|
Как найти целое, если известна его часть? Например, 3/8 торта весит 300 грамм. Как узнать, сколько весит весь торт?
Нахождение целого по его части Если у нас известна какая-либо часть (доля) от целого, то можно всегда «восстановить» целое. При этом нужно помнить, что часть от целого числа может быть выражена либо в виде дроби (обычно обыкновенной), либо в виде процента. Рассмотрим оба случая. 1) Часть числа — это обыкновенная дробь. В этом случае для нахождения целого нужно число, соответствующее данной части, разделить на дробь. Для того, чтобы число разделить на обыкновенную дробь, нужно умножить его на знаменатель дроби и разделить на числитель. _ Пример 1: Специалист отдела кадров получил премию 2000 рублей, что составляет 1/15 часть от его месячной зарплаты. Требуется узнать, сколько составляет зарплата у данного сотрудника. Решение: Зарплата = 2000 / (1/15) = 2000 * 15 = 30000 рублей. Значит, сотрудник получает зарплату 30000 рублей в месяц. _ Пример 2: Было засеяно пшеницей 12 гектаров поля, что составляет 3/5 от его общей площади. Нужно посчитать, чему равна площадь поля. Решение: Площадь поля = 12 / (3/5) = 12 * (5/3) = 20 гектаров. 2) Часть числа представлена в процентах. Если доля от целого является процентом, а не обыкновенной дробью, то подобные задачи можно решать с помощью составления пропорции. _ Пример: Цена апельсинов со скидкой равна 120 рублей, величина скидки равна 20%. Нужно узнать, сколько стоили апельсины изначально. Решение: Так как скидка = 20%, то от исходной цены апельсинов осталось 100% — 20% = 80%. 80% — 120 рублей. 100% — x рублей. 0,8x = 120 рублей. x = 120 / 0,8 = 150 рублей. Таким образом, до скидки апельсины стоили 150 рублей. модератор выбрал этот ответ лучшим
Алиса в Стране 3 года назад Часть числа может быть выражена в виде десятичной или простой дроби, в виде процентов, что по сути то же самое, что десятичная дробь, всем понятно, что 0,1 это 10%, например. Если известна часть числа в абсолютном выражении и то, какую часть она составляет от целого, то нет ничего проще, чем определить это целое. Допустим, 20 яблок это 25 % от всех яблок, надо 20 поделить на 0,25, чтобы определить общее количество яблок, 20/0,25 = 80, вот так мы нашли целое по его части. Еще один пример разберем, 12 мест в автобусе это 1/3 от всех мест в автобусе, как найти общее число всех мест в автобусе, делим 12 на 1/3, то есть по правилам деления на дробь умножаем 12 на 3, получается 36. Ну и в итоге решим задачку автора из его вопроса: 300 граммов делим на 3/8 получаем 800 граммов.
smile6008 3 года назад В математике и жизни бывают случаи, когда необходимо найти число, зная только его часть. Для этого можно использовать различные способы расчётов, использовать дроби , но удобнее всего рассчитать в процентном соотношении. Итак мы знаем, что 300 грамм составляют 3/8 торта. Нужно узнать сколько же весит торт целиком. Переводим в процентное соотношение, поделим 8 на 3, получим 0,26666 в процентах — это 26,6%. Теперь найдём 100 %, для этого посчитаем пропорцию. 26,6% = 300 ;100 % = x. X = 26,6*300/100.Получаем 799,8 округляем по закону округление в большую сторону, получаем 800 гр весит весь торт.
[пользователь заблокирован] 5 лет назад Для лучшего понимания процесса можно делать так (хотя математически это нерационально). Узнайте чему равна ОДНА часть. Для этого заданное число разделите на количество заданных частей в дроби, их 3. 300 делим на 3, получаем 300/3=100 Это одна восьмая часть. Целое — это восемь восьмых, потому предыдущий результат умножаем на 8, получаем 100*8=800 Если же дробь задана, как десятичная, т.е. 0.375, то представляем её, как натуральную (это 375/1000) и поступаем точно так же. Узнаём, чему равна одна тысячная часть 300/375=0.8 Ну, а далее узнаём чему равно само целое 0.8*1000=800
Эл Лепсоид 5 лет назад В общем случае, конечно, следует прибегнуть к составлению пропорции, поставив в соответствие к имеющейся части ее вес, а к целому (т.е. единице) — неизвестную «х». Но, поскольку, у нас во второй части пропорции стоит «1», то решить задачу можно значительно проще: просто разделить на величину известной части. В нашем случае получается: 300/(3/8) = 300*8/3 = 800. Таким образом, весь торт будет весить 800 грамм.
СТА 1106 3 года назад 3/8- означает, что на три части из восьми приходится 300 грамм. Требуется узнать вес целого, в данном случае, торта. Для этого нужно узнать, что приходится на одну часть. Можно решить методом пропорции, мой любимый метод. Итак: 3 части — 300 грамм. 8 частей — Х грамм. Решаем пропорцию. 8 × 300 ÷ 3 = 800 грамм. Общий алгоритм решения следующий. Зная, сколько приходится на долю от целого, нужно определить, сколько приходится на единицу измерения ( грамм, килограмм, метр, час и т.д). Затем зная это, просто умножает на все количество долей, на которое поделён данный предмет. В данном случае- это восемь частей. Второй вариант решения задачи. 300 : 3 × 8 = 800 грамм. Ответ. 800 грамм , в обоих вариантах таз решения задачи.
Проще не бывает. Надо число означающее часть разделить на количество этих частей и полученный результат умножить на целое. Получим число выражающее целую часть. Пример: Дано 4/15 равняется 40. Делим сорок на четыре и умножаем на 15. Получаем сумму в 150 — это и будет целое. Или 2/10 равняется 40. Делим сорок на два, получаем двадцать. Умножаем двадцать на десять, получаем двести. Целое число двести.
Master-Margarita 5 лет назад Чтобы узнать, сколько весит торт в данном случае, надо провести следующие арифметический действия: (300*8)/3=800 грамм. То есть, чтобы найти целое нужно часть умножить на знаменатель дроби и разделить на числитель дроби. В данном случае числитель — 3, а знаменатель — 8.
Рина19 5 лет назад Сначала найдём чем у равна 1 часть из всех имеющихся. А затем умножим её на общее число всех частей. На данном примере. Известно, что 3/8 торта весит 300 г, т.е. 3 части из 8 на которые был нарезан торт или, по другому, 3 куска торта из 8 нарезанных кусочков весят 300 г. Тогда 1 кусочек будет весить: 300/3=100 г. Теперь находим чему будет весить все 8 кусков, т.е. весь торт. 100*8=800 г
Бекки Шарп 3 года назад Если 3/8 торта весит 300 грамм, то сначала узнаем сколько весит одна часть. 300/3=100 грамм. Теперь умножаем на 8 и получаем, что весь торт весит 800 грамм. Приведем еще пример как найти целое число, если известна часть. В классе присутствует 27 человек и это 3/4 общего количества. Сколько человек в классе? Решить задачу можно так: 27 : 3/4 = 36 человек. Знаете ответ? |
Если известно сколько составляет часть от целого, то по известной части можно «восстановить»
целое.
Для этого пользуемся правилом нахождения целого (числа)
по его дроби (части).
Запомните!
Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно данное число
разделить на дробь.
Пример. Рассмотрим задачу.
Поезд прошёл 240 км, что составило
всего пути.
Какой путь должен пройти поезд?
Решение. 240 км — часть всего пути. Эти же километры
выражены дробью 15/23
от всего пути. Знаменатель дроби говорит о том, что весь путь разделён на 23 части,
и 15 таких частей составляют 240 км
(числитель дроби равен 15).
Значит, можно найти, сколько составляет
часть пути.
240 : 15 = 16 (км)
Весь путь (целое) всегда обозначаем за единицу, которую можно выразить дробью
.
Значит, чтобы найти весь путь (23 части, каждая из которых по
16 км) нужно:
16 · 23 = 368 (км)
Кратко запись решения такой задачи можно сделать следующим образом.
Ответ: поезд должен пройти 368 км.
Сложные задачи на нахождение числа по его части
Часто задачи данного типа сложнее, чем рассмотренная задача выше, и более сложные задачи приходиться решать в
несколько действий.
Рассмотрим задачу.
При подготовке к диктанту по английскому языку Оля
выучила четверть всех слов, заданных учителем.
Если бы она выучила ещё 4 слова, то была
бы выучена треть всех слов.
Сколько всего слов надо было выучить Оле?
Решение. Как обычно подчеркнём в условии задачи все важные данные.
Как видно из условия, четыре невыученных слова — это часть от всех слов, которую можно найти в виде
разности дробей.
Такую часть всех слов составляют 4 слова.
Итак, 4 слова — это
от всех слов (целого). Теперь по правилу нахождения
числа по его части данное числовое значение разделим на соответствующую ему дробь
.
Ответ: всего 48 слов надо было выучить к диктанту.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Тип урока: Урок введения нового знания
Цели:
- Закреплять представления о понятии “доля”.
- Продолжать учиться читать и записывать доли.
- Формировать представления об алгоритме
нахождения числа по его доле. - Продолжать подробно рассматривать решение
задач на нахождение доли от числа. - Начать рассматривать решение задач на
нахождение числа по его доле.
Формирование УУД:
- извлекать информацию из текстов, иллюстраций,
таблиц; - делать выводы на основе обобщения
умозаключений; - совместно с учителем обнаруживать и
формулировать учебную проблему; - доносить свою позицию до других: оформлять свои
мысли в устной и письменной речи; - слушать других, пытаться принимать другую точку
зрения, быть готовым изменить свою точку зрения.
Ход урока
Актуализация знаний
I. Организационный момент
— Настройтесь на серьёзную работу: сегодня мы
будем совершать открытия, решать задачи, примеры.
— Откройте тетрадь, запишите число и заголовок
«Классная работа».
2. Фронтальная работа
а) Задание № 1 с. 82
— Откройте учебник на стр. 82. Найдите задание 1.
Какую фигуру вы видите? (Отрезок) Измерьте его
длину.
— Чему равна длина 1/2 этого отрезка? Как узнали?
(Длина 1/2 части отрезка равна 6 см, т.к. 12 см : 2 = 6 см)
Аналогично находим длину 1/4, 1/3, 1/6, 1/12.
б) Сравните доли отрезка ВД
На доске запись:
— Какое правило сравнения долей вам помогло?
(Чем больше число под чертой, тем меньше доля)
II. Постановка проблемы
Устный счёт
Цель работы: создание проблемной ситуации и
организация диалога.
— Ребята, сегодня утром я получила письмо. Для
того, чтобы узнать от кого оно, сначала найдём
значения выражений, записанных на доске (у детей
веера с цифрами)
| Ы 14 * 7 = | И 24 * 3 = |
| А 75 : 5 = | Т 52 : 4 = |
| О 68 : 17 = | С 2 * 38 = |
| Л 5 * 12 = |
— Расположите ответы в порядке возрастания, и вы
прочтёте, от кого пришло это письмо (от Алисы). Как
вы думаете, какая Алиса прислала нам письмо? (Это
Алиса Селезнёва — девочка из будущего, героиня
книг Кира Булычёва). На доске портрет писателя и
изображение Алисы
— Что мы знаем о папе Алисы? (Профессор Селезнёв —
специалист космобиологии, директор московского
космического зоопарка. Он часто совершает
экспедиции на другие планеты в поисках новых
животных)
— Открываем конверт. Ребята, помогите мне,
пожалуйста, решить задачу. Папа подарил
мне трёх снуриков и сказал, что это только
четвёртая часть всего подарка. Остальных
снуриков он подарит мне после очередной
экспедиции. Я очень хочу узнать, сколько всего
снуриков подарит мне папа. Поможете?
— Давайте разберёмся, что в задаче является
целым, а что — частью. Уже подаренные 3 снурика —
это часть. А все снурики, которые папа собирается
подарить — это целое. Как же найти целое число,
если известна его доля? Это и есть тема нашего
урока. (Запись на доске и в тетрадях: Нахождение
числа по доле)
III. Открытие нового знания
— Какую часть составляют 3 снурика?
— Знаете ли вы, как найти всех снуриков?
— Алиса предложила найти число по-своему.
1. Задание № 4.
Цель работы: помочь детям уяснить смысл
действия, связанного с нахождением числа по его
доле.
— Сколько долей по 3 см получила Алиса? Во
сколько раз длина отрезка KN больше длины
отрезка KM? Чему равна длина отрезка KM? А как найти
длину отрезка KN?
— Значит, как найти целое число по его известной
доле?
2. Сравнение своего вывода с авторским
IV. Первичное закрепление
1. Работа в парах (№ 6 а)
— Прочитайте задание № 6. О ком идёт речь в
задаче? Кто такой Громозека? (Громозека —
инопланетянин с планеты Чумароза, профессор
космоархеологии). Что нам известно в задаче? Что
нужно найти? Посмотрите на схему задачи. Нам
известна доля, неизвестно целое. Используя новое
правило, решите задачу. Работаем в паре.
16 * 5 = 80 (л.)
Самопроверка устно. Самооценка отвечающего.
— Есть ли замечания у того, с кем работал …?
Согласен ли ты с оценкой …?
2. Индивидуальный опрос (№ 6 в)
— Прочтите задачу. Рассмотрите схему. Что
известно? Что будем искать? Объясните по схеме, из
каких частей состоит целое. Кто хочет решить
задачу у доски?
1) 3 * 12 = 36 (дн.) — собирался провести Громозека на
Земле.
2) 36 — 3 = 33 (дн.) — уже провёл на Земле.
Ответ: 33 дня.
Самооценка по алгоритму.
3. Самостоятельная работа (№ 6 б)
— Какой новый персонаж появился в задаче?
(Гном Веня (Свен) является героем книги Кира
Булычёва «Заповедник Сказок». В этой книге
Алиса совершает очередной подвиг: спасает
жителей заповедника Сказок от злого волшебника.
Составление на доске краткой записи:
— Какой главный вопрос задачи? Как найти возраст
гнома? А известен ли нам возраст Алисы? Можем ли
мы его найти? Как?
— Самостоятельно запишите решение задачи.
1 ученик записывает решение на обратной стороне
доски.
1) 80 : 10 = 8 (лет) – Алисе.
2) 89 + 8 = 97 (лет) – гному Вене.
Проверка решения и самооценка.
— Есть ли у ребят какие-либо дополнения,
замечания? Согласны ли вы с такой самооценкой?
V. Рефлексия
— Подведём итог. Что для вас сегодня было
Интересным
Творческим
Обучающим
Главным
— Оцените свою работу на уроке .
— Кто хочет прокомментировать свою самооценку?
VI. Домашнее задание
Стр. 82 правило, № 2, № 7 (по желанию можно
выполнить доп-но № 9).
Математика
5 класс
Урок № 67
Нахождение части целого и целого по его части
Перечень рассматриваемых вопросов
– нахождение целого по его части;
– нахождение части целого;
– моделирование условий задачи с помощью рисунка.
Тезаурус
Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.
Частное дробей – это дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое.
Обязательная литература
- Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже рассмотрели, как выполняют умножение и деление дробей. Сегодня с помощью этих действий мы будем решать задачи.
Рассмотрим две задачи.
Теперь определим, какие условия в задачах одинаковы, а какие различаются.
Общее:
- в задачах одинаковые числовые данные;
- за целое принята длина всей ленты.
Разное:
- в первой задаче целое известно (длина ленты – 18 м);
- во второй задаче целое нужно найти.
Значит, в первой задаче нужно найти часть отрезанной ленты, то есть часть от целого; а во второй задаче нужно найти всю длину ленты, то есть целое по его части.
Подобные задачи решаются в соответствие с известными правилами.
- Чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь, соответствующую этой части.
- Чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую дробь.
Если вы затрудняетесь определить тип задачи, обратите внимание на союз «что» и указательное местоимение «это». Они встречаются в задачах на нахождение целого по его части.
Решение.
Смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
После этого мы увидим, что длина целой ленты известна, а длину части следует вычислить. Значит, мы будем находить часть от целого. Используем для этого соответствующее правило. Чтобы найти часть числа, нужно число умножить на дробь. Получим:
Решение.
Опять смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
Таким образом, мы увидим, что длина целой ленты неизвестна, а длина части указана в условии. Значит, нам надо вычислить целое по его части. Для этого мы используем подходящее правило. Чтобы найти целое, нужно число, соответствующее части, разделить на дробь.
Получится:
Итак, сегодня на уроке мы научились:
-
- моделировать условие задачи с помощью рисунка;
- устанавливать соответствие между математическим выражением и его текстовым описанием;
- решать задачи на нахождение части целого и целого по его части.
Рассмотрим старинную индийскую задачу XII века.
Из множества лотосов были подарены: богу Шиве – треть всех цветов, богу Вишну – пятая часть, а Солнцу – шестая, четвёртую долю получила богиня Бхавани, а остальные шесть частей – уважаемый учитель. Сколько было всего лотосов?
Сегодня мы с вами научимся решать такие задачи с применением действий умножения и деления, изученных ранее.
Решение.
Смоделируем условие задачи с помощью рисунка.
Общее количество лотосов обозначим за единицу. Также укажем части (лотосы), которые распределялись между всеми, кто указан в задании.
Известно, что часть, доставшаяся учителю, равна шести лотосам. Значит, если мы будем знать, какая это доля от общего количества лотосов, то придём ко второму типу задачи – вычислению целого по его части.
Итак, найдём, какая часть от общего количества цветков досталась учителю.
Для этого вычислим сначала, сколько составляют все остальные части. Сложим все дроби, соответствующие частям, приведя их к общему знаменателю 60.
Ответ: 120 цветков.
Тренировочные задания
№ 1. Какие части изображены на рисунках?
Правильные ответы:
№ 2. Подставьте в текст нужные слова:
При решении задач на ___ сначала нужно определить ___ задачи, а потом применить соответствующее правило.
Типы задач:
- нахождение ___ от целого;
- нахождение целого по его ___.
Варианты слов для подстановки в текст: части; тип; целого.
Правильный ответ: при решении задач на части сначала нужно определить тип задачи, а потом применить соответствующее правило.
Типы задач:
- нахождение части от целого;
- нахождение целого по его части.
На уроке математики, на улице, в магазине, в быту и профессиональной деятельности, науке и технике часто приходится встречаться с дробями и решать различные задачи с ними.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Так, например, в кулинарии очень часто используют дробные числа, отмеряя те или иные ингредиенты в соответствии с рецептом: пол чайной ложки соли, треть стакана, четверть пачки, полкилограмма сахара и т.д.
Определяя время по часам, приходится находить часть от часа, от минуты, например, 30 минут равняется ½ часа, четверть часа (15 минут)- это ¼ часа, 30 секунд равняются ½ минуты, 15 секунд составляют ¼ минуты.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В медицине и фармацевтике используют дробные числа.
В состав лекарственного средства чаще всего включают дробное количество различных действующих и вспомогательных веществ.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Для корректного лечения врач устанавливает эффективную дозировку лекарственного препарата, которая иногда представлена в виде дробного числа.
Дозировку или концентрацию лекарственного средства приходится выражать в виде дроби: полтаблетки (1/2), четверть (1/4) таблетки и т.д.
Особенно важно учитывать количество медицинского препарата для пациентов детского возраста.
Часто дозировку лекарства для детей рассчитывают относительно взрослой дозы на основе данных о массе ребенка, количестве лет и др.
Обыкновенные дроби широко используются в строительстве и архитектуре.
Создавая надежную конструкцию, важно соблюдать соизмеримость и определенные соотношения частей сооружения.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Начертить чертеж, построить здание, возвести мост, положить асфальт, приготовить бетонную смесь невозможно без знаний о дробях.
В спортивных состязаниях вам, наверное, не раз приходилось слышать такие фразы: «состоялся четверть финал» или «полуфинал чемпионата», «одна восьмая финала».
Дроби используют в искусстве, например, в музыке, живописи и др.
Одним из примеров внедрения дробей в музыкальное искусство может служить нотная грамота.
Еще древнегреческий ученый Пифагор установил связь между длительностью музыкального звучания и дробей.
Дроби применяют для обозначения длительности нот.
Так, например, существует длинная нота.
Кроме нее есть половинная нота, четвертная, восьмая, шестнадцатая и т.д.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Такое обозначение нот удобно, так как явно видно насколько одна нота длиннее или короче другой.
Существует еще одна важная роль дробного числа в музыке.
Музыкальный размер (количество ритмических единиц в такте) так же обозначают в виде дроби (только без дробной черты) вначале нотной строки.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
С помощью музыкального размера музыканты понимают с каким ритмом и темпом нужно играть музыкальное произведение.
В картографии и географии с помощью дроби указывают масштаб карты.
Деление целого на доли встречается в юридической практике при делении наследства.
В повседневной жизни мы часто делим целое на части, например, плитку шоколада ломаем на дольки, чтобы угостить друзей, режем на кусочки торт на празднике, делим мандарин на дольки и т.д.
Мы можем привести бесконечное множество примеров деления чего-либо на части.
Сегодня на уроке вспомним, что называют долей числа и, что представляет собой дробь от числа.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Научимся решать задачи, в которых необходимо находить часть от целого и целое по его части.
Рассмотрим алгоритм и примеры решения таких задач.
В математике дробью обозначают часть некоторой рассматриваемой величины, часть от целого.
Каждую равную часть одного целого называют долей числа.
Дробь представляет собой число, которое состоит из одной или нескольких долей (равных частей) целого.
Математическая запись обыкновенной дроби оформляется в виде двух чисел, разделенных чертой, которая называется дробной (она может быть горизонтальной и наклонной).
Число, стоящее над дробной чертой, называют числителем.
Числитель показывает, сколько долей взяли от целого.
Число, стоящее под дробной чертой, называют знаменателем.
Знаменатель показывает, на сколько всего равных долей разделили целое.
Зная целое, можно найти его часть.
Рассмотрим такую задачу.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ленту, длиной 12 дм, разрезали на 2 равные части.
Что значит разрезать на две равные части?
Это значит, что ленту нужно разделить на две доли, каждая из которых является половиной этой ленты.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Итак, каждая доля- это половина всей ленты, по-другому такую часть от целого называют одна вторая часть ленты, обозначают ½.
В нашем примере половина всей ленты, т.е. одна вторая часть ее составляет 6 дм.
Запишем равенство: 12 ÷ 2 = 6 (дм).
Ленту такой же длины разделим на четыре равные части.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Получим 4 доли, каждая из которых равна одной четвертой всей длины ленты, обозначается 1/4.
Четверть (одна четвертая) ленты составляет: 12 ÷ 4 = 3 (дм).
Попробуем найти одну шестую ленты все той же длины- 12 дм.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
1/6 доля этой ленты будет составлять: 12 ÷ 6 = 2 (дм).
Итак, нам становится ясно, чтобы найти долю от числа, необходимо разделить это число на количество долей (равных частей).
Рассмотрим ситуацию посложней.
Полоску бумаги, длиной 15 см, разделим на 5 равных частей (пять долей).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, чему будет равны (mathbf{frac{3}{5}}) этой полоски бумаги.
Одна доля ((mathbf{frac{1}{5}}) этой полоски)- это 15 ÷ 5 = 3 (см).
Возьмем три таких доли.
Так как одна доля составляет 3 см, то три доли будут равны 3 ∙ 3 = 9 (см).
В данном случае получилось, что три пятых полоски бумаги составляют 9 см.
Сформулируем правило нахождения части от целого.
Чтобы найти несколько долей целого (дробь от числа), необходимо найти величину одной доли, затем умножить ее на количество долей.
Запишем алгоритм нахождения части от числа (несколько долей целого).
1. Найти величину одной доли.
2. Величину одной доли умножить на количество взятых долей.
В буквенном виде данное правило можно представить так:
Пусть А— это исходное число.
В— неизвестная часть числа А, выраженная дробью (mathbf{frac{m}{n}}).
m— числитель, показывает сколько долей взяли.
n— знаменатель, показывает на сколько долей разделили число А.
Чтобы найти часть числа А, необходимо это число А разделить на знаменатель (n) и умножить на числитель (m) дроби, которая выражает эту часть.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В качестве примера рассмотрим решение нескольких задач.
Задача №1.
Туристы за все время своего путешествия из пункта А в пункт В должны пройти 54 км.
Туристы прошли (mathbf{frac{1}{2}}) всего пути по лесу.
Сколько километров прошли туристы по лесу? Сколько им осталось пройти?
Решение:
Вспомним правило.
Чтобы найти долю от числа, необходимо число разделить на количество долей.
Прошли (mathbf{frac{1}{2}}) всего пути- это значит туристы преодолели половину своего пути.
Разделим весь путь на 2 равные доли, т.е. на 2, в результате получим (mathbf{frac{1}{2}}) пути, которую туристы прошли по лесу.
Этот путь будет составлять: 54 ÷ 2 = 27 (км).
Определим путь, который им осталось пройти, для этого из общего пути вычтем пройденный по лесу путь:
54 — 27 = 27 (км) туристам осталось пройти.
Ответ: 27 (км), 27 (км).
Задача №2
За три дня туристы прошли 54 километра.
За первый день они прошли половину всего пути.
За второй день преодолели (mathbf{frac{2}{3}}) оставшегося пути.
Сколько километров туристы прошли в каждый из трех дней?
Решение:
Весь трехдневный путь туристов составляет 54 км.
Первый день туристы прошли половину- это (mathbf{frac{1}{2}}) всего пути.
Выше в задаче №1 мы уже находили (mathbf{frac{1}{2}}) от 54 (км), у нас получился следующий результат:
54 ÷ 2 = 27 (км) прошли туристы в первый день.
Так как в первый день пройдена половина пути, то вторая половина- это оставшийся путь.
Он будет равен: 54 — 27 = 27 (км).
Второй день- это (mathbf{frac{2}{3}}) оставшегося пути, т.е. (mathbf{frac{2}{3}}) от 27 (км).
Чтобы найти дробь от числа, необходимо найти величину одной доли, затем умножить ее на количество частей (долей).
Найдем величину одной доли, для этого весь оставшийся путь (27 км) разделим на знаменатель дроби (в нашем случае это число 3), данное выражение будет описываться выражением 27 ÷ 3.
Полученный результат умножим на количество, пройденных туристами долей, на которые нам указывает числитель дроби (он равен 2).
В результате получим равенство:
27 ÷ 3 ∙ 2 = 9 ∙ 2 = 18 (км) туристы прошли во второй день.
Так как во второй день туристы прошли 18 км от пути, оставшегося после первого туристического дня (т.е. 18 км из 27 км), то за третий день им осталось пройти:
27 — 18 = 9 (км) туристы прошли в третий день.
Проверим полученные результаты.
Найдем весь туристический путь за три дня, он должен быть равен 54 км.
Для этого сложим путь первого, второго и третьего дня.
27 + 18 + 9 = 45 + 9 = 54 (км) прошли туристы за три дня.
Задача решена верно.
Ответ: 27 (км), 18 (км), 9 (км).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Если известно сколько составляет часть от целого, то по известной части можно найти целое.
Рассмотрим задачу:
Пусть длина (mathbf{frac{1}{2}}) ленты составляет 10 дм.
Определим, чему равна длина всей ленты.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Так как (mathbf{frac{1}{2}}) ленты- это ее половина, и она составляет 10 дм, то вторая половина так же равна 10 дм.
В таком случае, чтобы найти длину всей ленты, мы можем сложить длины этих двух половинок или, заменив сложение одинаковых слагаемых умножением, можем по 10 дм взять два раза, в результате получим равенство:
10 ∙ 2 = 20 (дм) длина всей ленты.
Ответ: 20 (дм).
Рассмотрим еще одну задачу, в которой будет известна длина одной четвертой части ленты.
Ленту подарочную разделили на четыре части.
Длина (mathbf{frac{1}{4}}) ленты составляет 5 дм.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим, чему равна длина всей ленты.
Целое, т.е. всю ленту разделили на 4 доли.
Известно, что одна доля- это (mathbf{frac{1}{4}}) ленты, она составляет 5 дм.
Чтобы найти длину всей ленты, необходимо длину одной доли (в нашем случае 5 дм) умножить на количество долей (в нашем примере их 4).
Получим следующее равенство:
5 ∙ 4 = 20 (дм) длина всей ленты.
Ответ: 20 (дм).
Рассмотрев эти два примера, можно сделать вывод:
Чтобы найти неизвестное число по его доле, необходимо долю этого числа умножить на число долей.
Усложним задачу про ленту и попробуем ее решить.
Пусть подарочную ленту разделили на 5 равных частей.
Определим, какова длина всей ленты, если (mathbf{frac{3}{5}}) этой ленты составляет 12 дм.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Из условия задачи известно, что разделили ленту на 5 долей, а 3 таких доли составляют 12 дм.
Для того чтобы найти длину всей ленты, необходимо найти длину одной доли.
Следовательно, известную длину трех долей (12 дм) разделим на количество этих долей (3 доли).
Данное действие будет описывать следующее выражение: 12 ÷ 3.
Затем умножим длину одной доли на количество всех долей (в нашем случае всю ленту разделили на 5 долей).
В результате получим равенство:
12 ÷ 3 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 20 (дм) длина всей ленты.
Ответ: 20 (дм).
Сформулируем правило нахождения целого по его части.
Чтобы найти целое по его части, необходимо определить величину одной доли, затем полученный результат умножить на общее количество долей (на которое поделено целое).
Запишем алгоритм нахождения числа по его дроби.
1. Найти величину одной доли.
2. Величину одной доли умножить на количество всех долей, на которое разделено число.
В буквенном виде данное правило можно представить так:
Пусть А— это исходное число, оно неизвестно.
В— часть числа А, выраженная дробью (mathbf{frac{m}{n}}).
m— числитель, показывает сколько долей взяли.
n— знаменатель, показывает на сколько долей разделили число.
Чтобы найти исходное число А, необходимо число В, соответствующее части числа А, разделить на числитель (m) и полученный результат умножить на знаменатель (n) дроби, которая выражает эту часть.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим, как данное правило применяется при решении задач.
Задача №1.
Дима потратил на сладости 120 рублей, что составляет (mathbf{frac{2}{4}}) всех накопленных им денег.
Сколько всего денег было у Димы накоплено?
Решение:
Общее количество денег, которое было у Димы не известно.
Известно только то, что 120 рублей- это часть всех денег Димы.
Эта же часть денег выражена дробью (mathbf{frac{2}{4}}) от всех денег.
Знаменатель данной дроби показывает на то, что все накопленные деньги разделены на 4 части, а числитель дроби указывает на то, что две части из четырех составляют 120 рублей.
Найдем величину одной доли (одной части из четырех), т.е. сколько составляет (mathbf{frac{1}{4}}) (четверть) всех денег Димы.
120 ÷ 2 = 60 (руб.) составляет четверть всех денег Димы.
Чтобы найти общее количество денег, которые накопил Дима (а это четыре части по 60 рублей), нужно:
4 ∙ 60 = 240 (руб.) было накоплено у Димы.
Кратко решение данной задачи можно записать следующим образом:
120 ÷ 2 ∙ 4 = 240 (руб.) было накоплено у Димы.
Ответ: 240 (руб.)
Очень часто задачи такого типа имеют более сложные условия и их приходится решать в несколько действий.
Задача №2.
Дима купил шоколадку. Он за нее заплатил 60 рублей, что составило (mathbf{frac{1}{3}}) всех его денег.
От оставшейся суммы (mathbf{frac{2}{3}}) он потратил на мороженное, остальные деньги положил в копилку.
Сколько денег Дима положил в копилку?
Решение:
Первым делом определим первоначальную сумму, которая была у Димы.
Будем считать, что искомое число состоит из трех долей.
По условию задачи одна доля составляет 60 рублей.
Чтобы найти число (целое) по его доле, необходимо долю этого числа умножить на число долей.
В таком случае получаем:
60 ∙ 3 = 180 (руб.) всего было накоплено у Димы- это первоначальная сумма, которая у него была.
Следующим действием найдем часть денег, которые потратил Дима на мороженное.
Из общей суммы денег вычтем 60 рублей, которые были потрачены на шоколадку.
180 — 60 = 120 (руб.) оставшееся сумма денег у Димы.
От полученного остатка найдем (mathbf{frac{2}{3}})
Чтобы найти (mathbf{frac{2}{3}}) от 120 (дробь от числа), нужно число 120 разделить на знаменатель и умножить на числитель этой дроби.
120 ÷ 3 ∙ 2 = 40 ∙ 2 = 80 (руб.) Дима потратил на мороженное.
Из первоначальной суммы (180 рублей) вычтем деньги, потраченные на шоколадку, (60 рублей), вычтем деньги, потраченные на мороженное, (80 рублей) и получим остаток денег, который Дима положил в копилку.
180 — 60 — 80 = 100 — 60 = 40 (руб.) Дима положил в копилку.
Ответ: 40 (руб.)
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям