648 cos(287) = 0.2923717047
cos(48) = 0.6691306064 cos(168) = -0.9781476007 cos(288) = 0.3090169944
cos(49) = 0.656059029 cos(169) = -0.9816271834 cos(289) = 0.3255681545
cos(50) = 0.6427876097 cos(170) = -0.984807753 cos(290) = 0.3420201433
cos(51) = 0.629320391 cos(171) = -0.9876883406 cos(291) = 0.3583679495
cos(52) = 0.6156614753 cos(172) = -0.9902680687 cos(292) = 0.3746065934
cos(53) = 0.6018150232 cos(173) = -0.9925461516 cos(293) = 0.3907311285
cos(54) = 0.5877852523 cos(174) = -0.9945218954 cos(294) = 0.4067366431
cos(55) = 0.5735764364 cos(175) = -0.9961946981 cos(295) = 0.4226182617
cos(56) = 0.5591929035 cos(176) = -0.9975640503 cos(296) = 0.4383711468
cos(57) = 0.544639035 cos(177) = -0.9986295348 cos(297) = 0.4539904997
cos(58) = 0.5299192642 cos(178) = -0.999390827 cos(298) = 0.4694715628
cos(59) = 0.5150380749 cos(179) = -0.9998476952 cos(299) = 0.4848096202
cos(60) = 0.5 cos(180) = -1 cos(300) = 0.5
cos(61) = 0.4848096202 cos(181) = -0.9998476952 cos(301) = 0.5150380749
cos(62) = 0.4694715628 cos(182) = -0.999390827 cos(302) = 0.5299192642
cos(63) = 0.4539904997 cos(183) = -0.9986295348 cos(303) = 0.544639035
cos(64) = 0.4383711468 cos(184) = -0.9975640503 cos(304) = 0.5591929035
cos(65) = 0.4226182617 cos(185) = -0.9961946981 cos(305) = 0.5735764364
cos(66) = 0.4067366431 cos(186) = -0.9945218954 cos(306) = 0.5877852523
cos(67) = 0.3907311285 cos(187) = -0.9925461516 cos(307) = 0.6018150232
cos(68) = 0.3746065934 cos(188) = -0.9902680687 cos(308) = 0.6156614753
cos(69) = 0.3583679495 cos(189) = -0.9876883406 cos(309) = 0.629320391
cos(70) = 0.3420201433 cos(190) = -0.984807753 cos(310) = 0.6427876097
cos(71) = 0.3255681545 cos(191) = -0.9816271834 cos(311) = 0.656059029
cos(72) = 0.3090169944 cos(192) = -0.9781476007 cos(312) = 0.6691306064
cos(73) = 0.2923717047 cos(193) = -0.9743700648 cos(313) = 0.6819983601
cos(74) = 0.2756373558 cos(194) = -0.9702957263 cos(314) = 0.6946583705
cos(75) = 0.2588190451 cos(195) = -0.9659258263 cos(315) = 0.7071067812
cos(76) = 0.2419218956 cos(196) = -0.9612616959 cos(316) = 0.7193398003
cos(77) = 0.2249510543 cos(197) = -0.956304756 cos(317) = 0.7313537016
cos(78) = 0.2079116908 cos(198) = -0.9510565163 cos(318) = 0.7431448255
cos(79) = 0.1908089954 cos(199) = -0.9455185756 cos(319) = 0.7547095802
cos(80) = 0.1736481777 cos(200) = -0.9396926208 cos(320) = 0.7660444431
cos(81) = 0.156434465 cos(201) = -0.9335804265 cos(321) = 0.7771459615
cos(82) = 0.139173101 cos(202) = -0.9271838546 cos(322) = 0.7880107536
cos(83) = 0.1218693434 cos(203) = -0.9205048535 cos(323) = 0.79863551
cos(84) = 0.1045284633 cos(204) = -0.9135454576 cos(324) = 0.8090169944
cos(85) = 0.08715574275 cos(205) = -0.906307787 cos(325) = 0.8191520443
cos(86) = 0.06975647374 cos(206) = -0.8987940463 cos(326) = 0.8290375726
cos(87) = 0.05233595624 cos(207) = -0.8910065242 cos(327) = 0.8386705679
cos(88) = 0.0348994967 cos(208) = -0.8829475929 cos(328) = 0.8480480962
cos(89) = 0.01745240644 cos(209) = -0.8746197071 cos(329) = 0.8571673007
cos(90) = 0 cos(210) = -0.8660254038 cos(330) = 0.8660254038
cos(91) = -0.01745240644 cos(211) = -0.8571673007 cos(331) = 0.8746197071
cos(92) = -0.0348994967 cos(212) = -0.8480480962 cos(332) = 0.8829475929
cos(93) = -0.05233595624 cos(213) = -0.8386705679 cos(333) = 0.8910065242
cos(94) = -0.06975647374 cos(214) = -0.8290375726 cos(334) = 0.8987940463
cos(95) = -0.08715574275 cos(215) = -0.8191520443 cos(335) = 0.906307787
cos(96) = -0.1045284633 cos(216) = -0.8090169944 cos(336) = 0.9135454576
cos(97) = -0.1218693434 cos(217) = -0.79863551 cos(337) = 0.9205048535
cos(98) = -0.139173101 cos(218) = -0.7880107536 cos(338) = 0.9271838546
cos(99) = -0.156434465 cos(219) = -0.7771459615 cos(339) = 0.9335804265
cos(100) = -0.1736481777 cos(220) = -0.7660444431 cos(340) = 0.9396926208
cos(101) = -0.1908089954 cos(221) = -0.7547095802 cos(341) = 0.9455185756
cos(102) = -0.2079116908 cos(222) = -0.7431448255 cos(342) = 0.9510565163
cos(103) = -0.2249510543 cos(223) = -0.7313537016 cos(343) = 0.956304756
cos(104) = -0.2419218956 cos(224) = -0.7193398003 cos(344) = 0.9612616959
cos(105) = -0.2588190451 cos(225) = -0.7071067812 cos(345) = 0.9659258263
cos(106) = -0.2756373558 cos(226) = -0.6946583705 cos(346) = 0.9702957263
cos(107) = -0.2923717047 cos(227) = -0.6819983601 cos(347) = 0.9743700648
cos(108) = -0.3090169944 cos(228) = -0.6691306064 cos(348) = 0.9781476007
cos(109) = -0.3255681545 cos(229) = -0.656059029 cos(349) = 0.9816271834
cos(110) = -0.3420201433 cos(230) = -0.6427876097 cos(350) = 0.984807753
cos(111) = -0.3583679495 cos(231) = -0.629320391 cos(351) = 0.9876883406
cos(112) = -0.3746065934 cos(232) = -0.6156614753 cos(352) = 0.9902680687
cos(113) = -0.3907311285 cos(233) = -0.6018150232 cos(353) = 0.9925461516
cos(114) = -0.4067366431 cos(234) = -0.5877852523 cos(354) = 0.9945218954
cos(115) = -0.4226182617 cos(235) = -0.5735764364 cos(355) = 0.9961946981
cos(116) = -0.4383711468 cos(236) = -0.5591929035 cos(356) = 0.9975640503
cos(117) = -0.4539904997 cos(237) = -0.544639035 cos(357) = 0.9986295348
cos(118) = -0.4694715628 cos(238) = -0.5299192642 cos(358) = 0.999390827
cos(119) = -0.4848096202 cos(239) = -0.5150380749 cos(359) = 0.9998476952

Похожие калькуляторы

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти краску в майнкрафт
  • Как найти а11 а 12 а13
  • Как найти местоположение айфона через icloud
  • Мой емейл адрес как его найти
  • Death stranding как найти фреджайл