Как найти центр линии второго порядка

Линия, которая в некоторой
декартовой системе координат определяется
уравнением второй степени, называется линией
второго порядка. Общее уравнение второй степени
(с двумя переменными) принято записывать в виде:

(1)

Центром некоторой линии называется
такая точка плоскости, по отношению к которой
точки этой линии расположены симметрично парами.
Линии второго порядка, обладающие единственным
центром, называются центральными.

Точка S(,
) является центром линии,
определяемой уравнением (1), в том и только в том
случае, когда ее кординаты удовлетворяют
уравнениям:

,
(2)

Обозначим через
определитель
этой системы:

.

Величина
составляется из
коэффициентов при старших членах уравнения (1) и
называется дискриминантом старших членов этого
уравнения.

Если
, то система (2) является
совместной и определенной, то есть имеет решение
и притом единственное. В этом случае координаты
центра могут быть определены по формулам

,
.

Неравенство
служит признаком
центральной линии второго порядка.

Если S(,
) — центр линии второго порядка,
то в результате преобразования координат по
формулам

,

(что соответствует переносу начала
координат в центр линии) ее уравнение примет вид

где A, B, C те же, что в
данном уравнении (1), а
определяется
формулой

.

В случае
имеет место
также следующая формула:

,

где

.

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0. (1)

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S(x₀; у₀) является центром линии, определяемой уравнением (1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

Обозначим через δ определитель этой системы:

Величина δ составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если δ ≠ 0, то система (2) является совместной и определенной, т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

Неравенство δ ≠ 0 служит признаком центральной линии второго порядка

Если S(x₀; у₀) — центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид

где А, В, С — те же, что в данном уравнении (1), a определяется формулой

В случае δ ≠ 0 имеет место также следующая формула:

где

Определитель Δ называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

665. Установить, какие из следующих линий являются центральными (т. е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:

1) 3x² — 4ху -2у² + Зх — 12у — 7 — 0;

2) 4x² + 5ху + 3у² — х + 9у — 12 = 0;

3) 4x² — 4ху + у² — 6x + 8y + 13 = 0;

4) 4x² — 4ху + у² — 12x + 6у — 11=0;

5) х² — 2ху + 4у² + 5х — 7у + 12 = 0;

6) x² — 2ху + у² — 6x + 6y — 3 = 0;

7) 4х² — 20ху -4- 25у² — 14x + 2у — 15 = 0;

4х² — 6ху — 9у² + Зх — 7у + 12 = 0.

666. Установить, что следующие линии явпяются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:

1) 3x² + 5ху + у² — 8x — 11у — 7 = 0;

2) 5x² + 4ху + 2у² + 20x + 20у — 18 = 0;

3) 9x² — 4xy — 7у² — 12 = 0;

4) 2x² — 6ху + 5у² + 22x — 36у + 11 = 0.

667. Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой их них
составить уравнение геометрического места центров:

1) х² -6ху + 9у² — 12x + 36y + 20 = 0;

2) 4x² + 4ху + у² — 8х — 4y — 21 = 0;

3) 25x² — 10xy + y² + 40x — 8y + 7 = 0.

668. Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путем переноса начала координат в центр;

1) 3x² — 6ху + 2у² — 4x + 2y + 1 = 0;

2) 6х² + 4ху + у² + 4x — 2y + 2 — 0;

3) 4x² + 6xy + y² — 10x — 10 = 0;

4) 4x² + 2xy + 6y² + 6x — 10y + 9 = 0.

669. При каких значениях m и n уравнение

mx² + 12ху + 9y² + 4х + nу — 13 = 0

определяет:

1) центральную линию;

2) линию без центра;

3) линию, имеющую бесконечно много центров.

670. Дано уравнение линии 4x² — 4xy + у² + 6x + 1 = 0. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая у = kx: 1) пересекает эту линию в одной точке; 2) касается этой линии; 3) пересекает эту линию в двух точках; 4) не имеет общих точек с этой линией.

671. Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку M(6;-2) и касается прямой x — 2 = 0 в точке N(2; 0).

672. Точка Р (1; -2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q(0;-3) и касается оси Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.

Пусть
относительно аффинной системы координат
линиявторого порядка задана уравнением

(1)

О
п р е д е л е н и е. Центром
линии второго порядка
называется точка, координаты которой
удовлетворяют системе

Число центров линии второго порядка
зависит от определителя системы (Ц):

• Если
  ,
  то система (Ц) имеет единственное
  решение, то есть линияимеет единственный центр и называетсяцентральной линией.
  Можно проверить, что эллипс, мнимый
  эллипс, гипербола, пара пересекающихся
  прямых, пара мнимых пересекающихся
  прямых являются центральными линиями.

• Если
  ,
  то система (Ц) либо имеет бесконечно
  много решений, либо не имеет решений.
  Соответственно линия второго порядка
  либо имеет бесконечно много центров
  (пара параллельных прямых, пара мнимых
  параллельных прямых, пара совпавших
  прямых), либо не имеет центра (парабола).

Перенеся
начало репера
в точку– центр линии,
получим уравнение этой линии в репере:

,
из которого видно, что точка
– центр линии второго порядка, является
центром симметрии линии.

§16. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой

Пусть
относительно аффинной системы координат
линиявторого порядка задана уравнением

(1),

прямая
задана параметрическими уравнениями

Пересечение
прямой и линии второго порядка находится
из системы уравнений (1) и (2). Подставляя
(2) в (1), получим

где

Возможны случаи:

I.
,
(*) – квадратное уравнение с дискриминантом.

а)
.
Уравнение (*) имеет два вещественных
корня и прямаяпересекает линиюв двух вещественных точках.

б)
.
Уравнение (*) имеет два одинаковых корня,
прямая пересекает линию второго порядка
в двух совпавших точках.

в)
.
Уравнение (*) имеет два мнимых комплексно
сопряженных корня, прямая пересекает
линию второго порядка в двух мнимых
комплексно сопряженных точках.

II.
,
то есть.
Уравнение (*) принимает вид.

а)
.
Уравнение (*) имеет единственный корень,
прямая пересекает линию второго порядка
в одной точке.

б)
.
Уравнение (*) не имеет корней, прямая не
пересекает линию второго порядка.

в)
.
Уравнение (*) становится тождеством, то
есть любая точка прямой лежит на линии
второго порядка, прямая является частью
линии второго порядка.

О
п р е д е л е н и е. Направление, определяемое
ненулевым вектором, называется
асимптотическим
направлением относительно линии второго
порядка,
если любая прямая, параллельная этому
направлению, имеет с линией второго
порядка не более одной общей точки, или
является частью этой линии.

Из
предыдущих рассуждений получаем, что
направление, определяемое ненулевым
вектором
,
является асимптотическим относительно
линии второго порядка тогда и только
тогда, когда.
Таким образом, имеем условие асимптотического
направления:

.

Сколько
может быть асимптотических направлений
относительно линии второго порядка?

Заметим,
что для определения направления,
определяемого вектором
достаточно знать отношение координат
этого вектора.

I.

.
В этом случае
и из условия (А) получаем, что(в противном случае получаем, что).
Из уравнения (А) получаем квадратное
уравнение относительно,
дискриминант которого
.
То есть это уравнение не имеет корней,
а значит, относительно линии второго
порядка нет асимптотических направлений.
В этом случае линия называется линией
эллиптического типа.
Можно проверить, что эллипс, мнимый
эллипс, пара мнимых пересекающихся
прямых – линии эллиптического типа.

II.

.

а)
.
В этом случае (А) имеет вид.
Имеем два асимптотических направления
относительно линии второго порядка,
определяемые векторамии.

б)
.
Из уравнения (А) следует, что.
Имеем квадратное уравнение,
дискриминант которого больше нуля. То
есть это уравнение имеет два различных
корня, а значит, относительно линии
второго порядка существует ровно два
асимптотических направления. В этом
случае линия называетсялинией
гиперболического типа.
Можно проверить, что гипербола, пара
пересекающихся прямых – линии
гиперболического типа.

III.

.
Рассмотрев случаи, когда
равно или не равно нулю, получим, что
относительно линии второго порядка
существует ровно одно асимптотическое
направление. В этом случае линия второго
порядка называетсялинией
параболического типа.
Убедитесь, что парабола, пара параллельных,
пара мнимых параллельных и пара совпавших
прямых являются линиями параболического
типа.

О
п р е д е л е н и е. Прямая называется
касательной
к линии второго порядка,
если она пересекает эту линию в двух
совпавших точках.

Из
предыдущих рассуждений следует, что
прямая, задаваемая уравнением (2), является
касательной к линии второго порядка
,
еслии.

Выбрав
в качестве начальной точки
для
прямойточку касания, получим.
Тогда,
то есть

.

Тогда в качестве
направляющего вектора прямой можно
выбрать вектор с координатами

.

Каноническое
уравнение касательной в точке
линии
второго порядка
будет иметь вид

.

У
п р а ж н е н и е. Найти уравнение касательной
к эллипсу, гиперболе, параболе, заданным
каноническими уравнениями.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #

  30.04.201518.68 Mб21Ganshina.pdf

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1. Пересечение линии второго порядка и прямой.

   Начать изучение
   

2. Тип линии.

   Начать изучение
   

3. Диаметр линии второго порядка.

   Начать изучение
   

4. Центр линии второго порядка.

   Начать изучение
   

5. Сопряженные направления.

   Начать изучение
   

6. Главные направления.

   Начать изучение
   

7. Касательная к линии второго порядка.

   Начать изучение
   

8. Особые точки.

   Начать изучение
   

Пересечение линии второго порядка и прямой.

Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением
$$
Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0label{ref1}
$$
в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой
$$
x=x_{0}+alpha t, y=y_{0}+beta t.label{ref2}
$$
Значения параметра (t), соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой eqref{ref2} в eqref{ref1}:
$$
A(x_{0}+alpha t)^{2}+2B(x_{0}+alpha t)(y_{0}+beta t)+C(y_{0}+beta t)^{2} +\+ 2D(x_{0}+alpha t)+2E(y_{0}+beta t)+F=0.label{ref3}
$$
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение
$$
Pt^{2}+2Qt+R=0,label{ref4}
$$
в котором
$$
P=Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2},label{ref5}
$$
$$
Q=(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta,label{ref6}
$$
или, при другой группировке слагаемых,
$$
Q=(Aalpha+Bbeta)x_{0}+(Balpha+Cbeta)y_{0}+Dalpha+Ebeta.label{ref7}
$$
Свободный член — это значение многочлена при (t=0), то есть
$$
R=Ax_{0}^{2}+2Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}+2Dx_{0}+2Ey_{0}+F=0.label{ref8}
$$

Вообще говоря, уравнение eqref{ref4} квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны “исключительные” прямые, для которых (P=0), то есть
$$
Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2}=0,label{ref9}
$$
и, следовательно, уравнение eqref{ref4} является линейным. В этом случае оно имеет один корень при (Q neq 0), а при (Q=0) либо выполнено тождественно (если и (R=0)), либо не имеет решений. Следовательно, “исключительные” прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней целиком, или не имеют с ней общих точек.

В равенство eqref{ref9} не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить (alpha) и (beta) на общий ненулевой множитель.

Тип линии.

Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив
$$
delta=begin{vmatrix}
A& B\
B& C
end{vmatrix},nonumber
$$
сформулируем следующее утверждение.

От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак (delta).

Мы определили асимптотические направления при помощи аналитического условия eqref{ref9}. Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат.

Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотических направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направления (рис. 9.1). Поэтому линии второго порядка называются линиями гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления.

Для линий гиперболического типа (delta < 0), для параболического типа (delta=0), а для эллиптического (delta > 0).

Диаметр линии второго порядка.

Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления.

Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.

Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка (M_{0}(x_{0}, y_{0})) секущей eqref{ref2} находится в середине хорды, то корни уравнения eqref{ref4} равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 9.2). Это будет так в том и только том случае, когда (Q=0). Используя eqref{ref7}, мы получаем, что середины хорд направления ((alpha, beta)^{2}) лежат на прямой
$$
(Aalpha+Bbeta)x+(Balpha+Cbeta)y+Dalpha+Ebeta=0.label{ref10}
$$

Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч.

Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение eqref{ref10} определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю? Допустим, что это так, то есть
$$
Aalpha+Bbeta=0, Balpha+Cbeta=0.nonumber
$$

Умножим первое из этих равенств на (alpha), второе — на (beta) и сложим. Мы получим равенство eqref{ref9}, которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение eqref{ref10} определяет прямую.

Центр линии второго порядка.

Обозначим левую часть уравнения eqref{ref1} через (boldsymbol{Phi}(x, y)) и введем еще одно понятие.

По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (x_{0}, y_{0}) точки (O) в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению eqref{ref11}. Будут ли ее координаты ((tilde{x}_{0}, tilde{y}_{0})) в другой системе координат удовлетворять равенству того же вида для многочлена (tilde{boldsymbol{Phi}}(tilde{x}, tilde{y})), задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что это так, потому что многочлен (tilde{boldsymbol{Phi}}) так и выбирается, чтобы для координат любой точки выполнялось равенство (tilde{boldsymbol{Phi}}(tilde{x}, tilde{y})=boldsymbol{Phi}(x, y)). Нам остается только выписать это равенство для точек, получаемых из (O) сдвигом на векторы (boldsymbol{a}) и (-boldsymbol{a}).

Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой (y=0) является центром линии с уравнением (y^{2}+1=0).

Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство eqref{ref11}. Его левая часть равна
$$
A(x_{0}+alpha)^{2}+2B(x_{0}+alpha)(y_{0}+beta) +\+ C(y_{0}+beta)^{2}+2D(x_{0}+alpha)+2E(y_{0}+beta)+F.nonumber
$$
Правая часть отличается от левой только знаками у (alpha) и (beta). Поэтому при вычитании (boldsymbol{Phi}(x_{0}-alpha, y_{0}-beta)) из (boldsymbol{Phi}(x_{0}+alpha, y_{0}+beta)) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые (alpha) и (beta) входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta=0.label{ref12}
$$

Но равенство eqref{ref11}, а вместе с ним и равносильное равенство eqref{ref12} имеет место при любых (alpha) и (beta), в частности, при (alpha=1), (beta=0) и при (alpha=0), (beta=1). Отсюда следует, что координаты ((x_{0}, y_{0})) центра должны удовлетворять системе уравнений
$$
left{begin{array}{l}
Ax_{0}+By_{0}+D=0,\
Bx_{0}+Cy_{0}+E=0.
end{array}right.label{ref13}
$$

Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства eqref{ref13}, то, умножая их на произвольные числа (alpha) и (beta) и складывая, мы получим eqref{ref12}, а тем самым и eqref{ref11}.

Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположены. Система уравнений eqref{ref13} имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
$$
delta=begin{vmatrix}
A& B\
B& C
end{vmatrix} neq 0.label{ref14}
$$
Таким образом, условие (delta neq 0) необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр.

Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов.

Условие (delta=0) характеризует нецентральные линии. Это — линии параболического типа. При условии (delta=0) система eqref{ref13} либо не имеет решения, либо равносильна одному из составляющих ее уравнений (ранее мы уже доказывали этот факт). Это значит, что нецентральная линия либо не имеет центра (парабола), либо ее центры заполняют прямую линию (пары параллельных прямых, вещественных и мнимых, и пары совпавших прямых).

Сопряженные направления.

Направление ((alpha’, beta’)), определяемое диаметром, сопряженным направлению ((alpha, beta)), называется сопряженным направлению ((alpha, beta)). Компоненты ((alpha’, beta’)), направляющего вектора диаметра eqref{ref10} согласно доказанному ранее утверждению 6 удовлетворяют условию
$$
(Aalpha+Bbeta)alpha’+(Balpha+Cbeta)beta’=0label{ref15}
$$
или
$$
Aalphaalpha’+B(alpha’beta+alphabeta’)+Cbetabeta’=0label{ref16}
$$
В последнее выражение пары чисел ((alpha, beta)) и ((alpha’, beta’)) входят симметричным образом. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное какому-нибудь направлению ((alpha, beta)) может оказаться асимптотическим. Это легко выяснить. Из равенства eqref{ref15} следует, что в качестве (alpha’) и (beta’) можно выбрать соответственно — (-(Balpha+Cbeta)) и ((Aalpha+Bbeta)). Подставим это в уравнение eqref{ref9} для асимптотических направлений:
$$
A(Balpha+Cbeta)^{2}-2B(Balpha+Cbeta)(Aalpha+Bbeta)+C(Aalpha+Bbeta)^{2}=0.nonumber
$$
После преобразований получаем ((AC-B^{2}) times (Aalpha^{2}+2Balphabeta+Cbeta^{2})=0). Поскольку исходное направление не асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя. Мы получаем новое утверждение.

Главные направления.

Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии.

Если система координат декартова прямоугольная, то для главного направления компоненты ((alpha, beta)) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнения eqref{ref10}, то есть должно существовать такое число (lambda), что
$$
Aalpha+Bbeta=lambdaalpha, Balpha+Cbeta=lambdabeta.label{ref17}
$$
Исключая (lambda), мы получаем уравнение для (alpha) и (beta):
$$
(A-C)alphabeta+B(beta^{2}-alpha^{2})=0.label{ref18}
$$

Если положить (alpha=cos varphi), (beta=sin varphi), то уравнение eqref{ref18} превратится в уравнение (2B cos 2varphi = (A-C)sin 2varphi), которое, как мы видели, обязательно имеет решение относительно (varphi). Поэтому имеет место следующее утверждение.

Более подробное исследование уравнения eqref{ref18} показывает, что либо эта пара единственная, либо каждая пара перпендикулярных направлений является главной. Последний случай имеет место, когда (A=C), (B=0). При этом уравнение линии приводится к одному из канонических видов: (x^{2}+y^{2}=a^{2}), (x^{2}+y^{2}=-a^{2}) или (x^{2}+y^{2}=0). В двух последних случаях линия не имеет хорд, и результат лишен геометрического смысла.

Касательная к линии второго порядка.

Как известно, касательной к какой-либо линии называется предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением eqref{ref1}. Дадим предварительно следующее определение.

Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекающихся прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары совпавших прямых. В особой точке касательная не определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболам.

Рассмотрим точку (M_{0}(x_{0, y_{0}})), лежащую на линии (L), и прямую с начальной точкой (M_{0}), заданную уравнением eqref{ref2}. С нашей точки зрения, приведенное выше определение касательной означает, что уравнение eqref{ref4}, определяющее точки пересечения (L) и прямой, имеет два совпадающих корня.

Так как начальная точка принадлежит (L), в уравнении eqref{ref4} (R=0), и один из его корней равен нулю. Корни совпадают, если и второй корень равен нулю, для чего необходимо, чтобы (Q=0). Если при этом окажется, что и (P=0), то прямая принадлежит линии второго порядка. Этот случай мы исключили, и потому уравнение имеет кратный корень (t=0) в том и только том случае, когда (Q=0). Мы рассматриваем равенство (Q=0) как условие, определяющее направляющий вектор касательной:
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)alpha+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)beta=0.label{ref19}
$$

Так как (M_{0}) не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие eqref{ref19} определяет (alpha) и (beta) с точностью до общего множителя. Точка (M(x, y)) лежит на касательной тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) коллинеарен (boldsymbol{a}(alpha, beta)), то есть его координаты (x-x_{0}) и (y-y_{0}) удовлетворяют тому же условию, что и ((alpha, beta)):
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)(x-x_{0})+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)(y-y_{0})=0.label{ref20}
$$

Это и есть уравнение касательной к линии (L) в точке (M_{0}), лежащей на линии. Уравнение eqref{ref20} можно записать и иначе, если заметить, что координаты (M_{0}) удовлетворяют уравнению eqref{ref1} и, следовательно,
$$
(Ax_{0}+By_{0}+D)x_{0}+(Bx_{0}+Cy_{0}+E)y_{0}+Dx_{0}+Ey_{0}+F=0.nonumber
$$
Прибавляя это равенство к eqref{ref20} и группируя слагаемые, получим окончательное уравнение
$$
Axx_{0}+B(xy_{0}+x_{0}y)+Cyy_{0}+D(x+x_{0})+E(y+y_{0})+F=0.label{ref21}
$$

Особые точки.

Напомним, что особая точка линии второго порядка — это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат ((x_{0}, y_{0})) особой точки должны быть справедливы равенства
$$
begin{array}{cc}
& Ax_{0}+By_{0}+D=0, Bx_{0}+Cy_{0}+E=0,\
& Ax_{0}^{2}+2Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}+2Dx_{0}+2Ey_{0}+F=0.
end{array}nonumber
$$
Умножим первое из них на (x_{0}), второе на (y_{0}) и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений
$$
left{begin{array}{l}
Ax_{0}+By_{0}+D=0,\
Bx_{0}+Cy_{0}+E=0,\
Dx_{0}+Ey_{0}+F=0.
end{array}right.label{ref22}
$$
Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомогательные векторы (boldsymbol{p}(A, B, D)), (boldsymbol{q}(B, C, E)) и (boldsymbol{r}(D, E, F)). Равенства eqref{ref22} представляют собой координатную запись векторного равенства
$$
x_{0}boldsymbol{p}+y_{0}boldsymbol{q}=-boldsymbol{r}.label{ref23}
$$
Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы (boldsymbol{p}), (boldsymbol{q}) и (boldsymbol{r}) компланарны, и потому
$$
triangle=begin{vmatrix}
A& B& D\
B& C& E\
D& E& F
end{vmatrix}=0.label{ref24}
$$

Если линия центральная, то векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) не коллинеарны, и условие компланарности eqref{ref24} равносильно существованию разложения eqref{ref23}, то есть существованию решения системы eqref{ref22}. Мы получили ещё одно утверждение.

Итак, сочетание (delta < 0), (triangle=0) характеризует пары пересекающихся прямых, а (delta > 0), (triangle=0) — пары мнимых пересекающихся прямых.

Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда (triangle=0). В этом (и только этом) случае векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны. Действительно, так как (delta=0), по предложению 9 § 2 гл. II, если система уравнений eqref{ref13} имеет решение, она равносильна одному из составляющих ее уравнений: либо коэффициенты и свободный член одного из уравнений равны нулю, либо коэффициенты и свободные члены обоих уравнений пропорциональны. Тогда (triangle=0) независимо от (boldsymbol{r}).

Обратно, пусть для нецентральной линии (triangle=0). Докажем, что (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае (boldsymbol{r}) по ним раскладывается, и согласно eqref{ref23} существует особая точка. Она — центр, (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) коллинеарны, и мы получаем противоречие.

Итак, сочетание (delta=triangle=0) характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших).

Из последних двух утверждений следует, что равенство (triangle=0) является инвариантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.

Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

в котором хотя бы один из коэффициентов а₁₁, а₁₂, а₂₂ отличен от нуля. Выражение

Если мы перейдем к новой СК Ox¢y¢, то формулы замены координат будут иметь вид

x = ax¢ + by¢ + b₁,

Если мы подставим эти выражения в (8), то снова получим уравнение такого же вида, т.е. содержащее x¢ и y¢ во второй степени. Поэтому наше определение корректно, т.е не зависит от выбора СК. В дальнейшем, СК всегда предполагается декартовой.

Определение. Точка O¢ называется центром кривой второго порядка, если она является ее центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной.

Предположим, что СК выбрана так, что ее начало находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой M(x, y) кривой будет принадлежать и точка M¢(– x,– y). Подставим ее координаты в (7) и получим

Вычтем из равенства (8) равенство (8¢):

И это должно выполняться для любой точки M(x, y) на кривой. Поэтому а₁ = а₂ = 0, если начало координат находится в центре. Поэтому, если изначально начало координат не находится в центре O¢, то мы совершим параллельный перенос координатных осей в центр, и уравнение кривой в новой СК O¢х¢у¢ примет вид

т.е. линейная часть уравнения исчезнет. При этом, коэффициенты квадратичной части останутся прежними; это будет установлено в процессе доказательства следующей теоремы.

Теорема 5. Координаты (x_o, y_o) центра кривой, заданной уравнением (8), находятся из системы линейных уравнений

а₁₁х_o + а₁₂ у_o + а₁ = 0,

Доказательство. Введем новую декартову СК O¢х¢у¢, которая получается из Oху переносом начала в центр O¢(x_o, y_o) кривой. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x = x¢ + х_o,

Подставим эти формулы в (7):

После преобразований получаем

где с¢ = j(x_o, y_o) – значение левой части уравнения (7) в точке O¢. Поскольку в новой СК коэффициенты при x¢ и y¢ должны быть равны нулю, то получаем (10).

Заметим, что уравнение кривой в новой СК можно выписать, не совершая подстановки (11) и преобразований: коэффициенты квадратичной части не изменяются, надо только вычислить с¢.

Обозначим A = – матрица квадратичной части уравнения (8) (она же является матрицей системы линейных уравнений (10)),

d = det A, d_x = – , d_y = – .

1 случай. d ¹ 0. Тогда по правилу Крамера система (10) имеет единственное решение

а кривая имеет единственный центр. Минусы были поставлены выше потому, что а₁ и а₂ находятся в (10) не в правой части, а в левой.

2 случай. d = 0, d_x¹ 0 и d_y¹ 0 (заметим, что в случае d = 0, определители d_x и d_y будут равны или неравны нулю только одновременно). Тогда ранг расширенной матрицы системы (10) будет равен 2, а rank A=1. Значит, согласно теореме Кронекера-Капелли система (10) не имеет решений, а кривая не имеет центра.

3 случай. d = 0, d_x = d_y = 0. Тогда оба уравнения в (10) пропорциональны, а значит, эта система имеет бесконечное количество решений, а кривая – бесконечное количество центров.

Упростим еще величину с¢:

В силу (9) выражения в скобках равны нулю, и мы имеем

Подставляя сюда (*) получаем

а₁₁ а₁₂ а₁

В скобках как раз стоит разложение D по последней строке или последнему столбцу. Равенство (13) позволяет выписать (9) не находя координат центра кривой. Но, если уже центр найден, то легче вычислить с¢ по формулам (12).

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.