Как найти cos угла между ребрами

Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления угла между векторами

Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами

Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Вычисление угла между векторами

Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Как найти косинус угла между векторами

Формула

Чтобы найти косинус угла между векторами нужно, скалярное произведение этих векторов разделить на произведение их длин.

Примеры вычисления косинуса угла между векторами

Задание. Найти косинус угла $phi$ между векторами $bar=(4 ;-3)$ и $bar=(1 ;-2)$

Решение. Так как векторы заданы на плоскости, воспользуемся формулой

Ответ. $cos phi=frac<2 sqrt<5>><5>$

Задание. Найти косинус угла между векторами $bar=(3 ;-4 ; 0)$ и $bar=(4 ;-4 ;-2)$, заданных в пространстве.

Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами, воспользуемся формулой

Подставляя координаты векторов $bar$ и $bar$, получим

Ответ. $begin cos phi=frac<14> <15>end$

источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primery-i-reshen/

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_9.php

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

---

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁ А₂и А₁ А₄;  

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

Сделать чертеж.

А₁ (0; 4; -4), А₂ (5; 1; -1), А₃ (-1; -1; 3), А₄ (0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

1. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

 Уравнение плоскости. 
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-3)(1*2-0*3) — (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y — 3z-38 = 0 

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.267) = 15.486^o 

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением: 
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0 
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0 
или 
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 

1. Уравнение плоскости. 
   Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-0)(3*2-8*3) — (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x — 15y + 33z-18 = 0 
Упростим выражение: -6x — 5y + 11z-6 = 0 

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o 

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0 

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

5)  Координаты вектора  A₁A₄(0;4;3) 

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты  вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 
Координаты векторов. 
Координаты векторов:       A₁A₂(3;3;3)        A₁A₄(0;4;3) 

 Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   ,    где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3): 

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: 
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) — j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i — 15j + 33k 

3) Объем пирамиды. 
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3)    A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :      

Пример 7:

Решение от преподавателя:

1. Угол между ребрами. 
   Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   
   где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   γ = arccos(0) = 90.003⁰ 
2. Площадь грани 
   Площадь грани можно найти по формуле: 
   
   где 
   
   Найдем площадь грани A₁A₂A₃ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   
   Площадь грани A₁A₂A₃ 
3. Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

где определитель матрицы равен: 
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18 

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂  и А₁А₄ ;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4),        А₂(8; 7; 4),            А₃(5; 10; 4),          А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали:  к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Задача 40635
Дана пирамида с вершинами…

Пользуйтесь нашим приложением