Как найти целые числа на координатной прямой

Математика

6 класс

Урок № 32

Представление целых чисел на координатной оси

Перечень рассматриваемых вопросов:

• На уроке мы научимся изображать целые числа точками на координатной прямой.
• Введём понятие положительной и отрицательной полуосей.

Тезаурус

Прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатной осью.

Число, которое соответствует данной точке на координатной оси, называют координатой данной точки.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зададим прямую, на которой указано направление. Отметим на ней точку О (рис.1). Примем её за начало отсчёта.

Выберем какой-нибудь единичный отрезок, например, равный 1 см. Отложим на прямой вправо от точки О единичные отрезки. Обозначим конец первого отрезка числом 1, второго – числом 2 и т.д. Такие же построения выполним слева от точки О. Концы отрезков, отложенных влево от точки О, обозначим числами – 1, – 2, – 3… Читают «минус один», «минус два», «минус три» и так далее. Направление вправо от точки О будем считать положительным, а влево – отрицательным. Положительное направление на прямой показывает стрелка.

Сформулируем определение.

Прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатной осью.

Координатная ось делится точкой О на два луча. Один из них положительный, идущий от нуля вправо, его называют положительной координатной полуосью или положительным координатным лучом. Другой – отрицательный, идущий от нуля влево, его называют отрицательной координатной полуосью или отрицательным координатным лучом.

С помощью координатной оси целые числа изображаются точками.

Точке О на координатной оси соответствует число 0, которое отделяет положительные числа от отрицательных. Обозначают: О (0).

Определение

Число, которое соответствует данной точке на координатной оси, называют координатой данной точки.

Координаты точки

Точка А имеет координату 5.

Обозначают: А (5).

Точка В имеет координату – 3.

Обозначают: В (– 3).

Целое n, не равное нулю, изображают точкой, расстояние от которой до точки 0 равно модулю этого числа. Она находится на положительной полуоси, если n больше нуля. Если n меньше нуля, то на отрицательной полуоси.

Например,

В (– 3) находится на отрицательной полуоси на расстоянии 3 от О (0).

А (5) находится на положительной полуоси на расстоянии 5 от О (0).

По координатам точек можно определять, какая из них расположена на координатной оси левее (правее), и вычислять расстояние между двумя точками.

Если m и n целые числа и m > n, то:

1. точка m расположена правее точки n на координатной оси;
2. расстояние между точками m и n равно m – n.

Пример.

Даны точки

А (4)

В (– 2)

С (2)

Так как 4 > – 2, то А расположена правее.

Расстояние АВ = 4 – (– 2) = 4 + 2 = 6

Таким образом, на уроке мы рассмотрели, как изображать целые числа точками координатной прямой.

Ввели понятие положительной и отрицательной полуосей.

Дополнительный материал

Вещественные числа

Числовой луч – это графическое представление неотрицательных чисел в виде луча. Расстояние между соседними точками равно единичному отрезку.

Числовой луч играет большую роль в иллюстрации понятий натурального числа и обыкновенной дроби. Используя его, мы познакомились и с понятием отрицательного числа, научились изображать числа на числовой оси.

Но известные нам множества чисел занимают не весь луч. На числовом луче среди рациональных чисел имеются пустоты – вещественные числа. Вещественные числа ещё называют действительными. Это понятие пришло к нам из Древней Греции, из школы Пифагора. В этой школе было открыто существование несоизмеримых величин, то есть не рациональных, таких, которые не могут быть выражены обыкновенной дробью. Спустя почти 2500 лет, в 19 веке, была создана строгая теория вещественных чисел. С этим множеством чисел мы познакомимся позднее.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Какие полуоси изображены на рисунках?

2.

Правильный ответ

При выполнении данного задания нужно использовать понятие положительной и отрицательной полуосей.

1. Отрицательная координатная полуось
2. Положительная координатная полуось

№ 2. Вставьте в текст нужные слова.

Прямую с заданными на ней ____, единичным ____ и ____ отсчёта называют ____ осью.

Варианты слов для вставки:

началом отсчёта

отрезком

направлением

координатной

прямой

координатой

Правильный ответ

Прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатной осью.

В данном материале мы подробно рассмотрим и изучим понятие целого значения числа. Узнаем какие его основные характеристики и свойства. Рассмотрим на конкретных примерах целые значения. А также изучим основную классификацию целых чисел. Само по себе понятие натурального числа характеризуются очень доступно и просто. Данные числа применяются для расчета натуральных и простых величин.

Для начала постараемся сформулировать определение простому значению числа в математике.

В технических науках множество целых числовых значений принято обозначать символом Z.

Любое значение множества натуральных чисел N — это, значение   подмножеств целых числовых значений, которые обозначаются буквой Z.

Целым вполне возможно назвать, любое число натурального значения. Однако, целое число не всегда будет является натуральным числом, и это следует всегда помнить.

Натуральные числа, можно определить двумя методами:

• значения, которые возникают, при подсчете определенных предметов, которые являются числительными (первый день, четвертый урок, третий ребенок);
• обозначение конкретных событий или простых предметов (три слова, пять рулонов).

В первом случае нумерация начинается с единичного значения, а для второго характерен подсчет, с нулевого знака.

Целым числам характерны следующие простые математические операции:

• сложение числовых значений;
• вычитание чисел;
• перемножение числовых данных;
• возведение в степень значения;
• процесс вычитания чисел;
• принцип деления данных с простым остатком.

Продолжим изучать натуральные числа и для этого рассмотрим целые числа, расположенные на координатной прямой.

Изобразим координатную прямую числовых значений, и обозначим, для примера, на ней данные простых чисел.

Нулевое значение, показывает на координатной прямой начало нашего отсчета.

Значения, которые располагаются слева и справа от нулевого знака числа, являются отрицательными и положительными значения соответственно.

Для каждой точки на координатном отрезке, соответствует целое числовое значение.

В каждую точку на координатной прямой, числовым данным, которой является простое целое число, можно попасть. Для этого отложить от начала прямой координат определенное количество единичных отрезков.

Целые положительные и отрицательные значения

Рассмотрим подробно какие числа мы можем назвать отрицательны, а какие положительным. Сформулируем основные определения и приведем наглядные примеры.

Рассмотрим значение   15 — целое число со знаком плюс, то есть положительное значение. На координатной прямой оно располагается справа от нулевого значения или точки первоначального отсчета.  

Примеры целых отрицательных чисел: − 52, − 258, − 1 -528, -2568, -1. Нулевое значение делит между собой положительные и отрицательные целые числа.  В то же время оно является ни положительным и ни отрицательным. Числовое значение, которое является обратным каждому отрицательному значению, следовательно, является положительным целым числом.  

Сравнивая с нулевым значением, можно сформулировать и другие определения, конкретно опираясь на ноль.

Например: числа, которые являются меньше нуля, можно назвать отрицательными целыми числовыми значениями.

Числа, которые больше нулевого данного числа, будет называться простыми положительными значениями.

Положительные данные, находящиеся правее от нулевого числового значения, следовательно, отрицательные мы увидим слева от нуля.

Мы уже рассмотрели и изучили правило, что натуральные числа — это целый ряд или подмножество целых значений. Рассмотрим это подробнее.

Несколько данных натуральных чисел объединяют в себя целые положительные значения. Из этого следует, что множество отрицательных целых значений числа, может быть представлено, как множество значений, с обратным значением знака к натуральным числам.

Стоит уделить внимание следующему понятию — любое натуральное число значение, может иметь свойство целого значения, однако, не каждое целое значение   может быть натуральным.

Дадим определения таким значениям как, неотрицательные и неположительные:

• Неотрицательные целые числа — это положительные числа и нулевое числовое значение.
• Неположительные целые числа — это отрицательные целые числа и значение равное нулю.

Как мы уже говорили ранее числовое данное равное нулю, не относится ни к какому из изученных натуральных значений.

Простыми примерами неотрицательных чисел могут быть следующие значения: 45; 142; 26589;105689.

В свою очередь -52; -5698; -12598 это неположительные значения.

Основное применение целых числовых значений. Примеры

Постараемся разобраться для чего и в каких случаях мы используем простые целые числовые значения.

1. Самое главное и простое, это применение в повседневной жизни для подсчета и измерения каких-либо предметов и свойств.

Приведем пример: на складе хранится некоторое количество ящиков с овощами. Когда на склад привезли еще 45 ящиков, соответственно их общее количество увеличится. Значение 45 и будет является числом, которое отображает изменение в количестве товара.  Затем, со склада, по определенным причинам, увезут 26 ящиков. Следовательно, количество уже изменится, но уже в меньшую сторону.  Числовое значение 26, будет характеризовать изменение, но в сторону убывания.

Возможна ситуация, когда со склада товар будут только забирать, но не привозить. Значит числовое значение приблизиться.

Целые числа удобнее использовать, чем натуральные, так как они могут менять свое значение в сторону большего или меньшего знака.

2. Для обозначения технических данных.

Например: измерение температурных значений можно охарактеризовать, только при помощи отрицательного значения.  Увеличение температуры, можно обозначить положительным целым значение.

Например: температура воздуха увеличилась на +8 градусов по Цельсию или понизилась на -12 градусов по Цельсию.

Итак, мы рассмотрели значение простого числа. Познакомились с основными понятиями и характеристиками. Обозначили классификацию, при применении данной категории чисел.

Данная тема является основой основ для математики и технических наук. Все разделы математики, включают в себя целые числа их свойства.

6 класс   
математика                                                                                   дата_____________

Тема. Представление целых чисел на
координатной оси.

Цели урока:

1) Образовательная: повторить правила действий над
целыми числами и модуль числа; ввести понятие координатной оси; научить
учащихся отмечать точки на координатной оси, определять координаты точек и
расстояние между ними.

2) Развивающая: развивать математическую зоркость,
логическое мышление, умение анализировать информацию, делать выводы и
аргументировать их, грамотность математической речи и интерес к предмету.

3) Воспитательная: воспитывать ответственность,
дисциплинированность, взаимопомощь.

Тип урока: урок формирования новых
знаний.

Ход урока:

       
I.           
Организационный момент.

     II.           
Проверка домашнего задания.

  III.           
Самостоятельная работа по теме «Целые числа»
(теория).

Вариант 1.

1.      Как сложить два отрицательных числа?

2.      Как вычесть два числа?

3.      Как умножить два числа с разными знаками?

4.      Как разделить два отрицательных числа?

5.      Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–»?

Вариант 2.

1.      Как сложить два числа с разными знаками?

2.      Как умножить два отрицательных числа?

3.      Как разделить два числа с разными знаками?

4.      Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»?

5.      Как число умножить на скобку, в которой записана сумма двух чисел?

  IV.           
Объяснение нового
материала.

Представление целых
чисел на координатной оси.

Отметим на горизонтальной прямой
точку О (рис.1). Примем её за начало отсчета. Выберем какой–нибудь единичный
отрезок, например равный 1 см. Отложим от прямой вправо от точки О один за
другим единичные отрезки. Конец первого отрезка обозначим числом 1, второго –
числом 2 и т.д. Такие же построения выполним слева от точки О. Концы отрезков,
отложенных влево от точки О, обозначим числами –1; –2; –3; … . Читают «минус
один», «минус два», «минус три» и т.д. Обычно считают на-правление вправо от
точки О положительным, а влево – отрицательным. Положительное направление на
прямой показывает стрелка.

Определение. Прямую с выбранными на ней началом
отсчёта, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой (осью).

Координатная ось делится точкой О
на два луча. Один из них положи-тельный, идущий от нуля вправо, его называют
положительной координа-тной полуосью или положительным координатным лучом.
Другой – отри-цательный, идущий от нуля влево, его называют отрицательной
коорди-натной полуосью или отрицательным координатным лучом.

С
помощью координатной прямой (оси) целые числа изображают-ся точками.

Точке О на координатной прямой соответствует число 0, которое
отделяет положительные числа от отрицательных. Обозначают: О(0).

Определение. Число соответствующее данной точке
на координат-ной прямой (оси), называют координатой этой точки.

На рис. 2 точка А имеет координату 3. Обозначают: А(3).

Точка В имеет координату –4. Обозначают: В(–4).

Пример 1. Дана координатная ось
(рис.3), некоторые её точки обозначены буквами А, В, С, D, E, F. Укажите
координаты этих точек.

Решение.

А(6); В(1); С(–3); D(–6); E(–5); F(3).

Дополнительный вопрос: Какие точки имеют противоположные координаты?

Т.о. на координатной прямой можно
найти точку, соответствующую целому числу – положительному или отрицательному.
В то же время с помощью целых положительных и целых отрицательных чисел и числа
нуль можно указать положение любой точки на прямой.

Пример 2. Построить на
координатной прямой (оси) точки А(–5), В(2), С(5), D(–1), E(4), F(–3). По
рисунку определить:

1.      расстояние от точки О до точки А, от точки О до точки В, от точки О до
точки С, от точки О до точки D, от точки О до точки Е, от точки О до точки F.

2.      расстояние между точками В и D, между точками Е и F.

Решение.

1.     
ОА = 5; ОВ = 2; ОС
= 5; OD = 1; OE = 4; OF = 3.

2.      ВD = 3; ЕF = 7.

Но можно находить расстояние между точками, пользуясь
правилом:

Если m и n – целые числа и m > n, то :

1.      точка m расположена правее точки n на координатной оси;

2.      расстояние между точками m и n равно m – n.

Найти длину отрезка означает, найти
расстояние между точками.

    V.           
Решение упражнений.

Уч.с.76 № 391(а,б,д,з). Вычислите
длину отрезка (рис. 32):

а) ОА,

Т.к. А(4) правее О(0), то ОА = 4 – 0 = 4;

б) ОВ,

Т.к. О(0) правее В(–3), то ОВ = 0 – (– 3) = 0 + 3 = 3;

д) АС,

Т.к. А(4) правее С(–5), то АС = 4 – (– 5) = 4 + 5 = 9;

з) СВ,

Т.к. В(–3) правее С(–5), то СВ = – 3 – (– 5) = – 3 + 5 = 2.

Уч.с.76 № 392. Изобразите
координатную ось (единичный отрезок 1
см). Отметьте на ней точки А(–5), В(7), С(4), D(–4). Вычислите длину отрезка:

а) ОА, б) ОВ, в) ВС, г) ВD, д) АD.

Решение.

а) ОА,

Т.к. О(0) правее А(– 5), то ОА = 0 – (– 5) = 0 + 5 = 5;

б) ОВ,

Т.к. В(7) правее О(0), то ОВ = 7 – 0 = 7;

в) ВС,

Т.к. В(7) правее С(4), то ВС = 7 – 4 = 3;

г) ВD,

Т.к. В(7) правее D(–4), то ВD = 7 – (– 4) = 7 + 4 = 11;

д) АD,

Т.к. D(–4) правее А(– 5), то – 4 – (– 5) = – 4 + 5 = 1.

Уч.с.76 № 394(а,в). Определите расстояние между точками m и n на
координатной оси, если:

а) m = 7, n = – 3,

Т.к. 7 > – 3, то 7 – (– 3) = 7 + 3
= 10;

в) m = –8, n = 0,

Т.к. 0 > – 8, то 0 – (– = 0 + 8
= 8.

  VI.           
Подведение итогов
урока.

VII.           
Домашнее задание. § 2.12 (выучить теорию). № 390, 391(в,г,е,к),
393, 394(б,г).

Целые числа