Как найти целые решения кубического уравнения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения — для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

1
2
3

Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида $ax^{2}+bx+c=0$ можно разложить на множители. Такое уравнение получится, если вынести за скобки. В нашем примере:^[4]
4
5

Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических — три. Два решения вы уже нашли — это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет .^[6]

Реклама

1
2
3
Разделите каждый множитель на каждый множитель . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.^[9]
- В нашем примере разделите множители (1 и 2) на множители (1, 2, 3 и 6). Вы получите: , ${frac {1}{2}}$ , ${frac {1}{3}}$ , ${frac {1}{6}}$ , и ${frac {2}{3}}$ . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: , , ${frac {1}{2}}$ , $-{frac {1}{2}}$ , ${frac {1}{3}}$ , $-{frac {1}{3}}$ , ${frac {1}{6}}$ , $-{frac {1}{6}}$ , , , ${frac {2}{3}}$ и $-{frac {2}{3}}$ . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.
4

Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение :^[10]
5

Реклама

1
2

Вычислите нулевой дискриминант по специальной формуле. Чтобы решить кубическое уравнение с помощью дискриминанта, нужно произвести ряд непростых вычислений, но если правильно выполнять все действия, этот метод станет незаменимым для решения наиболее сложных кубических уравнений. Сначала вычислите $Delta _{0}$ (нулевой дискриминант) — это первая необходимая нам величина; для этого подставьте соответствующие значения в формулу $Delta _{0}=b^{2}-3ac$ .^[13]
3

Вычислите первый дискриминант по формуле $Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ . Первый дискриминант $Delta _{1}$ — это вторая важная величина; чтобы ее вычислить, подставьте соответствующие значения в указанную формулу.^[14]
4
5
6

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 410 300 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Как решать кубические уравнения

3 метода: Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения. Нахождение целых решений при помощи разложения на множители. Использование дискриминанта.

Кубические уравнения имеют вид ax3 + bx2 + cx + d = 0. Способ решения таких уравнений известен уже несколько столетий (он был открыт в 16 веке итальянскими математиками). Решить некоторые кубические уравнения довольно сложно, но при правильном подходе (и хорошем уровне теоретических знаний) вы сможете решать даже самые сложные кубические уравнения.

Метод 1 из 3: Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член.Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид ax3 + bx2 + cx + d = 0, где коэффициенты «b», «с» и «d» могут быть равны 0, то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть «d». Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения.

Если свободный член есть, используйте другой метод решения (смотрите следующие разделы).

2. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную «х», которую можно вынести за скобки:x(ax2 + bx + c).

Пример. 3x3 + -2x2 + 14x = 0. Если вынести «х» за скобки, вы получите x(3x2+ -2x + 14) = 0.

3. Обратите внимание, что уравнение в скобках – это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c, которое можно решить при помощи формулы ({-b +/-√ (b2— 4ac)}/2a). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.

В нашем примере подставьте значения коэффициентов «а», «b», «с» (3, -2, 14) в формулу:

{-b +/-√ (b2— 4ac)}/2a

{-(-2) +/-√ ((-2)2— 4(3)(14))}/2(3)

{2 +/-√ (4 — (12)(14))}/6

{2 +/-√ (4 — (168)}/6

{2 +/-√ (-164)}/6

Решение 1:

{2 + √(-164)}/6

{2 + 12,8i}/6

Решение 2:

{2 – 12,8i}/6

4. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические – три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите «х» за скобки, третье решение всегда равно 0.

Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0, равно 0. Так как вы вынесли «х» за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя («х» и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0, чтобы все уравнение равнялось 0.

Метод 2 из 3: Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член.Описанный в предыдущем разделе метод не годится для решения кубических уравнений, в которых присутствует свободный член. В этом случае вам придется воспользоваться методом, который описан в этом или следующем разделах.

Пример. 2x3 + 9x2 + 13x = -6. Здесь перенесите свободный член d = -6 на левую сторону уравнения, чтобы на правой стороне получить 0: 2x3 + 9x2 + 13x + 6 = 0.

2. Найдите множители коэффициента «а» (коэффициент при x3) и свободного члена «d». Множители числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6 (1*6 = 6 и 2*3 = 6).

В нашем примере а = 2 и d = 6 . Множители 2 – это числа 1 и 2. Множители 6 – это числа 1, 2, 3 и 6.

3. Разделите множители коэффициента «а» на множители свободного члена «d». Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.

В нашем примере разделите множители «а» (1, 2) на множители «d» (1, 2, 3, 6) и получите: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, 2/3. Теперь добавьте к этому ряду чисел их отрицательные значения: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, -2/3. Целые решения данного вам кубического уравнения находятся в этом ряду чисел.

4. Теперь вы можете найти целые решения вашего кубического уравнения, подставив в него целые числа из найденного ряда чисел. Но если вы не хотите тратить время на это, воспользуйтесь делением по схеме Горнера. Такая схема подразумевает деление целых чисел на значения «а», «b», «с», «d» данного кубического уравнения. Если остаток равен 0, целое число является одним из решений кубического уравнения.

Деление по схеме Горнера – непростая тема; для получения дополнительной информации по ней перейдите по ссылке, указанной выше. Вот пример того, как найти одно из решений данного вам кубического уравнения при помощи деления по схеме Горнера:

-1 | 2 9 13 6

__| -2-7-6

__| 2 7 6 0

Так как остаток 0, то одним из решений уравнения является целое число -1.

Метод 3 из 3: Использование дискриминанта

1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов «а», «b», «с», «d». Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.

Пример. x3 — 3x2 + 3x — 1. Здесь a = 1, b = -3, c = 3, d = -1. Не забывайте, что когда перед «х» коэффициента нет, то это значит, что коэффициент равен 1.

2. Вычислите Δ0 = b2 — 3ac. В этом методе потребуется провести несколько сложных вычислений, но если вы уясните его, вы сможете решать самые сложные кубические уравнения.

В нашем примере:

b2 — 3ac

(-3)2 — 3(1)(3)

9 — 3(1)(3)

9 — 9 = 0 = Δ0

3. Вычислите Δ1= 2b3 — 9abc + 27a2d.

В нашем примере:

2(-3)3 — 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)

2(-27) — 9(-9) + 27(-1)

-54 + 81 — 27

81 — 81 = 0 = Δ1

4. Вычислите Δ = Δ12 — 4Δ03) ÷ -27a2. Теперь вычислите дискриминант уравнения при помощи найденных значений Δ0 и Δ1. Дискриминант – это число, дающее вам информацию о корнях многочлена (вы, возможно, уже знаете, что дискриминант квадратного уравнения равен b2 — 4ac). В случае кубического уравнения, если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение, потому что график такого уравнения пересекает ось X по крайней мере в одной точке.

В нашем примере Δ0 = 0 и Δ1 = 0, поэтому найти Δ не составит труда.

Δ12 — 4Δ03) ÷ -27a2

(0)2 — 4(0)3) ÷ -27(1)2

0 — 0 ÷ 27

0 = Δ, поэтому данное вам уравнение имеет одно или два решения.

5. Вычислите C = 3√(√((Δ12 — 4Δ03) + Δ1)/ 2). Эта величина позволит вам найти корни кубического уравнения.

В нашем примере:

3√(√((Δ12 — 4Δ03) + Δ1)/ 2)

3√(√((02 — 4(0)3) + (0))/ 2)

3√(√((0 — 0) + (0))/ 2)

0 = C

6. Корни (решения) кубического уравнения вычисляются по формуле (b +unC + (Δ0/unC)) / 3a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно либо 1, либо 2, либо 3.

Если подставить в эту формулу соответствующие значения величин, вы получите возможные решения данного вам кубического уравнения. Подставьте их в исходное уравнение и если равенство соблюдено, то решения правильные. Например, если, подставив значения в формулу, вы получили 1, подставьте 1 в x3 — 3x2 + 3x — 1 и получите 0. То есть равенство соблюдено, и 1 является одним из решений данного вам кубического уравнения.

Источник

Кубическое уравнение – уравнение вида [{large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},]

где (ane 0, b, c, d) – некоторые числа.

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень (x_1).
Значит, всегда выполнено: (ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)), где (m, n) – некоторые числа.

({color{red}{I.}}) Кубические уравнения вида [x^3=a]

для любого числа (a) имеют единственный корень

[x=sqrt[3]a]

Пример.

Решением уравнения (x^3=-8) является (x=sqrt[3]{-8}=-2).

({color{red}{II.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

Пример.

Решить уравнение (5x^3-x^2-20x+4=0).

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: [(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 quad Leftrightarrow quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 quad
Leftrightarrow quad (x^2-4)(5x-1)=0]

Тогда корнями данного уравнения являются (x_1=-2, x_2=2,
x_3=frac15).

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

[begin{aligned}
&(xpm y)^3=x^3pm3x^2y+3xy^2pm y^3\
&x^3pm y^3=(xpm y)(x^2mp xy+y^2) end{aligned}]

({color{red}{III.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

Для этого можно использовать следующие утверждения:

(blacktriangleright) Если сумма (a+b+c+d=0), то корнем уравнения является число (1).

(blacktriangleright) Если (b+d=a+c), то корнем уравнения является число (-1).

(blacktriangleright) Пусть (a,b,c,d) – ({color{blue}{text{целые}}}) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень (large{dfrac{p}{q}}), то для него будет выполнено:

(d) делится нацело на (p); (a) делится нацело на (q).

Пример.

1. У уравнения (7x^3+3x^2-x-9=0) сумма коэффициентов равна (7+3-1-9=0), значит, (x=1) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

2. У уравнения (4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0) выполнено: (4,5-0,5=-3+7), значит, (x=-1) является корнем этого уравнения.

3. У уравнения (2x^3+5x^2+3x-3=0) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена (-3) : (pm 1, pm 3); делители старшего коэффициента (2): (pm1, pm2). Значит, возможные комбинации рациональных корней: [pm 1, pmdfrac12, pm 3, pm dfrac32]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что (x=frac12) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

[2cdot left(frac12right)^3+5cdot left(frac12right)^2+3cdot
frac12-3=0 quad Leftrightarrow quad 0=0]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение (frac12x^3+frac16x+2=0) после умножения на (6) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: (3x^3+x+12=0).

Источник

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид Ax3+B=0 . Его необходимо приводить к x3+BA=0 с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x3+BA=0x+BA3x2-BA3x+BA23=0

Результат первой скобки примет вид x=-BA3, а квадратный трехчлен — x2-BA3x+BA23, причем только с комплексными корнями.

Пример 1

Найти корни кубического уравнения 2×3-3=0.

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2×3-3=0x3-32=0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x3-32=0x-3326×2+3326x+923=0

Раскроем первую скобку и получим x=3326. Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x=3326.

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Вид квадратного уравнения — Ax3+Bx2+Bx+A=0, где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ax3+Bx2+Bx+A=Ax3+1+Bx2+x==Ax+1×2-x+1+Bxx+1=x+1Ax2+xB-A+A

Корень уравнения равен х=-1, тогда для получения корней квадратного трехчлена Ax2+xB-A+A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5×3-8×2-8x+5=0.

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5×3-8×2-8x+5=5×3+1-8×2+x==5x+1×2-x+1-8xx+1=x+15×2-5x+5-8x==x+15×2-13x+5=0

Если х=-1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5×2-13x+5:

5×2-13x+5=0D=(-13)2-4·5·5=69×1=13+692·5=1310+6910×2=13-692·5=1310-6910

Ответ:

x1=1310+6910×2=1310-6910×3=-1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х=0, то он является корнем уравнения вида Ax3+Bx2+Cx+D=0. При свободном члене D=0 уравнение принимает вид Ax3+Bx2+Cx=0. При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид xAx2+Bx+C=0.

Пример 3

Найти корни заданного уравнения 3×3+4×2+2x=0.

Решение

Упростим выражение.

3×3+4×2+2x=0x3x2+4x+2=0

Х=0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3×2+4x+2. Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D=42-4·3·2=-8. Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х=0.

Когда коэффициенты уравнения Ax3+Bx2+Cx+D=0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A≠1, тогда при умножении на A2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у=Ах:

Ax3+Bx2+Cx+D=0A3·x3+B·A2·x2+C·A·A·x+D·A2=0y=A·x⇒y3+B·y2+C·A·y+D·A2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x1=y1A. Необходимо произвести деление многочлена Ax3+Bx2+Cx+D на x-x1. Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 22 обеих частей, причем с заменой переменной типа у=2х. Получаем, что

2×3-11×2+12x+9=023×3-11·22×2+24·2x+36=0y=2x⇒y3-11y2+24y+36=0

Свободный член равняется 36, тогда необходимо зафиксировать все его делители:

±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±36

Необходимо произвести подстановку y3-11y2+24y+36=0, чтобы получить тождество вида

13-11·12+24·1+36=50≠0(-1)3-11·(-1)2+24·(-1)+36=0

Отсюда видим, что у=-1 – это корень. Значит, x=y2=-12.

Далее следует деление 2×3-11×2+12x+9 на x+12 при помощи схемы Горнера:

xi	Коэффициенты многочлена
	2	-11	12	9
-0.5	2	-11+2·(-0.5)=-12	12-12·(-0.5)=18	9+18·(-0.5)=0

Имеем, что

2×3-11×2+12x+9=x+122×2-12x+18==2x+12×2-6x+9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x2-6x+9. Имеем, что уравнение следует привести к виду x2-6x+9=x-32, где х=3 будет его корнем.

Ответ: x1=-12, x2,3=3.

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что -1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х+1. Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A0x3+A1x2+A2x+A3=0 необходимо найти B1=A1A0, B2=A2A0, B3=A3A0.

После чего p=-B123+B2 и q=2B1327-B1B23+B3.

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y=-q2+q24+p3273+-q2-q24+p3273

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению -p3. Тогда корни исходного уравнения x=y-B13. Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.

Решение

Видно, что A0=2, A1=-11, A2=12, A3=9.

Необходимо найти B1=A1A0=-112, B2=A2A0=122=6, B3=A3A0=92.

Отсюда следует, что

p=-B123+B2=—11223+6=-12112+6=-4912q=2B1327-B1B23+B3=2·-112327—112·63+92=343108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y=-q2+q24+p3273+-q2—q24+p3273==-343216+34324·1082-49327·1233+-343216-34324·1082-49327·1233==-3432163+-3432163

-3432163 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

-3432163=76cosπ+2π·k3+i·sinπ+2π·k3, k=0, 1, 2

Если k=0, тогда -3432163=76cosπ3+i·sinπ3=7612+i·32

Если k=1, тогда -3432163=76cosπ+i·sinπ=-76

Если k=2, тогда -3432163=76cos5π3+i·sin5π3=7612-i·32

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим -p3=4936.

Тогда получим пары: 7612+i·32 и 7612-i·32, -76 и -76, 7612-i·32 и 7612+i·32.

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y1=-3432163+-3432163==7612+i·32+7612-i·32=7614+34=76y2=-3432163+-3432163=-76+-76=-146y3=-3432163+-3432163==7612-i·32+7612+i·32=7614+34=76

Значит,

x1=y1-B13=76+116=3×2=y2-B13=-146+116=-12×3=y3-B13=76+116=3

Ответ: x1=-12, x2,3=3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Кубическим называют уравнение, в котором только одна переменная представлена в третьей степени. Такие выражения в любом случае имеют от одного до трех корней. Значения, которые получаются при решении таких уравнений, могут быть равными друг другу или комплексными, если их не более двух.

Решение кубических уравнений – это решение уравнений, имеющих вид: [boldsymbol{a y^{3}+b y^{2}+c y+d=0}].

В уравнении такого типа a не равно 0, вместо b,c,d могут быть любые однозначные числа.

Данный вид уравнения имеет как минимум один корень – y₁.

Решение таких равнений может осуществляться разными способами. Оно может преобразовываться в стандартное квадратное уравнение. В таком случае предстоит выбрать один из трех вариантов решения квадратного уравнения:

разложение на множители;
применение формул для квадратных уравнений;
метод дополнения.

Решение кубических уравнений может осуществляться посредством формулы Кардано, а также теоремы Виета. Теорема Виета применяется для решения последней, четвертой степени.

Решение кубических уравнений с двумя членами

Уравнение будет иметь вид: [boldsymbol{a y^{3}+b=0}]

Для решения необходимо преобразовать его: [y^{3}=b / a=0]

Деление на a предполагает вместо нее любую цифру, кроме 0. После преобразования можно применить формулы для решения кубических уравнений, например, сокращенного умножения суммы кубов:

y3=b/a=0

(y+³√b/a)(y²—³√b/a*y+³√(b/a)²)=0

В результате из первой скобки выводим:

y=-³√b/a

во второй скобке получаем выражение – трехчлен:

y2-3√b/a*y+3√(b/a)2

Методы решения кубических уравнений возвратного вида

Алгоритм решения кубического уравнения возвратного вида отличается от предыдущего, так как оно выглядит следующим образом:

[boldsymbol{a y^{3}+b y^{2}+b y+a=0}]

В этом уравнении переменные a и b – это коэффициенты.

Первым делом при решении таких уравнений в математике выполняется группировка:

ay3+by2+by+a=a(y³+1)+b(y²+y)=a(y+1)(y²-y+1)+by(y+1)=(y+1)(ay²+y(b-a)+a)

В полученном выражении корень равен y=-1. Исходя из этого, чтобы получить корень квадратного трехчлена ay²+y(b-a)+a, потребуется найти дискриминант.

Определение

Дискриминант – произведение квадратов разностей корней в различных вариаций.

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Предположим, что y=0. В этом случае он будет корнем уравнения, которое выглядит следующим образом:

ay³+by²+cy+d=0

При условии, что в уравнении свободные члены, d=0. Преобразуем уравнение и получим:

ay3+by2+cy=0

Решение кубических уравнений такого вида предполагает вынесение y за скобку. В итоге получается уравнение вида:

y(ay²+by+c)=0

Рассмотрим на конкретном примере, как решить кубическое уравнение с подробным решением:

5y³+2y²+4y=0

Решение:

Первым делом стоит упростить уравнение.

5y³+2y²+4y=0

Получим уравнение вида:

y(5y²+2y+4)=0

y=0, так как является корнем выражения.

Следующий шаг – поиск корней квадратного трехчлена 5y²+2y+4, который мы получили после упрощения. Для поиска приравняем к нулю и будем использовать дискриминант.

В ходе решения кубического уравнения с дискриминантом получим:

D=2²-2*5*4=-38

Так как в ответе мы получили отрицательное значение, корней у данного трехчлена нет, значит x=0.

Если в уравнениях вида ay³+by²+cy+d=0 коэффициентами являются целые числовые значения, то при решении таких уравнений и нахождении его значения мы может получить иррациональные корни.

В случае, когда a не равно 0, при умножении на a² каждой составляющей уравнения происходит замещение переменных, и получается: x=ay

ay³+by²+cy+d=0

Каждую составляющую выражения умножаем на a²:

a³*y³+b*a²*y²+c*a*a*y+d*a²=0

Учитывая, что решение кубических уравнений с подробным решением предполагает замещение переменных x=ay, то:

x²+b*x²+c*a*x+d*a²

Полученное уравнение является кубическим. В таких уравнениях корни могут быть разными – и целыми, и рациональными. Чтобы привести такое уравнение к тождественному равенству, потребуется подставить делители в полученное равенство. В этом случае полученный x₁ будет корнем, и в то же время корнем начального уравнения:

x₁=y₁/a

Чтобы найти значение корней квадратного трехчлена, потребуется многочлен ay3+by2+cy+d разделить на y-y_1.

Рассмотрим решение кубических уравнений такого вида на примере.

Пример:

Решить уравнение [x 3-3 x 2-13 x+15=0].

Решение:

Ищем первый корень перебором чисел: [0, pm1, pm2, pm3, pm5, pm15] и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двухчлен x-1 и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение: [x 2-2 x-15=0], находим оставшиеся два корня: x1=-3 и x2=5.

Ответ: 1; -3; 5.

Такой способ решения кубических уравнений используется для преобразования и решения возвратных уравнений. Из приведенного примера видно, что корнем является -1, значит, левую часть можно разделить на x+1. После того, как эти действия выполнены, можно находить корни квадратного трехчлена. Если рациональные корни отсутствуют, необходимо находить иные методы решения и разложения многочлена на множители.

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Есть еще один способ — формула Кардано для решения кубических уравнений.

Если взять уравнение вида B₀y³+B₁y²+B₂y+B₃=0, то A₁=B₁/B₀, A₂=B₂/B₀, A₃=B₃/B₀.

Z=-A²₁/3+A₂

P=2A³₁/27-A₁A₂/3+A₃.

Выведенные значение Z и P подставим в формулу Кардано.

X=³√-P/2+√P²/4+Z³/27+³√-P/2-+√P2/4+Z3/27

В итоге подбор кубических корней должен соответствовать значению –Z/3. В этом случае корни исходного уравнения будут выглядеть следующим образом:

y=x-A₁/3

Применить формулу Кордано можно на примере для наглядности.

Пример

Решить уравнение [x^{3}+6 x^{2}+3 x-10=0]

Решение

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень [x=1]. Делением
[x=1] левой части уравнения по схеме Горнера получаем:

[begin{array}{r}+begin{array}{r}1&6&3&-10\0&1*1=1&7*1=7&10*1=10\end{array}
\hlinebegin{array}{r}1quadquadquad&7quadquadquad&10quadquadquadquad&0end{array}end{array}]

Следовательно, [x^{2}+7 x+10=0]. Решая это квадратное уравнение, получаем

[x=frac{-7 pm sqrt{7^{2}-4 * 1 * 10}}{2} Leftrightarrow x_{1}=-2, quad x_{2}=-5]

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения [a=1, b=6, c=3, d=-10].
Замена переменной [x=y-frac{b}{3 a}=y-frac{6}{3}=y-2] приводит исходное уравнение к виду [y^{3}+p
y+q=0], где:

[p=frac{3 a c-b^{2}}{3 a^{2}}=frac{3 * 1 * 3-6^{2}}{3 * 1^{2}}=-9, quad q=\frac{2 b^{3}-9 a b c+27 a^{2}
d}{27 a^{3}}=frac{2 * 6^{3}-9 * 1 * 6 * 3+27 * 1^{2} *(-10)}{27 * 1^{3}}=0]

Вычислим дискриминант этого уравнения:

[Delta=left(frac{q}{2}right)^{2}+left(frac{p}{3}right)^{3}=left(frac{0}{2}right)^{2}+left(-frac{9}{3}right)^{3}=-27]

Так [Delta] каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку [q=0 Rightarrow
varphi=frac{pi}{2}=>]

[y_{1}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos left(frac{varphi}{3}right)=2 sqrt{-frac{-9}{3}} * cos
left(frac{frac{pi}{2}}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{pi}{6}right)=2 sqrt{3} *
frac{sqrt{3}}{2}=3,\y_{2}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos left(frac{varphi}{3}+frac{2 pi}{3}right)=2
sqrt{3} * cos left(frac{frac{pi}{2}}{3}+frac{2 pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{5
pi}{6}right)=-2 sqrt{3} * frac{sqrt{3}}{2}=-3,\y_{3}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos
left(frac{varphi}{3}+frac{4 pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{frac{pi}{2}}{3}+frac{4
pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{3 pi}{2}right)=0.]

В данном случае для корней начального уравнения мы получим:

x₁=y₁-2=3-2=1;

x₂=y₂-2=-3-2=-5;

x₃=y₃-2=0-2=-2.

Получаем ответы: 1, -5, -2.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

За исходное уравнение возьмем следующее:

y³+ay²+by+c=0

Предположим, что a,b,c являются действительными цифровыми значениями. Известный корень пометим, как y₁. В таком случае, если произвести деление начального уравнения y³+ay²+by+c=0 на y-y₁получим квадратное уравнение. При решении такого уравнения удастся найти еще два корня – y₂и y₃.

Чтобы доказать это, преобразуем кубический многочлен следующим образом:

y₃+ay₂+by+c=(y-y₁)(y-y₂)(y-y₃)

При решении таких уравнений часто допускаются ошибки. Их решение – это сложное, многократное преобразование, которое требует точного знания формул и математических законов. Чтобы избежать ошибок и погрешностей, потребуется применить не только практические навыки, но и теоретические знания. Для решения кубических уравнений можно использовать специальный онлайн калькулятор. Принцип его действия основан на формуле Кардано. В том случае, если один или несколько коэффициентов такого уравнения равны нулю, или между ними присутствует определенная зависимость, решение будет более простым.

Чтобы научиться решать подобные уравнения, необходимо рассматривать примеры и тренироваться на их решении разными способами.

Источник