Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге
В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.
Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.
Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?
Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).
Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).
На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?
Я думаю, вы легко сообразите и сами. Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и
Собственно, картинка за себя сама говорит.
Если не очень все же понятно, разберем примеры:
Пример 1.
Вычислить
Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что
Ответ:
Пример 2.
Вычислить
Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.
не существует.
Ответ: не существует
Пример 3.
Вычислить
Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .
Так значит,
Ответ:
Пример 4.
Вычислить
Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .
Выходим на ось котангенсов, получаем, что
Ответ:
Пример 5.
Вычислить
Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что
Ответ:
Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Котангенс
Котангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение котангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность).
Аргумент и значение
Аргументом может быть:
— как число или выражение с Пи: (1,3), (frac<π><4>), (π), (-frac<π><3>) и т.п.
— так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.
Для обоих случаев значение котангенса вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).
Котангенс острого угла
Котангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
1) Пусть дан угол и нужно определить (ctgA).
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (ctg;A).
Вычисление котангенса числа или любого угла
Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) котангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:
Пример. Вычислите (ctg: frac<5π><6>).
Решение: Найдем сначала (frac<5π><6>) на круге. Затем найдем (cos:frac<5π><6>) и (sin:frac<5π><6>), а потом поделим одно на другое.
Решение: Чтобы найти котангенс пи на (2) нужно найти сначала косинус и синус (frac<π><2>). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :
Точка (frac<π><2>) на числовой окружности совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin:frac<π><2>=1). Если из точки (frac<π><2>) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси косинусов, то мы попадем в точку (0), значит (cos:frac<π><2>=0). Получается: (ctg:frac<π><2>=) (frac<2>><2>>) (=)(frac<0><1>)(=0).
Пример. Вычислите (ctg:(-765^circ)).
Решение: (ctg: (-765^circ)=) (frac)
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).
Однако можно определять значение котангенса и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:
Прямая проходящая через (frac<π><2>) на числовой окружности и параллельная оси абсцисс (косинусов) называется осью котангенсов. Направление оси котангенсов и оси косинусов совпадает.
Ось котангенсов – это фактически копия оси косинусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси косинусов.
Чтобы определить значение котангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу котангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси котангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси.
2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.
3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).
Пример. Найдите значение (ctg: 30°) и (ctg: (-60°)).
Решение:
Для угла (30°) ((∠COA)) котангенс будет равен (sqrt<3>) (приблизительно (1,73)), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось котангесов.
(ctg;(-60°)=frac<sqrt<3>><<3>>) (примерно (-0,58)).
Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.
В отличие от синуса и косинуса значение котангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.
При этом котангенс не определен для:
1) всех точек (C) (значение в Пи: …(0), (2π), (4π), (-2π), (-4π) …; и значение в градусах: …(0°),(360°), (720°),(-360°),(-720°)…)
2) всех точек (D) (значение в Пи: …(π), (3π), (5π), (-π), (-3π), (-5π) …; и значение в градусах: …(180°),(540°),(900°),(-180°),(-540°),(-900°)…) .
Так происходит потому, что в этих точках синус равен нулю. А значит, вычисляя значение котангенса мы придем к делению на ноль, что запрещено. И прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось котангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках котангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений он может быть найден).
Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с котангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ .
Знаки по четвертям
С помощью оси котангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак котангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.
Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение котангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.
Связь с другими тригонометрическими функциями:
— тангенсом того же угла: формулой (tg:x=) (frac<1>)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .
Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.
Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .
Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Видео
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.
Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.
Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).
Тангенс угла
Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:
Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):
Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:
С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:
Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:
Это значит, что справедлива формула:
С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:
Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):
Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.
Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:
Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:
Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.
Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.
В частности, тангенс не определен при х = – π/2.
Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».
( displaystyle cos 30<>^circ =frac<sqrt<3>><2>)Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60<>^circ ) и ( displaystyle 45<>^circ )
Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60<>^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60<>^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30<>^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:( displaystyle sin 30<>^circ =cos 60<>^circ )( displaystyle sin 60<>^circ =cos 30<>^circ )Тогда так как ( displaystyle sin 30<>^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60<>^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30<>^circ =frac<sqrt<3>><2>), то и ( displaystyle sin 60<>^circ =frac<sqrt<3>><2>).
C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.
Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.
Тогда:( displaystyle si<^<2>>45<>^circ +co<^<2>>45<>^circ =2si<^<2>>45<>^circ =1)( displaystyle si<^<2>>45<>^circ =co<^<2>>45<>^circ =1/2)Откуда: ( displaystyle sin 45<>^circ =cos 45<>^circ =sqrt<1/2>=frac<sqrt<2>><2>)
Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!
У тебя должно было получиться:
( displaystyle sin 0<>^circ =0), ( displaystyle cos 0<>^circ =1), ( displaystyle sin 90<>^circ =1), ( displaystyle cos 90<>^circ =0).Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:
( displaystyle textg alpha =frac<sin alpha ><cos alpha >), ( displaystyle ctg alpha =frac)Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!
Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:
Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.
Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!
( displaystyle ctg 0=frac<cos 0><sin 0>=frac<1><0>=. )Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!
Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:
- Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
- Угол больше ( displaystyle 360) градусов.
Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.
Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.
Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).
Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.
Как мы поступаем? Да точно так же!
Давай рассмотрим вместо вот такого случая…
…вот такой:
То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?
У точки ( displaystyle <_<1>>), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle <_<1>>) и ( displaystyle <_<1>>).
Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!
Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.
Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.
Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?
Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).
Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.
Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.
Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:
Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Два случая, когда тригонометрическая окружность может пригодиться для решения уравнений
- В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
- В ответе получается уж слишком много серий корней
Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы: «Тригонометрические уравнения»
Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.
Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Например здесь:
Решите уравнение: ( displaystyle 8co<^<4>>x-10co<^<2>>x+3=0)
Решение:
Ну что же. Решить само уравнение несложно.
Замена ( displaystyle t=co<^<2>>x).
( displaystyle cosx=frac<sqrt<3>><2>) или ( displaystyle cosx=-frac<sqrt<3>><2>)
Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям!
Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней?!
http://cos-cos.ru/math/187/
http://naiti-ludei.ru/posts/trigonometricheskie-funkcii-na-edinichnoy-okruzhnosti-tangens-i-kotangens/
Котангенс является обратно пропорциональной величиной к тангенсу. То есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.
В случае с рисунком, описанным выше: ctgα=bactgalpha=frac{b}{a}
ctgα=cosαsinαctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}
Пусть в прямоугольном треугольнике синус угла равен 0.200.20, а косинус этого угла равен 0.980.98. Найдите котангенс данного по условию угла.
Решение
sinα=0.20sinalpha=0.20
cosα=0.98cosalpha=0.98
ctgα=cosαsinα=0.980.20=4.9ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{0.98}{0.20}=4.9
Ответ
4.94.9
После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:
tgα⋅ctgα=1tgalphacdotctgalpha=1
Вывод его прост:
tgα⋅ctgα=sinαcosα⋅cosαsinα=1tgalphacdotctgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=1
Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.
Каков тангенс угла, если его котангенс равен 4.54.5?
Решение
ctgα=4.5ctgalpha=4.5
tgα⋅ctgα=1tgalphacdotctgalpha=1
tgα⋅4.5=1tgalphacdot4.5=1
tgα=14.5tgalpha=frac{1}{4.5}
tgα≈0.22tgalphaapprox0.22
Ответ
0.220.22
Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:
1+ctg2α=1sin2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}
Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.
Найдите котангенс угла, если квадрат его синуса равен 0.490.49.
Решение
sin2α=0.49sin^2alpha=0.49
1+ctg2α=1sin2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}
1+ctg2α=10.491+ctg^2alpha=frac{1}{0.49}
1+ctg2α≈2.041+ctg^2alphaapprox2.04
ctg2α≈1.04ctg^2alphaapprox1.04
ctgα≈1.02ctgalphaapprox1.02
Ответ
1.021.02
Решение задач по математике недорого от экспертов биржи!
Тест по теме «Вычисление котангенса»
- Определение
- График котангенса
- Свойства котангенса
- Обратная к котангенсу функция
- Таблица котангенсов
Определение
Котангенс острого угла α (ctg α или cotan α) – это отношение прилежащего катета (b) к противолежащему (a) в прямоугольном треугольнике.
ctg α = b / a
Например:
a = 3
b = 4
ctg α = b / a = 4 / 3 ≈ 1,334.
График котангенса
Функция котангенса пишется как y = ctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом (x ≠ nπ, –∞ < y < +∞):
Свойства котангенса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства котангенса с формулами.
Обратная к котангенсу функция
Арккотангенс x – это обратная функция к котангенсу x.
Если котангенс угла у равняется х (ctg y = x), значит арккотангенс x равен у:
arcctg x = ctg-1 x = y
Таблица котангенсов
x (°) | x (рад) | ctg x |
0 | 0 | ∞ |
30 | π/6 | √3 |
45 | π/4 | 1 |
60 | π/3 | 1/√3 |
90 | π/2 | 0 |
120 | 2π/3 | -1/√3 |
135 | 3π/4 | -1 |
150 | 5π/6 | -√3 |
180 | π | ∞ |
210 | 7π/6 | √3 |
225 | 5π/4 | 1 |
240 | 4π/3 | 1/√3 |
270 | 3π/2 | 0 |
300 | 5π/3 | -1/√3 |
315 | 7π/4 | -1 |
330 | 11π/6 | -√3 |
360 | 2π | ∞ |
microexcel.ru
Примеры:
(ctg:30^° =sqrt{3})
(ctg:(frac{π}{3})=frac{1}{sqrt{3}})
(ctg:2=-0,487…)
Содержание:
- Аргумент и значение
Котангенс острого угла
Котангенс числа или любого угла
Знаки по четвертям
Связь с другими функциями
Аргумент и значение
Аргументом может быть:
— как число или выражение с Пи: (1,3), (frac{π}{4}), (π), (-frac{π}{3}) и т.п.
— так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.
Для обоих случаев значение котангенса вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).
Значение котангенса – всегда действительное число (возможно, иррациональное): (1), (sqrt{3}), (-frac{1}{sqrt{3}}), (-0,1543…)
Котангенс острого угла
Котангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
Пример:
1) Пусть дан угол и нужно определить (ctgA).
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (ctg;A).
Вычисление котангенса числа или любого угла
Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) котангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:
(ctg: t=)(frac{cos:t}{sin:t})
Пример. Вычислите (ctg: frac{5π}{6}).
Решение: Найдем сначала (frac{5π}{6}) на круге. Затем найдем (cos:frac{5π}{6}) и (sin:frac{5π}{6}), а потом поделим одно на другое.
(ctg:frac{5π}{6}=)(frac{cos:frac{5π}{6}}{sin:frac{5π}{6}})(=-frac{sqrt{3}}{2}:frac{1}{2}=-frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{2}{1}=-sqrt{3})
Ответ: (-sqrt{3}).
Пример. Вычислите (ctg:frac{π}{2}).
Решение: Чтобы найти котангенс пи на (2) нужно найти сначала косинус и синус (frac{π}{2}). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:
Точка (frac{π}{2}) на числовой окружности совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin:frac{π}{2}=1). Если из точки (frac{π}{2}) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси косинусов, то мы попадем в точку (0), значит (cos:frac{π}{2}=0). Получается: (ctg:frac{π}{2}=)(frac{cos:frac{π}{2}}{sin:frac{π}{2}})(=)(frac{0}{1})(=0).
Ответ: (0).
Пример. Вычислите (ctg:(-765^circ)).
Решение: (ctg: (-765^circ)=)(frac{cos:(-765^circ)}{sin:(-765^circ)})
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).
(sin(-765^°)=-frac{sqrt{2}}{2});
(cos(-765^°)=frac{sqrt{2}}{2}) ;
получается (ctg(-765^°)= frac{sqrt{2}}{2} ∶ -frac{sqrt{2}}{2}=-1).
Ответ: (-1).
Пример. Найдите (ctg:frac{π}{3}).
Решение: (ctg: frac{π}{3}=)(frac{cos:frac{π}{3}}{sin:frac{π}{3}}). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
(sin(frac{π}{3})=frac{sqrt{3}}{2});
(cos(frac{π}{3})=frac{1}{2}) ;
получается (ctg(frac{π}{3})=frac{1}{2} ∶ frac{sqrt{3}}{2}= frac{1}{2} cdot frac{2}{sqrt{3}}=frac{1}{sqrt{3}}).
Ответ: (frac{1}{sqrt{3}}).
Однако можно определять значение котангенса и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:
Прямая проходящая через (frac{π}{2}) на числовой окружности и параллельная оси абсцисс (косинусов) называется осью котангенсов. Направление оси котангенсов и оси косинусов совпадает.
Ось котангенсов – это фактически копия оси косинусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси косинусов.
Чтобы определить значение котангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу котангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси котангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси.
Пример. Вычислите (ctg:frac{π}{4}).
Решение:
1) Отмечаем (frac{π}{4}) на окружности.
2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.
3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).
Ответ: (1).
Пример. Найдите значение (ctg: 30°) и (ctg: (-60°)).
Решение:
Для угла (30°) ((∠COA)) котангенс будет равен (sqrt{3}) (приблизительно (1,73)), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось котангесов.
(ctg;(-60°)=frac{sqrt{3}}{{3}}) (примерно (-0,58)).
Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.
В отличие от синуса и косинуса значение котангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.
При этом котангенс не определен для:
1) всех точек (C) (значение в Пи: …(0), (2π), (4π), (-2π), (-4π) …; и значение в градусах: …(0°),(360°), (720°),(-360°),(-720°)…)
2) всех точек (D) (значение в Пи: …(π), (3π), (5π), (-π), (-3π), (-5π) …; и значение в градусах: …(180°),(540°),(900°),(-180°),(-540°),(-900°)…) .
Так происходит потому, что в этих точках синус равен нулю. А значит, вычисляя значение котангенса мы придем к делению на ноль, что запрещено. И прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось котангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках котангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений он может быть найден).
Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с котангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ.
Знаки по четвертям
С помощью оси котангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак котангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.
Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение котангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.
Связь с другими тригонометрическими функциями:
— синусом того же угла: формулой (1+ctg^2x=)(frac{1}{sin^2x})
— косинусом и синусом того же угла: (ctg:x=)(frac{cos:x}{sin:x})
— тангенсом того же угла: формулой (tg:x=)(frac{1}{ctg:x})
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.
Смотрите также:
Формулы приведения
Решение уравнений (tgx=a) и (ctgx=a)
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos A
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg A
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
tg A
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
ctg A
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
sin | sincos | |
cos | 1+tg | cos = sin |
tg | 1+ctg | sin = cos |
ctg | tg = ctg |
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
- С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество. - Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
0 | |||||
sin | 0 | ||||
cos | 0 | ||||
tg | 0 | − | |||
ctg | − | 0 |
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Докажем теорему:
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и
Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin
Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg
Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , sin A = cos B = 0,1.
Задача 2. В треугольнике угол равен , , .
Найдите .
Решение:
Отсюда
Найдем AC по теореме Пифагора.
Ответ: 4,8.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.
Решение:
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A
Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos А
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:
Тогда
cos А
tg A
Ответ: 0,92; 0,42.
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=
Найдите BC.
Решение:
AC = b = 2, BC = a, AB = c.
Так как sin A
По теореме Пифагора получим
Ответ: 0,5.
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.
Решение:
AC = b = 4, tg A
Ответ: 7.
Задача 6.
В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.
Решение:
AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.
По теореме Пифагора ABC:
тогда
(по двум углам), следовательно откуда
Ответ: 12,5.
Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен
CH – высота, BC = 3, sin A =
Найдите AH.
Решение:
Так как sin A = тогда c = АВ = 18.
sin A = = cos B =
Рассмотрим BHC:
= получим
тогда BH = = 0,5,
AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.
Ответ: 17,5.
Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =
Найдите АH.
Решение:
Так как для АВС: A = sin В =
а для ВНС: sin В = = , откуда СН =
По теореме Пифагора найдем ВН:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:
тогда
Ответ: 17,5.
Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.
Решение:
По определению sin A= = =
Рассмотрим BHC :
ВС найдем по теореме Пифагора:
ВС=
тогда а значит и sin A = = 0,28.
Ответ: 0,28.
Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.
Решение:
По определению sin A = = = cos A = = =
тогда tg A = который найдем из BHC:
Ответ: 0,5.
Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.
Решение:
По определению tg A=
Для BHC: , значит СН =
Для АHC: tg A= то AH =
Ответ: 27.
Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.
Решение:
Так как cos В = = sin A =
Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =
В АВС имеем sinA = = тогда AВ =
Ответ: 27.
Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.
Решение:
Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:
sin В = =
Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.
Найдем АС и АВ несколькими способами.
1-й способ.
Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,
тогда по теореме Пифагора получим
х = 5 ( так как х0). Значит,
2-й способ.
(по двум углам), значит или
k = тогда АС = ; АВ =
3-й способ.
(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.
АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.
По теореме Пифагора найдем АС:
=
Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.
Задача 14.
Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.
Найдите АВ и cos А.
Решение:
Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:
ВС = =
cos C =
Для АВС: sin А = = cos C =
Для АНВ: sin А = = то = АВ =
Из основного тригонометрического тождества найдем
cos A =
Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.
Задача 15.
Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =
Найдите площадь треугольника.
Решение:
В прямоугольном АСЕ sin А =
значит = 14.
Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника равна S =
поэтому
Ответ: 336.
Задача 16.
В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.
Найдите sin Результат округлите до сотых.
Решение:
A-общий, ),
значит sin
Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:
Тогда sin
Ответ: 0,38.
Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.
Решение:
Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда
высота СН является медианой, то есть АН = НВ =
Поскольку АСН — прямоугольный,
cos A = то есть АС =
По теореме Пифагора тогда
Ответ: 15.
Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.
Решение:
1-й способ.
Поскольку sin A = то можно обозначить
ВС = 11х, АВ = 14х.
По теореме Пифагора
(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 100;
учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,
следовательно, АВ = 14 2 = 28.
2-й способ.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
cos A =
По определению cos A = значит
Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.
Ответ: 28.
Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.
Решение:
Пусть ВАО =
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =
Поэтому tg откуда
Ответ:
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Задача 20.
В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2
Найдите высоту CH.
Решение:
Рассмотрим АВС:
По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =
В BHC: то следовательно, ВН = BC =
По теореме Пифагора найдем НС:
Ответ: 1,5.
Задача 21.
В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.
Решение:
Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30),
то
Из ВСН: то следовательно,
ВН = ВС =
АН = АВ — НВ = 2 — = 1,5.
Ответ: 1,5.
Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023