Как найти ctg прямоугольного треугольника

Что такое котангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти котангенс? От чего зависит значение котангенса?

Определение

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

kotangens v pryamougolnom treugolnike  Например, в треугольнике ABC для угла A

прилежащий катет — АC,

противолежащий катет — BC.

Поэтому котангенс угла A в прямоугольном треугольнике ABC — это

    [ctgangle A = frac{{AC}}{{BC}}]

kotangens v treugolnike Для угла B треугольника ABC

прилежащий катет — BC,

противолежащий — AC.

Поэтому, котангенс угла B в треугольнике ABC

равен отношению BC к AC:

    [ctgangle B = frac{{BC}}{{AC}}]

Таким образом, котангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего к этому углу катета на длину катета противолежащего.

Так как длины катетов — положительные числа, то и котангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.

Котангенс зависит не от длин катетов, а от их отношения. Для угла определенной величины отношение между катетами, а значит, и значение котангенса, — число постоянное.

Если изменить длины сторон треугольника, но углы оставить без изменения, то котангенсы этих углов не изменятся.

kotangens ugla v treugolnike Например,

в треугольнике ABC B=30º,

в треугольнике MNK M=30º.

    [ctgangle B = frac{{BC}}{{AC}} = frac{9}{{3sqrt 3 }} = frac{3}{{sqrt 3 }} = sqrt 3 ,]

    [ctgangle M = frac{{NK}}{{MK}} = frac{{5sqrt 3 }}{5} = sqrt 3 .]

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла alpha, называется противолежащим (по отношению к углу alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin displaystyle alpha = frac{a}{c} sin{}^2 alpha +cosdisplaystyle {}^2 alpha =1 alpha + beta = 90 ^{circ} 
cos displaystyle alpha = frac{b}{c} 1+tg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha} cosalpha = sin beta
tg displaystyle alpha = frac{a}{b} 1+ctg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha} sinalpha = cosbeta
ctg displaystyle alpha = frac{b}{a} tgalpha = ctgbeta

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{circ}.
  2. С одной стороны, sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}, поскольку для угла beta катет а будет прилежащим. Получаем, что cos beta =sin alpha. Иными словами, cos left( 90^{circ}-A right) = sin A.
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на c^2, получаем displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 , то есть sin ^2 A+cos^2 A=1.
    Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }. Это значит, что если нам дан тангенс острого угла alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{circ} до 90^{circ}.

varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}
sinvarphi 0 displaystyle frac{1}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{sqrt{3}}{2} 1
cosvarphi 1 displaystyle frac{sqrt{3}}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{1}{2} 0
tgvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3}
ctgvarphi sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .

Из этих равенств следует, что displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} , т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1}, т. е. cos А = cosA_1, и displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1}, т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{circ}, sin A = cos B = 0,1.

Задача 2В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, AB=5, sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Найдите AC.

Решение:

sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Отсюда

BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против angle C. Значит, sin A displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

Тогда AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.

cos⁡ А displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;

tg A displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 2, sin A= displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17}, displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} , displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2, получим

a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;

a^2+4=17a^2;

16a^2=4, displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;

BC = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 4, tg A = displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} . Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},

displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}}, displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},

AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен 90^ circ, CH – высота, AB = 13, tg A = displaystyle frac{1}{5} . Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} , тогда b = 5a.

По теореме Пифагора triangleABC: a^2+b^2=c^2,

a^2+(5a)^2=13^2,

26 a^2=169,

displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}}, тогда displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.

triangle AHC approx triangle ACB (по двум углам), следовательно displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} , откуда

displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ,

CH – высота, BC = 3, sin A = displaystyle frac{1}{6} .

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6}, тогда displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} , c = АВ = 18.

sin A = displaystyle frac{a}{c} = cos⁡ B = displaystyle frac{1}{6} .

Рассмотрим triangle BHC:

{cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC} = displaystyle frac{1}{6} , получим displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},

тогда BH = displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2} = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BC = 3, cos A = displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.

Найдите АH.

Решение:

Так как для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}= sin В = displaystyle frac{sqrt{35}}{6},

а для triangle ВНС: sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{sqrt{35}}{6} , откуда СН = displaystyle frac{BC cdot  sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},

По теореме Пифагора найдем ВН:

BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=

=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для triangle АВС получим:

{CH}^2=AH cdot BH, тогда AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = {cos B}.

Рассмотрим triangle BHC : {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}.

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,

тогда {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28, а значит и sin A = {cos B  }= 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = ;   cos A = displaystyle frac{b}{c} = displaystyle frac{AC}{AB} = {sin B },

тогда tg A = displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB, который найдем из triangle BHC:

ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, tg A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.

Для triangle BHC: ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3} , значит displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3}, СН = displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.

Для triangle АHC: tg A= displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, то displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, AH = displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, sin A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = displaystyle frac{BC}{AB} = sin A = displaystyle frac{2}{3}.

Из triangle СВН имеем cos В = displaystyle frac{HB}{BC} = displaystyle frac{2}{3}, тогда ВС = displaystyle frac{3 cdot  HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.

В triangle АВС имеем sinA = displaystyle frac{BC}{AB} = displaystyle frac{2}{3}, тогда AВ = displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из triangle ВСН:

HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=

sqrt{8 cdot 32}= sqrt{8 cdot 2 cdot 16}=16.

sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5}, получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5}, то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2= {AB}^2, получим {(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2
{25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,

{16x}^2= {20}^2,

x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,
х = 5 ( так как хtextgreater 0). Значит, AC=15,  AB=25.

2-й способ.

triangle HBC approx triangle CBA (по двум углам), значит displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB} или displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

k = displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} , тогда displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5}, АС = displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15; displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5}, АВ = displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.

3-й способ.

{CH}^2=AH cdot HB (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH cdot 16, АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)} = sqrt{5cdot 45}=sqrt{5cdot 5cdot 9}=15.

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного triangle ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}= sqrt{900}=30;

cos C = displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: sin А = displaystyle frac{BC}{AC} = cos C = displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АНВ: sin А = displaystyle frac{BH}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, то displaystyle frac{24}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, АВ = displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = displaystyle frac{7}{25}.

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном triangle АСЕ sin А = displaystyle frac{CE}{AC},

значит CE=AC cdot sinA=50 cdot displaystyle frac{7}{25} = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};

AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = displaystyle frac{1}{2}ab,

поэтому S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin angle ACK. Результат округлите до сотых.

Решение:

triangle CAK approx triangle BAC ( angle A-общий, angle AKC=angle ACB=90{}^circ ),

значит angle ACK=angle ABC, sin angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.

Найдем АС по теореме Пифагора из triangle САВ:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=

=sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{25}= 5.

Тогда sin angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = displaystyle frac{12}{13}. Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то triangle АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = displaystyle frac{1}{2}AB=36.

Поскольку triangle АСН — прямоугольный,

cos A = displaystyle frac{AH}{AC}= displaystyle frac{12}{13}, то есть displaystyle frac{36}{AC}= displaystyle frac{12}{13} Rightarrow АС = displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.

По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2, тогда

CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=

=sqrt{(39-36)(39+36)}=sqrt{3cdot 3cdot 25}=15.

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, sin A = displaystyle frac{11}{14}, AC = 10sqrt{3}. Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = displaystyle frac{BC}{AB}= displaystyle frac{11}{14}, то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2;

{(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

{(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

3cdot 25 x^2 = 3 cdot 100.

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1;

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

По определению cos A = displaystyle frac{AC}{AB}, значит displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

Так как АС=10sqrt{3}, то displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}, откуда АВ = displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}} = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, angle DAO=angle BAO = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3}, а катет ВО = displaystyle frac{1}{2}BD =2.

Поэтому tgalpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}}, откуда alpha =30{}^circ .

angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .

Ответ: {60}^circ, {120}^circ, {60}^circ, {120}^circ .

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} или с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{circ}, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, угол А равен 30{}^circ, АВ = 2sqrt{3} .

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим triangle АВС:

По свойству катета, лежащего против угла {30}^circ, имеем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = sqrt{3}.

В triangle BHC: angle BHC=90{}^circ ,;  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно, ВН = displaystyle frac{1}{2} BC = displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.

По теореме Пифагора найдем НС:

HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=

=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, АВ = 2, angle A=30{}^circ . Найдите АH.

Решение:

Из triangle АВС найдем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30{}^circ),

angle A=30{}^circ , то angle B=60{}^circ .

Из triangle ВСН: angle BHC=90{}^circ ,  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно,

ВН = displaystyle frac{1}{2} ВС = displaystyle frac{1}{2}.

АН = АВ — НВ = 2 — displaystyle frac{1}{2} = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

В прямоугольном треугольнике всегда заданы три стороны, из которых две, именуемые катетами, образуют прямой угол в 90°, а третья сторона – гипотенуза, их соединяет. Все тригонометрические отношения в таком треугольнике строятся на делении одной стороны на другую, и так как катетов два, то используемый в формуле катет может быть либо противолежащим – находящимся напротив угла α, и не имеющий с ним общих точек, либо прилежащим – являющимся непосредственно стороной угла α, и выходящим из него. Так как отношением противолежащего катета к прилежащему является тангенс, то другим отношением катетов будет котангенс, где в числителе дроби находится прилежащий катет (как и в косинусе), а в знаменателе противолежащий
.

В отличие от тандема синус-косинус, которые оба отталкиваются от гипотенузы в знаменателе, тангенс и котангенс используют в формулах исключительно катеты в разном порядке. Таким образом, мы получаем не только два разных отношения, соответствующих всем законам тригонометрии, но и два отношения, являющихся обратными друг и другу и взаимно конвертируемыми
.

Стороны и угол ctg  прямоугольного треугольника

Свойства

Котангенс угла ctg(α) — есть отношение прилежащего катета b к противолежащему катету a.

Таблица котангенсов

Котангенс угла градусов   ∞  
Котангенс угла 30° градусов   √3   1.732
Котангенс угла 45° градусов   1   1.000
Котангенс угла 60° градусов   1/√3   0.577
Котангенс угла 90° градусов   0   0.000

Котангенс в прямоугольном треугольнике

Что такое котангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти котангенс? От чего зависит значение котангенса?

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Например, в треугольнике ABC для угла A

Поэтому котангенс угла A в прямоугольном треугольнике ABC — это

Для угла B треугольника ABC

прилежащий катет — BC,

Поэтому, котангенс угла B в треугольнике ABC

равен отношению BC к AC:

Таким образом, котангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего к этому углу катета на длину катета противолежащего.

Так как длины катетов — положительные числа, то и котангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.

Котангенс зависит не от длин катетов, а от их отношения. Для угла определенной величины отношение между катетами, а значит, и значение котангенса, — число постоянное.

Если изменить длины сторон треугольника, но углы оставить без изменения, то котангенсы этих углов не изменятся.

Например,

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Калькулятор и таблица для вычисления тангенса и котангенса.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить тангенс и котангенс с точностью от одного до шестнадцати знаков после запятой. Чтобы вычислить тангенс и котангенс, просто введите ваши данные. Так же можно воспользоватся таблицей Брадиса тангенса(tg) и котангенса(ctg) от 0° до 360°.

Калькулятор для вычисления тангенса и котангенса

Цифр после запятой

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Tg (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета(BC) к прилежащему катету(AC).
Пимер:
α = 40°; BC = 7,552см; AC = 9см.
tg (40°) = 7,552 9 = 0,8391

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Ctg (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета(AC) к противолежащему катету(BC).
Пимер:
α = 40°; AC = 9см; BC = 7,552см.
ctg (40°) = 9 7,552 = 1,1918

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/sinus/

http://max-calc.ru/Trigonometriya/Tg-Ctg.html

Определение котангенса угла

Котангенс является обратно пропорциональной величиной к тангенсу. То есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.

1.png

В случае с рисунком, описанным выше: ctg⁡α=bactgalpha=frac{b}{a}

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡αctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}

Задача 1

Пусть в прямоугольном треугольнике синус угла равен 0.200.20, а косинус этого угла равен 0.980.98. Найдите котангенс данного по условию угла.

Решение

sin⁡α=0.20sinalpha=0.20
cos⁡α=0.98cosalpha=0.98

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α=0.980.20=4.9ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{0.98}{0.20}=4.9

Ответ

4.94.9

После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:

Связь тангенса с котангенсом

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

Вывод его прост:

tg⁡α⋅ctg⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡αsin⁡α=1tgalphacdotctgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=1

Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.

Задача 2

Каков тангенс угла, если его котангенс равен 4.54.5?

Решение

ctg⁡α=4.5ctgalpha=4.5

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

tg⁡α⋅4.5=1tgalphacdot4.5=1

tg⁡α=14.5tgalpha=frac{1}{4.5}

tg⁡α≈0.22tgalphaapprox0.22

Ответ

0.220.22

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.

Задача 3

Найдите котангенс угла, если квадрат его синуса равен 0.490.49.

Решение

sin⁡2α=0.49sin^2alpha=0.49

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

1+ctg⁡2α=10.491+ctg^2alpha=frac{1}{0.49}

1+ctg⁡2α≈2.041+ctg^2alphaapprox2.04

ctg⁡2α≈1.04ctg^2alphaapprox1.04

ctg⁡α≈1.02ctgalphaapprox1.02

Ответ

1.021.02

Решение задач по математике недорого от экспертов биржи!

Тест по теме «Вычисление котангенса»

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Сбис как исправить остатки
  • Как найти площадь прихожей в квадратных метрах
  • Рукав узкий в пройме как исправить
  • Как найти высоту треугольника если известны углы
  • Как найти инопланетянина в streets of rogue